Phép nghịch đảo và ứng dụng giải một bài toán hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————————— NGUYỄN CHÍ THANH PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN MINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương Kiến thức 1.1 Định nghĩa 1.2 Một số tính chất phép nghịch đảo Chương Một số tốn hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo 15 2.1 Bài tốn chứng minh tính chất hình học 15 2.2 Bài toán quỹ tích 40 2.3 Bài toán dựng hình 52 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hồn thành khóa đào tạo Thạc sĩ trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Minh, Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người tạo cho phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Đặc biệt xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cho lĩnh hội kiến thức trực tiếp từ thầy giáo đầu ngành lĩnh vực toán sơ cấp Việt Nam GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu,GS.TSKH Hà Huy Khối, Cuối cùng, tơi xin cảm ơn bạn bè, gia đình người thân động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để tơi hồn thành tốt khóa học Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Trong chương trình THPT số phép biến hình đưa vào giảng dạy phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép vị tự, phép đồng dạng, nhiên phép nghịch đảo không đề cập đến Hầu toán áp dụng phép nghịch đảo toán hay, toán kinh điển, toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải tốn hình học nhiều cần thiết Đặc biệt nhiều tốn, khơng sử dụng phép nghịch đảo việc tìm lời giải trở nên khó khăn cho người học tốn, sử dụng phép nghịch đảo giúp cho giải trở nên xúc tích đẹp đẽ Phép nghịch đảo cơng cụ quan trọng hình học, xuất điều tất yếu phát triển tư tốn học - tư biến hình Trong tốn có sử dụng phép nghịch đảo để giải phép tốn mắt xích quan trọng, định hướng thơng suốt q trình tư Ngồi ra, phép nghịch đảo cịn cơng cụ tư hữu ích để phát triển tốn cho ta cách nhìn tốn Điều khiến cho người học tốn khơng phát triển kiến thức hình học mà cịn cung cấp cho họ nhìn sâu tốn Với lý chúng tơi chọn phép nghịch đảo để nghiên cứu Bố cục luận văn phần mở đầu kết luận, luận văn gồm hai chương Chương Kiến thức phép nghịch đảo: nhằm cung cấp kiến thức phép nghịch đảo, tính chất mà áp dụng vào số tốn chương Tính chất quan trọng tính chất đặc trưng phép nghịch đảo khác hẩn với tính chất phép biến hình khác, qua phép nghịch đảo: đường thẳng khơng qua cực nghịch Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn đảo biến thành đường trịn qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.6-a), đường tròn qua cực nghịch đảo biến thành đường thẳng không qua cực nghịch đảo vng góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo với tâm đường đường trịn cho (tính chất 1.2.7-a), đường trịn khơng qua cực nghịch đảo biến thành đường trịn khơng qua cực nghịch đảo (tính chất 1.2.7-b) Chương Một số tốn hình học phẳng sử dụng phép nghịch đảo: vận dụng định nghĩa tính chất phép nghịch đảo vào số tốn chứng minh, quỹ tích, dựng hình hình học phẳng Qua làm bật ưu việt phép nghịch đảo áp