Giải một lớp bài toán hình học nhờ số phức

Header Page of 52 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Văn Chiến GIẢI MỘT LỚP BÀI TỐN HÌNH HỌC NHỜ SỐ PHỨC Chun ngành: Tốn Sơ Cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khối Thái Ngun, năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Mục lục Mở đầu Định nghĩa số phức 1.1 Sự biểu diễn đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.2 Dạng đại số số phức 1.3 Ý nghĩa hình học số phức modun 1.3.1 Ý nghĩa hình học số phức 1.3.2 Ý nghĩa hình học modun 1.3.3 Ý nghĩa hình học phép toán đại số 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Tọa độ cực mặt phẳng 1.4.2 Tọa độ cực số phức 1.4.3 Các phép toán số phức tọa độ cực 1.4.4 Ý nghĩa hình học phép nhân 1.4.5 Các bậc n đơn vị Số phức hình học 2.1 Một vài khái niệm tính chất 2.1.1 Khoảng cách hai điểm 2.1.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng 2.1.3 Chia đoạn thẳng theo tỉ số 2.1.4 Góc định hướng 2.1.5 Góc hai đường thẳng 2.1.6 Phép quay điểm 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 6 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 19 19 19 19 22 22 23 23 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 2.2 Điều kiện thẳng hàng, vng góc trịn Tam giác đồng dạng Tam giác Tích thực hai số phức thuộc đường 25 27 31 36 Hình học giải tích số phức 3.1 Phương trình đường thẳng 3.2 Phương trình đường thẳng xác định hai điểm 3.3 Phương trình đường thẳng xác định điểm phương 3.4 Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng 3.5 Khoảng cách từ điểm đến đương thẳng 3.6 Đường tròn 3.7 Phương tích điểm đường tròn 3.8 Góc hai đường trịn 40 40 41 42 43 44 44 46 46 2.3 2.4 2.5 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Mở đầu 1.Lí chọn đề tài Với tốn hình học sơ cấp việc tìm nhiều phương pháp giải đem lại cho người học nhiều hứng thú ham thích học mơn tốn Đặc biệt giáo viên, em học sinh trực tiếp giảng dạy học tập cấp học phổ thông Bản thân giáo viên giảng dạy trường THPT, nên đề tài có ý nghĩa thực tiễn Vì tơi lựa chọn đề tài Có nhiều cách tiếp cận nghiên cứu đa giác phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Tuy vậy, đề tài tác giả xin trình bày số ứng dụng số phức việc nghiên cứu giải số tốn hình học sơ cấp Cũng nội dung đề tài gồm kiến thức số phức, số kiến thức hình học số ứng dụng số phức việc nghiên cứu số tốn hình học sơ cấp Mục đích nghiên cứu Hệ thống tổng quát toán đa giác phương pháp số phức ứng dụng khác trường phổ thông Đồng thời nắm số kĩ thuật tính tốn biến đổi hình học liên quan đến số phức Nhiệm vụ đề tài Đưa định nghĩa phép toán số phức cách tổng qt có ví dụ minh họa kèm theo, đề tài sâu mở rộng mảng kiến thức số phức áp dụng hình học, đặc biệt toán đa giác Bên cạnh đó, qua việc nghiên cứu đề tài trang bị cho thân thêm số nguồn tư liệu q trình giảng dạy nghiên cứu 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn hình học dùng số phức vào giải toán hình học sơ cấp, xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS – TSKH Hà Huy Khoái, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chun tốn, Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo việc dạy học toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức hình học Chương III: Hình học giải tích số phức Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khối, người tận tình giúp đỡ, động viên ân cần bảo cho em hoàn thành luận văn Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học toán K4C trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt nhất, nhiệt tình giảng dạy định hướng cho em trình học tập nghiên cứu Tuy cố gắng nghiên cứu đề tài viết luận văn, song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy, cô đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp để luận văn em hoàn chỉnh có ý nghĩa thiết thực Trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Chương Định nghĩa số phức 1.1 1.1.1 Sự biểu diễn đại số số phức Định nghĩa số phức Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất sở tập hợp số thực R Ta xét tập hợp R2 = R.R = {(x, y) | x, y ∈ R } Hai phần tử (x1 , y1 ) v (x2 , y2 ), x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau: z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 Và z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 Với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét: 1)Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) 2)Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa: Tập hợp R2 với phép toán cộng nhân,được gọi tập số phức, kí hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C\ {(0, 0)} 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức (a) Tính giao hốn: z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C (b) Tính kết