Toán học Giải một lớp bài toán hình nhờ số phức41442

Header Page of 52 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Văn Chiến GIẢI MỘT LỚP BÀI TỐN HÌNH HỌC NHỜ SỐ PHỨC Chun ngành: Tốn Sơ Cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khối Thái Ngun, năm 2012 1S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Mục lục Mở đầu Định nghĩa số phức 1.1 Sự biểu diễn đại số số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.2 Dạng đại số số phức 1.3 Ý nghĩa hình học số phức modun 1.3.1 Ý nghĩa hình học số phức 1.3.2 Ý nghĩa hình học modun 1.3.3 Ý nghĩa hình học phép tốn đại số 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Tọa độ cực mặt phẳng 1.4.2 Tọa độ cực số phức 1.4.3 Các phép toán số phức tọa độ cực 1.4.4 Ý nghĩa hình học phép nhân 1.4.5 Các bậc n đơn vị Số phức hình học 2.1 Một vài khái niệm tính chất 2.1.1 Khoảng cách hai điểm 2.1.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng 2.1.3 Chia đoạn thẳng theo tỉ số 2.1.4 Góc định hướng 2.1.5 Góc hai đường thẳng 2.1.6 Phép quay điểm 2S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn 5 6 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 19 19 19 19 22 22 23 23 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 2.2 Điều kiện thẳng hàng, vng góc trịn Tam giác đồng dạng Tam giác Tích thực hai số phức thuộc đường 25 27 31 36 Hình học giải tích số phức 3.1 Phương trình đường thẳng 3.2 Phương trình đường thẳng xác định hai điểm 3.3 Phương trình đường thẳng xác định điểm phương 3.4 Hình chiếu vng góc điểm lên đường thẳng 3.5 Khoảng cách từ điểm đến đương thẳng 3.6 Đường tròn 3.7 Phương tích điểm đường tròn 3.8 Góc hai đường trịn 40 40 41 42 43 44 44 46 46 2.3 2.4 2.5 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 3S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Mở đầu 1.Lí chọn đề tài Với tốn hình học sơ cấp việc tìm nhiều phương pháp giải đem lại cho người học nhiều hứng thú ham thích học mơn tốn Đặc biệt giáo viên, em học sinh trực tiếp giảng dạy học tập cấp học phổ thông Bản thân giáo viên giảng dạy trường THPT, nên đề tài có ý nghĩa thực tiễn Vì tơi lựa chọn đề tài Có nhiều cách tiếp cận nghiên cứu đa giác phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ, Tuy vậy, đề tài tác giả xin trình bày số ứng dụng số phức việc nghiên cứu giải số toán hình học sơ cấp Cũng nội dung đề tài gồm kiến thức số phức, số kiến thức hình học số ứng dụng số phức việc nghiên cứu số tốn hình học sơ cấp Mục đích nghiên cứu Hệ thống tổng quát toán đa giác phương pháp số phức ứng dụng khác trường phổ thông Đồng thời nắm số kĩ thuật tính tốn biến đổi hình học liên quan đến số phức Nhiệm vụ đề tài Đưa định nghĩa phép toán số phức cách tổng quát có ví dụ minh họa kèm theo, ngồi đề tài sâu mở rộng mảng kiến thức số phức áp dụng hình học, đặc biệt tốn đa giác Bên cạnh đó, qua việc nghiên cứu đề tài trang bị cho thân thêm số nguồn tư liệu trình giảng dạy nghiên cứu 4S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán hình học dùng số phức vào giải tốn hình học sơ cấp, xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS – TSKH Hà Huy Khoái, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chun tốn, Tạp chí toán học tuổi trẻ, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Trung học phổ thơng Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo việc dạy học toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức hình học Chương III: Hình học giải tích số phức Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Hà Huy Khối, người tận tình giúp đỡ, động viên ân cần bảo cho em hoàn thành luận văn Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học toán K4C trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt nhất, nhiệt tình giảng dạy định hướng cho em trình học tập nghiên cứu Tuy cố gắng nghiên cứu đề tài viết luận văn, song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy, đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp để luận văn em hoàn chỉnh có ý nghĩa thiết thực Trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 5S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 Chương Định nghĩa số phức 1.1 1.1.1 Sự biểu diễn đại số số phức Định nghĩa số phức Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất sở tập hợp số thực R Ta xét tập hợp R2 = R.R = {(x, y) | x, y ∈ R } Hai phần tử (x1 , y1 ) v (x2 , y2 ), x1 = x2 y1 = y2 Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau: Và z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 Với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét: 1)Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) 2)Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa: Tập hợp R2 với phép tốn cộng nhân,được gọi tập số phức, kí hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C\ {(0, 0)} 6S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng số phức (a) Tính giao hốn: z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C (b) Tính kết hợp: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C (c) Phần tử đơn vị: Có số phức 0=(0,0) để z + = + z = z với z = (x, y) ∈ C (d) Phần tử đối: Mỗi số phức z = (x,y) có số phức –z = (-x,-y) cho z + (−z) = (−z) + z = 1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn điều kiện sau Tính giao hốn: z1 z2 = z2 z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị: Có số phức = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z Số phức = (1, 0) gọi phần tử đơn vị với z ∈ C Phần tử nghịch đảo: Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C, z = có số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = số phức z −1 = (x, , y , ) gọi phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = ; z = z ; z = z.z , z n = z.z z với số nguyên n > n lâ n z = (z ) với số nguyên n < Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số ngun m,n ta có tính chất sau 1)z m z n = z m+n ; zm 2) n = z m−n ; z 3) (z m )n = z mn ; 4)(z1 z2 )n = z1n z2n ; z1 n z1n = n 5) z2 z2 Khi z = ta định nghĩa 0n = với số nguyên n > Tính phân phối: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với