Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học: 2008-2009 môn thi: Toán lớp 12 thpt

tự đó, đồng thời lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân.. Khi đó hWy viết ph−ơng trình đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2.[r]

Sở Giáo dục và đào tạo ho¸ Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009 Môn thi: To¸n LỚP : 12 THPT Ngày thi: 28/03/2009 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Số báo danh …………………… Bµi 1(5,0 ®iÓm) Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x − x + = m − 3m + Víi mçi ®iÓm M thuéc (C) kÎ ®−îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn víi (C)? Bµi 2(4,0 ®iÓm) e2 x2 dx TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ x x + + Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác mà đó có mét ch÷ sè lÎ ? Bµi (5,0 ®iÓm) π π Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin(3x − ) = sin x sin( x + ) 4 Tìm giá trị m để bất ph−ơng trình sau nghiệm đúng với x m m m ) x − 2(1 + log ) x − 2(1 + log ) < m +1 m +1 m +1 x − log y x+log2 y , u = 5y theo thø , u2 = Víi gi¸ trÞ nµo cña x, y th× sè u1 = ( − log tự đó, đồng thời lập thành cấp số cộng và cấp số nhân Bµi (5,0 ®iÓm) 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng tròn (C) có ph−ơng trình: x + ( y − 1) = Chøng minh r»ng víi mçi ®iÓm M(m; 3) trªn ®−êng th¼ng y = ta lu«n t×m ®−îc hai ®iÓm T1 , T2 trªn trôc hoµnh, cho c¸c ®−êng th¼ng MT1`, MT2 lµ tiÕp tuyến (C) Khi đó hWy viết ph−ơng trình đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =1) vµ c¸c c¹nh bªn SA = SB = SC = Gäi K, L lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AC vµ BC Trªn c¹nh SA, SB lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm M, N cho SM = BN = TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn LMNK Bµi (1,0 ®iÓm) Cho n lµ sè nguyªn lÎ vµ n >2 Chøng minh r»ng víi mäi a kh¸c lu«n cã: a2 a3 an a2 a3 a n −1 an (1 + a + + + + )(1 − a + − + + − ) <1 2! 3! n! 2! 3! (n − 1)! n! HÕt Lop10.com Sở Giáo dục và đào tạo ho¸ Kú thi chän HäC SINH GIáI TØNH Năm học: 2008-2009 Môn thi: To¸n LỚP : 12 THPT Ngày thi: 28/03/2009 Đáp án đề chính thức §¸p ¸n nµy gåm cã trang Bµi Bµi1 1(3®) 5đ Tập xác định: R §¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm y , = 3x − x ; §iÓm 0,5 y ,, = x − x = y, = ⇔  x = ,, y = ⇔ x =1 Sù biÕn thiªn 0,5 B¶ng biÕn thiªn x y 0 −∞ + , - y,, - y U (1;0) +∞ + + +∞ 1,0 -2 −∞ §å thÞ : y −1 1+ O 1,0 1+ 3 x −2 (1®) §Æt f (m) = m − 3m + 3 Sè nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x − x + = m − 3m + lµ sè giao ®iÓm cña đờng thẳng y = f (m) = m − 3m + với đồ thị (C) Từ đồ thị (C) ta có -1 < m < 0; < m <2; < m < thì -2 < f (m ) <2 f (m ) = -2 m = hoÆc m = th× f (m ) = m < -1 th× f (m ) < -2 m > th× f (m ) > m = -1 hoÆc m = th× VËy * * m >  m < −1  ph¬ng tr×nh cã nghiÖm m =∈ {− 1; 0; 2; 3} ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Lop10.com 0,5 * − < m < 0; < m < ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 0,5 3.(1®) M thuộc đồ thị (C) suy M (a; a − 3a + 2) đờng thẳng (d) tiếp xúc với (C) T(x0;y0) th× (d) cã ph¬ng tr×nh: y = (3 x 02 − x )( x − x ) + x 03 − x 02 + 2 0,25 M ∈ (d ) ⇒ a − 3a + = (3 x − x0 )(a − x0 ) + x − 3x + ⇔ (a − x03 ) − 3(a − x02 ) − (3x02 − x0 )(a − x0 ) [ ] ⇔ (a − x0 ) x02 − (a + 3) x0 + 3a − a =  x0 = a a −3 ⇔ (a − x0 )( x0 − )=0⇔  x0 = − a 2  0,25 3−a ⇔ a = ⇒ M ≡ I (1 ; 0) cã tiÕp tuyÕn nhÊt 3−a ⇔ a ≠ ⇒ M ≠ I (1 ; 0) cã tiÕp tuyÕn TH2 a ≠ TH1 a= Bµi2 4® 1.(2®) I= e2 ∫ x2 dx x + 4x + TÝnh x2 dx J= ∫ x + x + u = x du = xdx   §Æt  dx ⇒  dv = ( x + 2) v = − x +  0,25 0,25 0,25 0,5 1 dx x2 x ⇒J =− + 2∫ dx = − + ∫ dx − 4∫ x+2 x+2 x+2 0 1 1 + x − ln x + = − + − 4(ln − ln 2) = − ln 3 ⇒ I = e − 4e ln 2.(2®) − 0,5 0,5 0,25 − − −− − − −− − − −− − − − Ta kÝ hiÖu sè A lµ a1a2 a3a4 a5 a6 • Cã kh¶ n¨ng chän mét ch÷ sè lÎ • Mçi c¸ch chän ch÷ sè lÎ vµ ch÷ sè ch½n cã P6=6! C¸ch s¾p xÕp ch÷ sè đW cho vào vị trí từ a1đến a6 Nh có 5.P6 =5.6! cách xếp 10 chữ số từ đến vào vị trí từ a1 đến a6 mµ mçi c¸ch chØ cã mét ch÷ sè lÎ *Trong tất các cách xếp đó thì cách xếp có chữ số đứng vị trí a1 kh«ng ph¶i lµ mét sè cã ch÷ sè * Do tính bình đẳng các chữ số đW chọn có số cách xếp không phải lµ sè cã ch÷ sè vµ b»ng 5.6! = 5.5! VËy sè c¸c sè cã ch÷ sè mµ nã chØ cã mét sè lÎ lµ 5.6! - 5.5! = 5!(30 - 5) = 25.5! = 3000 sè Bµi3 π đó phơng trình đW cho trở thành 5® 1.(2®) §Æt t = x + Lop10.com 0,5 0,5 0,5 0,5 sin(3t − π ) = sin( 2t + π §Æt z = sin t §K z ≤ ) sin t ⇔ − sin 3t = cos 2t sin t (*) ph¬ng tr×nh (*) trë thµnh z = 3x − z + (1 − z ) z = ⇔ z − z = ⇔  2 z =  * 0,5 z = ⇒ sin t = ⇔ t = kπ ⇒ x = − π 0,5 + kπ ; k ∈ Z − cos 2t 2 = ⇔ cos 2t = − = cosα ⇒ sin t = ⇔ 3 3 α π α   t = + lπ  x = − + + lπ 2t = α + l 2π ⇔ ,l ∈ Z ⇔ ⇒ 2t = −α + l 2π t = − α + lπ  x = − π − α + lπ   π π α VËy PT cã nghiÖm lµ x = − + kπ , x = − ± + lπ k , l ∈ Z 0,25 * z2 = 2.(2®) 4 m §Æt a = + log , bÊt ph¬ng tr×nh ®W cho trë thµnh: m +1 (3 − a) x − 2ax − 2a < (1) VÕ tr¸i cña (1) lµ mét tam thøc b©c hai Èn x cã hÖ sè cña x lµ − a TH1: - a = ⇔ a = Khi đó (1) là x− < ⇔ x < suy (1) không nghiệm đúng x TH2 a > 3 − a < a >  ⇔ ⇔  a < ⇔ a >  , ∆ < a + 2a(3 − a) <  a >  Víi a > ta cã + log ⇔ 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 m m >6⇔ > 32 m +1 m +1 31m + 32 31 <0⇔− < m < −1 m +1 32 Lop10.com 0,5 3.