hợp: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C (c) Phần tử đơn vị: Có số phức 0=(0,0) để z + = + z = z với z = (x, y) ∈ C (d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có số phức –z = (-x,-y) cho z + (−z) = (−z) + z = 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn điều kiện sau Tính giao hốn: z1 z2 = z2 z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị: Có số phức = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z Số phức = (1, 0) gọi phần tử đơn vị với z ∈ C Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z 6= có số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = số phức z −1 = (x, , y , ) gọi phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = ; z = z ; z = z.z , z n = z.z z | {z } với số nguyên n > n lâ n n −1 −n z = (z ) với số nguyên n < Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số nguyên m,n ta có tính chất sau 1)z m z n = z m+n ; zm 2) n = z m−n ; z 3) (z m )n = z mn ; 4)(z z )n = z1n z2n ; 1 2n z1n z1 = n 5) z2 z2 Khi z = ta định nghĩa 0n = với số nguyên n > Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với z1 , z2 , z3 ∈ C∗ Trên tính chất phép cộng phép nhân,thấy tập hợp C số phức với phép toán lập thành trường 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 1.2 Dạng đại số số phức Mỗi số phức biểu diễn cặp số thứ tự, nên thực biến đổi đại số thường khơng thuận lợi Đó lí để tìm dạng khác viết Ta đưa vào dạng biểu diễn đại số Xét tập hợp R × {0} với phép toán cộng nhân định nghĩa R2 Hàm số f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) song ánh (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Người đọc không sai lầm ý phép toán đại số R × {0} đồng với phép tốn R; đồng cặp số (x, 0) với số x, với x ∈ R Ta sử dụng song ánh kí hiệu (x, 0) = x Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0) Từ ta có mệnh đề Mệnh đề 1.2.1 Mỗi số phức z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + yi Với x, y số thực i2 = −1 Hệ thức i2 = −1 suy từ định nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 Biểu thức x + yi gọi biểu diễn đại số số phức z = (x, y) Vì  ta viết C = x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1 Từ ta kí hiệu z = (x, y) z = x + yi Số thực x = Re(z) gọi phần thực số phức z , y = Im(z) gọi phần ảo z Số phức có dạng yi , y ∈ R gọi số ảo Số phức có dạng yi , y ∈ R∗ gọi số ảo, số phức i gọi đơn vị ảo Từ hệ thức ta dế dàng có kết sau a) z1 = z2 Re(z1 ) = Re(z2 ) Im(z1 ) = Im(z2 ) b) z ∈ R Im(z) = 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 c) z ∈ C\R Im(z) 6= Sử dụng dạng đại số, phép toán số phức thực sau: Phép cộng z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C Dễ thấy tổng hai số phức số phức có phần thực tổng phần thực, có phần ảo tổng phần thực ảo Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) Phép trừ z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C Ta có Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 ) Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ) Phép nhân z1 z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C Ta có Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ) Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ) Mối số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C tích số thực với số phức Ta có tính chất sau 1) λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z 3)(λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z Lũy thừa số i 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 52 Các công thức cho số phức với lũy thừa số nguyên bảo toàn dạng đại số z = x + yi Xét z = i, ta thu được: i0 = ; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = i2 i = −i i4 = i3 i = 1; i5 = i4 i = i ; i6 = i5 i = −1; i7 = i6 i = −i Ta tổng quát công thức số mũ nguyên dương n i4n = ; i4n+1 = i ; i4n+2 = −1 ; i4n+3 = −i Vì in ∈ {−1 , , −i , i} với số nguyên n > Nếu n số nguyên âm ta có:  −n
−n in = i−1 = = (−i)−n i Số phức liên hợp Mỗi số phức z = x + yi có số phức z = x − yi, số phức gọi số phức liên hợp số phức liên hợp số phức z Mệnh đề 1.2.2 1) Hệ thức z = z z ∈ R; 2) Mỗi số phức z ta ln có đẳng thức z = z; 3) Mỗi số phức z ta ln có z.z số thực khơng âm; 4) z1 + z2 = z1 + z2 (số phức liên hợp tổng tổng số phức liên hợp); 5) z1 z2 = z1 z2 (số phức liên hợp tích tích số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức z khác đẳng thức sau z −1 = z −1 ;   z1 z1 7) = , z2 6= (liên hợp thương thương liên z2 z2 hợp); 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = 0; 4) b−a b−a z z 5) a a = b b Chứng minh: Ta có 1) ⇔ 2) ⇔ 3) Nếu điểm C thỏa mãn C-A-B đường thẳng AB (AB ∪ {A} ∪ (AC sau áp dụng định lí 2.1.2 ta có kết Bây ta chứng minh 2) ⇔ 4) ⇔ 5)   z−a z−a z−a z−a ∈ R = = đẳng Thật vậy, ta có b−a b