z1 , z2 , z3 ∈ C∗ Trên tính chất phép cộng phép nhân,thấy tập hợp C số phức với phép toán lập thành trường n −1 −n 7S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 1.2 Dạng đại số số phức Mỗi số phức biểu diễn cặp số thứ tự, nên thực biến đổi đại số thường khơng thuận lợi Đó lí để tìm dạng khác viết Ta đưa vào dạng biểu diễn đại số Xét tập hợp R × {0} với phép tốn cộng nhân định nghĩa R2 Hàm số f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) song ánh (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Người đọc không sai lầm ý phép toán đại số R × {0} đồng với phép tốn R; đồng cặp số (x, 0) với số x, với x ∈ R Ta sử dụng song ánh kí hiệu (x, 0) = x Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0) Từ ta có mệnh đề Mệnh đề 1.2.1 Mỗi số phức z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + yi Với x, y số thực i2 = −1 Hệ thức i2 = −1 suy từ định nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 Biểu thức x + yi gọi biểu diễn đại số số phức z = (x, y) Vì ta viết C = x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1 Từ ta kí hiệu z = (x, y) z = x + yi Số thực x = Re(z) gọi phần thực số phức z , y = Im(z) gọi phần ảo z Số phức có dạng yi , y ∈ R gọi số ảo Số phức có dạng yi , y ∈ R∗ gọi số ảo, số phức i gọi đơn vị ảo Từ hệ thức ta dế dàng có kết sau a) z1 = z2 Re(z1 ) = Re(z2 ) Im(z1 ) = Im(z2 ) b) z ∈ R Im(z) = 8S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 52 c) z ∈ C\R Im(z) = Sử dụng dạng đại số, phép toán số phức thực sau: Phép cộng z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C Dễ thấy tổng hai số phức số phức có phần thực tổng phần thực, có phần ảo tổng phần thực ảo Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) Phép trừ z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C Ta có Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 ) Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ) Phép nhân z1 z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C Ta có Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ) Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ) Mối số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C tích số thực với số phức Ta có tính chất sau 1) λ(z1 + z2 ) = λz1 + λz2 2) λ1 (λ2 z) = (λ1 λ2 )z 3)(λ1 + λ2 )z = λ1 z + λ2 z Lũy thừa số i 9S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 52 Các công thức cho số phức với lũy thừa số nguyên bảo toàn dạng đại số z = x + yi Xét z = i, ta thu được: i0 = ; i4 = i3 i = 1; i1 = i ; i2 = −1 ; i3 = i2 i = −i i5 = i4 i = i ; i6 = i5 i = −1; i7 = i6 i = −i Ta tổng quát công thức số mũ nguyên dương n i4n = ; i4n+1 = i ; i4n+2 = −1 ; i4n+3 = −i Vì in ∈ {−1 , , −i , i} với số nguyên n nguyên âm ta có: i n = i −1 −n = i −n Nếu n số = (−i)−n Số phức liên hợp Mỗi số phức z = x + yi có số phức z = x − yi, số phức gọi số phức liên hợp số phức liên hợp số phức z Mệnh đề 1.2.2 1) Hệ thức z = z z ∈ R; 2) Mỗi số phức z ta ln có đẳng thức z = z; 3) Mỗi số phức z ta ln có z.z số thực khơng âm; 4) z1 + z2 = z1 + z2 (số phức liên hợp tổng tổng số phức liên hợp); 5) z1 z2 = z1 z2 (số phức liên hợp tích tích số phức liên hợp); 6) Mỗi số phức z khác đẳng thức sau z −1 = z −1 ; z1 z1 7) = , z2 = (liên hợp thương thương liên z2 z2 hợp); 10S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 11 of 52 10 8) Công thức Re(z) = z ∈ C z−z z+z Im(z) = , với số phức 2i Ghi chú: a) phần tử nghịch đảo số phức z ∈ C∗ tính sau z = z x − yi x y = = − i z.z x + y2 x2 + y x2 + y b) Số phức liên hợp sử dụng việc tìm thương hai số phức sau x1 x2 + y1 y2 −x1 y2 + x2 y1 z1 z2 (x1 + y1 i) (x2 − y2 i) z1 = + i = = 2 z2 z2 z2 x2 + y2 x22 + y22 x22 + y22 Modun số phức Số |z| = x2 + y gọi modun số phức z = x + yi Mệnh đề 1.2.3 1) − |z| Re(z) |z| − |z| Im(z) |z| ; 2) |z| , ∀ z ∈ C, |z| = z = 0; 3) |z| = |−z| = |z| ; 4) z.z = |z|2 ; 5) |z1 z2 | = |z1 | |z2 | ; (mô đun tích tích mơ đun) 6) |z1 | − |z2 | |z1 + z2 | |z1 | + |z2 | ; −1 −1 = |z| , z = 0; 7) z z1 |z1 | 8) , z2 = 0; (mơ đun tích tích mô đun) = z2 |z2 | 9) |z1 | − |z2 | |z1 − z2 | |z1 | + |z2 | 1.3 1.3.1 Ý nghĩa hình học số phức modun Ý nghĩa hình học số phức Chúng ta định nghĩa số phức z = (x, y) = x + yi cặp số thực thứ tự (x, y) ∈ R × R, hoàn toàn tự nhiên xem số phức z = x + yi điểm M (x, y) khơng gian R × R 11S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 12 of 52 11 Xét P tập hợp điểm không gian với hệ trục tọa độ xOy song ánh φ : C → P , φ (z) = M (x, y) Điểm M (x; y) gọi dạng hình học số phức z = x + yi Số phức z = x + yi gọi tọa độ phức điểm M (x; y) Chúng ta kí hiệu M (z) để tọa độ phức điểm M số phức z Dạng hình học số phức liên hợp z sô phức z = x + yi điểm M ′ (x, −y) đối xứng với M (x, y) qua truc tọa độ Ox ′′ Dạng hình học số đối -z số phức z = x + yi điểm M (−x; −y) đối xứng với M (x, y) qua gốc tọa độ O Song ánh φ từ tập R lên trục Ox ta gọi trục thực, lên trục Oy ta gọi trục ảo Không gian với điểm đồng với số phức gọi không gian phức −−→ − Ta đồng số phức z = x + yi với vectơ → v = OM , với M (x, y) dạng hình học số phức z Gọi V0 tập hợp vectơ có điểm gốc gốc tọa độ O Ta định nghĩa song ánh: −−→ → − → − → − → − φ′ : C → V0 , φ′ (z) = OM = x i + y j , với i , j vectơ đơn vị trục tọa độ Ox, Oy 1.3.2 Ý nghĩa hình học modun Xét số phức z = x + yi biểu diễn hình học mặt phẳng M (x, y) Khoảng cách Ơclit OM cho công thức (xM − xO )2 + (yM − yO )2 − Vì OM = x2 + y = |z| = |→ v | môđun |z| số phức z = x + yi → − → − − độ dài đoạn thẳng OM độ lớn vectơ → v =x i +y j OM = Chú ý: a) Mỗi số thực dương r, tập hợp số phức có modun r tương đương với đường tròn C(O; r) tâm O bán kính r mặt phẳng b) Các số phức z với |z| < r điểm nằm bên đường tròn C(O; r) Các số phức z với |z| > r điểm nằm bên đường trịn 12S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 13 of 52 12 C(O; r) 1.3.3 Ý nghĩa hình học phép tốn đại số a) Phép cộng phép trừ Xét hai số phức z1 = x1 + y1 i z2 = x2 + y2 i tương đương với hai vectơ → − → − → − → − → − − v1 = x1 i + y2 j → v2 = x2 i + y2 j Tổng hai số phức z1 + z2 = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) i tổng hai vectơ → − → − → − − v1 + → v2 = (x1 + x2 ) i + (y1 + y2 ) j Vì z1 + z2 tương đương với → − − v1 + → v2 Hoàn toàn tương tự phép trừ Hiệu hai số phức z1 − z2 = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 ) i hiệu hai vectơ → − → − → − − v1 − → v2 = (x1 − x2 ) i + (y1 − y2 ) j Vì z1 − z2 tương đương với → − − v1 − → v2 Chú ý: Khoảng cách M1 (x1 , y1 ) M2 (x2 , y2 ) modun số − − phức z1 − z2 độ dài vectơ → v1 − → v2 − − Vậy M M = |z − z | = |→ v −→ v | = (x − x )2 + (y − y )2 2 2 b.Tích số thực số phức → − → − − Xét số phức z = x + yi tương đương với véc tơ → v = x i + y j Nếu λ số thực, tích số thực λz = λx + λyi tương đương với vectơ → − → − − λ→ v = λx i + λy j − − − − Chú ý: Nếu λ > vectơ λ→ v → v hướng |λ→ v | = λ |→ v |, − − − − λ < vectơ λ→ v → v ngược hướng |λ→ v | = −λ |→ v | Tất nhiên → − − λ = λ→ v = 1.4 1.4.1 Dạng lượng giác số phức Tọa độ cực mặt phẳng Xét mặt phẳng tọa độ với M (x, y) không trùng gốc tọa độ Số thực r = x2 + y gọi bán kính cực điểm M Góc định hướng −−→ t∗ ∈ [0, 2π) vectơ OM với chiều dương trục tọa độ Ox gọi 13S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 14 of 52 13 argumen cực điểm M Cặp số (r, t∗ ) gọi tọa độ cực điểm M Ta viết M (r, t∗ ) Chú ý hàm số h : R × R\ {(0, 0)} → (0, ∞) x [0, 2π) , h ((x, y)) = (r, t∗ ) ; song ánh Gốc tọa độ O điểm cho r = 0, argumen t∗ gốc không định nghĩa Mỗi điểm M mặt phẳng, có giao điểm P tia OM với đường tròn đơn vị gốc O Điểm P giống argument cực t∗ Sử dụng định nghĩa hàm sin cos ta có x = r cos t∗ , y = r sin t∗ Vì ta dễ dàng có tọa độ Đề Các điểm từ tọa độ cực Ngược lại, xét điểm M (x, y) Bán kính cực r = x2 + y Ta xác định argument cực trường hợp sau y a) Nếu x = 0, từ tant∗ = ta suy t∗ = arctan xy + kπ x Với  x > , y   k = x < , y ∈ R   x > , y < π  y >  ∗ b) Nếu x = y = t = 3π   y < 1.4.2 Tọa độ cực số phức Mỗi số phức z = x + yi ta viết dạng cực z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) Với r ∈ [0, ∞) t∗ ∈ [0, 2π) tọa độ cực dạng hình học số phức z Argument cực dạng hình học số phức z gọi argument z , kí hiệu arg z Bán kính cực dạng hình học số phức z mô đun cua z Khi z = mô đun argument z xác định cách 14S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 15 of 52 14 Xét z = r (cos t∗ + i sin t∗ ) t = t∗ + 2kπ với k số nguyên z = r (cos (t − 2kπ) + i sin (t − 2kπ)) = r (cos t + i sin t) Mỗi số phức z biểu diễn z = r (cos t + i sin t) với r t ∈ R Tập hợp Arg z = {t = t∗ + 2kππ , k ∈ Z} gọi arguent mở rộng số phức z Vì thế, hai số phức z1 , z2 = có dạng z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) r1 = r2 v Chú ý: Các dạng sau nên nhớ t1 − t2 = 2kπ , với k số nguyên π π i = cos + i sin , 2 3π 3π −1 = cosπ + i sin π , −i = cos + i sin 2 = cos0 + i sin , 1.4.3 Các phép toán số phức tọa độ cực Phép nhân Giả sử z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) ; z1 z2 = r1 r2 (cos (t1 + t2 ) + i sin (t1 + t2 )) Lũy thừa số phức (De moirve) Cho z = r (cos t + i sin t) , n ∈ N, ta có z n = rn (cos