Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10, 11 THPT năm học 2015 2016 đề thi môn: Toán 1123051

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TOÁN 11 - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề x  Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sin x 1  tan x.tan   tan x   2 cos x  Câu (1,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: x3  x  (m  6) x  m  Câu (1,0 điểm) Tính tổng S  1     A2 A3 A2016 Câu (1,0 điểm) Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Lý sách Hóa (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho học sinh A, B, C , D, E , F , G, H , I , học sinh nhận sách khác thể loại (khơng tính thứ tự sách) Tính xác suất để hai học sinh A B nhận phần thưởng giống Câu (1,0 điểm) Cho dãy số xn  xác định bởi: x1  2016, xn 1  xn2  xn  1, n  1, 2,3, a) Chứng minh dãy xn  tăng lim xn   1 1 b) Với số nguyên dương n , đặt yn  2016      Tính lim yn xn   x1 x2 Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AB  a, BC  a SD  a a) Đường thẳng qua A vng góc với AC cắt đường thẳng CB, CD I , J Gọi H hình chiếu vng góc A SC Hãy xác định giao điểm K , L SB, SD với HIJ  chứng minh AK  SBC  b) Tính diện tích tứ giác AKHL Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , M 7  trung điểm AB Đường thẳng CM : y   K  3;  trọng tâm tam giác ACM 3  Đường thẳng AB qua điểm D 1;  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC , biết điểm M có hồnh độ dương tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng x  y   Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức   P   xy  yz  zx  15 x  y  z  x  y  z   Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh………………… ThuVienDeThi.com SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 04 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN 11 - THPT I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm trịn - Câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm II ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm (2,0 điểm) x ĐKXĐ: cos x.cos  Phương trình cho tương đương x x  0,5  cos x.cos  sin x.sin  sin x    tan x    tan x x   cos x.cos   sin x   tan x    tan x 0,25 cosx  tan x  tan x    tan x  tan x   0,5  tan x   x   k 0,25  tan x    x    k 0,25   Kiểm tra ĐK thỏa mãn Vậy nghiệm PT x   k ; x    k , k  ฀ 0,25 (1,0 điểm) Phương trình cho tương đương x  0,25 ( x  1)( x  x  m)     x  x  m  (1) Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt  '   m  m  khác 1, hay:  (*)  m  1  6.1  m  0,25 Khi đó, PT cho có ba nghiệm x1 , x2 x3  , x1 , x2 nghiệm (1) x  x  Theo định lý Viet ta có  (2) x x m   Xét trường hợp sau: *) Nếu x1.x3  x22  x1  x22 (3) Từ (2) (3) ta có hệ:  x22  x2    x1  x2    x  2; x1  4; m     x1.x2  m   x1  x2  x2  3; x1  9; m  27    m x  x1  x2  ThuVienDeThi.com 0,25 m   *) Nếu x1.x2  x  x1.x2  (4) Từ (2) (4) ta có hệ:  x1  x2   x x   Vậy, có ba giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán là: m  1, m  8, m  27 (1,0 điểm) 3 k! 1   , k  (k  2)! Ak k (k  1) 1 Suy   Ak k  k 1 1 Cho k  2,3, , 2016 ta S         2 2015 2016 2015 Vậy S    2016 2016 Ta có Ak2  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Gi x, y, z ( x, y, z ẻ Ơ ) số học sinh nhận giải thưởng (Tốn-Lý); ìï x + y = ïï (Tốn-Hóa) (Lý-Hóa) Ta có hệ: í x + z = Û ïï ïïỵ y + z = ìï x = ïï í y = ïï ïïỵ z = Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh là: C94 C53 C22 = 1260 0,25 0,25 Gọi T biến cố “hai học sinh A B có phần thưởng giống nhau” +) Nếu A B có phần thưởng sách (Tốn- Lý), có: C72 C53 C22 = 210 cách phát +) Nếu A B có phần thưởng sách (Tốn- Hóa) có: C71 C64 C22 = 105 cách phát 0,25 +) Nếu A B có phần thưởng sách (Lý- Hóa) có: C74 C33 = 35 cách phát Vậy xác suất cầm tìm P(T ) = 210 + 105 + 35 = 1260 18 0,25 a (0,5 điểm) Ta có xn 1  xn  xn2  xn   xn  1   xn 1  xn , n  Do xn  tăng Ta chứng minh quy nạp theo n xn  n  1, n  (1) Thật vậy, (1) với n  Giả sử (1) với n (n  1) xn 1  xn xn  1   n(n  1)   n  n   n  0,25 0,25 Vậy (1) với n Từ xn  tăng ngặt xn  n  1, n  suy lim xn   b (0,5 điểm) Ta có xn+ - = xn ( xn - 1) Suy Từ 1 1 = = xn+ - xn ( xn - 1) xn - xn 1 = xn xn - xn+ - 1   1        2016      2016   xn   x1 x2  x1  xn 1    2015 xn 1   2016 Từ lim xn    lim  Vậy lim yn  xn 2015 0,25 Do yn  2016  ThuVienDeThi.com 0,25 a(1,0 điểm) J S J L H K D A A I D C B I C B Trong ( SBC ) gọi K = SB ầ IH ị K = SB ầ( HIJ ) 0,5 Trong ( SCD ) gọi L = SD Ç JH Þ L = SD Ç( HIJ ) ïì IJ ^ AC Þ IJ ^ ( SAC ) Þ IJ ^ SC , mà AH ^ SC Suy SC ^ ( IJH ) Ta có ïí ïïỵ IJ ^ SA Suy AK ^ SC Mà BC ^ ( SAB ) Þ BC ^ AK Vậy AK ^ ( SBC ) 0,25 0,25 b(1,0 điểm) 2a ; AK = SA2 + AC 2a Do AK ^ ( SBC ) Þ AK ^ KH , KH = AH - AK = Tương tự phần (a) AL ^ ( SCD ) Þ AL ^ HL Từ tính Ta có SA = Suy S AKHL = S AKH + S ALH (1,0 điểm) = SA AB SA2 + AB = 2a 0,25 0,25 0,25 a 15 1 8a = AK KH + AL.LH = 2 15 LH = SA AC SD - AD = a ; AH = AH - AL2 = 0,25 A K M G N E I B H C Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trước hết ta chứng minh MC ^ IK 0,25 Thật vậy, gọi H , N trung điểm BC , AC ; G = AH Ç CM Suy G trọng tâm tam giác ABC Mặt khác K trọng tâm tam giác ACM nên KG || HE Suy KG || AB Mà IM ^ AB nên KG ^ IM ThuVienDeThi.com Rõ ràng AH ^ MK nên G trực tâm tam giác MIK Suy MC ^ IK Đường thẳng KI qua K vng góc với CM nên có phương trình: x + = ïì x + = ïì x = - Û ïí Þ I (- 3; - 2) Tọa độ I thỏa mãn hệ ïí ïỵï x - y + = ïỵï y = - uuuur uuur Gọi M (m;3) Ỵ MC , m > Ta có DM = (m - 1; - 1); IM = (m + 3;5) uuuur uuur ém = - (l ) DM ^ IM Û DM IM = Û (m - 1)(m + 3)- = Û m + 2m - = Û ê ê ëm = (tm) uuuur Suy M (2;3) , DM = (1; - 1) Từ suy AB : x + y - = Gọi C (c;3) Ỵ CM   7 3 Do K  3;  trọng tâm ACM nên A(- 11- c;1) Mà A Ỵ AB suy 0,25 - 11- c + 1- = Û c = - 15 Từ A(4;1), B (0;5), C (- 15;3) Thử lại ta thấy AB ¹ AC Suy không tồn A, B ,C (1,0 điểm) 0,25 0,25   Đặt a   z xya  1 P   xy  ya  ax  15 x  y  a  x  y  a   Xét hai trường hợp: * Nếu số x, y, a âm Áp dụng BĐT Côsi ta 0,25 xy + ya + ax ³ 3 x y a = 15 x + y + a - ( x + y + a ) ³ 15 3 x y a + 7.3 - xya = 15 + 21 > 16 Suy P > 48 + = 49 * Nếu số x, y, a có số âm, hai số dương Khơng tổng quát, giả sử x < 0, y > 0, a > Đặt x1 = - x > Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta x12 + y + a ³ y + 2a + x1 0,25 ỉ1 1 ÷é5 (2 y + 2a + x )- ( y + a - x )ự+ Do ú P ỗỗ + + ữ 1 ỷ ữ ữở ỗốx1 y a ứ ỉ ỉ1 1 ÷ ÷(4 x + y + a ) + 3ỗỗ x + y + a ữ ữ P 3ỗỗ + + ữ + = 49 ữ 1 ỗ ữ ữ ỗốx1 y a ứ ỗố x1 ữ y a ứ Du ng thức xảy y = a = x1 > x1 ya = hay 3 ỉ 2ư ÷ ÷ Vậy Pmin = 49 , chẳng hạn ( x, y, z ) = ỗỗỗ3 2, 2, y = a = v x = ữ ữ ỗ 2 è ø -Hết - ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 ... án có 04 trang) KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015- 2016 ĐÁP ÁN MƠN: TỐN 11 - THPT I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác... 1 1 Cho k  2,3, , 2016 ta S         2 2015 2016 2015 Vậy S    2016 2016 Ta có Ak2  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0 điểm) Gọi x, y, z ( x, y, z Î ¥ ) số học sinh nhận giải thưởng...  1        2016      2016   xn   x1 x2  x1  xn 1    2015 xn 1   2016 Từ lim xn    lim  Vậy lim yn  xn 2015 0,25 Do yn  2016  ThuVienDeThi.com 0,25 a(1,0 điểm)