Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TỐN CÂN BẰNG KINH TẾ Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng 1: TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Khơng gian Hilbert thực 1.2 Tập lồi hàm lồi .7 1.3 Toán tử đơn điệu 14 1.3.1 Các định nghĩa toán tử đơn điệu 15 13.2 Tốn tử đơn điệu tuần hồn .19 1.3.3 Toán tử đơn điệu cực đại 21 Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 2.1 Bất đẳng thức biến phân 33 2.2 Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu .39 2.3 Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị 46 2.4 Bất đẳng thức biến phân toán liên quan 49 Chƣơng 3: MƠ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3.1 Phát biểu mơ hình .55 3.2 Mơ hình Nash – Cournot với toán cân 56 3.3 Mơ hình Nash – Cournot với tốn bất đẳng thức biến phân 57 3.4 Mơ hình Nash – Cournot với toán tử đơn điệu 58 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 MỞ ĐẦU Ánh xạ đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu Đặc biệt phải kể đến như: R T Rockafellar, F E Browder, (Xem [5], [14]) Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, ánh xạ đơn điệu cơng cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực toán ứng dụng lĩnh vực tối ưu hóa Nó giúp ích cho việc chứng minh tồn tính nghiệm cho nhiều lớp toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu Đề tài luận văn nghiên cứu tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert thực ứng dụng việc khảo sát toán bất đẳng thức biến phân đặc biệt mơ hình kinh tế tiếng Nash - Cournot Vì thế, đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức sở có liên quan; khái niệm, tính chất điều kiện cho toán tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân mơ hình kinh tế Nash Cournot Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành ba chương với tiêu đề: Chương 1: Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu Chương 3: Mơ hình Nash - Cournot với tốn tử đơn điệu Nội dung chương là: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở giải tích lồi phục vụ cho việc nghiên cứu tốn tử đơn điệu Sau đó, trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn đơn điệu cực đại Song song với khái niệm số kết tính chất, điều kiện tốn tử đơn điệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2: Trình bày tốn bất đẳng thức biến phân toán liên quan Sau đó, trình bày số kết việc sử dụng toán tử đơn điệu việc chứng minh tồn tính nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Chương 3: Trình bày mơ hình kinh tế Nash - Cournot lĩnh vực sản xuất kinh doanh Sau đó, sử dụng tốn tử đơn điệu để nghiên cứu tồn tính nghiệm cho mơ hình Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành luận văn này, trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn tới quan, gia đình bạn bè ln động viên, ủng hộ giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008 Ngơ Thị Việt Hằng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Nội dung chương bao gồm: số kiến thức sở khơng gian Hilbert thực giải tích lồi Tiếp sau khái niệm ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại Đồng thời trình bày số kết liên quan đến tính đơn điệu tốn tử đơn trị đa trị không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert thực Chúng ta không gian đơn giản khơng gian véc tơ tuyến tính trường số thực Đó tập hợp khác rỗng X mà có trang bị hai phép toán: phép toán cộng hai véc tơ phép toán nhân số thực với véc tơ: x1  x2  X , x1 , x2  X ;  x  X , x  X ,   R  Nếu X trang bị tô pô  họ tập X thỏa mãn tính chất:   ; X  ; A  , B   A  B  ; At   t  T    At  , tT ( T tập số bất kỳ) X gọi không gian véc tơ tô pô thường ký hiệu  X ,    Nếu X trang bị metric  ( ) với tính chất:  ( x, y )  0, x, y  X ;  ( x, y )   x  y ;  ( x, y )   ( y, x), x, y  X ;  ( x, y )   ( x, z )   ( y, z ), x, y, z  X X gọi khơng gian metric Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  Nếu X trang bị chuẩn || , || với tính chất: || x ||  0, x  X ; || x ||   x  ; ||  x ||  |  ||| x ||, x  X ,   R ; || x  y ||  || x ||  || y ||, x, y  X X gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Cho X khơng gian tuyến tính thực X gọi không gian tiền Hilbert nếu: với x, y  H , xác định số thực ký hiệu x, y gọi tích vơ hướng x, y  X , thỏa mãn tính chất sau: x, y  y, x ; x  y, z  x, z  y, z ;  x, y   x, y ,   R ; x, x  x  , x, x  x  Mệnh đề 1 (Xem [4]) Mọi không gian tiền Hilbert X khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định: x  x, x , x  X Định nghĩa 1.2 Cho X không gian định chuẩn Dãy xn   X gọi dãy X : lim xn  xm  m,n Nếu X,, dãy hội tụ, tức xn  xm  kéo theo tồn x0  X cho xn  x0 , X gọi không gian đủ Định nghĩa 1.3 Không gian tiền Hilbert đủ gọi không gian Hilbert, luận văn ta thống ký hiệu H không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.4 Hai véc tơ x, y  H gọi hai véc tơ trực giao với nhau, kí hiệu x  y , x, y  Từ định nghĩa dễ dàng suy tính chất đơn giản sau đây: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  x, x  X ; x  y  y  x ; x   y1, y2 , , yn   x  1 y1  2 y2   n yn , n  N * , i  R, i  1,2, ,n; x  yn , yn  y n   x  y Định nghĩa 1.5 Cho tập M  H , phần bù trực giao M , kí hiệu M  , tập hợp sau: M    x  H : x  y, y  M  Định lý 1.1 (Định lý F.Riesz) Với véc tơ a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức: f  x   a, x (1.1) Xác định phiếm hàm tuyến tính liên tục f  x  không gian H , với f  || a || (1.2) Ngược lại, phiếm hàm tuyến tính liên tục f ( x ) khơng gian Hilbert H biểu diễn cách dạng ( 1.1 ), a véc tơ H thỏa mãn (1.2) Chứng minh Phần thứ định lý, ta dễ chứng minh f  x   a, x rõ ràng phiếm hàm tuyến tính : f  x   a, x  a  x (1.3) f  a   a, a  a  a nên phiếm hàm giới nội thỏa mãn (1.2) (1.4) Để chứng minh phần ngược lại, ta xét phiếm hàm tuyến tính liên tục f ( x ) không gian Hilbert H Tập hợp M   x  H : f  x   0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn rõ ràng không gian đóng H Nếu M   0 dựa vào cách phân tích x  y  z với y  M , z  M  , ta thấy z  , f  x   f  y   với x  H , f  x   0, x , nghĩa ta có cách biểu diễn (1.1) với a  Vậy phải xét trường hợp M   0 Ta có f  x0   , nên véc tơ : a f  x0  x0  x0 , x0 Với x  H , y x f  x x0  M f  x0  f  y  f  x  f  x f  x0   f  x0  Mà x0  M  , y, x0  , tức x f  x f  x x0 , x0  x, x0  x0 x0  f  x0  f  x0  hay: f  x  Như vậy, f  x0  x0 , x  a, x x0 , x0 f  x  có dạng (1.2) Cách biểu diễn nhất, f  