Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 33 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
33
Dung lượng
1,37 MB
Nội dung
Chuyên đề : ĐA THỨC HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Tỉnh, thành phố HSG Thanh Trì Năm học Tỉnh, thành phố 2018-2019; HSG Hà Trung Thanh Hóa Năm học 2020-2021 HSG Kiến Xương HSG TP Tiền Hải HSG Yên Dũng HSG Hưng Hà 2019-2020 2018-2019 2017-2018 2019-2020 2018-2019; 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 HSG Như Xuân 2019-2020 2017-2018; HSG TP Sầm Sơn Thanh Hóa HSG Chương Mỹ HSG Quốc Oai 2020-2021 2018-2019 2016-2017 HSG Quế Võ Bắc Ninh HSG Gia Lâm HSG Cẩm Thủy Thanh Hóa HSG Nga Sơn Thanh Hóa HSG Đơng Hưng Tỉnh Bắc Ninh HSG Than Uyên HSG TP Bến Tre HSG TP Bắc Giang HSG Quan Hịa HSG Thái Thụy Thái Bình HSG Quế Võ Bắc Ninh HSG Diễn Châu HSG Tam Dương HSG Nho Quan Ninh Bình 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 2020-2021 Bài 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A Các kiến thức cần nhớ Giả sử f ( x) g ( x) đa thức bậc f ( x) lớn bậc g ( x) Khi ln tồn đa thức q( x) r ( x) , thỏa mãn f ( x) g x q x r x Trong đó: Bậc r ( x) nhỏ bậc g ( x) Nếu r x 0 ta nói f ( x) chia hết cho g ( x) Xét phép chia đa thức f ( x) cho đa thức bậc x a f ( x ) x a q x r Cho x a f a r Kết luận: Phần dư phép chia đa thức f ( x) cho x a số f a - Nếu f a 0 hay x a nghiệm đa thức f ( x) f ( x) chia hết cho x a Định lý Bơ Đu: Số dư phép chia đa thức f ( x) cho nhị thức x a giá trị f ( x) x a f ( x)( x a) f (a) 0 Ví dụ: Khơng đặt tính chia, xét xem đa thức A x x x 16 có chia hết cho x ; x hay không? Lời giải Ta có f ( 1) 0 AB ; f (3) 20 0 A C Chú ý: +) Nếu f ( x) có tổng hệ số chia hết cho x +) Nếu f ( x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ chia hết cho x n n +) a b chia hết cho x b a b n n +) a b ( n lẻ) chia hết cho a b a b n n n n n n n +) a b (a b)(a a b a b ab b ) n n n n n n n +) a b (a b)(a a b a b ab b ) B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức (Xét đa thức biến) Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có thừa số đa thức chia f ( x )g ( x) f ( x) g ( x ).h( x) f ( x )h( x ) Nếu Bài 1: Chứng minh a f ( x) 8 x x 1g ( x) ( x 1) 99 98 b f ( x) x x x 1; g ( x) x x x x 8n 4n 2n n c f ( x) x x 1; g ( x) x x 100 20 40 20 d f ( x) x x 1; g ( x) x x 10 e f ( x) x 10 x 9; g ( x) ( x 1) Lời giải f ( x ) 8 x x8 8 x x8 8( x 1) 9( x8 1) 8( x 1)( x8 x 1) Ta có a 9( x 1)( x x x 1) ( x 1)(8 x8 x x 1) Cách 1: Ta có x x x có tổng hệ số = ( x 1) f ( x)( x 1) Cách 2: ( x 1)(8 x8 x7 x 1) ( x 1)(8 x8 x x x x 1) ( x 1) (8 x x x 1) ( x 1) b f ( x) x 99 x 98 x ( x 99 x 95 ) ( x x x 1) ( x 1)( x 95 x 90 x 1) g ( x) 100 20 Cách 2: Ta có ( x 1) f ( x) x [( x ) 1](x 1) ( x 1).g ( x) f ( x) g ( x) c Ta có f ( x ) x8 n x n ( x n ) 2.x n x n ( x n 1) ( x n ) ( x n x n 1)( x n x n 1) 4n 2n 2n n 2n n Lại có: x x ( x x 1)( x x 1) f ( x) g ( x) 20 d Đặt t x f (t ) t t 1; g (t ) t t 2 2 Ta có: f (t ) t t t t t (t 1) (t t 1) (t t 1)(t t 1) f ( x) g ( x ) e f ( x) ( x10 1) (10 x 10) ( x 1)( x9 x8 x 10) ( x 1)[ x9 1 ( x 1)] = x 1 ( x8 x x 9) f ( x) g ( x) Bài 2: HSG Thanh Trì, năm học 2019 - 2020 3 Chứng minh x x 5ax 4bx c chia hết cho x 3x x a b c 0 Lời giải Ta có: x x3 5ax 4bx c x3 3x x x m x (m 3) x (3m 9) x (9m 3) x 3m Suy ra: m m 3m 5a a 9m 4b b 15 c 3m c 21 Vậy a b c 0 Cách 2: Biến đổi đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia Nếu f x g x h x k x , mà g ( x )q ( x ) h( x )q ( x ) f ( x ) q( x ) k ( x )q ( x ) Bài 3: Chứng minh 50 10 20 10 a f ( x) x x 1g ( x) x x 199 27 2 b f ( x) x x x g ( x) x x 99 88 11 c f ( x) x x x 1; g ( x) x x x 3m 1 3m 2 d f ( x) x x 1; g ( x) x x 1n N 6m 4 n 2 e f ( x) x x 1; g ( x) x x 1m.n N Lời giải 50 10 50 20 20 10 a f ( x) x x ( x x ) ( x x 1) 50 20 20 30 20 10 20 10 20 10 Lại có: x x x ( x 1) x [(x ) 1] x ( x 1)( x x 1) f ( x)g ( x) b f ( x ) x199 x 27 x x199 x x 27 x x x199 x x 27 ( x x 1) x( x1998 1) ( x 27 1) g ( x ) x[(x 999 ) 1] ( x )9 g ( x) x( x999 1)( x 999 1) ( x )9 g ( x) f ( x) g ( x) x999 1 x3 1 x3 1 10 c Ta có: ( x 1).g ( x) x f ( x) x 99 x88 x11 ( x99 x ) ( x88 8) ( x11 x ) x x x x9 ( x90 1) x8 ( x80 1) x( x10 1) g ( x) x [(x10 )9 1] x8 [(x10 )8 1] x( x10 1) g ( x) x10 x10 x10 f ( x)g ( x) m 1 3m 2 m 1 m 2 2 d Ta có f ( x) x x ( x x) ( x x ) ( x x 1) x 3m1 x x( x 3m 1) x[(x3 ) m 1]x3 ( x 1)( x x 1) x 3m 2 x x ( x 3m 1) x [(x ) m 1]x ( x 1)( x x 1) f ( x)g ( x) m 4 x n 2 x m 4 x x n 2 x x x e f ( x ) x x [(x ) m 1] x [(x ) n 1] ( x x 1) x6 x6 x ( x3 ) ( x3 1)( x3 1); x x ( x x 1)( x x 1) f ( x) g ( x) x x 1 x x 1 Cách 3: Sử dụng phép biến đổi tương đương Muốn chứng minh f ( x) chia hết cho g ( x) ta chứng minh f ( x) g ( x)g ( x) f ( x) g ( x)g ( x) f ( x) g ( x) Bài 4: 99 88 11 Chứng minh f ( x) x x x 1g ( x) x x x Lời giải: Ta có: f ( x ) g ( x) x 99 ( x 90 1) x ( x 80 1) x( x10 1) x10 x10 x10 10 Mà x ( x 1)( x x x x 1) f ( x) g ( x)g ( x) Lại có: g ( x) g ( x) f ( x)g ( x) Cách 4: Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia - Cách áp dụng với tốn mà đa thức chia dễ tìm nghiệm Bài 5: Chứng minh 10 10 a [f ( x) ( x x 1) ( x x 1) 2]g ( x) x x 2n 2n b f ( x) ( x 1) x x 1; g ( x) x( x 1)(2 x 1)n N 2n 2n * c f ( x) ( x 2) ( x 3) 1g ( x) x x 6n N 1945 d f ( x) x x x g ( x) x x Lời giải: x 0 g ( x) 0 x x 0 x 2 a Vậy g ( x) có hai nghiệm x 0; x 2 f (1) 0; f (0) 0 f ( x) ( x 1); f ( x) x , mà x x không chứa nhân tử chung 1 1 g ( x ) 0 x 0; 1; ; f (0) 0; f ( 1) 0; f ( ) 0 f ( x) g ( x) 2 b c g ( x) 0 x 2;3 ; f (2) f (3) 0 f ( x) g ( x) 1945 1945 d Ta có: f ( x) x x x x x ( x 1) ( x x) x x 1x x 1(1); x [( x )3 1]( x 1)x x 1(2); x1945 x x ( x1944 1) x có nghiệm x 1 Từ (1)(2)(3) ta có f x chia hết cho g x Bài 6: HSG Kiến Xương, năm học 2018 - 2019 Chứng minh f ( x) x x 1 2018 x x 1 2019 2 chia hết cho g ( x) x x Lời giải Đa thức g x x x x x 1 có hai nghiệm x 0 x 1 Ta có f 1 2018 12019 0 x 0 f 1 12 1 2018 12 1 2019 nghiệm đa thức f x f x chứa thừa số x 0 Ta có x 1 nghiệm đa thức f ( x) f ( x ) chứa thừa số x mà thừa số x x – khơng chứa nhân tử chung, f ( x ) chia hết cho x x 1 Vậy f ( x) x x 1 2018 x x 1 2019 2 chia hết cho g ( x) x x Bài 7: HSG Gia Lâm, năm học 2020 - 2021 Chứng minh đa thức A x x x 1 2020 x x 1 2020 2 chia hết cho đa thức B x x Lời giải Chứng minh đa thức A x x x 1 2020 x x 1 2020 2 chia hết cho đa thức B x x Ta thấy đa thức B x x có nghiệm x 1 Mà A 1 12 1 2020 12 1 2019 0 nên đa thức A x phải có nhân tử x Vậy nên đa thức A x chia hết cho đa thức B x Bài 2: PHẦN DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC A Tìm dư phép chia đa thức mà không thực phép chia Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia dư Bài 1: Tìm dư phép chia a f ( x) x x x 1; g ( x ) x 27 b f ( x) x x x x; g ( x ) x 41 c f ( x) x ; g ( x) x Lời giải 5 3 2 a f ( x) ( x x ) (2 x x ) (3x 3x) (3x 1) x ( x 1) x ( x 1) 3x( x 1) 3x 1 Vậy đa thức dư 3x 27 13 b f ( x) ( x x) ( x x) ( x x) x x [ (x ) 1] x [ (x ) 1] x( x 1) x , Vậy dư 4x c f ( x ) x 41 ( x 41 x) x x[( x )10 1] x x 1 x2 1 Vậy dư x Bài 2: Tìm dư phép chia 43 a f ( x) x ; g ( x) x 100 99 b f ( x) x x x 1; g ( x) x x 100 90 10 c f ( x) x x x 1; g ( x) x x Lời giải a b f ( x ) x 43 ( x 43 x) x x[(x ) 21 1] x x 1 Vậy dư x f ( x ) x100 x 99 x ( x100 x 99 x 98 ) ( x 1) ( x x 1)( x 98 x 95 x ) x du ( x x 1) 100 90 10 100 90 80 70 60 c f ( x ) x x x ( x x) ( x 1) ( x x ) ( x x ) ( x 1) ( x 50 x ) ( x 40 x) ( x 30 1) ( x 20 x ) ( x10 x) x x x[(x )33 1] [(x )15 1] x [(x )13 1] x[(x3 )33 1] 3( x x 1) x du Bài 3: Tìm dư phép chia 100 99 a f ( x) x x x 1; g ( x) ( x 1)( x 1) 10 b f ( x) x x x 1; g ( x) x x Lời giải a) Ta có g x có 101 số hạng, nhóm số hạng, dư 10 10 b) Ta có: f ( x) x x x ( x x) ( x 1) ( x x ) ( x x) ( x 1) ( x x ) ( x x) ( x3 1) x du Vậy đa thức dư x Bài 4: Tìm dư phép chia f x x x x x 2008; g x x 10 x 21 Lời giải Ta có f x x x x x 2008 x 10 x 16 x 10 x 24 2008 t x 10 x 21(t 3; t 7) P(t ) t 2t 1993 du Đặt Bài 5: HSG Yên Dũng, năm học 2019 - 2020 Tìm số dư phép chia x 3 x 5 x x 2035 cho x 12 x 30 Lời giải Ta có x 3 x x x 2035 x 12 x 27 x 12 x 35 2035 Đặt x 12 x 30 t , ta có x 3 x x x 2035 t 3 t 5 2035 t 2t 15 2035 t (t 2) 2020 x 3 x x x 2035 x 12 x 30 x 12 x 32 2020 Do = Vậy số dư phép chia x 3 x x x 2035 cho x 12 x 30 2020 Bài 6: HSG Quế Võ, năm học 2020 - 2021 Cho đa thức P ( x) x x 10 x 15 x 20 2016 thức x 25 x 120 Lời giải Ta có: P( x) x 5 x 10 x 15 x 20 2016 P( x) x x 20 x 10 x 15 2016 P ( x) x 25 x 100 x 25 x 150 2016 P ( x) x 25 x 120 20 x 25 x 120 30 2016 Đặt t x 25 x 120 P( x) t 20 t 30 2016 P( x) t 10t 60 2016 P ( x) t 10t 1956 P( x) chia cho x 25 x 120 có số dư 1956 10 Tìm số dư phép chia P x cho đa Đa thức f x chia cho x dư chia cho x dư x Tìm phần dư chia f x cho x 1 x 1 Lời giải Ta có: f x x 1 A x 1 f x x 1 B x x 2 f x x 1 x 1 C x ax bx c 3 x 1 x 1 C x a x 1 bx c a x 1 C x x 1 a bx c a b 2 Từ (1) (2) suy ra: c a 3 (5) Cho x từ (1) suy ra: f x từ (3) suy ra: f 1 a b c a b c 4 a c 6 (6) c ,a 2 Từ (5) (6) suy ra: x 1 x 1 Vậy chia f(x) cho dư x 2x 2 Bài 15: HSG TP Bến Tre, năm học 2020 - 2021 Tìm đa thức f x biết f x chia cho x dư 7, f x chia cho x dư 3, f x chia cho x thương 2x dư Lời giải 2 Đặt biểu thức dư phép chia f x cho x ax b Vì f x chia cho x thương f ( x ) x ax b 2x nên (1) Vì f x chia cho x dư f x x 3 A x ( A x đa thức) f 3 7 2 Vì f x chia cho x dư f x x 3 B x ( B x đa thức) 19 f 3 3 3 Thay (2) vào (1) ta có: (3 9).2.3 3a b 3a b 7 Thay (3) vào (1) ta có: (( 3) 9).2.3 3a b 3a b 3 3a b b 3a b 7 a b 5 (*) 52 f ( x) ( x 9).2 x x 2 x x 5 3 Thay (*) vào (1) Bài 16: HSG TP Bắc Giang, năm học 2020 - 2021 Đa thức f ( x) chia cho x dư 4, chia cho x dư 3x Tìm đa thức dư chia f ( x ) cho x 1 x 1 Lời giải x 1 x 1 Ta có: f x chia cho đa thức có bậc f x x 1 x 1 chia cho đa thức có thương Q x đa thức dư ax bx c f x x 1 x 1 Q x ax bx c x 1 x 1 Q x a x 1 bx c a x 1 Q x a x 1 bx c a f x chia x 1 dư f 1 4 a b c 4 1 b 3 3x (2) f x c a 5 chia x dư Từ (1) (2) a suy b 3 c 3 20