PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG I NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn (Phần trắc nghiệm) Thời gian làm bài: 45 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Điểm thi Bằng số Bằng chữ SỐ PHÁCH Chữ ký giám khảo GK1……………………… GK2……………………… ĐỀ BÀI Đề thi có 02 trang, gồm 16 câu có nhiều lựa chọn Khoanh trịn vào trước câu trả lời a b + Câu Sau rút gọn biểu thức P a b - b a với a 0, b 0, a b là: ab-a ab-b A P = a - b B P = a +b C P = a b D P = a b Câu Cho x A 46 20 + 14 + 20 - 14 Giá trị biểu thức M = x – 6x : B 40 C 40 D 40 Câu Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 x 3 x 1 x 3 A.8 B C 18 D 12 Câu Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 2;3 ; B 4; ; C x;3 x Tính x để A ,B,C thẳng hàng A x 20 C B x 20 20 13 D 20 13 Câu Đường thẳng y = ax + b cắt trục tung điểm có tung độ – song song với đường thẳng OA, O gốc tọa độ A 3;1 Khi đó: A a 3; b B a ; b C a 2; b D a 2; b Câu Cho phương trình: x 2(m 1) x 2m 0 (1) (với ẩn x ) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huyền 12 A m B m C m 2 D m 1 m (2 a) x y 0 Câu Với giá trị a hệ phương trình vô nghiệm a x y 0 A a 0 B a 1 C a D a 3 Câu Giá trị nhỏ biểu thức A = A 2018 B 2017 x2 2x 2018 x2 C 2018 Trang 1/7 (với x 0 ) D 2017 2018 Câu ABC nội tiếp đường trịn đường kính BC = 10cm Cạnh AB=5cm, độ dài đường cao AH là: A 4cm B cm C cm D cm Câu 10 Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Từ A vẽ tiếp tuyến AB với đường tròn (B tiếp điểm) cát tuyến AMN đến (O), gọi I trung điểm MN Tích AM AN ? A 2R B AB C AO R D AI Câu 11 Cho tam giác ABC cân A, có BAC 450 AB = 2018cm Khi độ dài đoạn thẳng BC là: A 2018 (cm) B 4036 (cm) C 2018 (cm) D 2018 (cm) Câu 12 Cho tam giác MNP ngoại tiếp đường tròn bán kính 2cm Khi diện tích tam giác MNP là: C 12 cm2 D Là kết khác A 24 cm2 B 12 cm2 Câu 13 Cho biết cos sin m Tính P cos sin theo m, ta được: B P m C P m A p m2 Câu 14 Cho biết tg 750 2 Tìm sin150, ta được: A 2 B 2 2 C 2 D Là kết khác D 2 2 Câu 15 Cho tam giác ABC vng A có đường trịn nội tiếp (I; r) đường tròn ngoại tiếp (O; R) Biết AB = 30 cm, AC= 40 cm r R là: A 10 cm 50 cm B 15 cm 35 cm C 10 cm 25 cm D Là kết khác Câu 16 Để lựa chọn đội tuyển tổng số 99 học sinh 50 học sinh giỏi Tốn, 45 học sinh giỏi Văn, 48 học sinh giỏi Anh, 25 học sinh giỏi Toán Văn, 22 học sinh giỏi Toán Anh, 15 học sinh giỏi Văn Anh, học sinh khơng giỏi mơn môn Số học sinh giỏi ba môn là: A 44 B 93 C 12 D Là kết khác Hết - Trang 2/7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ PHÚ THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VÒNG I NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn (Phần tự luận) Thời gian làm bài: 90 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình sau tập số nguyên xy x y 83 b) Cho biểu thức: P a ( a a 1 a a ) với a 1 Chứng minh: P 0 Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình : x x x 22 x 1 x y - xy - = b) Giải hệ phương trình : 2 2 x + y = x y Câu (4,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Đường trịn (O; R) thay đổi qua B C cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC, E giao điểm MN BC, H giao điểm đường thẳng OI đường thẳng MN a) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh OI.OH = R c) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c ab bc ca a 2b b c c a Hết Họ tên Số báo danh Trang 3/7 PHÒNG GD&ĐT TX PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP VỊNG I NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN (HDC có 04 trang) HDC ĐỀ CHÍNH THỨC I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,5 điểm Câu Đáp án A B A Câu 10 11 Đáp án D B,C A II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) A 12 B B 13 A D 14 A B,C 15 C ĐÁP ÁN Câu a (1,5đ) a) Giải phương trình sau tập số nguyên xy x y 83 (3đ) Ta có: xy x y 83 x 1 y 1 167 b (1,5đ) P a ( a a a a 0,5 a a 1 a a ) a a 1 P a a a a a 1 0,5 0,5 P ( a 1) 0; a 1 Giải phương trình : x x x 22 x 1 x x x 22 x 1 x x 9x 22 x 1 0,75 );(a 1) Chứng minh P 0 P a ( (3đ) Điểm 0,75 x; y 83; , 0; 83 , 1; 84 , 84; 1 Cho biểu thức: D 16 C 0,75 2 2 a (1,5đ) x x x 1 22 x 1 Đặt x – = t; x = m ta có: m 9mt 22t 22t 9mt m 0 m m Giải phương trình ta t ; t 11 Với Trang 4/7 0,25 t m x2 ta có : x x 2x 11 0 vô nghiêm 2 m x2 Với t ta có : x x 11x 0 11 11 121 129 > phương trình có hai nghiệm 11 129 x1,2 0,25 0,25 x y - xy - = Giải hệ phương trình : 2 2 x + y = x y xy + Cã x y xy 0 xy 2 b (1,5đ) x 0 xy 1 + Gi¶i hƯ 2 y HPT v« nghiƯm x x y x x 1 x 0 xy 2 y x y + Gi¶i hƯ 2 x x y 4 x x 4 0,5 0,5 0,5 KÕt luËn hÖ cã hai nghiÖm: ( ; 2);( ; 2) (4đ) a (1,0đ) Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng theo thứ tự Đường trịn (O; R) thay đổi qua B C cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC, E giao điểm MN BC, H giao điểm đường thẳng OI đường thẳng MN a) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh OI.OH = R c) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Trang 5/7 H M E B A I C 0,25 F O N a) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I thuộc đường tròn Ta có: I trung điểm BC suy OI BC AIO 900 AM, AN tiếp tuyến AMO ANO 900 Suy A, M, N, I, O thuộc đường tròn Suy M, N, I, O thuộc đường tròn b) Chứng minh OI.OH = R Gọi F MN AO AFH AIH 900 AFIH tứ giác nội tiếp OFI OHA OFI đồng dạng với OHA OF OI = OI.OH = OF.OA (1) OH OA Tam giác AMO vng M có MF đường cao nên OF.OA = OM R (2) Từ (1) (2) suy OI.OH = R c) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Tam giác AMB đồng dạng với tam giác ACM AB.AC = AM 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 Tứ giác EFOI nội tiếp AE.AI = AF.AO = AM Suy AB.AC = AE.AI ; A, B, C, I cố định suy AE số Mặt khác E thuộc đoạn thẳng BC cố định nên điểm E cố định Vậy MN qua điểm E cố định 0,25 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 Trang 6/7 0,25 0,25 0,25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c (2đ) ab bc ca a 2b b c c a Ta có: 3(a2 + b2 + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 0,5 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 0,5 Suy ab bc ca a b2 c2 (a b2 c ) 2 P a b c 2(a b c ) P a b c 0,5 t = a2 + b2 + c2, với t Suy P t 9 t t t 3 4 P 2t 2t 2 2 a=b=c=1 Trang 7/7 0,5