Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán lớp 12 thpt41345

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2013-2014 Môn thi: TOÁN Lớp 12 THPT Ngày thi 20/03/2014 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang, gồm 05 câu Câu I (4,0 điểm): Cho hàm số y  x3  3mx  (m  1) x  (1) với đồ thị (Cm)  m  R  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) với m  Tìm m để đường thẳng (d): y  x  cắt đồ thị (Cm) ba điểm A, B, C phân biệt cho điểm C(0;1) nằm A B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài 55 Câu II (4,0 điểm (cos x  1)(sin x  sin x  cos x  2)  sin x(1  cos x) Giải phương trình   5  16.4 x2 2 y   16 x2 2 y y  x2   Giải hệ phương trình   x, y  R   x  17 x  10 y  17   x   y  11 Câu III (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P  8a  3b  ab  bc  abc  a  b  c   log  x  y   Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình   x  y  xy  m  có nghiệm thực Câu IV (4,0 điểm) Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD với M, N trung điểm đoạn AB BC Gọi H chân đường cao kẻ từ B xuống CM Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết N (1;  ), H (1;0) điểm D nằm đường thẳng (d ) : x  y   Câu V (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a, AD  b , SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M điểm nằm cạnh SA cho AM  x (0  x  2a ) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MBC) Tìm x theo a để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích 2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   hai điểm A  3;4;1 , B  7; 4; 3 Tìm điểm M (P) cho tam giác ABM vng M có diện tích nhỏ nhất, biết điểm M có hồnh độ lớn DeThiMau.vn HẾT Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm SỞ GD&ĐT THANH HĨA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TỐN LỚP 12 THPT Đề thức (Hướng dẫn biểu điểm chấm gồm trang ) Câu Ý Nội dung I Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  (4.0) Với m=1 ta có y  x3  3x   TXĐ: D=R  Sự biến thiên: - Giới hạn: xlim y   ; lim y    x  Điểm 2,00 0,50 x   x 1 - Ta có: y '  x( x  1)  y '    -BBT: x   y’ y + 1 - + 0,50   Hàm số đồng biến khoảng (  ;0) (1;  ) Hàm số nghịch biến khoảng (0;1) Hàm số đạt cực đại x=0 yCĐ=1 Hàm số đạt cực tiểu x=1 yCT=0 DeThiMau.vn 0,50 Đồ thị: 1  I ( ; ) điểm uốn đồ thị 2 Đồ thị (C) cắt trục Oy A  0;1 Đồ thi cắt trục Ox B 1;0  ;C   ;0    Ta có y ''  12 x   y ''   x  0,50 Tìm m để đường thẳng (d): y  x  cắt đồ thị (Cm) hàm số (1) ba điểm A;B;C phân biệt cho điểm C(0;1) nằm A B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài 55 Hoành độ giao điểm (d) đồ thị (Cm) hàm số: y  x3  3mx  (m  1) x  nghiệm phương trình: x3  3mx  (m  1) x   x  2,00 0,50 x   x(2 x  3mx  m  3)     x  3mx  m   (*) Đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) điểm C, A, B phân biệt C nằm A B PT (*) có nghiệm trái dấu  2.(m  3)   m  3m   x A  xB   y  xA  Khi tọa độ A B thỏa mãn   A (Trong xA ; xB y x   m   B B  x x   A B 2 nghiệm phương trình (*)) AB = 55  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  55 9m m3  ( xB  x A )  11  ( xB  x A )  xB x A  11    11  m2 10 giá trị cần tìm  9m  8m  20    t / m  Vậy m  2; m   10  m  9  0,50 0,50 II Giải phương trình: (cos x  1).