60 đề đáp án bắc ninh 2021

28 Website: tailieumontoan.com UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GD&ĐT TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI THỬ SỐ 60 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2020 – 2021 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút   a  1  2a  4a  a  4a M    : a3  a   4a 3a   a  1   Bài 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức Rút gọn M 2 Tìm giá trị a để M đạt giá trị lớn Bài 2: (3,0 điểm) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh: n  n chia hết cho 24 2 Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau x   x  3x   x3  Tìm phần dư phép chia đa thức chia cho  x  1 P  x cho  x  1  x   Biết đa thức P  x   x   dư dư , chia cho Bài 4: (7,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C khác A Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt By D a Chứng minh rằng: AB 4 AC.BD b Kẻ OM vng góc với CD M Gọi K trung điểm CD Chứng minh KOD cân K , từ suy DB DM c Tìm vị trí C tia Ax , để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Cho tam giác ABC vuông A Hai tia phân giác BD CE cắt O BD CE  2 Chứng minh BO CO Bài 5: (3,0 điểm) 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 a2 b2 c2     Chứng minh  2bc  2ca  2ab Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Hình vng có 3x3 chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột, đường chéo.1-0 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH Năm học: 2020-2021 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm)   a  1  2a  a  a  4a M    : a  a  4a a  a        Cho biểu thức Rút gọn M Tìm giá trị a để M đạt giá trị lớn Lời giải Diều kiện a 0, a 1   a  1  2a  a  a3  4a M    : a3  a   4a  3a   a  1   a  1  2a  4a  4a  M     2  a  a   a  1  a  a  1 a  1 a  a    a  1 M   2a  4a  a  a   a  1  a  a  1 4a  a 4 M a3  3a  3a    2a  4a  a  a  4a  a 4  a  1  a  a  1 M a  4a 4a   a  a 4 a 4 a     a  4a    a  2  4a M  1  a 4 a2  a 4 Ta có  a  2 2 Vì a  0 với a nên  a  2 1  a  2 a2  1 với a 2 Dấu " " xảy a  0  a 2 với a Vậy giá trị lớn M a 2 Bài 2: (3,0 điểm) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh: n  n chia hết cho 24 2 Tìm số tự nhiên n để n  4n  2013 số phương Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Ta có: Vì n3  n n  n  1  n  1 n,  n  1 ,  n  1 Do ba số tự nhiên liên tiếp nên có số ba số chia hết cho n3  n3  1 Vì n số tự nhiên lẻ nên n  n  hai số tự nhiên chẵn lên tiếp Do  n  1  n 1 8   Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với     suy n  n 24 Giả sử Suy  n  4n  2013 m ,  m  N n    2009 m  m   n   2009   m  n    m  n   2009 Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m  n   m  n  nên có trường hợp sau xảy ra:  m  n  2009   + Trường hợp 1:  m  n  1  m 1005   n 1002 m  n  287 m 147   n 138 + Trường hợp 2: m  n  7 m  n  49   m  n   41  + Trường hợp 3:  m 45   n 2 Vậy số cần tìm là: 1002,138, Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình sau x   x  3x    x  P  x  x  1  x   biết đa thức P  x  Tìm phần dư phép chia đa thức cho  x  1 dư , chia cho  x   dư chia cho Lời giải x   x  3x    x  1 x  Th1: Nếu phương trình cho trở thành:  x  1  x  3x   x3  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com   x  1  x  3x   x  x  1 0  x  0   x 1 tháa m·n     x  1  x   0  x  0  x 4  tháa m·n  Th2: Nếu x  phương trình cho trở thành:   x  1  x  x    x3     x  1  x  x   0  x  0     x  1  x  1  x  3 0  x  0  x 1 kh«ng tháa m·n    x   tháa m·n  Vậy phương trình có ba nghiệm: x 1; x  3; x 4 P  x x  1  x    x  x  2 Do  đa thức bậc hai nên phần dư phép chia cho  x  1  x   đa thức có bậc nhỏ ax  b  a, b  R  Giả sử phần dư cần tìm Từ giả thiết toán: Tồn đa thức Q1  x  , Q2  x  , Q3  x  thỏa mãn:  P  x  Q1  x   x  1  x    ax  b   P  x  Q2  x   x  1    P  x  Q3  x   x    Xét P  1 7 a  b; P    1  2a  b  a  b 7     2a  b 1 từ ta có hệ phương trình:  a 2   b 5 Vậy phần dư cần tìm là: x  Bài 4: (7,0 điểm) Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C khác A Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt By D a) Chứng minh rằng: AB 4 AC BD b) Kẻ OM vuông góc với CD M Gọi K trung điểm CD Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Chứng minh KOD cân K , từ suy DB DM c) Tìm vị trí C tia Ax, để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Cho tam giác ABC vuông A Hai tia phân giác BD CE cắt O BD CE  2 Chứng minh BO CO Lời giải y x D K M C H A O B a) Xét tam giác ACO , tam giác ACO có :   OAC OBD 90 AOC ODB   cïng phơ víi BOD         ACO ∽ BOD  g g  OA AC   OA.OB  AC.BD BD OB  2OA.2OB 4 AC.BD  AB AB 4 AC.BD  AB 4 AC.BD b) Dựng HK  OD nên HK / / OC suy H trung điểm OD Ta có KHO KHD  c.g c   KO KD Do KHD cân K     KOD BDO  so le  Từ KOD KDO mà   Nên KOD BDO  ODM ODB Vậy DB DM c) Theo chứng minh ta có ODM ODB  OM OB OA nên COM COA Suy SCOM SCOA ; SOBD  SCOD  S ABDC  S ABDC 2 SCOD SOMD Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com 1 AB SCOD  OM CD  OA.CD   CD 2 2 Ta có Do S ABDC nhỏ SCOD nhỏ SCOD nhỏ CD nhỏ Lại có CD  AB AB S Nên ABDC CD / / AB cách AB khoảng B E O A C D Đặt BC a, CA b, AB c ) DC BC a DC  DA a  c bc      DA  DA c a c Theo tính chất phân giác ta có DA BA c Xét ABD có OA phân giác Ta có : DO DA DO b DB a  b  c       1 BO BA BO a  c BO a c CE a  b  c   2 a b Chứng minh tương tự : OC Từ  1   suy  a  b  c DO CE   BO CO  a  c   a  b  2 Mà ABC vng A nên theo Pitago có: c  b a Như  a  b  c   a  b  c  2ab  2bc  2ac   a  ab  bc  ca  2 ®pcm   a  ab  bc  ca a  ab  bc  ca  a  c  a  b Bài 5: (3,0 điểm) 2 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com a2 b2 c2     Chứng minh  2bc  2ca  2ab Hình vng có 3x3 chứa số mà tổng số hàng, cột, đường chéo gọi hình vng kỳ diệu Chứng minh số tâm hình vng kỳ diệu trung bình cộng hai số cịn lại hàng, cột, đường chéo Lời giải 2 Sử dụng bất đẳng thức x  y 2 xy Ta có: a2 b2 c2 a2 b2 c2       2bc  2ca  2ab  b  c  c  a  a  b a2 b2 c2 a2 b2 c2       b2  c2  c  a  a  b2  a 2  b2  c a2 b2 c2 a2 b2 c2       b2  c2  c2  a2  a  b2  a 2  b2  c2 1        2   2 a 2 b 2 c  1 9     2 2 2 2 b 2 c 6 a  b  c Lại có:  a a2 b2 c2     Kết hợp lại ta được:  2bc  2ca  2ab a b c  Dấu đẳng thức xảy Giả sử hình vng kỳ diệu điền số a, b, c, d , e, f , g , h, i hình vẽ a b c d e f g h i Đặt S a  b  c  d  e  f  g  h  i Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com S  1 Suy 4S 4S S  d  e  f    b  e  h    a  e  i    c  e  g    S  3e   e    3 2S 1   d  f b  h a  i c  g  2e  ®pcm    Từ d  e  f b  e  h a  e  i c  e  g  = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN