ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x x2 2 x x2 3x A( ):( ) 2 x x 4 2 x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z Chứng minh : x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 Bài 2: a 5,0 3,0 ĐKXĐ : �2 x �0 �2 �x �0 � x �2 �۹� �x x �0 � � �2 x x �0 �x �0 � �x �x �3 � 1,0 x 4x2 2 x x2 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) A( ):( ) x x x x x3 (2 x)(2 x) x( x 3) 1,0 x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x( x 2) x (2 x ) 4x2 (2 x)(2 x )( x 3) x 0,25 4x Vậy với x �0, x ��2, x �3 A 0,25 x 3 b 1,0 Với x �0, x �3, x ��2 : A � � x3 � x 3(TMDKXD) 4x 0 x 3 Vậy với x > A > c x7 � x7 � � x 4 � x 11(TMDKXD) � �� x 3( KTMDKXD) � Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1) �0;( y 3) �0;( z 1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy 0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = x y z x y z � ( )2 a b c a b c 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 x2 y2 z xy xz yz 2( ) a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz � 2 1 a b c abc x2 y z � 1(dfcm) a b c 0,5 � 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b � KDC � Ta có: � ABC � ADC � HBC Chứng minh : CBH : CDK ( g g ) � b, CH CK � CH CD CK CB CB CD Chứng minh : AFD : AKC ( g g ) AF AK � � AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC ( g g ) CF AH � CD AC CF AH � AB AH CF AC Mà : CD = AB � AB AC K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x 2 x 3 x 4 x 5 24 b Giải phương trình: x4 30x2 31x 30 c Cho Câu2 a b c a2 b2 c2 Chứng minh rằng: 1 0 b c c a a b b c c a a b Cho biểu thức: �� 10 x2 � � x A �2 x 2 � �: � x2 � �x x x �� a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun Câu Cho hình vuông ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 �9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Đáp án 4 Điểm a x + = x + 4x + - 4x = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Câu (6 điểm) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x4 30x2 31x 30 x (2 điểm) x x 5 x 6 (*) Vì x2 - x + = (x - 12 ) + >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = x 5 x5 � � �� x 6 � x 6 � a b c c Nhân vế của: 1 b c c a a b với a + b + c; rút gọn � đpcm � (2 điểm) (2 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP �� 10 x2 � � x : x � �� x � �x x x �� 1 a Rút gọn kq: A x 1 1 b x � x x 2 Biểu thức: A � Câu (6 điểm) 4 A c A � x 1 d A �Z � �Z � x� 1;3 x �A (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) HV + GT + KL (1 điểm) Câu (6 điểm) AE FM DF � AED DFC � đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC � đpcm a Chứng minh: c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi � ME MF a không đổi � SAEMF ME.MF lớn � ME MF (AEMF hình vng) � M trung điểm BD Câu 4: (2 điểm) b c �1 �a a a � a c �1 a Từ: a + b + c = � � 1 b b �b a b �1 �c c c � 1 �a b � �a c � �b c � � � � � � � � a b c �b a � �c a � �c b � �3 Dấu xảy � a = b = c = (2 điểm) (2 điểm) (1 điểm) (1 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Víi b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = b (a 2001 (1 im) Đề thi S Câu : (2 ®iĨm) Cho P= a 4a a a a 14a a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh r»ng nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phơng trình : 1 1 x x 20 x 11 x 30 x 13 x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chøng minh r»ng : A= a b c 3 b c a a c b a b c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm cña BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5 Nêu ĐKXĐ : a 1; a 2; a Rót gän P= b) (0,5®) P= 0,25 a 1 a 0,25 a 23 1 ; ta thấy P nguyên a-2 ớc 3, a a mà Ư(3)= 1;1; 3;3 0,25 Từ tìm đợc a 1;3;5 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab = =(a+b) (a b) 3ab 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thấy (x2+5x)2 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,5 0,25 Do ®ã Min P=-36 (x2+5x)2=0 Tõ ®ã ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 §KX§ : x 4; x 5; x 6; x 0,25 Phơng trình trở thành : 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz xy ;b ;c ; 2 yz xz xy 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) Thay vào ta đợc A= 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A (2 2) hay A 3 C©u : (3 ®) Tõ ®ã suy a= 0,5 0,25 0,25 a) (1đ) Trong tam giác BDM ta có : Dˆ 120 Mˆ V× Mˆ =600 nªn ta cã : Mˆ 120 Mˆ Suy Dˆ Mˆ x E Chøng minh BMD ∾ CEM (1) Suy D BD CM , từ BD.CE=BM.CM BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy y A BD.CE= BC 0,5 B 2 M C 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ Dˆ , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 0,25 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z lµ : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a a 15 Caâu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x 3x3 ax b chia hết cho đa thức B ( x ) x x Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P Câ u 2đ 1 1 1 2 1002 Đáp án biểu điểm Đáp án A a 1 a 3 a a 15 a a a 0,5 0,5 0,5 0,5 a 8a a 8a 15 15 8a 22 a 8a 120 8a 12 a a 2 a 6 a 2đ Biểu điểm 2 đ đ đ đ 8a 11 2 8a 10 8a 10 Giaû sử: x a x 10 x m x n ;(m, n �Z ) 0,25 ñ 0,25 ñ � x a 10 x 10a x m n x mn � m n a 10 m n 10 a 1 Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + � mn 10m 10n 100 � m(n 10) 10n 10) m,n nguyên ta có: 1đ 0,25 đ m 10 1 n 10 1 v 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 m 101 n 10 1 suy a = 12 a =8 Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + a 3 a 3 Để A( x)MB ( x ) b 4 � b 4 ñ ñ ñ ñ ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 3ñ 0,25 đ 2đ Tứ giác ADHE hình vuông � ; Hy phân giác Hx phân giác góc AHB � � � góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc � � � Hay DHE = 900 mặt khác ADH = 900 AEH Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1) � AHB 900 � AHD 450 2 � Do � AHC 900 AHE 450 2 � � � AHD AHE � (2) Hay HA laø phân giác DHE Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 1 1 P 100 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 10 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 b) (0,75đ) Xét (0,25đ) (0,25đ) A 10x 7x 5x B 2x 2x Với x �Z A MB (0,25đ) �Z � M( 2x – 3) 2x (0,25đ) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 � x = 5; - 2; ; A MB (0,25đ) 4 x y x xy y c) (1,5đ) Biến đổi = y x (y 1)(x 1) x y4 (x y) ( x + y = � y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) = xy(y y 1)(x x 1) x y x y x y (x y) = (0,25đ) xy(x y y x y yx xy y x x 1) x y (x y 1) = (0,25đ) xy � x y xy(x y) x y xy � � � x y (x x y y) x y x(x 1) y(y 1) = 2 xy � x y (x y) � xy(x y 3) � � = = x y x( y) y( x) = xy(x y 3) 2 = (0,25đ) x y (2xy) (0,25đ) xy(x y 3) 2(x y) Suy điều cần chứng minh x y2 (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x 1 x2 x 3 x4 x 5 x6 x 1 x x x x x ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vì 1 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 (0,25đ) ( x 2009)( Do : 1 1 1 ) 0 (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 2006 2003 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = -2009 E I Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh EDF vng cân Ta có ADE = CDF (c.g.c) � EDF cân D Mặt khác: ADE = CDF (c.g.c) � Eˆ Fˆ2 Mà Eˆ Eˆ Fˆ1 = 900 � Fˆ2 Eˆ Fˆ1 = 900 33 B C O A D F 900 Vậy EDF vuông cân b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hình vng � CO trung trực BD Mà EDF vuông cân � DI = EF Tương tự BI = EF � DI = BI � I thuộc dường trung trực DB � I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng � EDF = B D Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) A E DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) 2 a a a � = 2(x – )2 + (0,25đ) 2 a Ta có DE nhỏ � DE2 nhỏ � x = (0,25đ) a � BD = AE = � D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ 1 1 Ta có: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB2 � = – (AD2 – AD + )+ = – (AD – ) + (0,25đ) 2 4 8 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE � – = AB2 không đổi (0,25đ) 8 Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) C ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x 16 A x x2 Bài 3: Cho phân thức: 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định 34 b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức x2 Bài 4: a) Giải phơng tr×nh : x x x( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đà hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH vµ trung tuyÕn AM a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diƯn tÝch ∆ AHM ? BiĨu ®iĨm - Đáp án Biểu điểm Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 ®iĨm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x 16 x[(2 x) x(2 x 4)( x 4) x.2( x 2).2( x 2) 4( x 2) 4 x x( x 2) x( x 2) x 2x x 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x vµ x + x vµ x -1 (1 ®iĨm) b) Rót gän: 5x 5( x 1) 2 x x x ( x 1) x 5 1 2 x x 2x (0,5 điểm) (0,25 điểm) 35 Vì 5 thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên x 2 (0,25 điểm) Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x - Giải: x(x 2) - (x - 2) x2 + 2x – x +2 = 2; x( x 2) x( x 2) 1đ x= (loại) hc x = - VËy S = 1 b) x2 – < x2 + 4x + x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> - 1đ Vậy nghiệm phơng trình x > - Bµi 5: – Gäi sè ngµy tỉ dù định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > 0,5 đ Vậy số ngày tổ đà thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) 0,5 đ - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 0,5 đ 57x – 57 – 50x = 13 7x = 70 0,5 đ x = 10 (thoả mÃn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày 1đ Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã: Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc) 1® b) áp dụng pitago vuông ABC 1đ ta cã : BC = AB AC = 15 20 = 625 = 25 (cm) ABC ~ HBA nên AB AC BC 15 20 25 hay HB HA BA HB HA 15 20.05 12 (cm) 25 15.15 9 (cm) BH = 25 1® AH = 1® HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 BH 3,5(cm) 2 1 = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM BH = SAHM - Vẽ hình: A 36 1® B H C M 1® ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x 17 x 21 x 4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 0 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) HA' HB' HC' Tính tổng AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA ) 4 c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = Bài 2(1,5 điểm): xy yz xz 1 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) 37 ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) Do đó: A yz xz xy ( x y)( x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) Tính A = ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình HA'.BC S HBC HA' a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) (0,25điểm) S HAB HC' S HAC HB' ; S ABC CC' SABC BB' HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC 1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC Tương tự: b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC 1 IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM 38 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) 2 - BAD vuông A nên: AB +AD = BD AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) 2 AB + 4CC’ (BC+AC) 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) 2 2 -Chứng minh : 4(AA’ + BB’ + CC’ ) (AB+BC+AC) (AB BC CA ) 4 (0,25điểm) AA'2 BB'2 CC'2 (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) §Ị S 22 Câu 1: (5điểm) a, b, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n 3n 2n 6n B= Có giá trị số nguyên n2 D= n5-n+2 số phơng Chứng minh : c, Câu 2: (5điểm) a, a b c 1 biÕt abc=1 ab a bc b ac c Víi a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 b, c, Câu 3: (5điểm) a, (n 2) a2 b2 c2 c b a b2 c2 a2 b a c Giải phơng trình sau: x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh: 1 AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF 39 Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 Điể m 0,5 0,5 A=5 n B có giá trị nguyên n2+2 Câu n2+2 ớc tự nhiên n2+2=1 giá trị thoả mÃn (5điể Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị m) nguyên c, (2®iĨm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2) (n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 Vậy D chia d Do ®ã sè D cã tận 7nên D số phơng Vậy giá trị n để D số phơng B=n2+3n- b, (2điểm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a b c ab a bc b ac c a, (1®iĨm) ac abc c abc ac c abc abc ac ac c ac abc c abc ac 1 = ac c c ac ac c abc ac b, (2®iĨm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8 Vì a+b+c=0 Câu abc(a+b+c) 4 a +b +c =2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) (5điể Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) m) Vì a+b+c=0 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 2(ab+ac+bc) =2(a b +a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 40 0,5 0,5 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x +y 2xy 0,5 DÊu b»ng x=y a2 b2 a b a 2 2 ; b c c b c 2 c b c b b 2 2 a c a a c a2 c2 a c c 2 2 ; b a b b a 0,5 Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 a c b 2( ) 2( ) b c a c b a 2 a b c a c b b2 c2 a c b a a, (2®iĨm) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1,0 0,5 1 (x-300) 0 x-300=0 x=300 VËy S = 86 84 82 300 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1) 2(4x-1)=9 (64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) Câu = 72 (5điể Đặt: 64x -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k=± 8,5 m) Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1) 0,5 0,5 1 (4x+1)=0; x= ; x 0,5 0,5 Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x1)2+8=0 v« nghiƯm 1 2 VËy S = , 0,5 c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)0,5 (y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng nhÊt (x,y)=(3;1) 41 A S DAB=S CBA B a,(1điểm) Vì AB//CD (cùng đáy đờng cao) S DAB –SAOB = S CBAK SAOB O E F Hay SAOD = SBOCI N D 0,5 0,5 M C 0,5 1,0 0,5 Câu (5điể m) EO AO Mặt khác AB//DC DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 1 DC AB DC AB.DC EF DC AB EF b, (2điểm) Vì EO//DC 1,0 1,0 c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dùng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng thẳng KN đờng thẳng phải dùng Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cđa EM vµ KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN KIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM Quý thầy cô bạn dành thêm chút thời gian để đọc giới thiệu sau tri ân người đăng tài liệu cách dùng Email mã số người giới thiệu theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho thầy cô bạn, đồng thời tri ân với người giới thiệu mình: Kính chào q thầy bạn Lời cho phép gửi tới quý thầy cô bạn lời chúc tốt đẹp Khi thầy cô bạn đọc viết nghĩa thầy cô bạn có thiên hướng làm kinh doanh Nghề giáo nghề cao quý, xã hội coi trọng tơn vinh Tuy nhiên, có lẽ tơi thấy đồng lương q hạn hẹp Nếu khơng phải mơn học chính, khơng có dạy thêm, liệu tiền lương có đủ cho nhu cầu thầy Cịn bạn sinh viên…với thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? Bản thân tơi giáo viên dạy mơn TỐN thầy cô hiểu tiền lương tháng thu Vậy làm cách để kiếm thêm cho 4, triệu tháng ngồi tiền lương Thực tế thấy thời gian thầy cô bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngồi mục đích kiếm tìm thơng tin phục vụ chuyên môn, thầy cô bạn cịn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy không bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho 4, triệu tháng Điều có thể? Thầy cô bạn tin vào điều Tất nhiên thứ có giá Để quý thầy cô bạn nhận 4, triệu tháng, cần địi hỏi thầy bạn kiên trì, chịu khó 42 biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc việc làm nào? Quý thầy cô bạn đọc viết tơi, có hứng thú bắt tay vào công việc Thầy cô nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn có Tuy nhiên internet có nhiều trang Web kiếm tiền khơng uy tín ( trang web nước ngoài, trang web trả thù lao cao ) Nếu web nước gặp nhiều khó khăn mặt ngôn ngữ, web trả thù lao cao khơng uy tín, nhận tương xứng với cơng lao chúng ta, thật Ở Việt Nam trang web thật uy tín : http://satavina.com Lúc đầu thân tơi thấy không chắn cách kiếm tiền Nhưng tơi hồn tồn tin tưởng, đơn giản tơi nhận tiền từ cơng ty.( thầy bạn tích lũy 50.000 thơi u cầu satavina tốn cách nạp thẻ điện thoại tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm chẳng bao nhiêu, sau số tiền kiếm tăng lên Có thể thầy bạn nói: vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho Đúng chẳng cho không thầy cô bạn tiền đâu, phải làm việc, phải mang lợi nhuận cho họ Khi đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm phải có cháo mà ăn chứ, khơng dại mà làm việc cho họ Vậy làm Thầy cô bạn làm nhé: 1/ Satavina.com công ty nào: Đó cơng ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh GPKD số 0310332710 - Sở Kế Hoạch Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM Khi thầy cô thành viên công ty, thầy cô hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo xem video quảng cáo( tiền trích từ tiền thuê quảng cáo công ty quảng cáo thuê satavina) 2/ Các bước đăng kí thành viên cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina thầy cô làm sau: Bước 1: Nhập địa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, khơng nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện sau: Để nhanh chóng q thầy bạn coppy đường linh sau: 43 http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 ( Thầy bạn điền thơng tin Tuy nhiên, chức đăng kí thành viên mở vài lần ngày Mục đích để thầy bạn tìm hiểu kĩ công ty trước giới thiệu bạn bè ) Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc bên phải( khơng có giao diện bước thời gian đăng kí khơng liên tục ngày, thầy cô bạn phải thật kiên trì) Bước 3: Nếu có giao diện thầy cô khai báo thông tin: Thầy cô khai báo cụ thể mục sau: 44 + Mail người giới thiệu( mail tôi, thành viên thức): hoangngocc2tmy@gmail.com + Mã số người giới thiệu( Nhập xác) : 66309 Hoặc q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 + Địa mail: địa mail thầy cô bạn Khai báo địa thật để cịn vào kích hoạt tài khoản sai thầy cô bạn thành viên thức + Nhập lại địa mail: + Mật đăng nhập: nhập mật đăng nhập trang web satavina.com + Các thông tin mục: Thông tin chủ tài khoản: thầy cô bạn phải nhập xác tuyệt đối, thơng tin nhập lần nhất, không sửa Thông tin liên quan đến việc giao dịch sau Sai không giao dịch + Nhập mã xác nhận: nhập chữ, số có bên cạnh vào ô trống + Click vào mục: đọc kĩ hướng dẫn + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau đăng kí web thơng báo thành cơng hay không Nếu thành công thầy cô bạn vào hịm thư khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành công quý thầy cô bạn vào web có đầy đủ thơng tin cơng ty satavina cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại cho thầy cô Hãy bắt tay vào việc đăng kí, khơng gì, chút thời gian ngày mà thơi Kính chúc q thầy bạn thành cơng Nếu q thầy có thắc mắc q trình tích lũy tiền gọi trực tiếp mail cho tôi: Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Quý thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 Email người giới thiệu: 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho thầy bạn: + Điểm thầy cô bạn tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo xem video quảng cáo Nếu tích lũy điểm từ thầy bạn tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè thầy cô bạn 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: - Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) - Đọc tin quảng cáo: 10 điểm/giây (hơn tin quảng cáo) _Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 điểm / _Viết Trong ngày bạn cần dành phút xem quảng cáo, bạn kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm 300đồng - Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi Mức bạn), 10 người dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người bạn có 100 người (gọi mức bạn), công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Tương tự vậy, công ty chi trả đến Mức bạn theo sơ đồ sau : - Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn 30.000đồng/ngày → 900.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn 300.000đồng/ngày 45 → 9.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn 3.000.000đồng/ngày → 90.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng Tuy nhiên thầy cô bạn không nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng để 1tháng 1=>10 triệu ổn Như thầy cô bạn thấy satavina không cho không thầy cô bạn tiền khơng Vậy đăng kí giới thiệu mạng lưới Lưu ý: Chỉ thầy bạn thành viên thức thầy bạn phép giới thiệu người khác Hãy giới thiệu đến người khác bạn bè thầy cô bạn giới thiệu quan tâm đến người mà bạn giới thiệu chăm sóc họ( thành viên thầy bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè thay nội dung mục thông tin người giới thiệu thông tin thầy cô bạn Chúc quý thầy cô bạn thành cơng kiếm khoản tiền cho riêng Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 Website: http://violet.vn/nguyentuc2thanhmy HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CÔNG Chúc bạn thành công! 46 47 ... 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1,0 0,5 1 (x-300) 0 x-300=0 x=300 VËy S = 86 84 82 ... giới thi? ??u: Nguyễn Văn Tú hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thi? ??u: 66309 Quý thầy bạn coppy Link giới thi? ??u trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309... thức): hoangngocc2tmy@gmail.com + Mã số người giới thi? ??u( Nhập xác) : 66309 Hoặc quý thầy bạn coppy Link giới thi? ??u trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309