(sin x  sin x  cos x  2)  (1) sin x.(1  cos x) (4.0) DeThiMau.vn 0,50 2,00  x  k s inx    (k  Z ) *ĐK:   1 x     k cosx    * Ta có: (1)  (cos x  1).(sin x  sin x  cos x  2)  sin x  sin x (2) 0,50 * Khi đó: (2)  (cos x  1).(sin x  sin x  cos x  1)  (cos x  1)  sin x  sin x  (cos x  1).(sin x  sin x  cos x  1)  (sin x  sin x  cos x  1)   (cos x  2).(sin x  sin x  cos x  1)   sin x  sin x  cos x    (sin x  cos x  1)(sin x  cos x  2)  0,50 0,50  sin x  cos x    x    k 2  cos( x  )     x     k 2 2   (k  ฀ )  Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x    k 2 (k  ฀ ) 0,50 2   5  16.4 x  y   16 x  y y  x  Giải hệ phương trình   x  17 x  10 y  17  x  4 y  11 2    x, y  R  2,00 Đặt t  x  y phương trình (1) có dạng  16.4 t  5  16 t .7 2t  2t  2t  , Xét hàm số f x   5.      f (x) HSNB R  2t 2t 7 7 7 Phương trình (*) có dạng f (t  2)  f (2t )  t   2t  t   x  y  x x Khi phương trình (2) có dạng x  x  17 x   2x  4 x     0,50   x  2  x  2  x  2  x  x   x   x  Xét hàm số f (t )  t  t  t , f(t) hàm số đồng biến khoảng 0;  Phương trình có dạng f x  2  f x   x   x   x  x =3    1    Hệ phương trình có cặp nghiệm (x;y) là: 1;  ,  3;     2  III 8a  3b  ab  bc  abc Tìm giá trị lớn biểu thức: P  (4.0)  a  b  c  0,50 0,50 0,50  Với a, b, c số thực dương 2,00 Ta có: P 8a  3b   ab  bc  abc 1 a  b  c  a  4b b  4c a  4b  16c     28 4 12    abc   a  b  c 2 1 a  b  c   8a  3b   DeThiMau.vn 0, 50 Đặt a  b  c  t , ta có t  Xét hàm số f (t )  Ta có f '  t   1 t2 1  t  2 t với t  1 t2 ; f '  t    t  1 ; lim f (t )  0; lim f (t )  t  0, 50 t 0 Bảng biến thiên 0.50 Từ bảng biến thiên ta suy GTLN P 14 16 a  ; b  ; c  21 21 21 0,50 Tìm giá trị thực tham số m để hệ bất phương trình log  x  y   có nghiệm thực  x  y  xy  m   2,00 Hệ phương trình tương đương với:  I 0  x  y  0  x  y  0  x  y      2  xy  m    x  y   x  1   y  1  m   II  2 xy  m   x  y   x  y  Tập nghiệm (I) phần nằm hai đường thẳng d : y   x ; d ' : y   x  d' y d ' d m 1  0,25 A Nếu m  1 hệ phương trình vơ nghiệm O x Nếu m  1 tập nghiệm (II) hình trịn (C ) (kể biên) có tâm A 1;1 bán kính R  m  Do hệ phương trình có nghiệm d ' tiếp tuyến đường tròn (C ) Nghĩa : 0,50 0,50 0,25 m 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm m   IV Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, (4.0) lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Xét phép thử : T = ‘Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0" Ta có:   95  59049 Gọi A biến cố cần tìm xác suất, ta có: Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số thập phân khác C39 Chọn chữ số cịn lại từ chữ số đó, có trường hợp rời sau đây: TH1 Cả chữ số lại chữ số a, b, c: có cách; hốn DeThiMau.vn vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo số tự nhiên n; 0,50 2,00 0,50 3! hoán vị vị trí mà a, a, a chiếm chỗ tạo số n, nên TH1 có thảy  0,50 5!  60 số tự nhiên 3! TH2 chữ số lại chữ số a, b, c chữ số chữ số khác chữ số đó: có cách; hoán vị từ 5! hoán vị chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo số tự nhiên n; 2! hoán vị vị trí mà a, a chiếm chỗ 2! hốn vị vị trí mà b, b chiếm chỗ tạo 5!  90 số tự nhiên số n, nên TH2 có thảy  2!2! 9!  150     12600 3!6!  12600 1400 Kết luận: P  A  A    0,213382106  59049 6561 0,50 Vậy: A  (60  90)C39  150  0,50 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD với M, N trung điểm đoạn AB BC Gọi H chân đường cao kẻ từ B xuống CM Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết: N (1;  ), H (1;0) D nằm đường thẳng (d ) : x  y   2,00 Trong tam vng BCH ta có : HN=NC (1) Mặt khác: BH DN song song với (Vì vng góc với MC) A Từ đó: H C đối xứng qua DN ฀ ฀  DHN  DCN  900  DH vng góc với HN M B H H N 0.50 D C   Gọi D(m ; m-4) Sử dụng điều kiện HD.HN   m   D(4;0) 0,50 Nhận xét H C đối xứng qua DN tìm C (1; 4) 0,50 Từ tìm : A(0;3), B(3; 1) 0.50 V Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB  a; AD  b Cạnh (4.0) SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M điểm nằm cạnh SA cho AM  x (0  x  2a ) Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (MBC) Tìm x theo a để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích DeThiMau.vn 2.00 S M N 0,50 A D B C Thiết diện hình thang vng MNCB, vng B M Tính diện tích thiết diện: ( MN  CB) MB ; BM  BA2  AM  a  x 2 SM AD (2a  x).b  SMN đồng dạng SAD  MN  SA 2a 2ab  bx   b a2  x2 Vậy S MNCB    2a  S MNCB  0,50 Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD  VS ABCD  SA.S ABCD  Gọi V1 thể tích khối SMNCB: V1  VS MBC  VS MNC VS MBC SM SB.SC SM 2a  x    VS ABC SA.SB.SC SA 2a Ta có VSABC 2a 2b V 1 2a  x V 2a  x ab (2a  x) V   a.b  SA.S ABC  2a b   VSMBC  2a 2a 0,50 VS MNC SM SN SC SM SN  MN   2a  x        VS ACD SA.SC.SD SA SD  AD   2a  (2a  x) a 2b (2a  x) V a 2b b  VS ACD    VS MNC   4a 12 V a 2b (2a  x).ab (2a  x) b a 2b    Yêu cầu toán  V1   12  x  a (3  5)  2a (loai )  x  6ax  4a     x  a (3  5) (t / m) Ta có Vậy với x  a(3  5) mp(MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần tích Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   hai điểm A  3;4;1 , B  7; 4; 3 Tìm điểm M (P) cho tam giác ABM vng M có diện tích nhỏ nhất, biết điểm M có hồnh độ lớn Nhận thấy đường thẳng AB song song với (P) Gọi (S) mặt cầu đường kính AB, I trung điểm AB, suy I  5;0  1 ; IA  24 Phương trình (S):  x  5  y   z  1  24 0,50 2,00 0,50 DeThiMau.vn Vì AB có độ dài không đổi song song với (P) nên điểm M cần tìm nằm 0,50 mặt phẳng (Q) qua AB vng góc với (P)      Ta có AB  4; 8   ; nP 1;1  1 , suy VTPT (Q) nQ   nP , AB   12;0;12  Phương trình (Q): x  z   0,50 Điểm M thỏa mãn yêu cầu toán điểm đồng thời thuộc (P), (Q) (S) Do x  z    tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình  x  y  z   suy  2  x    y   z  1  24 x    y  4 Vậy M  3; 4;1 z   .Hết Chú ý: 1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực tổ chấm 3) Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn DeThiMau.vn 0,50 ...Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: TỐN LỚP 12 THPT Đề thức (Hướng dẫn... đạt cực tiểu x=1 yCT=0 DeThiMau.vn 0,50 Đồ thị: 1  I ( ; ) điểm uốn đồ thị 2 Đồ thị (C) cắt trục Oy A  0;1 Đồ thi cắt trục Ox B 1;0  ;C   ;0    Ta có y ''  12 x   y ''   x  0,50... tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, (4.0) lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Xét phép thử : T = ? ?Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có năm chữ số mà chữ