Toan 9 tam nong (22 23)

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang ) ĐỀ CHÍNH THỨC I TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu Điều kiện xác định A x  1 x  B x  B 2024 A Câu Rút gọn A 2 A D x 1 x  19  y  10  z  2022  ( x  y  z  2048) giá trị Câu Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z là: A 2022 C x 1 C 2034 D 2054 x  x  2( x  3) x 3   x x  x 2  x ( x 0; x 9) kết x x 2 x x 2 A  B Câu Cho số thực a, b, c thỏa mãn: x 3 x 2 A 2 C A D 2 x x 2 a  b  c   5(ab  bc  ca )  abc 0 Giá trị biểu thức a  b3  c A 125 B P  125 Câu Cho a    ; b   A C P  375 125 P D  , f ( x) ( x  x  1) 2023 Khi giá trị f (a  b) B C  2023 D C  2022 D 2022 Câu Giá trị nhỏ P x  x  2022 A  2024 Câu Cho số thực B  2023 a 3 4 1 ,b 3   16 Khi giá trị biểu thức ( a  b )( a  b3 )( a  b )( a10  b10 )(( a  b)  3a  3b) A B C Toán - Trang 1/3 D Câu Giá trị x thỏa mãn x   x  0 A x 2 B x 1 C x  Câu Cho hình bình hành ABCD M trung điểm BC , AC cắt DM IC AC BD Tỉ số AO A B 3 C D x  I Gọi O giao D Câu 10 Cho hình thoi ABCD cạnh a , AC a M điểm đối xứng B qua D độ dài MC A 1,5a B 1,8a C a D 2a Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Độ dài cạnh tam giác ABC số 1   1 nguyên dương thỏa mãn AB AC AH Chu vi tam giác ABC A 24 (đvđd) B 12 (đvđd) C 10 (đvđd) D (đvđd) sin x  2cos x  M 0 3sin x  cos x Câu 12 Cho  x  90 sinx  2.cosx 0 giá trị biểu thức 11 10 M M M 13 13 13 A B C M 1 D  Câu 13 Cho tam giác ABC có A 120 , AD phân giác góc BAC ( D  BC ) 1   A AD AB AC 1   B 2AD AB AC 1   C AD AB AC 1   D AD AB AC Câu 14 Cho tam giác ABC vuông A, BC a  Đường cao AH HE  AB, HF  AC ( E  AB, F  AC ) , giá trị A 1,5a B a BE.BA  AC  AF AC C 1, 2a D 0,5a  Câu 15 Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H , M điểm đoạn AH cho BMC 90 S BMC S ABC S BHC S2 4S ABC S BHC B BMC A C S BMC 2S ABC S BHC D S BMC 9S ABC S BHC Câu 16 Một đồng hồ có kim dài 4cm kim phút dài 6cm Lúc 16 khoảng cách hai đầu kim Toán - Trang 2/3 A 19cm B 19cm 19 cm C 21 19cm D 10 II TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x b) Giải phương trình x   x   x  10  x   x   x  4 2  x   4( x  1)3 Câu (3,0 điểm) 2 a) Tìm x, y nguyên cho ( x  y )  x  3x  3 b) Tìm số nguyên dương x, y , z cho 2020 x  2023 y  4043z 0 x  y  z số nguyên tố Câu (4,0 điểm) Cho đoạn BC cố định lấy điểm A cho tam giác ABC vuông A kẻ AH vng góc BC Các tia Bx, Cy vng góc với BC (Bx, Cy thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A) O trung điểm BC, kẻ đường thẳng qua O vng góc với AB cắt tia Bx I Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với AC cắt tia Cy P Tia CA cắt tia Bx M, tia BA cắt tia Cy N, tia AH cắt MN K 1   2 AM AB ba điểm I , A, P thẳng hàng a) Chứng minh: BH b) Tia OM cắt BP J Chứng minh: BJ BP BO.BC c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác BKC A thay đổi nửa mặt phẳng bờ BC Câu (1,5 điểm) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz 2 Chứng minh rằng:  x   y   z   xy  yz  zx -Hết Tốn - Trang 3/3 Họ tên thí sinh:………………………………………… SBD:…………… Cán coi thi khơng giải thích thêm Tốn - Trang 4/3 PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TAM NÔNG HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HỤN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN (HDC có 05 trang ) I TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,5 điểm Câu Đáp án A D B A B C B A B 10 C 11 B 12 13 14 15 A D B A 16 B II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x b) Giải phương trình x   x   x  10  x   x   x  4 2  x   4( x  1)3 Nội