x   a, x a  a ' , x  , nghĩa a  a '  Cuối (1.3) (1.4) nên phải có (1.2) Định lí chứng minh  Định lý vừa chứng minh cho phép lập tương ứng đối phiếm hàm tuyến tính liên tục f H véc tơ a  H Tương ứng phép đẳng cự tuyến tính, ta đồng hóa phiếm hàm f với véc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tơ a sinh ta có H *  H , nghĩa : không gian Hilbert trùng với không gian liên hợp Cho A tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert H Với y  H cố định ta xét phiếm hàm f : H  R xác định sau: f  x   Ax, y , x  H Dễ thấy f phiếm hàm tuyến tính, liên tục H nên theo định lý 1.1 dạng tổng quát phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn y*  H để Ax, y  x, y* , x  H Định nghĩa 1.6 Cho A tốn tử khơng gian Hilbert H , ánh xạ A* : H  H xác định sau: y  H , A* y  y* đó: Ax, y  x, A* y  x, y * A* gọi toán tử liên hợp toán tử A Nhận xét 1.1 Toán tử liên hợp A* tồn 1.2 Tập lồi hàm lồi Định nghĩa 1.7 Tập D  H gọi tập lồi với x1, x2  D số thực    ta có:  x1  1    x2  D Nhận xét 1.2 Theo định nghĩa, tập  xem tập lồi Định nghĩa Tập K  H gọi nón có đỉnh nếu: x  K ,     x  K K  H gọi nón có đỉnh x0 K  x0 nón có đỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.16) f ( x) x K Mệnh đề 2.11 (i) Nếu x* nghiệm tối ưu tốn (2.16) x* nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP(K, F) (ii) Ngược lại, f hàm lồi nghiệm VIP(K,F) nghiệm (2.16) Chứng minh (i) Giả sử x* nghiệm tối ưu toán (2.16) Hiển nhiên, với x  K  t  ta có: z  x*  t ( x  x* )  K Từ giả thiết suy hàm biến:  (t )  f  x*  t ( x*  x)  ,  t  hàm khả vi đạt cực tiểu điểm t  Vì ta có:   (0)  f ( x* ), x  x*  F ( x* ), x  x* Điều chứng tỏ x* nghiệm VIP(K,F) (ii) Ngược lại, giả sử f hàm lồi x nghiệm VIP(K, F) Theo định nghĩa ta có: F ( x), y  x  0, y  K (2.17) Mặt khác, f hàm lồi nên: f ( y)  f ( x)  f ( x), y  x  F ( x), y  x Kết hợp với (2.17) suy ra: f ( y )  f ( x), y  K Chứng tỏ x nghiệm tối ưu toán (2.16) Mệnh đề chứng minh  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 2.12 Véc tơ x* nghiệm VIP  K ; F  nghiệm toán tối ưu: F  x*  , x (2.18) xK Chứng minh Hiển nhiên từ định nghĩa ta có: x*  SOL  VIP  K ; F   F  x*  , x  x*  0, x  K  F  x*  , x  F  x*  , x* , x  K Điều tương đương với x* nghiệm toán tối ưu (2.18) Mệnh đề chứng minh  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MƠ HÌNH NASH-COURNOT VỚI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU Phát biểu mơ hình Có n hãng tham gia sản xuất loại sản phẩm Ký hiệu xi U i  R sản lượng sản phẩm mà hãng i  i  1,2, , n  dự định thực Ta giả sử giá đơn vị sản phẩm hãng i cung cấp pi , phụ n thuộc vào tổng sản lượng tất hãng ký hiệu  :  xi , nghĩa ta có i 1 pi  pi   Đặt hi  xi  tổng chi phí sản xuất hãng i hãng thực kế hoạch sản lượng xi hàm lợi nhuận hãng xác định bởi:  n  fi  x1 , x2 , , xn   xi pi   xi   hi  xi  , i  1, 2, , n  i 1  (3.1) Mỗi hãng có chung mong muốn cực đại hàm lợi nhuận hãng Ta gọi Ui (i  1, 2, , n) tập chiến lược sản phẩm hãng i đặt: U  U1  U   U n tập chiến lược tất hãng Từ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.1 Điểm x*   x1* , x2* , , xn*  U gọi điểm cân mơ hình (cân Nash - Cournot) với i  1, 2, , n ta có: fi  x1* , , xi*1 , yi , xi*1 , , xn*   fi  x1* , , xi*1, xi* , xi*1, , xn*  , yi U i (3.2) Từ Định nghĩa 3.1 ta nhận thấy điểm cân có ý nghĩa kinh tế sau: Tại điểm cân bằng, hãng i0 (1  i0  n) tự ý thay đổi sản lượng sản phầm hãng mình, hãng lại (i  i0 ) giữ nguyên sản lượng cân bằng, lợi nhuận hãng i0 khơng tăng thêm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Vấn đề tiếp sau việc xác định tồn điểm cân cho mơ hình xây dựng sở cho thuật tốn tìm điểm cân Muốn vậy, mơ tả mơ hình dạng số lớp tốn có liên quan Mơ hình Nash-Cournot với tốn cân Với x  ( x1, x2 , , xn ) U y  ( y1, y2 , , yn ) U , ta đặt: n   x, y    fi  x1, , xi1, yi , xi 1, , xn  (3.3)   x, y     x, y    x, x  (3.4) i 1 Hiển nhiên  song hàm cân U ta cú bi toỏn cõn bng: tìm điểm x* U cho: ( EP )  *  ( x , y )  0, y U Mệnh đề 3.1 Điểm x* U điểm cân x* nghiệm toán cân (EP) Chứng minh Tính tốn trực tiếp từ (3.3) (3.4) ta có: ( x, y)    fi  x1, , x j 1 , x j , x j 1 , , xn   fi  x1 , , x j 1 , y j , x j 1 , , xn  n i 1 Giả sử x* U nghiệm toán (EP), tức là:   x* , y   0, y U (3.5) Ta chứng tỏ x*   x1* , x2* , , xn*  với xi* U i , điểm cân Thật vậy, giả sử ngược lại, x*   x1* , x2* , , xn*  với xi* U i không điểm cân Khi tồn i0 ,  i0  n giá trị yi0 U i cho:     fi0 x1* , , xi*0 1, xi*0 , xi*0 1, , xn*  fi0 x1* , , xi*0 1, yi0 , xi*0 1, , xn*   Lúc này, thay y  x1* , , xi*0 1, yi0 , xi*0 1, , xn* vào biểu thức ( x* , y) ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn     x* , y   fi0 x1* , , xi*0 1, yi0 , xi*0 1, , xn*  fi  x*   Điều mâu thuẫn với (3.5) Vậy x* điểm cân mơ hình Ngược lại, giả sử x* U điểm cân mơ hình Từ (3.2) - (3.4) ta có:   x* , y   0, y U Điều chứng tỏ x* nghiệm toán cân (EP) Mệnh đề chứng minh  Vậy là, tồn điểm cân cho mơ hình phụ thuộc vào tồn nghiệm cho tốn cân (EP) Đương nhiên phụ thuộc vào đặ tính hàm giá pi hay hàm chi phí hi (i  1, 2, , n) tập chiến lược U hãng 3 Mơ hình Nash-Cournot với tốn bất đẳng thức biến phân Mệnh đề 3.2 Giả sử U i tập khác rỗng, lồi đóng R fi hàm lõm khả vi liên tục theo biến yi tập Ui (i  1, 2, , n) Khi đó, điểm x*   x1* , , xn*  U điểm cân mơ hình x* nghiệm toán bất đẳng thức biến phân VIP U , F  , đó:  F  x    xi fi  x   n i 1 Chứng minh Giả sử x* điểm cân mơ hình Ta phải chứng minh x* nghiệm VIP U , F  , nghĩa là: F ( x* ), y  x*    xi fi ( x* )  yi  xi*   0, y U n (3.6) i 1 Thực vậy, từ (3.2) ta có xi* nghiệm toán tối ưu:    fi  x1* , xi*1 , yi , xi*1 , , xn*  yi U i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 (3.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo giả thiết ta có  fi hàm lồi theo biến yi (i  1, , n) Vì vậy, theo Mệnh đề 2.11, với i  1, 2, , n xi* nghiệm bất đẳng thức biến phân:  xi fi ( x* )  yi  xi*   0, yi U i (3.8) Từ dễ dàng suy (3.6), hay x* nghiệm VIP U , F  Ngược lại, giả sử x* nghiệm VIP U , F  Từ (3.6), cách lấy: y   x1* , , xi*1 , yi , xi*1 , , xn*  ( yi U i ) ta suy (3.8) Do tính lồi hàm  fi lại áp dụng Mệnh đề 2.11 ta có xi* nghiệm tối ưu toán (3.7), với i  1, 2, , n Điều chứng tỏ x* điểm cân mơ hình Mệnh đề chứng minh  Mơ hình Nash-Cournot với toán tử đơn điệu Theo [9], đưa giả thiết sau Giả thiết 3.1 (i) Giả sử hàm giá: pi ( )  p( ) : R  R khả vi liên tục hai lần khơng tăng Ngồi ra, hàm  : R  R định nghĩa bởi:  ( )   p(   ) hàm lõm với   (ii) Các hàm chi phí: hi : R  R (i  1, , n) hàm lồi, khả vi liên tục hai lần Cũng theo [9], ta đặt:   n T T H  x   h1  x1  , h2  x2  , , hn  xn  , e  1,1, ,1  R n , x   xi  x, e i 1 Khi đó, có mệnh đề sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 3.4 (Xem [9]) Bài tốn tìm điểm cân Nash tương đương với tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân VIP U , F  với ánh xạ: F  x   H  x   p  x  e  p  x  x (3.9) Từ Giả thiết 3.1, dễ thấy H ánh xạ đơn điệu Ngoài ra: F  x   H  x   C  x  , C  x  xác định sau:  p  x   x1 p  x  p  x   x1 p  x    p  x   x2 p  x  p  x   x2 p  x  C ( x)     p    x p   p    x p   x n x x n x  p  x   x1 p  x    p  x   x2 p  x     p  x   xxn p  x   Mệnh đề 3.5 Nếu Giả thiết 3.1 p ánh xạ affine với p  x   Khi đó, ánh xạ F (3.9) đơn điệu mạnh Rn Chứng minh Với y  Rn , ta có: F  x  y, y  H  x  y, y  p  x   y   y   p '  x   xi p ''  x   yi n n ' i 1 i i 1 n n   p  x   y  p  x    y p  x   xi yi ' i 1 i ' y '' i 1 n n i 1 i 1   p  x   yi2   y p  x   xi yi Hiển nhiên, p ánh xạ affine p  x   ta có được: F  x  y, y   p  x  y , y  R n Mặt khác, theo giả thiết thì:  p( x )  Theo [9] (Mệnh đề 1.1.5), ánh xạ F đơn điệu mạnh Rn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 3.6 (Xem [9]) Nếu Giả thiết 3.1 p hàm lồi ánh xạ F (3.9) đơn điệu Mệnh đề 3.7 Giả sử hàm p hi affine, nghĩa là:  p( )     ,   0,   0;  hi ( xi )   i xi   i ,  i  0,  i  0, i  1, 2, , n Khi đó, Giả thiết 3.1 thỏa mãn, F ánh xạ đơn điệu mạnh mơ hình có nghiệm Chứng minh Tính tốn trực tiếp ta có: fi ( x)  xi (   x )   i xi   i , i  1, 2, , n F ( x)  ( 1, ,  n )T  (   x )e   x Từ suy ra:  2   F ( x )        2        2  Do   nên F ( x) ma trận đối xứng, xác định dương hay ánh xạ F đơn điệu mạnh Theo Định lý 2.5, VIP(U, F) hay mơ hình có nghiệm Mệnh đề chứng minh  Lưu ý rằng, hàm giá khơng cịn chung cho tất hãng, hay hãng có hàm giá pi (i  1, , n) riêng hàm pi thỏa mãn Giả thiết 3.1 điều kiện Mệnh đề 3.7, tính đơn điệu ánh xạ F khơng cịn Chúng ta trình bày tồn nghiệm cho mơ hình mệnh đề Trước hết ta xét bổ đề: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 3.1 (Xem [9]) Cho U  Rn tập lồi, đóng khác rỗng,  song hàm cân xác định U Giả sử với x U cố định,   x,. hàm lồi, khả vi liên tục tập mở W  U Đặt J  x   y yx Khi đó, tốn cân (EP) tương đương với toán bất đẳng thức bin phõn: tìm điểm x U cho: J  x  , y  x  0, y U (3.10) Mệnh đề 3.8 Giả sử rằng: U i  [ai , bi ];   pi ( )   i  i ,  i  0, i  0; h ( x )   x   ,   0,   0, i  1, 2, , n i i i i i  i i Khi đó, mơ hình có nghiệm Chứng minh Tính tốn trực tiếp ta có: ˆ     , y  x  yT By  xT Bx, ( x, y)  Bx (3.11) đó:   (1, , n )T ;   (1, , n )T ;   (1, , n )T ;  1 0 B   0 2 0 0   ˆ   ;B      n   n 1 n 1 1     n    Hiển nhiên ma trận B đối xứng, xác định dương song hàm cân  thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.1 Tính tốn trực tiếp, tốn bất đẳng thức biến phân (3.10) có dạng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn 61 http://www.lrc-tnu.edu.vn tìm điểm x U cho:  ˆ  Qx     , y  x  0, y U , (3.12) đó:  21 1  2 ˆ ˆ Q : B  B     n  n 1  1      2 n  n Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 2.12, x nghiệm bất đẳng thức biến phân (3.12) x nghiệm tối ưu qui hoạch tuyến tính:   ˆ  (    )T y yT Qx y U (3.13) Áp dụng định lý Kuhn - Tucker cho qui hoạch tuyến tính (3.13), x nghiệm tối ưu tồn số thực không âm 2i , 2i1 (i  1, 2, , n) thỏa mãn hệ: n     i  xi   x j   i   i  2i 1  2i  0, j 1     ( x  a )  0, i  2i 1 i 2i ( xi  bi )  0, a  x  b , i i  i 2i 1  0, 2i  (i  1, , n)   (3.14) Do i  0, i  1, , n , hệ (3.14) viết lại là: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 http://www.lrc-tnu.edu.vn n   1 x   i  x j   ( i   i )  2i 1  2i  0, i i j 1  i  1  2i 1 ( xi  )  0,  i   2i ( xi  bi )  0,  i ai  xi  bi ,     0,   (i  1, , n)   2i 1 i 2i i   (3.15) Đặt: qi  i ( i   i );  2i 1  i 2i 1;  2i  i 2i , i  1, 2, , n Khi đó, hệ (3.15) viết lại là: n   x  x  i  j   qi   2i 1   2i  0, j 1    ( x  a )  0, i  2i 1 i  2i ( xi  bi )  0, a  x  b , i i  i  2i 1  0,  2i  (i  1, , n)   (3.16) Theo Định lý Kuhn - Tucker, hệ (3.16) điều kiện cần đủ để x nghiệm tối ưu qui hoạch toàn phương lồi mạnh: 1   xT Cx  qT x  , x U 2  đó: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 1 C    1   ; q  (q1 , q2 , , qn )   1  Bài toán tối ưu ln có nghiệm Mệnh đề chứng minh  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết nghiên cứu tốn tử đơn điệu không gian Hilbert thực, ứng dụng việc khảo sát tốn bất đẳng thức biến phân, đặc biệt mơ hình kinh tế Nash – Cournot Ở số kết quả, chúng tơi đưa thêm hệ quả, nhận xét ví dụ minh họa để làm rõ ý nghĩa kết trình bày Luận văn đưa kết thơng báo khơng có kết Mặc dù cố gắng, thời gian khả cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng (Sắp xuất bản) [3] Nguyễn Văn Quý (2006), “Tiếp cận bất đẳng thức biến phân tối ưu hóa giải mơ hình cân thị trường độc quyền tập đồn Nash-Cournot với hàm chi phí lõm”, Tạp chí Ứng Dụng Tốn Học, tập IV(số 1), 1-23 [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội [5] Browder (1965), Multi-valued Monotone Nonliear Mappings and Duality Mappings in Banach Spaces, Trans Amer Math Soc 118, 338-351 [6] Ekeland I and Aubin P J (1984), Applied Nonliear Analysis, a WileyInterscience Publication JOHN WILEY & SONS, USA [7] Hien N V (2004), An Introduction to Variational Inequalities and Related Problems, Ha Noi [8] Kinderlehrer D and Stampacchia G (1980), An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, 1980 [9] Konnov I (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, Berlin [10] McCormick P G (1983), Nonliear Programming Theory Algorithms and Applications, a Wiley-Interscience Publication JOHN WILEY & SONS, USA [11] Muu L D., Hien N V., Quy N V (2008), “On Nash - Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions”, J Glob Optim, 41: 351 - 364 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 http://www.lrc-tnu.edu.vn [12] Rockafellar R T (1970), “On The Maximality of Sum of Nonlinear Monotone Operators”, Transactions of The American Mathetatical Society, Volume 149 [13] Rockafellar R T (1965), “Multivalued Monotone nonlinear mappings in banach spaces “; Trans Amer Math Soc 118, 338-351 [14] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 http://www.lrc-tnu.edu.vn