nt + i sin nt) Phép chia Giả sử z1 = r1 (cos t1 + i sin t1 ) v z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) ; z1 r1 = (cos (t1 − t2 ) + i sin (t1 − t2 )) z2 r2 1.4.4 Ý nghĩa hình học phép nhân Xét z1 = r1 (cos t∗1 + i sin t∗1 ) z2 = r2 (cos t∗2 + i sin t∗2 ) Biểu diễn hình học chúng M1 (r1 , t∗1 ) , M2 (r2 , t∗2 ) Gọi P1 , P2 giao điểm C(O, 1) với tia (OM1 (OM2 Lấy P3 ∈ C(O, 1) với argument 15S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 16 of 52 15 cực t∗1 + t∗2 chọn M3 ∈ (OP3 cho OM3 = OM1 OM2 Lấy z3 có tọa độ M3 Điểm M3 (r1 r2 , t∗1 + t∗2 ) dạng hình học z1 z2 Lấy A dạng hình học số phức Ta có OM2 OM2 OM3 OM3 = = ⇔ M2 OM3 = AOM1 nên hai tam giác OM1 OM2 OA M2 OM3 AOM1 đồng dạng Khi biểu diễn dạng hình học thương ý dạng hình học z3 điểm M1 z2 1.4.5 Các bậc n đơn vị Cho số nguyên dương n số phức z0 = 0, giống trường số thực, phương trình Z n − z0 = sử dụng định nghĩa bậc n số z0 Vì giá trị Z thỏa mãn phương trình bậc n z0 Định lý 1.4.1 [?] Cho z0 = r (cos t∗ + i sin t∗ ) số phức với r > t∗ ∈ [0, 2π) Số phức z0 có n bậc n phân biệt cho công thức Zk = √ n t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ + i sin r cos n n với k = 0, n − Chứng minh: Sử dụng dạng cực số phức với argument xác định Z = ρ (cosφ + i sin φ) Theo định nghĩa Z n = z0 hay ρn (cosnφ + i sin nφ) = r (cos t∗ + i sin t∗ ) Ta có ρ = r nφ = t +2kπ với k ∈ Z Vì ρ = n với k ∈ Z ∗ √ n 2π t∗ r φk = +k n n t∗ + 2kπ t∗ + 2kπ + i sin với n n k ∈ Z Nhận thấy φ0 < φ1 < φn−1 , số φk , k ∈ {0, , n − 1} argument φ∗k = φk Ta có n giá trị phân Do nghiệm (1) Zk = 16S hóa b i Trung tâm H c li u – √ n r cos i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 17 of 52 16 biệt z0 Z0 , Z1 , , Zn−1 Cho k số nguyên r ∈ {0, 1, , n − 1}, r đồng dư với k theo moduln Khi k = nq + r ∈ Z φk = t∗ 2π t∗ 2π + (nq + r) = + r + 2qπ = φr + 2qπ n n n n Nhận thấy Zk = Zr {Zk : k ∈ Z} = {Z0 , Z1 , , Zn−1 } Vậy có xác n giá trị phân biệt bậc n Biểu diễn hình học giá trị bậc n đỉnh n giác nội tiếp đương trịn √ có tâm gốc tọa độ, bán kính n r Ta chứng minh điều sau, kí hiệu M0 , M1 , , Mn−1 điểm có √ tọa độ phức Z0 , Z1 , , Zn−1 OMk = |Zk | = n r với k ∈ {0, 1, , n − 1} √ nên điểm Mk nằm đường tròn C (O, r n) Bên cạnh đó, số đo cung Mk Mk+1 t∗ + (k + 1) π − (t∗ + 2kπ) 2π arg Zk+1 − arg Zk = = n n 2π 2π = 2π − (n − 1) với k ∈ {0, 1, , n − 2} số đo cung Mn−1 M0 n n Vì tất cung M1 M2 , , Mn−1 M0 nên đa giác M0 M1 Mn−1 đa giác Căn bậc n đơn vị Các nghiệm phương trình Z n − = gọi bậc n đơn vị Vì = cos0 + i sin Nên từ công thức bậc n số phức ta có bậc n đơn vị εk = cos 2kπ 2kπ + i sin , k ∈ {0, 1, , n − 1} n n Cụ thể ta có ε0 = cos + i sin = 1; 2π 2π + i sin = ε; ε1 = cos n n 4π 4π ε2 = cos + i sin = ε2 ; n n .; (n − 1) π (n − 1) π + i sin = εn−1 n n Tập hợp 1, ε, ε2 , , εn−1 kí hiệu Un Ta có tập hợp Un sinh ε , phần tử Un lũy thừa ε Giống trước, biểu diễn hình học bậc n số phức εn−1 = cos 17S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 18 of 52 17 đỉnh đa giác n cạnh, nội tiếp đường