Điểm bất động và một số định lí tồn tại

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN ĐIỆP ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG VĂN ĐIỆP ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HỒNG VĂN HÙNG Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Nguyên lý ánh xạ co Banach số ứng dụng 1.1 Điểm bất động tự ánh xạ tập tuỳ ý số định lý tồn Nguyên lý ánh xạ co Banach cổ điển 1.2 1.3 Một số ứng dụng nguyên lý ánh xạ co Banach 12 Một số mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach ứng dụng 27 2.1 Định lý điểm bất động Meir-Keeler 27 2.2 Một số định lý điểm bất động dạng tích phân 2.3 32 Áp dụng định lý điểm bất động dạng tích phân vào lớp phương trình hàm 39 Định lý điểm bất động Schauder ứng dụng 45 3.1 Định lý điểm bất động Brouwer 45 3.2 Định lý điểm bất động Schauder 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 3.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Schauder 57 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết điểm bất động có ứng dụng nhiều lĩnh vực tốn học : phương trình vi phân (thường đạo hàm riêng), phương trình tích phân, hệ phương trình phi tuyến, phương trình hàm, tối ưu hoá Trong nhiều toán liên quan đến phương trình, vấn đề tồn nghiệm phương trình xét vấn đề cốt yếu Nó sở để phát triển phương pháp khác tìm nghiệm xấp xỉ nghiệm xác phương trình Các định lý tồn điểm bất động công cụ đắc lực để giải vấn đề Cho X tập khác rỗng tùy ý, f ánh xạ từ X vào X (ta gọi ánh xạ tự ánh xạ X) Phần tử x* thuộc X gọi điểm bất động f f(x*) = x* Để ứng dụng lý thuyết điểm bất động vào phương trình khác nhau, phương trình xét cần phải biến đổi thành phương trình tương đương dạng f(x) = x, f tự ánh xạ tập X (thường tập tập xác định phương trình ban đầu) Khi vấn đề tồn nghiệm phương trình xét quy vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ f Các định lý điểm bất động cổ điển nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), định lý điểm bất động Brower(1912), định lý điểm bất động Schauder(1930) Ngay sau chứng minh định lý tìm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ứng dụng lĩnh vực vừa kể Luận văn đề cập đến số mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach, định lý Shauder chứng minh số khẳng định khác liên quan đến điểm bất động Để minh hoạ cho ứng dụng, luận văn đưa số ứng dụng định lý khẳng định lĩnh vực sau : lý thuyết hàm, phương trình vi phân, phương trình tích phân, đại số tuyến tính, Tác giả chân thành cảm ơn thày hướng dẫn T S Hoàng Văn Hùng (Viện Khoa học Cơ bản, Đại học Hàng hải Việt Nam) tập thể thày giáo ngành Tốn Ứng dụng, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tận tình hướng dẫn quan tâm đến cơng việc tác giả suốt thời gian chuẩn bị luận văn Hải phòng, ngày 12 tháng năm 2012 Hồng Văn Điệp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Nguyên lý ánh xạ co Banach số ứng dụng 1.1 Điểm bất động tự ánh xạ tập tuỳ ý số định lý tồn Trong mục tác giả giới thiệu khái niệm điểm bất động, chứng minh số định lý tồn sơ cấp tự ánh xạ tập tuỳ ý cho số ứng dụng định lý Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập khác rỗng tùy ý, f ánh xạ từ X vào X (ta gọi ánh xạ tự ánh xạ X) Phần tử x* thuộc X gọi điểm bất động f f(x*) = x* Ký hiệu M(X) tập tự ánh xạ tập X (ta giả thiết X khác rỗng) Ta nói hai phần tử f, g M(X) giao hốn fg = gf, fg tích ánh xạ f với ánh xạ g Ký hiệu f ánh xạ đồng X, f k = f.f k−1 = f k−1 f gọi luỹ thừa bậc k f (k số nguyên không