dụng giải lớp tốn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức 1.1 Định nghĩa Đôi nét định nghĩa: Khi học trung học sở, ta biết toán sau: "Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AK đến (O) (K ∈ (O)) Một cát tuyến từ A đến (O) cắt (O) hai điểm M, N Khi đó, ta ln có AK = AM.AN " Như ta để ý với điểm M0 nằm đường trịn (O) ln tồn điểm N0 khác nằm (O) nằm AM0 cho AM0 AN0 = AK2 Định nghĩa: Trong mặt phẳng Euclide cho điểm O cố định số thực k khác không Cho tương ứng điểm M khác O với điểm M thuộc đường thẳng OM cho OM OM = k Phép tương ứng gọi phép nghịch đảo cực O, phương tích k (hay tỉ số k ) Ký hiệu: Phép nghịch đảo cực O phương tích k ký hiệu I(O,k) hay IOk , ta có IOk (M ) = M IOk : M 7→ M , hay số sách đưa ký hiệu f (O, k), luận văn dùng ký hiệu IOk f (M ) = M M ảnh M qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k −−→ −−→ Ta có OM OM = OM OM O, M, M thẳng hàng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Một số tính chất phép nghịch đảo Tính chất 1.2.1 Cực nghịch đảo O khơng có điểm tương ứng qua phép nghịch đảo Vì phép nghịch đảo khơng phải phép biến hình mặt phẳng Euclide Nếu bổ sung vào mặt phẳng Euclide điểm gọi "điểm vô tận" quy ước xem điểm ảnh đồng thời tạo ảnh điểm O qua phép nghịch đảo f (O, k) Mặt phẳng bổ sung điểm vô tận gọi mặt phẳng mở rộng Phép nghịch đảo mặt phẳng mở rộng song ánh, tức phép biến hình Khi M tiến lại gần O cực nghịch đảo ảnh f (M ) tiến xa O, tức M → O f (M ) → ∞ Gọi đường thẳng hợp với điểm vô tận đường thẳng bổ sung đường tròn mặt phẳng gọi tập hợp đường tròn nghĩa rộng Cho đường thẳng bổ sung d, hai điểm M1 , M2 gọi đối xứng với qua d chúng ảnh qua phép đối xứng trục d (Ta quy ước: điểm vô tận đối xứng với điểm vơ tận) Cho đường trịn (O, R), hai điểm M1 , M2 gọi đối xứng với qua (O, R) chúng ảnh qua phép nghịch đảo cực O, phương tích k = R2 Qua phép nghịch đảo điểm O biến thành điểm vô tận điểm vô tận biến thành cực O, nên O điểm vô tận đối xứng với qua (O, R) Tính chất 1.2.2 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: Qua phép nghịch đảo, điểm M biến thành điểm M ngược lại, điểm M biến thành điểm M (hay IOk (M ) = M ta có IOk (M ) = M , OM OM = k = OM OM ) Như IOk ◦ IOk (M ) = M hay (IOk )2 phép đồng Tính chất 1.2.3 Đường trịn nghịch đảo: Xét phép nghịch đảo IOk : M 7→ M Nếu tỷ số k > M M nằm phía O Khi tập Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn hợp điểm bất động phép nghịch đảo đường tròn tâm O, bán √ k , đường tròn gọi đường trịn nghịch đảo Khi điểm M mà thỏa mãn f (M ) = M gọi điểm kép (điểm bất động) phép nghịch đảo f (O, k) Nếu điểm M nằm bên đường trịn M nằm bên ngồi đường tròn nghịch đảo ngược lại Nếu k < hai điểm M M nằm hai phía O Khi kính khơng có điểm kép, khơng có đường trịn nghịch đảo (trong trường hợp đường tròn nghịch đảo f (O, k) gọi đường tròn bán thực, tâm đường trịn thực bán kính đường trịn ảo) Tính chất 1.2.4 a) Nếu phép nghịch đảo f (O, k) có phương tích k > M, M ảnh qua phép nghịch đảo f (O, k), đường tròn qua hai điểm M, M trực giao với (O, √ k) (hai đường tròn (O), (O0 ) gọi trực giao với