trịn đơn vị mà có đỉnh Ta xét vài giá trị n i) Với n = 2, phương trình Z − = có nghiệm −1 bậc hai đơn vị ii) Với n = 3, phương trình Z − = có nghiệm cho cơng 2kπ 2kπ + i sin với k ∈ {0, 1, 2} thức εk = cos 3 √ 2π 2π + i sin = − + i , Vì ε0 = , ε1 = cos 2 √ 4π 2π ε2 = cos + i sin =− −i 3 2 Đây đỉnh tam giác nội tiếp đường tròn C (O, 1) 2kπ 2kπ + i sin iii) Với n = 4, bậc εk = cos 4 với k ∈ {0, 1, 2, 3} Cụ thể sau π π ε0 = , ε1 = cos + i sin = i 2 3π 3π ε2 = cosπ + i sin π = −1 , ε3 = cos + i sin = −i 2 Ta có U4 = 1, i, i2 , i3 = {1, i, −1, −i} Biểu diễn hình học bậc bốn đỉnh hình vng nội tiếp đường trịn C (O, 1) có đỉnh Căn εk ∈ Un gọi nguyên thủy số nguyên dương m < n ta có εm k = Mệnh đề 1.4.2 a) Nếu n|q, nghiệm phương trình Z n − = nghiệm phương trình Z q − = b) Nghiệm chung phương trình Z m − = Z n − = nghiệm phương trình Z d − = , với d=gcd(m,n) (d: ước chung lớn nhất), Um ∩ Un = Ud c) Các nghiệm nguyên thủy phương trình Z m − = εk = cos với k 2kπ 2kπ + i sin m m m gcd (k, m) = 18S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 19 of 52 18 Mệnh đề 1.4.3 Nếu ε ∈ Un nguyên thủy đơn nghiệm phương trình Z n − = εr , εr+1 , , εr+n−1 với n số nguyên dương tùy ý Mệnh đề 1.4.4 Cho ε0 , ε1 , , εn−1 bậc n đơn vị Với số ngun dương n ta ln có hệ thức n−1 εkj = j=0 n , n ước k , n không ước k Mệnh đề 1.4.5 Cho p số nguyên tố ε = cos 2π 2π + i sin Nếu p p a0 , a1 , , ap−1 số nguyên khác không, hệ thức a0 + a1 ε + + ap−1 εp−1 = a0 = a1 = = ap−1 19S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 20 of 52 19 Chương Số phức hình học 2.1 2.1.1 Một vài khái niệm tính chất Khoảng cách hai điểm Giả sử số phức z1 z2 có biểu diễn hình học điểm M1 M1 khoảng cách hai điểm M1 M1 cho công thức M1 M2 = |z1 − z2 | Hàm khoảng cách d : C.C → [0, ∞) định nghĩa sau d (z1 , z2 ) = |z1 − z2 | Và thỏa mãn tính chất a) Dương không suy biến d (z1 , z2 ) , ∀z1 , z2 ∈ C d (z1 , z2 ) = z1 = z2 b) Đối xứng d (z1 , z2 ) = d (z2 , z1 ) , ∀ z1 , z2 ∈ C c) Bất đẳng thức tam giác d (z1 , z2 ) d (z1 , z3 ) + d (z3 , z2 ) , ∀ z1 , z2 , z3 ∈ C Đẳng thức xảy có số thực dương k cho z3 − z1 = k (z2 − z3 ) 2.1.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng Cho A B hai điểm phân biệt ,trong mặt phẳng phức có tọa độ a b Ta nói điểm M có tọa độ z nằm A B z = a , z = b hệ thức sau thỏa mãn |a − z| + |z − b| = |a − b| Ta sử dụng kí hiệu A − M − B Tập hợp (AB) = {M : A − M − B} gọi đoạn thẳng mở xác định 20S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trình bày số ứng dụng số phức việc nghiên cứu giải số tốn hình học sơ cấp Cũng nội dung đề tài gồm kiến thức số phức, số kiến thức hình học số ứng dụng số phức việc nghiên cứu số toán hình học sơ... đại số số phức 1.3 Ý nghĩa hình học số phức modun 1.3.1 Ý nghĩa hình học số phức 1.3.2 Ý nghĩa hình học modun 1.3.3 Ý nghĩa hình học phép toán đại số ... sáng tạo việc dạy học tốn Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương I: Định nghĩa số phức Chương II: Số phức hình học Chương III: Hình học giải tích số phức Qua tác