(1®) a + c = 2b Nếu các số a, b, c đồng thời là cấp số cộng và cấp số nhân thì  ac = b suy a, c là nghiệm pt: x − 2bx + b = ⇔ x = b từ đó a = b = c  x + log y x − log y (1) =2 Theo bµi ta cã hÖ: 8  x − log2 y = 5y (2) 2 Tõ (1) 3x + log y = x − log y ⇔ x = −2 log y , thay vµo (2) ta ®−îc: −3 log y = y ⇔ y = ⇔ y = ⇔ x = log = log Bµi4 1.(3®) §−êng trßn (C) cã t©m I ( ; ) b¸n kÝnh R = §iÓm T thuéc trôc hoµnh th× T( t ; 0) 5® §iÓm M( m; 3) thuéc ®−êng th¼ng y = , ta cã: Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng MT: x −m y −3 = ⇔ 3x + (t − m) y − 3t = t −m −3 Do MT là tiếp tuyến (C) nên khoảng cách từ tâm I (C) đến MT 1, hay t − m − 3t = ⇔ (m + 2t ) = + (t − m) 2 + (t − m ) 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 ⇔ t + 2mt − = (*) Do ph−¬ng tr×nh (*) lu«n cã hai nghiÖm t1 , t2 víi mäi m nªn lu«n tån t¹i hai ®iÓm T1(t1;0) và T2(t2;0) để MT1và MT2 là tiếp tuyến (C) * Theo định lý Vi ét có t1 + t2 = -2m Ph−ơng trình đ−ờng tròn (C1) ngoại tiếp tam gi¸c MT1T2 cã d¹ng: 0,5 x + y + 2ax + 2by + c = V× M, T1, T2 thuéc ®−êng trßn (C1) nªn cã hÖ m + + 2ma + 6b + c = (1)  t1 + 2at1 + c = (2)  t + 2at + c = (3) Tõ (2) vµ (3) suy 0,5 t1 − t + 2a (t1 − t ) = (do t1 ≠ t ) ⇔ t1 + t + 2a = ⇔ −2m + 2a = ⇔ a = m Thay vµo (2) ta cã t1 + 2mt1 + c = Do t1 lµ nghiÖm cña(*) nªn t1 + 2mt1 − = ⇒ c = −3 Thay c = -3 vµo (1) ta ®−îc: m2 + 2 m + + 2m + 6b − = ⇔ b = − m2 + 2 y −3 = VËy ph−¬ng tr×nh cña (C1) lµ: x + y + 2mx − Lop10.com 0,5 0,5 2.(2®) LÊy ®iÓm E thuéc SA cho AN=1 suy NE// AB // KL ⇒ S ∆NKL = S ∆EKL ⇒ VMNKL = VMEKL ; S ∆EKM = S SKC MÆt kh¸c kho¶ng c¸ch tõ L ®Ðn mÆt ph¼ng (MKE) b»ng BK 0,5 0,5 VËy VKLME = VSABC mµ 12 0,5 1 17 17 17 34 (®vtt) ⇒ VKLMN = = = VSABC = SK S ABC = 3 2 12 144 0,5 S M E N K A C L B Bµi5 Coi a lµ Èn , ®iÒu kiÖn a kh¸c 1® a a3 an a2 a n −1 , = + + + + + ⇒ u a u a = + + + + §Æt 2! v = 1− a + 3! n! n −1 2! (n − 1)! n a a a a − + + − 2! 3! (n − 1)! n! ⇒ v , = −1 + a − a2 a3 a4 a n−2 a n −1 + − + + − 2! 3! 4! (n − 2)! (n − 1)! 0,25 an an , , v = −v − Khi đó u = u + n! n! , u + v = 2(1 + a2 a4 a n −1 + + + ) > víi mäi a vµ n lÎ n > 2! 4! (n − 1)! 0,25 Đặt vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là f(a) an an an ) + v(u − ) = − (u + v) n! n! n! ,  f (a ) > a < Do u + v > , a ≠ ⇒  ,  f (a ) < a > , , , Ta cã f (a ) = uv + vu = u (−v − 0,25 Ta cã b¶ng biÕn thiªn a −∞ , f (a) f (a ) + +∞ - a kh¸c nªn f(a) <1 ( ®iÒu ph¶i chøng minh) Lop10.com 0,25