hai tiếp tuyến giao điểm (O) (O0 ) vng góc với nhau) Hơn đường trịn (C) qua M, M biến thành qua f (O, k) với k > √ b) Nếu (O1 ) (O2 ) trực giao với (O, k), k > (O1 ), (O2 ) cắt hai điểm hai điểm ảnh qua phép nghịch đảo f (O, k) Chứng minh: a) Gọi (O0 ) đường tròn qua hai điểm M, M I = (O) ∩ (O0 ) Hình 1.1: Giả sử OI cắt đường tròn O0 điểm thứ hai I khác I , ta có OM OM = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn OI.OI Mặt khác từ giả thiết: OM OM = OI.OI = k = OI Do I ≡ I , hay OI tiếp tuyến đường tròn (O0 ) ⇔ OI⊥O0 I , chứng tỏ đường tròn (O0 ) trực giao với đường trịn (O) Vậy ta có với đường tròn qua hai √ điểm M, M trực giao với đường tròn (O, k) Hơn với đường tròn (C) qua hai điểm M, M , theo chứng minh ta có (C) trực giao với (O) Từ O ta kẻ đường thẳng cắt (C) hai điểm N, N , ta có ON ON = k , suy điểm N thuộc đường tròn (C) qua phép nghịch đảo f (O, k) có ảnh N thuộc đường tròn (C) Vậy chứng tỏ đường tròn (C) qua M, M biến thành qua phép nghịch đảo f (O, k) b) Gọi (O1 ) ∩ (O2 ) = {M, M } Giả sử OM ∩ (O2 ) = M1 , ta có OM OM1 = k O, M, M1 thẳng hàng (1) Hình 1.2: Mặt khác giả sử OM ∩ (O1 ) = M2 , ta có OM OM2 = k O, M, M2 thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy M2 ≡ M1 ≡ M , hay chứng tỏ M, M ảnh qua phép nghịch đảo f (O, k) Tính chất 1.2.5 Phép nghịch đảo f (O, k), k 6= Thì với hai điểm A, B khơng thẳng hàng với cực nghịch đảo, ta ln có A, B, f (A), f (B) điểm đồng viên (tức thuộc đường tròn) Hơn đặt A0 = f (A) B = f (B) A0 B = |k| Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN AB OA.OB http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh: Giả sử O, A, B không thẳng hàng k > 0, điểm A0 , B tương ứng nằm tia OA, OB OA.OA0 = OB.OB = k OA0 OB suy = ⇒ ∆OAB v ∆OB A0 ⇒ A, B, A0 , B thuộc OB OA đường tròn, OA0 OA0 OA OA.OA0 k |k| A0 B ⇒ = = = = = AB OB OB.OA OA.OB OA.OB OA.OB |k| AB (∗) ⇔ A0 B = OA.OB Hình 1.3: Biểu thức (∗) với O, A, B thẳng hàng k < Chú ý: Khẳng định f (O, k) : AB 7→ A0 B sai! Tính chất ảnh đường thẳng hay đường tròn qua phép nghịch đảo nhắc đến sau Tính chất 1.2.6 Ảnh đường thẳng qua phép nghịch đảo: a) Qua phép nghịch đảo, đường thẳng không qua cực nghịch đảo biến thành đường tròn qua cực nghịch đảo Chứng minh: Từ cực nghịch đảo O ta hạ OA vng góc với đường thẳng ∆ cho Gọi B ảnh A qua phép nghịch đảo IOk A điểm ∆ (hình 1.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 a, (Hình 2.29) Hình 2.29: Ta có SABC = Do A0 B B C C A0 AB.BC.CA , SA0 B C = 4R 4R SA0 B C A0 B B C C A0 = (1) SABC AB.BC.CA Vì M A.M A0 = M B.M B = M C.M C = k (không đổi) nên ta xét k IM : (O) 7→ (O), A 7→ A0 , B 7→ B , C 7→ C Theo tính chất phép nghịch đảo ta có: A0 B = |k| BC |k| CA |k| AB ; B 0C = ; C A0 = M A.M B M B.M C M C.M A Thay vào (1) ta điều phải chứng minh b, (Hình 2.30) Giả sử tam giác A0 B C vuông A0 B C qua O, B C trực giao với O k Xét IM trên, qua cực M (O) biến thành (O) đường thẳng B C biến thành đường tròn (M BC) trực giao với (O) Vậy quỹ tích M đường trịn trực giao với đường trịn (O), đồng thời qua B, C Chứng minh tương tự với trường hợp tam giác A0 B C vuông