dung x   x   x  10  x   x   x  4 a) Đk: x  PT   ( x   1)  ( x   3)  ( x   2) 4 x 1 1  x 1   x   0 0,25 Ta có: x 1 1   x 1  x 1 1   x  4 x   0  x 1 1  x 1   x   4 0,25 0,25 Dấu “=” xảy x=3 Toán - Trang 5/3 x b) 2  x   4( x  1)3  x  x  16  x  x  x 4( x  x  x  1)  x  x  16  x  x   12 x  12 x  x 0 0,5  x  x  x  x  20 0  ( x  2)( x  5)( x  x  2) 0 0,25  ( x  2)( x  5)( x  x  2) 0 0,5  x  0  x 2    x  0   x 5  x  x  0(VN ) 0,25 Vậy phương trình có tập nghiệm: 0,25 S  2;5 Câu (3,0 điểm) 2 a) Tìm x, y nguyên cho ( x  y )  x  3x  b) Tìm số nguyên dương nguyên tố x, y, z cho 2020 x  2023 y  4043z 0 x  y  z số Nội dung 2 a) ( x  y )  x  x   x  xy  y  x  x   xy  y 3x   x(2 y  3)  y 2  x(2 y  3)  y 8  x (2 y  3)  y    (2 y  3)(4 x  y  3)  Điểm 0,5 x,y nguyên nên 2y-3, 4x+2y+3 nguyên 0,5 0,5 Toán - Trang 6/3  2 y  1  4 x  y       2 y     4 x  y  1   y 2    x    y 1    x  0,5 Vậy phương trình có nghiệm ngun (x;y): (-2;2), (-1;1) 3 3 3 3 3 b) 2020 x  2023 y  4043z 0  2022( x  y  z )  3x  ( x  y  z ) 0 0,25 2022( x3  y  z ) 0(mod 3) 3x3 0(mod 3) 0(mod 3) 0,25  x3  y  z 0(mod 3) Ta lại có: a  a (a  1)a (a  1) 0(mod 3)  x  y  z  x  y  z (mod 3) x  y  z 0(mod 3)  x  y  z 0(mod 3) Mà x yz nguyên tố nên: x, y, z nguyên dương nên: 0,25 0,25 0,25 x  y  z 3 0,25 x  y  z 1 Câu (4,0 điểm) Cho đoạn BC cố định lấy điểm A cho tam giác ABC vng A kẻ AH vng góc BC Các tia Bx, Cy vng góc với BC (Bx, Cy thuộc nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A) O trung điểm BC, kẻ đường thẳng qua O vng góc với AB cắt tia Bx I Kẻ đường thẳng qua O vng góc với AC cắt tia Cy P Tia CA cắt tia Bx M, tia BA cắt tia Cy N, tia AH cắt MN K 1   2 AM AB ba điểm I , A, P thẳng hàng d) Chứng minh: BH e) Tia OM cắt BP J Chứng minh: BJ BP  BO.BC f) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác BKC A thay đổi nửa mặt phẳng bờ BC Toán - Trang 7/3 a) Kẻ AL vng góc với BM Ta chứng minh: HBLA hình chữ nhật   AL BH 1 1    2 AM AB AL AH Ta có ABC tam giác vuông; OB OC  OA OB OC OI trung trực AB; OP trung trực AC · · · ·  IAO IBO 900 ; PAO PCO 900 · ·  IAO  PAO 1800  I , A, P b) Ta có  thẳng hàng CMB : POC ( g g ) PC BC PC OC PC BC PC OB        BC MB BC : MB OB MB BC MB Xét tam giác MBO tam giác BCP có Tốn - Trang 8/3 PC OB  BC MB µ C µ 900 B  MBO : BCP ( g g ) · ·  MOB  BPC  BJO : BCP  BJ BO   BJ BP BO.BC BC BP AK NA  ( AK / / MB ) c, MB NB NA AC  ( MB / / NC ) NB CM AH AC  ( AH / / MB) MB CM AH AK   AH  AK MB MB S BKC BC  BC KH BC AH BC AO  2 Dấu “=” xảy H O  ABC vuông cân BC Vậy S BKC đạt GTLN Câu (1,5 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z xyz 2 Chứng minh :  x   y   z  xy  yz  zx Nội dung Điểm 1 a; b; c y z Đặt : x ( a, b, c  ) 0,25 x  y  z xyz  ab  bc  ca 1 Toán - Trang 9/3 xy  yz  zx  1 1 1 a a b b c c   (   )(ab  bc  ca ) 3  (      ) ab bc ca ab bc ca b c c a a b 0,25 a 1 a  ab  bc  ca   a2 a2 a2 b c  1  (a  b)(a  c) b c a 1  ( b  c ) (1)   (1  )(1  )  a a a a 2 a a  x2   c a  y 1  (  ) (2) b b Tương tự : a b  z 1  (  ) (3) c c 0,5 Từ (1),(2),(3) : a a b b c c  x   y   z  6  (      ) b c c a a b Ta chứng minh : a a b b c c a a b b c c  (      ) 6  (      ) b c c a a b b c c a a b a a b b c c  (      ) 3 b c c a a b a a b b c c       6 (4) b c c a a b Theo bất đẳng thức Cau-chy : a a b b c c a b a c b c      (  )  (  )  (  ) 2   6 b c c a a b b a c a c b Dấu = xảy a=b=c  Bất đẳng thức (4) a a b b c c   x   y   z  6  (      ) b c c a a b a a b b c c 3  (      )  xy  yz  zx b c c a a b Toán - Trang 10/3 0,5 Dấu = xảy a=b=c  x  y  z  Toán - Trang 11/3