D02 vecto trong không gian muc do 3

Câu ABD  [HH11.C2.1.E02.c] Cho hình lập phương ABCD ABC D Chứng minh mặt phẳng  song song với mặt phẳng  CBD Tìm điểm M đoạn BD điểm N đoạn CD cho đường ABD  thẳng MN vng góc với mặt phẳng  Lời giải B C  CD//  BDA  1 Ta có tứ giác BCDAlà hình bình hành nên CD//BA  BD//  BDA Ta có tứ giác BDDB hình bình hành nên BD//BD Từ  2  1   ta  ABD  //  CBD    CN  y.CD Khi BM  x BD Đặt ,        MN MB  BC  CN  x.BD  AD  y.CD          x AB  AD  BC  y AA  AB  x  y  AB    x  AD  y AA      ABD  Do MN vng góc  nên MN  BD , MN  BA Từ ta được:  x       MN BD 0 1  x   x  y  0 x  y     y 1    y  x  y     MN BA      x 2 y   1 2 BM  BD CN  CD 3 Do , Câu  [HH11.C2.1.E02.c] Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a, BAD  với   , cạnh bên AA ' 2a Gọi M điểm thỏa mãn DM k DA N trung điểm cạnh A ' B ' Tìm k để C ' M  D ' N cos   Lời giải      AB  x Đặt , AD  y , AA '  z      D ' N D ' A '  A ' N  y  x Ta     có    C ' M C ' D '  D ' D  DM  x  z  k y   Khi C ' M  D ' N  C ' M D ' N 0        1      k     x  k y  z  x  y  0  x  k y    1 x y 0 2  2  k   a  ka    1 a.a 0  k  2    Câu  [HH11.C2.1.E02.c] Cho tứ diện SABC có SA SB SC 1 Một mặt phẳng ( ) thay đổi qua trọng tâm G tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC điểm A ', B ', C ' Chứng minh biểu thức T 1   SA ' SB ' SC ' có giá trị không đổi Lời giải  1    MG  MS  MA  MB  MC Vì G trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: , với M điểm tùy ý.Áp dụng tính chất cho điểm M S ta có:      1  1        SG  SS  SA  SB  SC  SA  SB  SC 4       SA SB SC SA  SA ', SB  SB ', SC  SC ' SA ' SB ' SC ' Lại có     1 SG  SA '  SB '  SC ' 4SA ' SB ' 4SC ' Do 1   1  T 4 Vì bốn điểm A ', B ', C ', G đồng phẳng nên phải có SA ' 4SB ' SC '       Câu [HH11.C2.1.E02.c] Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có mặt bên hình vng cạnh a  3   BN  BC , MA  3MA ', O ' Gọi M , N thỏa mãn tâm hình vuông A ' B ' C ' D ' G trọng ID tâm tam giác A ' O ' D ' Gọi I , J B ' D AC cho IJ / / BC ' Tính tỷ số IB ' Lời giải X S A' D' G M R O' C' B' Y N' A D Z Q P B N C     BC ' a  c      B ' D  a  b  c  AC b  c Ta có     DI  xB ' D   AJ  y AC Vì I , J B ' D AC nên ta có       AI  xa  xb   x  1 c     AJ  yb  yc        IJ  AJ  AI  xa   y  x  b   y  x  1 c  k   x k      y  x 0   x   y  x  k       y   Vì IJ / / BC ' nên IJ k BC ' ID  Khi IB ' Câu [HH11.C2.1.E02.c] (HSG Toán 11 – Cụm Hà Đông năm 1819) Cho tứ diện 2 ABCD Chứng minh rằng: ( AB  CD)  ( AD  BC )  ( AC  BD) Lời giải Gọi M , N , P, Q, O trung điểm AB, BC , CD, AD, AC Ta có tứ giác MNPQ MNPQ  hình bình hành điểm O khơng nằm  2 2 2 Từ đó, ta có: ( AB  CD )  ( AD  BC ) (2ON  2OQ)  (2OP  2OM )  NQ  MP (1)    2 NQ  MP 4 NM  MQ  MN  NP Ta lại có:     4 NM  NM MQ  MQ  MN  MN NP  NP    4 NM  MQ  NP  NM MQ  NP           4(2 MN  MQ ) 2( AC  BD ) ( AC  BD) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Câu [HH11.C2.1.E02.c] (HSG Hà Nội-Cấp Thành Phố 13-14) Trong không gian cho ba tia Ox , Oy ,    Oz không đồng phẳng Vậy Pmax 10 a b c 1 Đặt xOy  , yOz  , zOx  Lấy điểm A , B , C thuộc tia Ox , Oy , Oz cho OA OB OC a với a  Gọi M điểm nằm đoạn BC cho BM 2 MC I trung điểm đoạn thẳng AM Tính độ dài đoạn thẳng OI theo a trường hợp   60 ,  90 Lời giải 1 1     1 1 1 1 OI  OA  OB  BM  OA  OB  BC  OA  OB  BC 2 2 2 Ta có:  1  1        OI  OA  OB  BC  6OI 3OA  OB  2OC 2 Mặt khác: BC OC  OB nên    2 2 Từ đó: 36OI 9OA  OB  4OC  6OA.OB  PB.OC  12OA.OC   36OI 9a  a  4a  6a 23a  Vậy Câu OI   a 21 [HH11.C2.1.E02.c] Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1D1 Hãy tìm điểm M đường chéo BD mặt ABCD điểm N đường chéo CD1 mặt bên CDD1C1 cho MN / / AC1 Lời giải D1 C1 I A1 N D B1 J C M D1' A B           Đặt AB a ; AD b ; AA1 c Ta có AC1 a  b  c       * Vì MN // AC1 nên k   : MN k AC1 hay MN k a  k b  k c (1) Mặt khác ta có:        MN MB  BC  CN n.DB  BC  m.CD1         n a  b  b  m c  a  n  m  a    n  b  mc     (2)   k     n  m k    1  n k  m   m k     n   Từ (1) (2) ta suy   1  2 MB  BD CN  CD1 3 Vậy với MN / / AC1 Câu (Ta sử dụng phép chiếu song song để giải này) [HH11.C2.1.E02.c] Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Gọi I J trung điểm A1 D1 B1 B Chứng minh IJ  AC1 Lời giải D1 C1 I A1 N D B1 J C M D1' A B Gọi I J trung điểm A1 D1 Bl B Chứng minh IJ  AC1     +) AC1 a b  c   1 IJ a  b  c 2 +)        1  IJ AC1  a  b  c  a  b  c 0 2   +) +) Vậy IJ  AC1 (đpcm)   