B C Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Hình 2.30: Nhận xét: Áp dụng phép nghịch đảo với tính chất 1.2.5 áp dụng tính chất ảnh đường thẳng đường trịn qua phép nghịch đảo, tính chất bảo giác phép nghịch đảo cho ta lời giải đẹp, nhẹ nhàng, xúc tích Tiếp theo ta thấy rõ hiệu phép nghịch đảo việc áp dụng vào toán 2.2.9 trích tập 10, số 19, năm 1999 thi đấu Tốn học tạp chí Pi-Mu-Epsilon Journal (USA) Bài tốn 2.2.9 Cho đường trịn (C) có tâm I , bán kính R điểm O cố định cho OI = 2R Gọi (C1 ), (C2 ) hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với (C) trực giao với nhau, M giao điểm thứ hai (C1 ) (C2 ) Tìm tập hợp điểm M Lời giải: (Hình 2.31) Ta có phép nghịch đảo f cực O, phương tích k = PO/(C) = OI − R2 = 3R2 biến (C) thành (C) Gọi P, Q điểm tiếp xúc (C1 ), (C2 ) với (C) Khi f : (C1 ) 7→ d1 f : (C2 ) 7→ d2 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Hình 2.31: d1 , d2 hai đường thẳng tiếp xúc với (C) P , Q0 , hai điểm P , Q0 thỏa mãn hệ thức OP OP = 3R2 , OQ.OQ0 = 3R2 Vì (C1 ) trực giao với (C2 ) nên d1 trực giao với d2 M , với M ảnh M qua f √ Ta có IP M Q0 hình vng cạnh R nên IM = R 2, tức M ∈ (C3 ), √ (C3 ) đường tròn tâm I , bán kính R 2, vậy, M ∈ (C4 ), với (C4 ) ảnh đường tròn (C3 ) qua phép nghịch đảo f (O, k) Từ OI.OJ = 3R2 Suy J giao điểm OI với đường tròn (C) √ Vậy tập hợp điểm M đường tròn (C4 ) tâm J , bán kính JM = R Nhận xét: Với lời giải tốn từ quỹ tích điểm ảnh M qua phép nghịch đảo f (O, k) ta quỹ tích điểm tạo ảnh M Giúp cho việc vận dụng phép nghịch đảo cách linh hoạt, tốn khó qua phép nghịch đảo trở nên đơn giản dễ hiểu 2.3 Bài tốn dựng hình Trên thấy ưu việt sử dụng phép nghịch đảo số tốn chứng minh, quỹ tích hình học phẳng Tiếp theo Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 xin đưa ứng dụng phép nghịch đảo số toán dựng hình hình học phẳng Bài tốn 2.3.1 Cho điểm P nằm trục đẳng phương hai đường tròn cho (O) (O0 ) Hãy dựng qua P đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn Lời giải: a, Phân tích: Điểm P nằm trục đẳng phương AB hai đường tròn (O) (O0 ) −→ −−→ −−→ −−→ nên ta có P C.P D = P C P D0 Suy tứ giác CDD0 C nội tiếp Phép nghịch đảo cực P , phương tích −→ −−→ k = P A.P B biến đường trịn (O) thành nó, đường trịn (O0 ) thành nó, hai điểm C C tương ứng thành D D0 Hình 2.32: Vì phép nghịch đảo biến đường thẳng CC thành đường tròn ngoại tiếp tam giác P DD0 tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O0 ) b, Cách dựng: (Hình 2.32) - Dựng tiếp tuyến chung CC với hai đường tròn (O) (O0 ) - Xác định D = P C ∩ (O); D0 = P C ∩ (O0 ) - Dựng đường trịn ngoại tiếp tam giác ∆P DD0 Đó đường trịn cần dựng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 c, Chứng minh: −→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ Theo cách dựng ta có: P C.P D = P C P D0 = P A.P B suy phép nghịch đảo cực P biến tiếp tuyến CC thành đường tròn ngoại tiếp ∆P DD0 Mặt khác: phép nghịch đảo bảo tồn tính chất trực giao đường thẳng đường tròn Nên đường tròn ngoại tiếp ∆P DD0 tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O0 ) d, Biện luận: Bài tốn có