Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh ĐĂK LĂK năm học 20072008 (đề đề nghị) môn Toán lớp 1244982

SỞ GD-ĐT ĐĂK LĂK TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC ĐỀ THI CHỌN HS GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2007-2008 (ĐỀ ĐỀ NGHỊ) MƠN TỐN LỚP 12 - THỜI GIAN 180 PHÚT A ĐỀ RA: Câu 1: (4,0 điểm ) Định giá trị m để phương trình sau có nghiệm:  4m   x    3m    x  m   (1) Câu 2: ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:  y  x  27 x  27    z  y  27 y  27   x3  z  27 z  27   Câu 3: ( 4,0 điểm) Chứng minh số tự nhiên x, y, z thỏa mãn điều kiện: x n  y n  z n  x, y   n Câu 4: (4,0 điểm) Chứng minh tứ diện ln tồn đỉnh mà ba cạnh xuất phát từ đỉnh có độ dài thích hợp để lập thành tam giác Câu 5: (4,0 điểm) Cho số thực x, y Chứng minh tập hợp cos  n x   cos  n y  / n  N  hữu hạn x, y  Q DeThiMau.vn B ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC Câu 1: Điều kiện: 3  x  (1)  m  x   1 x 1 x   1 x 1 Nhận thấy rằng:  x3   1 x  2  x    1 x          2      Nên tồn góc   0;  cho:  2 x   2sin   2t 1 t2  x  cos   1 t2 1 t2  Với t  tan ; t   0;1 m x   1 x 1 7t  12t  m 5t  16t  x   1 x 1 Xét hàm số: f (t )  f '(t )  7t  12t  ; t   0;1 5t  16t  52t  8t  60  5t  16t    0, t   0;1 f (0)  ; f (1)  Hàm số nghịch biến đoạn  0;1 Suy phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm đoạn  0;1 khi: m Câu 2:  y  x  27 x  27   y  x  27 x  27   2  z  y  27 y  27    z  y  27 y  27  x3  z  27 z  27   x3  z  27 z  27   Xét hàm số đại diện: f (t )  9t  27t  27  f '(t )  18t  27 3  f '(t )   t  2 Hàm số đồng biến khoảng  ;   nghịch biến khoảng 2  3 27 27 Hàm số đạt giá trị nhỏ t   f     f (t )   2 f '(t )   18t  27   t  x  27 x  27  3   ;  2  27 27 3  y3   y  4 2 DeThiMau.vn x 3 3  v z   Vậy x, y, z thuộc miền đồng biến, suy hệ phương trình 4  f ( x)  y   f ( y )  z hệ hốn vị vịng quanh  f ( z)  x  Khơng tính tổng qt giả sử x  y  f ( x)  f ( y )  y  z  y  z  f ( y )  f ( z )  z  x3  z  x  x y z x x y z Thay vào hệ ta có: x3  x  27 x  27   x  Suy ra: x = y = z = Câu 3: Gỉa sử số tự nhiên x, y, z thỏa mãn phương trình x n  y n  z n 1 Khơng tính tổng qt ta giả sử x  y Vì z n  xn  y n  y n  z  y  z  y   z n   y  1  Cn0 y n  Cn1 y n 1   Cnk y n  k    y n  ny n 1   n So sánh (1) (2) ta có : x n  ny n 1  nx n 1  x  y  Do x  n   x, y   x  n Câu 4: Xét tứ diện ABCD, khơng tính tổng qt giả sử AB cạnh dài tứ diện xét Bằng phản chứng ta giả sử rằng: Khẳng định toán sai, nghĩa khơng có đỉnh tứ diện ba cạnh xuất phát từ đỉnh có độ dài thích hợp để lập thành tam giác Khi ta có: AB  AC  AD xét đỉnh A BA  BC  BD xét đỉnh B Suy ra: AB  AC  AD  BC  BD 1  AB  AC  CB  AB  AC  AD  CB  DB    AB  AD  DB Ta xét tam giác ABC ABD ta có:  Mâu thuẫn (1) (2) ta suy ĐPCM Câu 5: Đặt an  cos  n x  bn  cos  n y  Khi đó:  an  bn    an  bn    an2  bn2     a2 n  b2 n  Gỉa sử tập hợp  an  bn  hữu hạn, ta suy  an  bn  tập hợp hữu hạn, suy a n  b n  tập hữu hạn 2 2 an   an  bn    an  bn   bn   an  bn    an  bn   Do tập a n  hữu hạn nên m  n : am  an  n x  m x  k 2   n  m   x  k 2  x  Tương tự m  n : bm  bn  n y  m y  k 2   n  m   y  k 2  y  k 2 Q nm k 2 Q nm DeThiMau.vn ...B ĐÁP ÁN ĐỀ THI HS GIỎI TỈNH TRƯỜNG THPT VIỆT ĐỨC Câu 1: Điều kiện: 3  x  (1)  m  x   1 x 1 x   1 x... 2 f '(t )   18t  27   t  x  27 x  27  3   ;  2  27 27 3  y3   y  4 2 DeThiMau.vn x 3 3  v z   Vậy x, y, z thuộc miền đồng biến, suy hệ phương trình 4  f ( x) ... ABCD, khơng tính tổng qt giả sử AB cạnh dài tứ diện xét Bằng phản chứng ta giả sử rằng: Khẳng định toán sai, nghĩa khơng có đỉnh tứ diện ba cạnh xuất phát từ đỉnh có độ dài thích hợp để lập thành