UBND THỊ XÃ PHÚ THỌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ, NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn - Vịng (Thời gian làm 150 phút, khơng kể giao đề) Đề có 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI (Học sinh làm vào tờ giấy thi) A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn chữ đứng trước phương án trả lời Câu Cho x a a 1 y 2 a ; a ; a 1 khẳng định sau đúng? A x y B x y C x y D x y Câu Cho x Tính giá trị biểu thức x 16 x ? A 23 B 14 C 25 D 32 Câu Cho đường thẳng d : y (m 1) x m Khoảng cách lớn từ điểm A 4;5 đến đường thẳng d A B C D x my 1 Câu Cho hệ phương trình mx y 2 ( m tham số) Trong trường hợp hệ có nghiệm ( x; y) khẳng định sau ? x y x 2 y A x y D x y B C x y 4 y x 4 Câu Số nghiệm hệ phương trình A B C D Câu Cho đường thẳng d : x y 0 đường thẳng d ' : x y 0 tính góc tạo hai đường thẳng d d ' ? A 30 B 45 C 90 D 60 x y Câu Số nghiệm hệ phương trình y x A B C D Câu Tổng nghiệm nguyên phương trình x 21x 74 x 105x 50 0 A B C Trang 1/7 D Câu Cho M điểm tùy ý tam giác ABC , đường thẳng qua M trọng tâm G tam giác cắt đường thẳng BC , CA, AB D, E, F Tính MD ME MF ? GD GE GF A B C D Câu 10 Cho hình vng ABCD có chu vi 16 Trên cạnh BC lấy điểm E cho đường thẳng AE cắt đường thẳng DC F Tính A B 1 ? AE AF C D 16 Câu 11 Cho tam giác ABC có BC 6 cm, AC 4 cm; BAC 2 ABC Tính AB ? A cm B cm C cm D cm Câu 12 Cho tam giác ABC biết AB 11cm , AC 15cm BC 20cm Tính góc ABC ? (làm trịn đến độ) A 48 B 33 C 99 D 100 Câu 13 Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp đường tròn O; r Nghịch đảo tổng nghịch đảo ba đường cao B r A r C 3r Câu 14 Cho tam giác nhọn ABC trực tâm H Biết D 3r S ABHC S HBC Tính tan ABC.tan ACB ? B A C D O; R cho OA 2 R, qua A kẻ hai tiếp Câu 15 Cho điểm A nằm ngồi đường tṛịn tuyến AB, AC ( B, C tiếp điểm) Tính diện tích tam giác ABC theo R ? 2R 2R 3R 3R A B C D Câu 16 Một bạn siêu thị mua hàng có chương trình khuyến giảm giá 20%, có thẻ khách hàng thân thiết siêu thị nên bạn giảm thêm 2% giá giảm, bạn phải trả 196.000 đồng cho hàng Hỏi giá ban đầu hàng khơng khuyến nghìn đồng? A 245 B 250 C 255 D 260 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,5 điểm) a) Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp Tìm dư phép chia ab a b cho 192 2 b) Giải phương trình nghiệm nguyên 13 x y 2020 c) Chứng minh n 1 1 n 1 * n Trang 2/7 1 n2 n4 số vô tỉ với Câu 2: (3,0 điểm) 3 a) Giải phương trình x 2 x x 3x y - 2x = b) Giải hệ phương trình xy + 2x = Câu 3: (4,0 điểm) Cho hai đường tròn O; R đường tròn O '; R ' tiếp xúc A R R’ Vẽ hai dây AM đường tròn O AN đường tròn O’ cho AM AN a) Chứng minh OM song song với O’N b) Chứng minh MN qua điểm cố định c) Tính giá trị lớn diện tích tam giác AMN theo R; R ' Câu 4: (1,5 điểm) 2 2 2 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b b c c a 2020 tìm giá trị nhỏ biểu thức P a2 b2 c2 b c c a a b HẾT -(Học sinh không sử dụng tài liệu; cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi: Trang 3/7 UBND THỊ XÃ PHÚ THỌ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ, NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn - Vịng (Thời gian làm 150 phút, khơng kể giao đề) Đ/á có 03 