nhiều hai nghiệm hình −→ −−→ Nhận xét: Với phép nghịch đảo f cực P , phương tích k = P A.P B sử dụng tính chất trực giao cho ta việc dựng đường tròn qua P tiếp xúc với hai đường tròn (O) (O0 ) thành việc dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác P DD0 Bài toán 2.3.2 Qua điểm A dựng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d đường trịn (O) cho Lời giải: a, Phân tích: Hình 2.33: Giả sử dựng đường trịn (C ) qua A, tiếp xúc với đường tròn (O) I tiếp xúc với đường thẳng d J Ta xác định ảnh (O) d qua phép nghịch đảo f cực A, phương tích k phương tích A (O): Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 f : (O) 7→ (O), f bảo toàn đường tròn (O); f : d 7→ (C), đường tròn (C) qua cực A; f : (C ) 7→ τ , τ tiếp tuyến chung (O) (C) nên τ dựng được; f : I 7→ I , I tiếp điểm (C ) với (O) nên I tiếp điểm τ với (O); f : J 7→ J , J tiếp điểm (C ) với d nên J tiếp điểm τ với (C) Các điểm I J xác định Do đó, ta xác định I J A, I, I thẳng hàng I thuộc (O) nên (I) giao điểm AI với (O); A, J, J thẳng hàng J thuộc đường thẳng d nên J giao điểm AJ với d Đường tròn (C ) phải dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆AIJ b, Cách dựng: (Hình 2.33) - Dựng đường trịn (C) ảnh d qua f - Dựng tiếp tuyến chung τ tiếp tuyến chung (O) (C) - Dựng tiếp điểm I , J τ với (O) (C) - Dựng I giao điểm AI với (O) J giao điểm AJ với d - Dựng đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác ∆AIJ Đó đường tròn cần dựng c, Chứng minh: Theo cách dựng (C ) qua A, J tiếp điểm d với (C ) I tiếp điểm (O) với (C ) d, Biện luận: Ta dựng nhiều bốn tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (C) nên tốn có nhiều bốn nghiệm hình Nhận xét: Áp dụng phép nghịch đảo f cực A, phương tích k = PA/(O) tính chất 1.2.6-a, 1.2.7-a, 1.2.8 ta quy việc dựng đường tròn theo yêu cầu tốn việc dựng đường trịn ngoại tiếp tam giác AIJ Bài tốn 2.3.3 Dựng đường trịn qua hai điểm A, B cho trước tiếp xúc với đường thẳng d cho trước Lời giải: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 a, Phân tích: Giả sử đường tròn (C) tâm O qua A B , tiếp xúc với đường thẳng d T AB//d T giao điểm d với đường trung trực AB Nếu d cắt đường thẳng AB Giả sử C giao điểm d với đường thẳng AB Do d tiếp tuyến nên nằm ngồi đường trịn (C), hay B nằm A C Hình 2.34: −→ −→ −−→ Ta có: CT = CA.CB = k > Thực phép nghịch đảo f cực C phương tích k Rõ ràng f : d 7→ d CT = k nên T nằm đường trịn nghịch đảo (C, b, Cách dựng: (Hình 2.35) √ k) −→ −−→ - Dựng C giao điểm AB với d Lấy k = CA.CB - Dựng đường tròn nghịch đảo phép nghịch đảo cực C , phương tích k sau: + Dựng đường trịn đường kính CA + Dựng đường thẳng a: a⊥CA B a cắt đường trịn đường kính CA D −−→2 −→ −−→ CD = CA.CB = k √ + Đường tròn (C, CD) đường tròn nghịch đảo (C, k) - Dựng T = d ∩ (C, CD) - Dựng đường tròn qua A, B T Đó đường trịn cần dựng c, Chứng minh: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 −→ −−→ −→ −−→ Theo cách dựng CT = CD2 = CA.CB = k nên d tiếp tuyến với đường tròn (A, B, T ) Hình 2.35: d, Biện luận: Nếu AB//d T giao điểm d với đường trung trực AB : tốn có nghiệm hình Trừ trường hợp A, B thuộc d khơng có nghiệm hình Nếu d cắt đường thẳng AB C nằm đoạn AB tốn có hai nghiệm hình d cắt đường tròn (C, CD) hai điểm Nếu d cắt đường thẳng AB C nằm đoạn AB khơng có nghiệm hình Nhận xét: Qua tốn khơng cho ta cách dựng đường trịn qua hai điểm tiếp xúc với đường thẳng cho trước mà cho ta cách dựng đường tròn nghịch đảo biết cực, điểm tạo ảnh điểm ảnh qua phép nghịch đảo Bài tốn 2.3.4 Qua điểm A cho trước, dựng đường tròn trực giao với hai đường tròn cho trước Lời giải: a, Phân tích: Giả sử dựng đường trịn (O) qua A trực giao với hai đường tròn cho trước (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 −−→ Phép nghịch đảo cực A, phương tích k = AO1 − R12 bảo tồn đường trịn (O1 ) k phương tích A đường tròn (O1 ; R1 ) IAk : (O1 ; R1 ) 7→ (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) 7→ (O20 ; R20 ) Vì (O) đường trịn qua cực A nên có ảnh đường thẳng d khơng qua A Vì (O)⊥(O1 ), (O)⊥(O2 ), nên d⊥(O1 ), d⊥(O20 ), d qua tâm O1 tâm O20 Do đường thẳng d dựng b, Cách dựng: −−→ Dựng đường tròn (O2 ) = IAk (O2 ) với k = AO1 − R12 Dựng đường thẳng d qua O1 O20 Dựng đường trịn (C) = IAk (d) đường trịn cần dựng Hình 2.36: c, Chứng minh: Phép nghịch đảo có tính chất bảo giác, nên đường trịn (C) = IAk (d) đường trịn cần dựng: (C) qua cực A trực giao với đường tròn cho trước (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Hình 2.37: d, Biện luận: - Khi A, O1 O2 khơng thẳng hàng O1 6= O20 : dựng đường thẳng d nên có đường tròn (C) qua A trực giao với (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) cho trước Bài tốn có nghiệm hình - Khi A, O1 O2 thẳng hàng O1 ≡ O20 : có vơ số đường thẳng d qua O1 nên tốn có vơ số nghiệm hình Hình 2.38: Nhận xét: Ta dựng đường trịn (O) sau: Đặt B = AO1 ∩ (O), C = AO2 ∩ (O), (O1 ) ∩ (AO1 ) = {D; E}, (O2 ) ∩ (AO2 ) = {F ; G} Khi (A; B; D; E) = −1 A, D, E xác định nên B xác định (A; C; F ; G) = −1 A, F, G xác định nên C xác định Đường tròn (O) phải dựng đường trịn ngoại tiếp ∆ABC Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 Nhưng muốn giới thiệu cách giải khác qua phép nghịch −−→ đảo IAk với k = AO1 − R12 , suy cách dựng đường tròn (O) trực giao với (O1 ), (O2 ) cách dựng (O) = IAk (d), với d ≡ O1 O20 , (O20 ) = IAk (O2 ) Bài toán 2.3.5 Cho hai đường tròn trực giao (O) (O1 ) Hãy dựng qua điểm A cho trước đường tròn (ω) tiếp xúc với đường tròn (O), trực giao với đường tròn (O1 ) Lời giải: a, Phân tích: Giả sử dựng đường tròn (ω) qua A, tiếp xúc với đường tròn (O) trực giao với đường tròn (O1 ) Thực phép nghịch đảo bảo tồn đường trịn (O1 ), cực A, phương tích k = PA/(O1 ) = AO12 − R1 với R1 bán kính đường tròn (O1 ) IAk :(O1 ) 7→ (O1 ) (O) 7→ (O0 ) (2.4) (ω) 7→ (d) Ảnh ω đường thẳng d, (ω)⊥(O1 ) ω tiếp xúc với (O) nên d qua O1 d tiếp xúc với (O0 ), mà (O)⊥(O1 ) nên (O1 )⊥(O0 ), d phải qua giao điểm I (O1 ) (O0 ) Suy dựng đường thẳng d qua hai điểm: O1 giao điểm I O1 O0 , với d ảnh ω qua phép nghịch đảo IAk b, Cách dựng: Xét phép nghịch đảo IAk - Dựng (O0 ) = IAk (O) - Dựng giao điểm I (O1 ) (O0 ) (hoặc giao điểm I1 (O1 ) (O0 )) - Dựng đường thẳng