Cđ 4 chia hết của đa thức

CHUYÊN ĐỀ: CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC A LÝ THUYẾT Định nghĩa: - Cho A B hai đa thức ( B 0) , Khi tồn cặp hai đa thức P R cho: A B.Q  R , Trong đó: R 0 bậc R nhỏ bậc B Q đa thức thương, R dư - Nếu R = phép chia A cho B phép chia hết Mở rộng: - Có thể dử dụng thêm phương pháp: a3  b3 :  a  b  a  ab  b a  b :  a  b  a  b + Sử dụng đẳng thức: + Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm + Sử dụng định lý: Bơzu Lược đồ Horner     B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ Định nghĩa: - Định lý Bơ-zu: ” Dư phép chia f(x) cho nhị thức bậc x - a số có giá trị f(a)” Hệ quả: - Nếu a nghiệm đa thức f  x f  x   x  a  f  x  3x  x  x  Bài 1: Không thực phép chia, xét xem, có chia hết cho x-2 khơng, có chia hết cho x+2 không? HD: f  x  3x  x  x  Theo định lý Bơ- zu dư chia cho nhị thức bậc x - f   2.2  2.2  9.2  0 f  x   x   có giá trị là: Vậy Tương tự: f  x  3x  x  x  Số dư chia cho x + có giá trị là: f    2              Vậy   x  2 f  x  Bài 2: Tìm số a để x  x  x  a x  HD: f  x  2 x  3x  x  a Theo định lý Bơ- zu dư chia cho nhị thức bậc x+2, f    2     3.4   a a  22 có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x+2 a-22=0 hay a=22 Bài 3: Tìm hế số a để: x  x  a x  HD: f  x  4 x  x  a Theo định lý Bơzu dư chia cho nhị thức bậc x - 3, f  3 4.9  6.3  a a  18 có giá trị là: Để f(x) chia hết cho x - a + 18 = hay a = -18 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 4: Tìm hế số a để: x  x  a x  HD: f  x  2 x  x  a Theo định lý Bơzu dư chia cho nhị thức bậc x + 3, có giá trị f   3 2.9   a a  15 là: Để f(x) chia hết cho x + a + 15 = hay a = -15 Bài 5: Tìm hế số a để: 10 x  x  a 2 x  HD: 10 x  x  a  x    x     a 12  Hạ phép chia ta có: Để 10 x  x  a 2 x   a  12 0  a  12 Bài 6: Tìm hế số a để: x  ax  1: x  dư HD : Theo định lý Bơzu ta có : f  x  2 x  ax  f  3 2.9  3a  3a  19 Dư , chia cho x - Để có số dư 3a  19 4  3a  15  a  5 Bài 7: Tìm hế số a để: ax  x  9x  HD : Theo định lý Bơ- Zu ta có : f  x  ax  x  f  1 a   a  Dư , chia cho x - Để có phép chia hết a  0  a 4 Bài 8: Tìm hế số a để: x  26 x  a 2 x  HD : x  26 x  a  x  3  x    a  21 Hạ phép chia ta có: Để x  26 x  a 2 x   a  21 0  a 21 2 Bài 9: Tìm hế số a để: x  x  x  x  a x  x  HD : Hạ phép chia đồng nhất, ta có: x  x3  x  x  a  x  x    x  1  a  Để phép chia phép chia hết a - = hay a = Bài 10: Tìm hế số a, b để: x  ax  b x  x  HD : Hạ phép chia ta có: x  ax  b  x  x    x  1   a  3 x  b  Để phép chia hết a + 3=0 b-2 =0 hay a=-3 b=2 2 Bài 11: Tìm hế số a để: x  ax  4x  x  HD : Hạ phép chia ta có : x  ax   x  x    x  a     12  4a  x  12  4a Để phép chia hết 12-4a=0 hay a=3 Bài 12: Tìm hế số a để: x  ax  bx  HD :  x  ax  bx   4 x  ax  bx  x  ax  b  x  Để  Áp dụng định Bơzu ta có: Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com f  x   x  ax  b  f   16  2a  b 0 f    16  2a  b 0 Và: Giải hệ ta a = b = -16 Bài 13: Tìm hế số a để: x  ax  bx  1x  HD :  x  ax  bx  1x    4 x  ax  bx  1x  x  ax  bx   x  Để  f  x  x  ax  bx   f  1 1  a  b  0 Áp dụng định Bơzu ta có: f   1 1  a  b  0 Và: , Giải hệ ta a tùy ý b = - a x  ax  b  x  2x  Bài 14: Tìm hế số a để: HD : x  ax  b  x  x    x     a  b  x  b  Hạ phép chia ta có : Để phép chia phép chia hết : a+b=0 b-4=0=> b=4 a=-4 2 Bài 15: Tìm hế số a để: x  ax  b x  x  HD : x  ax  b  x  x  1  x  x  a    a  1 x  a  b Hạ phép chia ta có : Để phép chia hết a-1=0 a-b=0=> a=b=1 2 Bài 16: Tìm hế số a để: ax  bx  x  50x  3x  10 HD : Hạ phép chia ta có : ax  bx  x  50  x  3x  10   ax  3a  b    a  3b   x   30a  10b  50  Để phép chia hết a+3b+5=0 30a-10b+50=0 ax  bx  1 x  1 Bài 17: Tìm hế số a để: HD : Hạ phép chia ta có : ax  bx   x  x  1  a.x   2a  b  x   3a  2b     8a  5b  x   3a  2b  1 Để phép chia hết : 8a + 5b = 3a + 2b - 1=0 x  4 x  ax  b  Bài 18: Tìm hế số a để: HD : x   x  x    x  x   Tách: Vậy b = a = a = -2 2 Bài 19: Tìm hế số m để: x  3x  x  x  m x  x  HD : x  3x  x  x  m  x  x  1  x  x  3  m  Ta có: Để phép chia hết m – = => m = Bài 20: Tìm hế số a để: 10 x  x  a 2 x  HD : 10 x  x  a  x    x    a  12 Hạ phép chia ta có: Để phép chia hết a + 12 = hay a = -12 Bài 21: Tìm hế số a để: x  ax  4x  HD : Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư f    2.16  4a  28  4a f  x  2 x  a.x  chia cho x + là: Để phép chia hết 28 - 4a = => a = 2 Bài 22: Tìm hế số a để: x  ax  x  3x  x  HD : x  a.x  x   x  x    x   a      2a   x  3a  Hạ phép chia ta có: Để phép chia hết -3a - = => a = -1 x  ax  5a  x  2a Bài 23: Tìm hế số a để: HD : f  x  x  a.x  5a  chia cho x + 2a là: Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư 1 1 f   2a  4a  2a  5a  a  a  0  a  4 , Để phép chia hết 27 81 Bài 24: Tìm số dư x  x  x  x  x chia cho x - HD : P  x   x  1   x  1   x9  1   x 27  1   x 81  1  Ta có : nên số dư 27 81 Bài 25: Tìm số dư : x  x  x  x  x chia cho x  HD : P  x   x3  x    x  x    x 27  x    x 81  1  x Ta có : => Dư 5x 25 49 81 P  x  1  x  x  x  x  x Bài 26: Xác định dư của: chia cho x  x HD : P  x   x  x    x 25  x    x 49  x    x 81  x   5x  = x  x8  1  x  x 24  1  x  x 48  1  x  x80  1  x  , Vậy số dư : 5x - Bài 27: Tìm n nguyên để: 3n  10n  53n  HD : 3n3  10n   3n  1  n  3n  1  Hạ phép chia ta có : 3n3  10n  53n   43n   3n  1 U    1; 2; 4 Để Bài 28: Tìm n nguyên để 2n  n  22n  HD : 2n  n   2n  1  n  1  Hạ phép chia ta có : 2n  n  22n   32n   2n  1 U  3  1; 3 Để : Bài 29: Tìm số x nguyên để x  x  x 2 x  HD : x  x  x  x  1  x  x  3  Hạ phép chia ta có : x  x  x 2 x   32 x   x   U    1; 3 Để Bài 30: Tìm số x nguyên để: x  x  x  83x  HD : f  x  4 x3  x  x  83 Theo định Bơ zụ dư , chia cho x-3 : Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com x  x  x  83x   x   U    1; 2; 4 Để Bài 31: Tìm số x nguyên để: 4n  4n  n  42n  HD : 4n3  4n  n   2n  1  2n  3n  1  Hạ phép chia ta có : 4n3  4n  n  42n   32n 1  2n   U    1; 3 Để Bài 32: Tìm số x nguyên để: 8n  4n  12n  HD : 8n  4n   2n  1  4n    Hạ phép chia ta có : 8n  4n  12n   52n   2n  U    1; 5 Để f  3 4.27  3.9  2.3  83 4 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 33: Tìm số x nguyên để: 3n  8n  15n  63n  HD : 3n3  8n  15n   3n  1  n  3n    Hạ phép chia ta có : 3n3  8n  15n  63n   23n   3n  1 U    1; 2 Để Bài 34: Tìm số x nguyên để: 4n  2n  6n  52n  HD : 4n3  2n  6n   2n  1  2n  3  Hạ phép chia ta có : 4n3  2n  6n  52n   22n   2n   U    1; 2 Để Bài tập chưa làm : Bài 1: Tìm phần dư phép chia a, x  f  x  x 2012  x 2011  cho đa thức : b, x  x  HD: Bài 2: Cho đa thức: P ( x) x  x  x  40 x  m  1979 a, Tìm m cho P(x) chia hết cho x-2 b, Với m tìm được, giải thích phương trình P(x)=0 HD: Bài 3: Tìm số nguyên n cho: 3n  10n  chia hết cho 3n  HD: Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Dạng 2: TÌM ĐA THỨC Bài 1: Tìm a, b cho HD : f  x  x  ax  b , chia cho x + dư 7, chia cho x - dư -5 f  x   x  1 A  x    a  b   Theo ta có: f  x   x  3 B  x   , Cho x = -1, x = 3=> 3a  b  32 2 Bài 2: Tìm số a, b, c cho: ax  bx  c chia hết cho x + 2, chia cho x  dư HD : x   x  1  x  1 Theo ta có: f  x  a.x  bx  c  x   A  x  f  x   x  1  x  1 B  x   Khi dó ta có : => Cho x = - ta có : - 8a + 4b + c = Cho x = 1=> a + b + c = Cho x = -1 => - a + b + c =  8a  4b  c 0  a  b  c 5  a  b  c 5 Khi ta có hệ:  Bài 3: Xác định a, b biết: 2x  ax  b chia cho x + dư -6, chia cho x - dư 21 HD : f  x  2 x3  a.x  b  x  1 A  x   Theo ta có : f  x  2.x3  a.x  b  x   B  x   21 Cho x     a  b  Cho x 2  16  2a  b 21   a  b   Khi ta có hệ : 16  2a  b 21 2 Bài 4: Tìm hệ số a, b cho: x  x  x  ax  b chia cho x  x  dư 2x - HD : x  x   x    x  1 Theo ta có : f  x  x  x3  3x  a.x  b  x    x  1  x  Nên ta có : Cho x 2  16   12  2a  b 1 Cho x      a  b  2a  b 5  Khi ta có hệ  a  b  Bài 5: Cho HD : P( x)  x  x  x  ax  b, Q  x  x  x  , Xác định a, b để P  x  Q  x  P  x   x  x3  x  a.x  b  x  x   A  x    a  1 x  b  Đặt phép chia ta có :  a  0 a 1 P  x  Q  x      b  0 b  Để Bài 6: Xác định số hữu tỉ a, b, c cho: 2x  ax  bx  c chia hết cho x - 2, chia cho x  dư 2x HD : Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com f  x  2 x  a.x  bx  c  x   A  x  Theo ta có : f  x  2 x  a.x  bx  c  x  1  x  1 B  x   x Và Cho x 2  32  4a  2b  c 0 Cho x 1   a  b  c 2 4a  2b  c  32  a  b  c 0 a  b  c  Cho x    a  b  c  Khi ta có hệ :  P x ax  bx3  1Q  x   x  1 Bài 7: Xác định a, b cho:   HD : P  x  a.x  bx   x  1 A  x    4a  3b  x   3a  2b Đặt phép chia:  4a  3b 0 P  x  Q  x    1  3a  2b 0 Để 2 Bài 8: Xác định a, b cho: x  x  ax  x  2x  x  b HD : x  x3  a.x  x   x  x  b  A  x    a  5b   x   6b  ab  b   Đặt phép chia a  5b  0  6b  ab  b  0 Để phép chia hết  Bài 10: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x + dư 9, f(x) chia cho x - dư 2, f  x  : x  x  12 có thương x  cịn dư HD : f  x   x  x  12   x  3  ax  b  x  3  x    x    ax  b  f  x   4a  b 9   4a  b 9 x  4, x 3     f  x  3a  b 2 Khi ta có hệ : 3a  b 2 Cho A  x  ax  bx  c A  x  : x2  x  Bài 11: Xác định đa thức , biết: A(x) chia hết cho x - dư 3x + HD : x  x   x  1  x   Ta có : A  x  a.x  bx  c  x   B  x  Khi ta có : A  x  a.x  bx  c  x  1  x   C  x   3x  Và Cho x 2  8a  4b  c 0 , Cho x 1  a  b  c 5 , Cho x    8a  4b  c  8a  4b  c 0   8a  4b  c  a  b  c 5 Khi ta có hệ :  f  x  : x  x  12 Bài 12: Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x - dư 2, f(x) chia cho x + dư 9, thương x  dư HD : x  x  12  x  3  x   Do f(x) chia cho thương x  dư nên ta có : Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com f  x   x    x  3  x  3  a.x  b Cho x   f  x   4a  b 9 Cho x 3  f  x  3a  b 2   4a  b 9  Khi ta có hệ: 3a  b 2 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Bài 13: Tìm đa thức bậc P(x) biết, P(x) chia cho đa thức (x - 1), (x - 2), (x - 3) dư 6, P(-1) = - 18 HD : f  x  Ta có: chia hết cho x  1, x  2, x  f  x   