âm) Rõ ràng luỹ thừa f giao hoán Mệnh đề 1.1.1 Nếu f,g hai phần tử giao hốn M(X) x* Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điểm bất động g f(x*) điểm bất động g Chứng minh Ta có : g(f(x*)) =f(g(x*)) = f(x*) Vậy f(x*) điểm bất động g Mệnh đề 1.1.2 Giả sử f tự ánh xạ X h = f k ( k số nguyên dương), A tập tất điểm bất động h giả thiết khác rỗng Khi thu hẹp f |A ánh xạ f đơn ánh từ A vào A Nói riêng, A hữu hạn thu hẹp f |A song ánh từ A lên A Chứng minh Bởi h luỹ thừa f f h giao hốn Theo mệnh đề 1.1.1 ta có f (A) ⊂ A Nếu tồn phần tử khác a, b A cho f(a) = f(b) a = h(a) =f k (a) =f k−1 (f(a)) =f k−1 (f(b)) =f k (b) = h(b) = b Mâu thuẫn Vậy f đơn ánh từ A vào A Nếu A tập hữu hạn đơn ánh từ A vào A phải song ánh Mệnh đề 1.1.3 Giả thiết mệnh đề 1.1.2, có điều tập điểm bất động A h rỗng Nếu có số nguyên dương p≥ cho tập điểm bất động B hp thoả mãn B\A khác rỗng thu hẹp f lên B\A đơn ánh từ B\A vào B\A Chứng minh Nếu x* điểm bất động h x* phải điểm bất động hp = f kp nên A ⊂ B Áp dụng mệnh đề 1.1.2 ta suy thu hẹp f lên B phải đơn ánh từ B vào B Vậy cần chứng minh f ánh xạ B\A vào B\A Nếu A rỗng khơng có phải chứng minh Giả sử trái lại A khác rỗng tồn b ∈ B\A cho f (b) ∈ A Khi đó, f kp−1 h giao hoán nên theo mệnh đề 1.1.1 f kp−1 (f (b)) điểm bất động h, ta Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn có b = hp (b) = f kp (b) = f kp−1 (f (b)) ∈ A Mâu thuẫn Vậy f ánh xạ B\A vào B\A Hệ : Nếu B\A hữu hạn thu hẹp f lên B\A phép B\A Định lý 1.1.1 ( xem [1] ) : Giả sử g tự ánh xạ tập X có tập điểm bất động A (A rỗng) Nếu tồn số nguyên dương m ≥ cho g m có tập điểm bất động B B\A có n phần tử (n ≥ 1) khơng tồn ánh xạ f thuộc M(X) cho f n! = g Chứng minh Giả sử trái lại tồn ánh xạ f thuộc M(X) cho f n! = g Áp dụng hệ mệnh đề 1.1.3 ta suy thu hẹp f lên B\A phép n phần tử Bởi tập phép tập hữu hạn gồm n phần tử nhóm gồm n! phần tử với phép hợp thành tích ánh xạ, mặt khác chu kỳ phần tử nhóm hữu hạn ước cấp (= số phần tử) nhóm nên ta suy thu hẹp f n! lên B\A phải ánh xạ đồng Như f n! = g giữ bất động phần tử B\A , nói cách khác tập điểm bất động g chứa B, theo giả thiết tập điểm bất động g A - tập thực B Mâu thuẫn Vậy không tồn ánh xạ f thuộc M(X) cho f n! = g Từ định lý 1.1.1 suy : Mệnh đề 1.1.4 : Nếu f tự ánh xạ tập X tồn số nguyên dương m ≥ cho f n!m có tập điểm bất động B chứa tập điểm bất động A f n! tập thực B\A phải có khơng n + phần tử Nhận xét : Mệnh đề 1.1.4 tổng quát hoá mệnh đề [1] Chứng minh Giả sử tập B\A chứa k phần tử ≤ k ≤ n Theo định Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lý 1.1.1 không tồn ánh xạ h thuộc M(X) cho hk! = f n! = g Nhưng
k! điều mâu thuẫn, g = f d với d = n!/k! Vậy B\A phải có n+1 phần tử Mệnh đề 1.1.5 : Giả sử f tự ánh xạ tập X Nếu tồn số nguyên dương m cho f m có điểm bất động điểm bất động f Chứng minh Nếu m = khơng có phải chứng minh Giả sử m ≥ Vì điểm bất động f điểm bất động f m nên từ giả thiết suy f có điểm bất động Nếu tập điểm bất động f rỗng với cách ký hiệu mệnh đề 1.1.4 ta có B\A có phần tử Nhưng rõ ràng f 1!m = f m Vậy áp dụng mệnh đề 1.1.4 với n = ta suy B\A phải có phần tử Mâu thuẫn Vậy f phải có điểm bất động Điểm bất động hiển nhiên trùng với điểm bất động f m Định nghĩa 1.1.2 : Tự ánh xạ f tập X gọi ánh xạ f(X) gồm phần tử Mệnh đề 1.1.6 : Nếu f tự ánh xạ tập X tồn số m nguyên dương cho f m ánh xạ f có điểm bất động Chứng minh Nếu f m (X) = {x∗ } hiển nhiên x∗ điểm bất động f m Do khẳng định mệnh đề 1.6 suy từ mệnh đề 1.1.5 Định nghĩa 1.1.3 : Cho f tự đồng cấu khơng gian véc tơ V Khi f cảm sinh tự ánh xạ F tập X không gian V: F đặt tương ứng không gian S V với không gian f(S) V Ta nói khơng gian S V không gian bất biến f S điểm bất động ánh xạ F, tức f(S) = S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = [f (s, (T n x)(s)) − f (s, (T n x)(s))ds Zt ≤ |[f (s, (T n x)(s)) − f (s, (T n x)(s))|ds Zt ≤ L |(T n x)(s) − (T n x)(s)|ds Zt ≤ (Ls)n L kx − yk ds n! (Lt)n+1 = kx − yk (n + 1)! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (∀x(.), y(.) ∈ C[0; a], ∀t ∈ [0; a]) http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Vậy bất đẳng thức (1.13) với n nguyên dương theo nguyên lý quy nạp Từ (1.13) ta suy bất đẳng thức sau với n nguyên dương : (La)n kT x − T yk ≤ kx − yk (∀x(.), y(.) ∈ C[0; a]) n! n n Chuỗi số dương n (La) lim n! n→∞ ∞ P n=0 n (La) n! (1.14) hội tụ ( tổng eLa ) nên ta phải có : m = Từ suy tồn số nguyên dương m cho (La) m! < Bất đẳng thức (1.14) chứng tỏ ánh xạ T m tự ánh xạ co chặt không gian Banach C[0;a] Theo định lý 1.2.1 ánh xạ T m có điểm bất động x*(.) điểm bất động điểm bất động T theo mệnh đề 1.1.5 Định lý tồn nghiệm toán Cauchy chứng minh 1.3.2 Sự tồn nghiệm toán biên Xét toán giá trị biên sau : ϕ00 (x) + λQ(x, ϕ(x)) = f (x) (1.15) ϕ(0) = ϕ(1) = f(.) hàm liên tục [0; 1] , Q(x,y) hàm liên tục biến xác định miền D = [0; 1] × R thoả mãn : |Q(x, y1 ) − Q(x, y2 )| ≤ N (x) |y1 − y2 | R1 |N (x)| dx = P < +∞ (∀x ∈ [0; 1],y1 , y2 ∈ R Định lý 1.3.1: Với giả thiết nêu trên, toán (1.15) tồn nghiệm |λ| P < Chứng minh Tích phân lần phương trình (1.15) ( với (x,s) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 thuộc hình vng [0; 1]2 ) ta phương trình tương đương :     Zx Zs Zx Zs ϕ(x) = c1 + c2 x − λ  Q(t, ϕ(t))dtds+  f (t)dtdt (1.16) 0 0 Zx Z1 Zx Z1 ↔ ϕ(x) = c1 +c2 x−λ [ H(s, t)Q(t, ϕ(t))dt]ds+ [ H(s, t)f (t)dt]ds 0 0 ta  đặt : 1, t ≤ s H(s, t) = 0, t ≥ s Ta có nhận xét ϕ(.) hàm liên tục [0;1] thoả mãn (1.16) ϕ(.) thực tế hàm thuộc khơng gian C [0; 1]các hàm có đạo hàm cấp liên tục [0;1] Điều kiện đầu ϕ(0) = cho ta c1 = Đổi thứ tự tích phân vế phải đẳng thức tính tốn ta có : Z1 Zx Z1 Zx ϕ(x) = c2 x − λ [ H(s, t)Q(t, ϕ(t))ds]dt + [ H(s, t)f (t)ds]dt 0 Z1 = c2 x − λ Z1 Zx [Q(t,ϕ(t)) H(s, t)ds]dt+ Z1 = c2 x − λ Zx [f(t) H(s, t)ds]dt Z1 [Q(t,ϕ(t))G(x, t)]dt+ [f (t)G(x, t)]dt (1.17)  : 0, x ≤ t G(x, t) = x − t, x ≥ t Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Cho x =1 dùng điều kiện đầu ϕ(1) = ta : R1 R1 c2 = λ Q(t, ϕ(t))(1 − t)dt − f (t)(1 − t)dt 0 Thay vào (1.17) ta : Z1 Z1 x(1 − t)Q(t, ϕ(t))dt − ϕ(x) = λ Z1 −λ x(1 − t)f (t)dt Z G(x, t)Q(t, ϕ(t))dt + G(x, t)f (t)dt Z1 Z1 [x(1 − t) − G(x, t)]Q(t,ϕ(t))dt− =λ [x(1 − t) − G(x, t)]f(t)dt Đặt : K(x,t)  = x(1-t)-G(x,t) , để ý đến cơng thức xác định G(x,t) ta có : x(1 − t), t > x K(x, t) = t(1 − x), t ≤ x Như toán biên (1.15) tương đương với phương trình tích phân : Z1 ϕ(x) − λ Z1 K(x, y)Q(y, ϕ(y))dy = − K(x, y)f (y)dy (1.18) :  x(1 − y), y > x K(x, y) = y(1 − x), y ≤ x Bởi (x,y) thuộc hình vng [0; 1]2 y > x ta có 0< x +1-y < 1, x > y ta có < y +1-x < 1, nên : y+1−x ≤ K(x, y) ≤ max(( x+1−y ) ,( ) ) ≤ Gọi T tự ánh xạ không gian Banach C[0;1] hàm liên tục [0;1] với chuẩn supremum ( ký hiệu kk) cho công thức : R1 R1 (T ϕ)(x) = λ K(x, y)Q(y, ϕ(y))dy − K(x, y)f (y)dy 0 Rõ ràng nghiệm phương trình (1.18) điểm bất động Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 T Ta có : (T ϕ − T ψ)(x) = λ R1 K(x, y)[Q(y, ϕ(y)) − Q(y, ψ(y))]dy Do : R