ĐỀ THI HSG TOÁN Giáo viên: Nguyễn Quốc Tuấn- Email: quoctuanp@gmail.com Xuctu.com Câu 1: Cho P(x) đa thức bậc có hệ số cao 1, thoả mãn P(1) =3, P(3) =11, P(5) = 27 Hãy tính P(-2) + 7P(6) Câu 2: Giải hệ phương trình x y z = = = x+ y+z y + z x + y +1 x + y −1 Câu 3: Cho 2x+4y + Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 + y2 Câu 4: Tìm ngiệm nguyên phương trình : x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 Câu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R), M điểm chuyển động cung BC Vẽ đường kính AE cắt BC H, MA cắt BC I a) Chứng minh MA = MB + MC b) Chứng minh: 1 = + MI MB MC c) Xác định vị trí M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn Câu : Trên dây cung AB đường tròn (O) lấy điểm P Q cho AP = PQ = QB vẽ bán kính OK qua P bán kính OL qua Q Chứng minh: cung AK 〈 cung KL HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP ÁN Câu 1: Xét đa thức f(x) = x2+ thoả mãn f(1) = 3, f(3) = 11, f(5) = 27 Đặt Q(x) = P(x) – f(x) Ta có Q(1) = P(1) – f(1) = Q(3) = P(3) – f(3) = Q(5) = P(5) – f(5) = Vậy Q(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm Do P(x) đa thức bậc có hệ số bậc cao nên Q(x) đa thức bậc có hệ số bậc cao Vậy q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – r) ⇒ P(x) = Q(x) + f(x) Ta có P(-2) = (-2 – 1)(-2 – 3)(-2 -5)(-2 –r) + (-2)2 + P(-2) = 3.5.7.2 + 3.5.7.r + 7P(6) = 7[(6 – 1)(6 – 3)(6 – 5)(6 – r) + 62 + 2] = 7[5.3.1(6 –r) + 36 + 2] = 3.5.6.7 – 3.5.7.r + 38.7 P(-2) + 7P(6) = 3.5.7(2 + 6) + + 38.7 = 3.5.7.8 + 272 =840 + 272 = 1112 Câu 2: Đặt x + y + z = t ⇒ x + y = t – z, y + z = t – x Khi hệ cho có dạng x + y + z = t x =t t − x y t − z + = t z =t t − z − Từ (2) ta có x = t2 – xt ⇔ x + xt = t2 ⇔ x = t2 t +1 (1) (2) (3) (4) Dễ thấy t ≠ -1 Từ (4) ta có z = t2 −t với x t +1 Từ (3) ⇒ y = t2 – tz + t = Vậy ta có: ≠ t, z ≠ t ± , t ≠ 0, t ≠ -1 3t + t t +1 t2 3t + t t − t + + =t t +1 t +1 t +1 ⇒ t(4t – 1) = 0, t ≠ nên t = − 3 ; ; 20 20 20 Từ (x, y, z ) = Câu 3: Ta có (2x + 4y)2 + ( 4x – 2y)2 = 4x2+ 16y2 +16xy + 16x2 + 4y2 –16xy = 20(x2+y2) Biết (2x + 4y)2 + (4x – 2y)2 ≥ (2x +4y)2 Dấu “=” xảy ⇔ 4x – 2y = ⇔ y = 2x ⇒ 20(x2+ y2) ≥ (do 2x +4y = 1) ⇒ A = x2+ y2 ≥ 20 y= y = 2x ⇔ ⇒ A = ⇔ x + y = 20 x = 10 Câu 4: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Nếu y thoả mãn PT -y thoả mãn PT (1) ⇔ ( x + x )( x + x + ) = y Đặt x2+3x+1= a, ta được: ( a − 1)( a + 1) = y ⇔ a − = y ⇔ ( a + y )( a − y ) = Suy a+y = a-y, y = Thay vào (1) được: x1=0, x2= -1, x3= -2, x4= -3 Vậy PT cho có nghiệm: (0;0), (-1;0), (-2;0), (-3;0) Câu 5: Trên tia MA lấy điểm D cho MD = MB BDM cân M có BMD = ACB = 600 ( Góc nội tiếp chắn cung AB) BDM ⇒ * Chỉ MBC = DBA (c.g.c) ⇒ MC = DA A ⇒ MA = DA + DM = MC + DM = MC + MB (do MB = MD) O b) (1,5 đ) Ta có Chỉ D MA = MI MI MA IAC đồng dạng B IBM ⇒ MB + MC = (do MA = MB + MC) MI MB.MC ⇔ 1 = + MI MB MC M E c) (1,5 điểm) Ta có MA + MB + MC = 2MA (do MA = MB + MC) Mà MA ≤ AE = 2R (do AM ⊥ ME ( AME = 900 = ) ⇒ MA + MB + MC ≤ 4R ⇔ Tổng MA + MB + MC lớn 4R ⇔ M ≡ E Câu 6: Vẽ đường kính AN Chỉ OP đường trung bình AQN ⇒ PO // QN AOP = ONQ (đồng vị) POQ = OQN + k (So le trong) ONQ có OQ < ON ONQ < OQN AOP < POQ Suy điều cần chứng minh l q p A H I B O n C TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-NH: 2019-2020 Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt trực tiếp tại: https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6 Đọc trước sách tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/ ... NHẤT-NH: 20 19- 2020 Bộ phận bán hàng: 091 8 .97 2.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach .toan. online@gmail.com Đặt trực tiếp tại: https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6... (do MA = MB + MC) Mà MA ≤ AE = 2R (do AM ⊥ ME ( AME = 90 0 = ) ⇒ MA + MB + MC ≤ 4R ⇔ Tổng MA + MB + MC lớn 4R ⇔ M ≡ E Câu 6: Vẽ đường kính AN Chỉ OP đường trung bình AQN ⇒ PO // QN AOP = ONQ (đồng