De de nghi mon toan 11

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI BẮC BỘ LẦN THỨ III MÔN: TOÁN - LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4điểm )Cho phương trình: ax   b  c  x   d  e  0  1 có nghiệm khơng nhỏ Chứng minh phương trình ax  bx  cx  dx  e 0   có nghiệm ( K11 – 2014) Bài 2: (4 điểm)Cho mặt cầu tâm O , bán kính R ABCD tứ diện nội tiếp mặt cầu Hãy xác định giá trị lớn biểu thức: S BC  BD  CD  AB  AC  AD Bài 3: (4 điểm) Tìm tất đa thức P  x  với hệ số thực thỏa mãn: P  x   P  1   P  x  1  P  x  1  x   Bài 4: (4 điểm) Cho dãy số  xn  xác định sau: x1  3; xn1  xn2  11xn  Tìm nlim    n  * xn1 xn Bài 5: (4 điểm)Tồn hay không tập hợp gồm 2010 số nguyên dương với tính chất: loại số khỏi tập hợp tập hợp 2009 số cịn lại chia thành hai tập với tổng số (thuộc tập đó) HẾT TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI BẮC BỘ LẦN THỨ III MƠN: TỐN - LỚP 11 Nội dung Điểm Cho phương trình: ax   b  c  x   d  e  0  1 có nghiệm không nhỏ Chứng minh phương trình ax  bx  cx  dx  e 0   có nghiệm Đặt f  x  ax  bx  cx  dx  e Khi f  x  ax   b  c  x   d  e   bx  bx  dx  d I 1.0 = ax   b  c  x   d  e    bx  d   x  1 2 Phương trình (1) có nghiệm x0 1 nên ta có: ax0   b  c  x0   d  e  0   a  x0 Do f      b  c   x0      d  e  0  x0 f  x0  bx0  d  =   bx0  d  1.0     x0   bx0  d   x0  1.0  x0  1 0 Vậy phương trình f  x  0 có nghiệm x    x0 ; x0  Cho mặt cầu tâm O , bán kính R ABCD tứ diện nội tiếp 1.0 mặt cầu Hãy xác định giá trị lớn biểu thức: 2 2 2      S  BC  BD  CD  AB  AC  AD Đặt s OA  OB  OC  OD , 2     Ta có: s   OA  OB  OC  OD 0             R   OA.OB  OA.OC  OA.OD  OB.OC  OB.OD  OC.OD 0 (1)    II 1.0   R   AB  AC  AD  BC  BD  CD  0 Do S 4 R      Đẳng thức xảy  OA OB  OC  OD 3OG Tứ diện xác định sau: Lấy  điểm  A mặt cầu Trên đường thẳng AO lấy điểm G cho OA 3OG Qua G dựng mặt phẳng vng góc với AO Trong mặt phẳng này, dựng tam giác BCD nội tiếp đường tròn giao tuyến mặt phẳng với mặt cầu Vậy MaxS 4 R 1.0 1.0 1.0 Câu III Nội dung Tìm tất đa thức P  x  với hệ số thực thỏa mãn: Điểm P  x   P  1   P  x  1  P  x  1  x   (1) 2 Đặt P  1 a Xét Q  x  P  x   ax Khi Q  1 P  1  a 0 P  x  ax  Q  x  Thay vào (1) ta có: 2 Q  x   ax  a   Q  x  1  a  x  1  Q  x  1  a  x  1  x    2  Q  x    Q  x  1  Q  x  1  x    Q  x   Q  x  1 Q  x  1  Q  x  x    Q  x   Q  x  1 b x   (với b số) (2) Đặt Q  x  R  x   bx Từ (2) suy ra: bx  R  x   b  x  1  R  x  1 b x    R  x  R  x  1 x    R  x  c (với c số)  Q  x  bx  c Vì Q  1 0 nên c  b 1.0 1.0 1.0 Do P  x  ax  bx  b Thử lại thấy Vậy P  x  ax  bx  b 1.0 Cho dãy số  xn  xác định sau: x1  3; xn1  xn2  11xn  Tìm nlim   IV  n  * xn1 xn Ta thấy xn  n  * nên 3xn  xn1  3xn    Mặt khác, từ xn 1  3xn  xn  3n  2   3 Do n   nlim    xn   xn1 3 Vậy nlim   x n xn1 3 xn xn 1.0 1.0 1.0 1.0 Câu Nội dung Tồn hay không tập hợp gồm 2010 số nguyên dương với tính chất: loại số khỏi tập hợp tập hợp 2009 số cịn lại chia thành hai tập với tổng số (thuộc tập đó) V Giả sử tồn tập F với tính chất cho a  Nếu số a  F chẵn, ta xét tập F '  a  F  2  Hiển nhiên tập F ' có tính chất nêu tốn Do ta coi tồn tập F thỏa mãn tốn F chúa số lẻ a 1.0 Gọi a1 , a2 , , a2010 phần tử F Đặt S a1  a2   a2010 Theo giả thiết, i  i 2010  tập F \   chia thành hai tập 1.0 với tổng số nên tổng S  tập F \   số chẵn 2010 Từ suy   S  a  2009S số chẵn  S số chẵn 1.0 i 1 Khi S  a số lẻ mâu thuẫn với S  số chẵn i  i 2010  Vậy không tồn tập hợp với tính chất nêu 1.0 Chú ý: Mọi cách giải khác đáp án, có kết đúng, lí luận chặt chẽ, giám khảo chấm cho điểm tối đa tương ứng