trang Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lơgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Câu-ĐA 1-B 2-D 3-B 4-B 5-A 6-C 7-D 8-D Câu-ĐA 9-C 10-B 11-B 12-B 13-A 14-A 15-D 16-B II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài Nội dung a , b a) Cho hai số phương lẻ liên tiếp Tìm dư phép chia ab a b cho 192 a 2k 1 ; b 2k 1 Đặt 2 2 P ab a b 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 0,25 0,25 1a (1,5) P 4k 1 8k 16k (k 1)(k 1) Nếu k chẵn k chia hết cho 4; Nếu k lẻ ( k 1)( k 1) chia hết cho 16k (k 1)(k 1) chia hết cho 64 với k.(1) 0,25 k (k 1)(k 1) chia hết cho 16k (k 1)(k 1) chia hết cho với k.(2) Từ (1); (2) (64;3)=1 suy 16k (k 1)(k 1) chia hết cho 192 0,25 Vậy P 16k ( k 1)(k 1) chia 192 dư 191 0,25 2 b) Giải phương trình nghiệm nguyên 13 x y 2020 2 Giả sử phương trình có nghiệm ngun x, y từ 13 x y 2020 ta suy 1b (1,0) Điểm 0,25 0,25 x y x 2016 x Ta có số phương chia dư 0;1;2;4 2016 x x y x 2016 x hết xảy đẳng thức Vậy phương trình vơ nghiệm 0,25 Trang 4/7 2 không chia 0,25 0,25 c) Chứng minh n 1 1 n 1 1 n2 n4 số vô tỉ với 1c (1,0) n 1 1 n 1 2n Ta có 2n n n 0,25 x3 0,25 0,25 13 3.2 x x 2.1 ( ) x x 0 x x 1 Từ ta 3 Giải phương trình x x 0 x Giải phương trình x x 1 vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x 3x y - 2x = 1 xy + 2x = ta thấy x 0 không nghiệm phương trình, với x 0 ta có HPT 3y - 2x = x3 1 y + 2x = y y x x x y xy 1 x x 0 x 1 x 1 0 x thay vào (1) ta phương trình x 0 x Từ tìm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x x 1 0,25 y y 1 Vậy nghiệm hệ PT là: 0,25 0,25 a3 + b3 + c3 = 3abc Û ( a + b + c) a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca = 2b (1,5) n 2n n 2n n 2n n n 2 n 2n n 2n n 2n n 2n 2 4n 2 2n số vô tỷ với số tự nhiên n x 2 x x x 2a (1,5) n ; ; ; 1;1 ; 1; 1 ; Trang 5/7 0,25 Câu (4,0 điểm) M O; R đường Cho hai đường tròn O '; R ' tiếp xúc A R R’ Vẽ tròn O AN hai dây AM đường tròn O’ cho AM AN đường tròn 3a (1,0) 3b (1,5) N O a) Chứng minh OM song song với O’ N O OAM OMA 180 AOM 1 Có OA OM R OAM cân ' AN O ' NA 180 AO ' N O' O Có O ' A O ' N R ' O ' AN cân ' AN OAM O 180 90 90 3 Mặt khác 1 ; 3 AOM AO ' N 180 OM O ' N Từ b) Chứng minh MN qua điểm cố định Gọi S giao MN với OO’ ta chứng minh S điểm cố định O'N O'S OM O ' N OM SO R' O'S R O'S R R' O ' S R R ' R ' R.O ' S O ' S R R ' R ' R R ' O'S A O' 0,25 2 (1,5) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 R ' R R ' R R ' ) Vì O; O’ cố định; R>R’ O’S không đổi suy S điểm cố định c) Tính giá trị lớn diện tích tam giác AMN theo R; R ' 3c (1,5) s 0,25 Đặt OAM ; O ' AN 90 sin cos AM 2 AO.cos ; AN 2 AO '.cos 2 AO '.sin AM AN S AMN 2 RR '.cos sin 2 Mặt khác ta có 2.cos sin cos sin 1 S AMN RR ' Dấu “=” xảy 45 0,25 Vậy GTLN S AMN RR ' OAM 45 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a b b c c a 2020 tìm Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 P b c c a a b giá trị nhỏ biểu thức Đặt a b z 2 b c x c a y P Ta có x y z 2020 x2 y z x2 y2 z x2 y z a ; b ; c 2 a b z 2; b c x 2; a c y x2 y z x2 y2 z x2 y z x y z 2 Trang 6/7 0,25 0,25 P 1 2 x y z 2x y 2z 2 x y z 2 x y z Có: P x y z 1 ; x y z xyz x y z x y z 2 x yz 1010 2020 P 505 a b c x y z 2 3 hay Dấu”=” xảy 1010 a b c Vậy GTNN P 505 -Hết - Trang 7/7 0,25 0,25 0,25 0,25