m  x  1  x    x  3 Vì f(x) đa thức bậc nên f(x) có dạng , m số f   1  18   18  m      3     m 1 Lại có : f  x    x    x  3  x    f  x   x  x  11x Vậy P ( 1) 0, P  x   P  x  1 x  x  1  x  1 Bài 14: Tìm đa thức bậc biết: HD : P    P   1 0 Cho x = 0=> mà P(-1) = => P(0) = Lần lượt cho x = -2, 1, ta có: P(-2) = 0, P(1) = 6, P(2) = 36 P  x  e  d  x    c  x    x  1  b  x    x  1 x  a  x    x  1 x  x  1 Đặt Chọn x = -2 => e = Chọn x = -1 => d = Chọn x = => c = Chọn x = => b = Chọn x = => a = 1/2 P  x    x    x  1 x  x  1   x    x  1 Vậy đa thức cần tìm là: Bài 15: Tìm đa thức P(x) thỏa mãn: P(x) chia cho x + dư 1, P(x) chia cho x - dư 8, chia cho (x + 3)(x - 4) thương 3x, cịn dư HD : Vì P(x) chia cho (x + 3)(x - 4) thương 3x dư nên ta có: P  x   x  3  x   3x  ax  b P  x   x  3 A  x   P  x   x   B  x   Và Và x   P  x  1  3a  b Cho x 4  P  x  8 8a  b Cho  3a  b 1  Khi ta có hệ: 8a  b 8 Bài 16: Tìm đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995 HD : P  x  c  b  x    a  x    x  1 Đặt: Cho x = => c = 19 Cho x = => b = -14 Cho x = => a = 1002 P  x  1002 x  x  1  14 x  19 Vậy đa thức cần tìm là: Bài 17: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = HD : P  x  d  cx  bx  x  1  ax  x  1  x   Đặt x 0  P   10 d Cho x 1  P  1 12 c  d  c 2 Cho x 2  P   4 d  2c  2b  b  Cho 10 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com Cho x 3  P  3 1 d  3c  6b  6a  a  5 P  x   x  x  1  x    x  x  1  x  10 Vậy đa thức cần tìm là: Bài 18: Tìm đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 85, P(2) = 1985 HD : P  x  a.x  x  1  bx  c Đặt x 0  P   19 c  c 19 Cho x 1  P  1 85 b  c  b 66 Cho x 2  P   1985 2a  2b  c  a 917 Cho P  x  917 x  x  1  66 x  19 Vậy đa thức bậc hai cần tìm là: P  x   x  ax  Q  x   x3  ax  Bài 19: Cho đa thức: , xác định a để P(x) Q(x) có nghiệm chung HD : P  x   xQ  x   x   P  c   cQ  c  c  Giả sử nghiệm chung c => P  c  Q  c  0  c  0  c 1 x = c nghiệm , Nên , Khi c = => P(1) = Q(1) = a + = = > a = - Vậy a = - P(x) Q(x) có nghiệm chung Bài tập chưa làm: Bài 1: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x-2 dư 3, chia cho x-5 dư chia cho x  x  10 thương x  dư Bài 2: Xác định số hữ tỉ a, b cho x  ax  b chia hết cho x  x  P  x  ax  bx  c Bài 3: Cho đa thức bậc hai : biết P(x) thỏa mãn hai điều kiện sau : P(0)=-2, 4.P(x)P(2x-1)=6x-6 CMR :a+b+c=0 xác định đa thức P(x) Bài 4: Cho đa thức: f  x  ax  bx  c , Xác định a,b,c biết f(0)=2, f(1)=7,f(-2)=-14 Bài 5: Cho đa thức bậc f(x)=ax+b, Hãy tìm điều kiện b để thỏa mãn hệ thức: f  x1  x2   f  x1   f  x2  với x Bài 6: Cho đa thức: f  x  ax  bx  c Bài 7: Cho đa thức: f  x   x8  x  x  x  , Xác định hệ số , CMR f  x f   2 f  1 7, f     14 , dương với giá trị x Bài 8: Cho a b hai số tự nhiên Số a chia dư 1, số b chia dư 2, CMR: ab chia dư f  x   x  2ax  x  3b Bài 9: Cho đa thức: Tìm hệ số a, b biết chia đa thức cho x-3 ta đa thức dư -5 chia đa thức cho x+1 dư -1 11 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 2 Bài 10: Xác định hệ số a, b để x  a.x  b chia hết cho x  x  Bài 11: Cho đa thức: A  x  x  x  m  đa thức: B  x  x  , Tìm m để đa thức A chia cho đa thức B có dư giá trị ẩn làm cho đa thức B 12 Face: Nguyễn Văn Ma (Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com