Đang tải... (xem toàn văn)
Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vuông góc với mặt phẳng ABC.. Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y x3 (m 1) x (4 m ) x 2m ( m là tham số thực), có đồ thị là (Cm ) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m 1 2) Tìm các giá trị m để đồ thị (Cm ) có hai tiếp tuyến vuông góc với Câu II (6,0 điểm) 1) Giải phương trình: cos x cos3 x sin x cos x sin x 6( x x 1) x x ( x ) 3) Tìm số thực a để phương trình: x a3x cos( x) , có nghiệm thực 2) Giải bất phương trình: .Câu III (2,0 điểm) Tính tích phân: I sin x sin x cos x dx Câu IV (6,0 điểm) 1) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh Gọi M, N là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Đặt AM x, AN y Tìm x, y để diện tích toàn phần tứ diện DAMN nhỏ 2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng : x y và hai elíp x2 y x2 y ( E1 ) : , ( E2 ) : (a b 0) có cùng tiêu điểm Biết ( E2 ) 25 16 a b qua điểm M thuộc đường thẳng Tìm toạ độ điểm M cho elíp ( E2 ) có độ dài trục lớn nhỏ 3) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (0;2;0) và hai đường thẳng x 2t x 2s 1 : y 2t (t ); : y 1 s ( s ) z 1 t , z s, Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với trục O x , cho (P) cắt hai đường thẳng 1 , A, B thoả mãn AB Câu V (2,0 điểm) Cho các số thực a, b, c thoả mãn: a b c ab bc ca 3 Tìm giá trị lớn biểu thức P a b c HẾT Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Lop12.net (2) SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - - 2011 (Gồm có trang) Câu Câu I 4,0 đ Ý Hướng dẫn chấm 1) Với m 1, ta hàm số y x3 x 2,0đ Tập xác định: Giới hạn vô cực: lim y , lim y x Điêm 0,5 x Sự biến thiên: y ' x x 1 y ' x (; 1) (1; ) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1) và (1; ) y ' x (1;1) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) Điểm cực đại đồ thị (1;3), điểm cực tiểu đồ thị (1; 1) Bảng biến thiên: x y' 1 y 0,5 1 Đồ thị qua điểm (-2; -1) và (2; 3) y Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng -2 -1 O -1 0,5 x 2) Ta có y ' x 2(m 1) x m , là tam thức bậc hai x 2,0đ y' có biệt số ' 2m 2m 13 Nếu ' thì y ' 0, x , suy yêu cầu bài toán không thoả mãn 1 3 1 3 Nếu ' m ; , thì y ' có hai nghiện x1 , x2 ( x1 x2 ) x1 x2 + x - Dấu y': y' 0 Chọn x0 ( x1 ; x2 ) y '( x0 ) Ycbt thoả mãn và tồn x cho y '( x) y '( x0 ) 1 pt: 3x 2(m 1) x m (1) có y '( x0 ) nghiệm Pt (1) có: 1 ' 2m 2m 13 Lop12.net 0,5 1 3 1 3 0, m ; y '( x0 ) 2 0,5 0,5 0,75 (3) 1 3 1 3 Vậy giá trị cần tìm m là m ; 2 0,25 Câu II 1) PT (cos x cos x) sin x (cos 3x sin 3x cos 3x) 6,0 đ 2,0đ (2 sin x sin 3x sin x) (2 sin 3x cos 3x cos 3x) 0,5 (2 sin x 1)(sin x cos x) 0,5 2 x 18 k x 5 k 2 sin x 18 cos x cos x x k 2 x k 0,5 (k ) 0,5 2) Tập xác định: 2,0đ BPT 2( x x 1) ( x x 1) 6( x x 1)( x x 1) 12 0,5 0,5 x2 x 6( x x 1) (vì x x 0, x ) 2 x x 1 x x 1 6( x x 1) (t > 0), ta 2t t t 2 x x 1 BPT đã cho tương đương với 11 21 11 21 6( x x 1) x 11 x x ; x2 x 10 10 Đặt: t Câu III 2,0đ 0,5 0,5 3) x a3x cos( x) 3x 32 x a.cos( x) (2) 2,0đ Nhận xét: Nếu x là nghiệm (2) thì x là nghiệm (2), 0 0,5 suy điều kiện cần để (2) có nghiệm là x0 x0 x0 Với x0 , thì từ (2) suy a 6 0,5 Với a 6, thì phương trình (2) trở thành 3x 32 x 6cos( x) 1,0 3x 32 x x Ta có VT (3) 6, VP (3) Vậy (3) 6cos( x ) Vậy a 6 Ta có: sin x (sin x cos x) (cos x sin x) 4 (sin x cos x) (sin x cos x) ' 4 (3) 0,5 1 (sin x cos x) ' Suy I dx dx (sin x cos x) 0 (sin x cos x)3 0,25 0,75 Lop12.net (4) 16 0 cos x 6 dx 8(sin x cos x) 2 0,5 2 3 3 tan x 16 12 12 12 Câu IV 6,0đ 1) Kẻ DH MN , (DMN) (ABC) suy DH (ABC) 2,0đ Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy H là tâm tam giác ABC 0,5 Ta có: SAMN = AM.AN.sin600 = xy ; SAMN = SAMH + SANH 0,5 1 = AM.AH.sin300+ AN.AH.sin300 = (x+y) 2 3 (x+y) x+y= 3xy (0 x,y ) xy = 4 Diện tích toàn phần tứ diện DAMN: S = SAMD + SAND + SDMN + SAMN 1 = AD.AM.sin600+ AD.AN.sin600 2 1 + DH.MN + AM.AN.sin600 2 Suy = xy + 3xy(3xy 1) Từ xy x y xy xy Suy S D 0,5 C4 xy 3(4 2) , x y B H N M 0,5 A 2) Hai elíp có các tiêu điểm F1 (3;0), F2 (3;0) 2,0đ Điểm M ( E ) MF MF 2a Vậy ( E ) có độ dài trục lớn nhỏ 2 và MF1 MF2 nhỏ Gọi N ( x; y ) là điểm đối xứng với F1 qua , suy N (5;2) Ta có: MF1 MF2 NM MF2 NF2 (không đổi) Dấu xảy và M NF2 0,5 0,5 17 x x y 17 M ; Toạ độ điểm M : 5 x y y 3) Giả sử đã xác định (P) thỏa mãn ycbt 2,0đ A 1 A(1 2t ;2 2t ; 1 t ); B B (3 s; 1 s; s ) Suy AB 2( s t ); 2( s t ); ( s t ) 0,5 Lop12.net 0,5 0,5 (5) s t 1 AB 9( s t ) 22( s t ) 14 s t 13 Với s t 1 AB (0; 1;0) (P) có vtpt n1 AB; i (0;0;1) , Câu V 2,0đ suy ( P ) : z (loại (P) chứa trục O x ) 13 8 1 4 Với s t AB ; ; , 9 4 suy ( P ) có vtpt n2 AB; i (0; ; ) , 9 suy ( P ) : y z (thỏa mãn bài toán) Từ giả thiết suy : a b c 0,5 0,5 0,5 0,25 Ta có: a, b, c là ba nghiệm thực phương trình ( x a )( x b)( x c) x x abc x x abc (3) Từ đồ thị hàm số y x x 1, suy pt (3) có ba nghiệm thực a, b, c và 1 abc 2 abc abc , ba số a, b, c có hai số -1 và số abc 2 , ba số a, b, c có hai số và số -2 P a b c P 3(abc) (a b c )(a b c a 2b b 2c c a ) (a b c )3 3(a b c )(a 2b b 2c c a ) 216 18.9 54 P 3(abc) 54 max P 66, có hai số -1 và số 2, hai số và số -2 GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa Lop12.net 0,5 0,5 0,5 0,25 (6)