d qua hai điểm O1 I (hoặc dựng đường thẳng d1 qua hai điểm O1 I1 ) - Dựng ảnh (ω) = IAk (d): đường tròn qua A qua B , tiếp xúc với (O) B , đường tròn (ω1 ) qua A C , tiếp xúc với (O) C Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Hình 2.39: c, Chứng minh: Với đường trịn (ω) ta có qua phép nghịch đảo cực A, phương tích k = PA/(O1 ) = AO12 − R1 , theo cách dựng ta có đường thẳng d trực giao với (O1 ) (vì d qua tâm O1 ) tiếp xúc với (O0 ) (ở (O0 ) = IAk (O)) nên (ω) = IAk (d) thỏa mãn điều kiện trực giao với (O1 ) tiếp xúc với (O) (vì phép nghịch đảo có tính chất bảo giác) Chứng minh tương tự với đường trịn (ω1 ) d, Biện luận: Vì dựng nhiều hai tiếp tuyến qua O1 với đường trịn (O0 ) nên tốn có nhiều hai nghiệm hình Nhận xét: Áp dụng tính chất bảo giác, ảnh đường thẳng, đường tròn qua phép nghịch đảo ta có lời giải gọn gàng, xúc tích.Qua tốn cho ta cách dựng đường thẳng trực giao với đường tròn tiếp xúc với đường trịn trực giao với đường trịn (cụ thể cách dựng đường thẳng d d1 ) Vậy áp dụng phép nghịch đảo vào số toán trên, toán trở nên nhẹ nhàng, cho ta lời giải đẹp, cho thấy rõ tính ưu việt phép nghịch đảo mà phép biến hình khác khơng có, qua phép nghịch đảo đường thẳng không qua cực nghịch đảo biến thành đường tròn qua cực nghịch đảo, đường tròn qua cực nghịch đảo biến thành đường thẳng khơng Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 qua cực vng góc với đường thẳng nối cực với tâm đường trịn cho, đường trịn khơng qua cực nghịch đảo biến thành đường trịn khơng qua cực nghịch đảo, Một số tốn có cách giải khác, nhiên cách giải phép nghịch đảo tỏ ưu việt mà ta thấy cụ thể qua tốn (ở khơng địi hỏi biến đổi tốn học cách phức tạp mà cần áp dụng tính chất phép nghịch đảo cho ta kết tốn) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 Kết luận Luận văn trình bày đạt số kết sau Trình bày số kiến thức phép nghịch đảo (Chương 1) Giới thiệu số dạng tập sử dụng phép nghịch đảo để xử lý tốn (Chương 2) Trình bày tốn hay khó số kỳ thi HSG có sử dụng phép nghịch đảo để giải (Chương 2) Ngồi ra, luận văn cịn trình bầy số định hướng giải bắt gặp tập dạng tương tự nêu luận văn Hướng phát triển luận văn tiếp tục nghiên cứu ứng dụng phép nghịch đảo việc giải tốn hình học phẳng, tốn miền phẳng, hình học khơng gian, tốn vật lý, Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Văn Hồn (2000),Tuyển tập 30 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Mộng Hy (1997), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục [3] Hoàn Trọng Thái, Nguyễn Thanh Hương, Nguyễn Tuyết Thạch (2007),Giáo trình ứng dụng phép biến hình giải tốn hình học, NXB Đại học sư phạm Hà Nội [4] Vũ Dương Thụy-Nguyễn Văn Nho (2003), Tuyển tập toán từ thi Mĩ Ca-Na-Đa, NXB Giáo Dục [5] Đỗ Thanh Sơn (1994), Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo Dục [6] Đelone, Jitomirsky (1975), Bài tập hình học, NXB Mir (tiếng Nga) [7] D.X Modenov (1979), Bài tập hình học, nhà xuất khoa học (tiếng Nga) [8] Use resunion de propesseurs, problemes de Geómetrie, 77, Rue de Vaugirard Paris Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn