28 Website: tailieumontoan.com TRƯỜNG THCS HỒNG DƯƠNG ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC NĂM HỌC: 2020 – 2021 ĐỀ THI THỬ SỐ 02 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (6,0 điểm) P Cho biểu thức x 1 x2 x x2 : x2 x 1 x x x2 x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P Giải phương trình Bài 2: (4,0 điểm) 1 x x 1 2 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x y 2010 n 36 n Tìm số tự nhiên để số nguyên tố Bài 3: (3,0 điểm) T x 12 x2 Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức Bài 4: (6,0 điểm) A AB AC , Cho tam giác ABC vuông đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với MN I , cắt BC K Chứng minh: AN AC AB AM Chứng minh K trung điểm BC 2 Chứng minh: AB BH HC AM BM AN NC AK Tìm điều kiện tam giác ABC để diện tích hình chữ nhật AMHN lớn Bài 5: (1,0 điểm) n 2 n n 1 Chứng minh với số tự nhiên n ta có 26.5 59 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÒNG II OLYMPIC THCS HỒNG DƯƠNG Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (6,0 điểm) Cho biểu thức x 1 x2 x x2 P : x 2x 1 x x x2 x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm x để P Giải phương trình 1 x x Lời giải P Xét biểu thức a) ĐKXĐ: x 0 x 1 x Khơng có điều kiện x trừ 0, 25 điểm P x 1 x2 x x2 : x2 x 1 x x x2 x P x( x 1) ( x 1) x 1 x x2 : x ( x 1) x ( x 1) x 1 x x 1 P P Vậy b) x 1 x2 x x2 : x2 x 1 x x x2 x P x( x 1) x x x : x x 1 x 1 x( x 1) x 1 : x x 1 x x 1 x 1 x2 x( x 1) x 1 x 1 x x 0, x 1, P x2 x 1 x2 1 P x với x ĐKXĐ x x x x 0 x x x 0 x 1 x 1 0 x (TM ĐKXĐ) x ( khơng TM ĐKXĐ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com (Nếu không loại x trừ 0,5 điểm) Vậy P 1 x 2 Giải phương trình x x 1 x x 1 1 Với x 0 ; phương trình cho trở thành x 3; 1 Với trở thành: x x 1, phương trình vơ nghiệm 1 có nghiệm x 1 ( thỏa mãn) Với x 3, x x 1 Với x 0; phương trình cho trở thành: x 0; Với trở thành: x x 1, phương trình vơ nghiệm x 3; Với có nghiệm x ( không thỏa mãn) S 1 Vậy phương trình cho có tập nghiệm Bài 2: (4,0 điểm) 2 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x y 2010 n Tìm số tự nhiên n để 2 36 số nguyên tố Lời giải Giả sử phương trình cho có nghiệm nguyên x0 ; y0 x0 y0 2010 2 2 Ta thấy: x0 y0 chia cho có số dư , nên x0 y0 chia cho có số dư hoặc Vế phải 2010 chia cho dư (mâu thuẫn với điều giả sử) Vậy phương trình cho khơng có nghiệm nguyên n Ta có: Để n 2 2 36 n 16n 100 n 10 36n n 10 6n n 10 6n 36 2 số nguyên tố, điều kiện cần n 10 6n 1 n 10 6n số nguyên tố n 10 6n 1 n 3 0 n 3 n2 8 36 37 số nguyên tố Thử lại: Với n 3 Bài 3: (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 T x 12 x2 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Lời giải 2 x 12 ( x x 16) x x T x 4 x2 x 4 với x Do đó: T x 2 x 1 x 12 (4 x 16) x x T 4 4 x 4 x2 x2 với x Do đó: max T 4 x 1 Bài 4: (6,0 điểm) A AB AC , Cho tam giác ABC vuông đường cao AH Gọi M , N hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với MN I , cắt BC K Chứng minh: AN AC AB AM Chứng minh K trung điểm BC 2 Chứng minh: AB BH HC AM BM AN NC AK Tìm điều kiện tam giác ABC để diện tích hình chữ nhật AMHN lớn Lời giải Chứng minh: ACB ∽ HCA Ta có: HCA ∽ NHA ; NHA ∽ AMN ; Suy ra: AMN ∽ ACB AN AM Suy ra: AB AC Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Suy ra: AN AC AB AM ( Điều phải chứng minh) Chứng minh: AKC cân K Suy ra: K trung điểm BC 2 Ta có: AB AC BC Suy ra: AH BH AH CH BH CH 2 Suy ra: AH BH HC 2 2 Do đó: AB AH BH BH CH BH BH (CH BH ) AB BH BC 2 Chứng minh tương tự ta được: AM BM HM ; AN CN HN 2 2 Mà HM HN MN AH AK Diện tích hình chữ nhật AMHN lớn AM AN AN AM Vì AMN ∽ ACB nên AB AC Suy AB AC Do đó, tam giác ABC vng cân A diện tích hình chữ nhật AMHN lớn Bài 5: (1,0 điểm) n 2 Chứng minh với số tự nhiên n ta có Lời giải 26.5n 82 n 1 59 5n 2 26.5n 82 n 1 51.5n 8.64 n 59 5n 8.64n 59.5n 64 n 5n 64 Vì n 5n 64 nên ta có điều phải chứng minh = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC