Hệ toạ độ không gian Giáo viên soạn: Trần Trọng Tiến Trần Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm Hệ toạ độ véctơ Trong kh«ng gian, cho ba trơc x’Ox, y’Oy, z’Oz vu«ng gãc với đôi Gọi i , j , k lần lợt véctơ đơn vị trục xOx, yOy, zOz Hệ gồm ba trục nh đợc gọi hệ trục toạ độ Đề Các vuông góc Oxyz không gian, hay đơn giản gọi hệ toạ độ Oxyz Điểm O đợc gọi gốc toạ độ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi vuông góc với đợc gọi mặt phẳng toạ độ z > > i x k > j y O Vì i , j , k đôi vuông góc nên: > > > > > > i j = 0, j k = 0, k i = −> −> −> i = 1, j = 1, k = TrÇn Träng TiÕn I Toạ độ điểm Hệ toạ độ véctơ z Hoạt động Trong không gian M3 Oxyz cho điểm M HÃy phân M tích véctơ OM theo ba vectơ > không đồng phẳng i , j , k đà k > cho trục Ox, Oy, Oz > Giải j i Dựng hình hộp x M O OM1M’M2.M3M’’’MM’’ Khi ®ã OM1 , OM2, OM3 cïng ph ¬ng − −− > − −− > − −− > OM = OM'+ OM − −− > > > với vectơ i , j , k Khi ®ã ta = OM + OM + OM cã −> −> > = x i + y j+ zk Đình Lập M M M M2 y Trần Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm Toạ độ của véctơ z điểm Trong không gian Oxyz cho điểm M tuỳ ý Vì ba vectơ i , j , k không đồng phẳng nên có ba số −(x; y; z)− >duy nhÊt −− > > −> choOM = x i + y j + z k Ngợc lại, với ba số (x; y; z) ta có điểm M không gian thoả m·n − −− > −> −> −> hÖ thøc OM = x i + y j + z k Ta gọi ba số (x; y; z) toạ ®é cđa ®iĨm M ®èi víi hƯ to¹ ®é Oxyz ®· cho vµ viÕt: M3 M’’’ M −> −> i k M2 −> j M’’ y O M1 M’ Tõ định nghĩa ta suy toạ độ hình chiếu điểm M trục Ox, Oy, Oz mặt phẳng toạ độ (0xy) (0yz), (0xz) x ®iĨm M1(x; 0; M= (x; y; z) , hc M(x; y; z) 0), M2(0; y; 0), M3(0; 0; TrÇn Träng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm Toạ độ véctơ > > −> −> ®iĨm OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) , hc M(x; y; z) > Toạ độ a vectơ Trong kh«ng gian Oxyz cho a z M3 Khi ®ã tån t¹i nhÊt mét bé −> −> −> ba sè−a>(a ; a ; a ) M’’’ a 3j + a k = 1a i + Ta gäi bé ba sè (a1; a2; a3) ®ã toạ độ vec tơ a hệ toạ độ Oxyz cho trớc viết a = (a1; a2; a3) hoặcx a(a ;a3) Trong toạ độ Oxyz, 1;a2xét Nhận toạ độ điểm M toạ độ vec t¬ OM Ta cã M=(x; y; z) OM = (x; y; z) −> a −> −> i M1 k O M2 M −> j M’ M’’ y TrÇn Trọng Tiến Đình Lập I Toạ độ điểm Toạ độ véctơ > −> −> −> ®iĨm OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) , M(x; y; z) 3. > Toạ độ > −> −> −> vect¬ a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) z A Hoạt động Trong toạ độ Oxyz, M D cho hình hộp chữ nhật B C ABCD.ABCD có đỉnh A trïng c víi gèc O, cã AB, AD, AA’ theo thø tù cïng híng víi i , j , k cã AB=a, AD = b, AA’ = c H·y tính toạ độ véctơ AB , AC, AC Giải vµ − −− >AM víi − > M −lµ −− > trung điểm cạnh AB = a i AB = (a; 0; 0) C’D’ − −− > − −− > − −− > −> − −− > − −− > − −− > − −− > −> x a B b A C D y − −− > AC = AB + AD = a i + b j ⇔ AC = (a; b; 0) −> −> −> − −− > AC' = AB + AD+ AA' = a i + b j + c k ⇔ AC' = (a; b; c) − −− > −> −> −> −> − −− > − −− > − −− > −> AM = ( AC'+ AD') = (a i + b j + c k + b j + c k ) ⇔ AM = ( a; 2b; 2c ) 2 Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ điểm > > > > cđa OM =vÐct¬ x i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z) −> −> −> −> −> −> k a = k a1 i + a j + a k −> − > −> = ka1 i + ka j + ka k a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) > II BTTĐ phép toán vectơ Trong không gian Oxyz cho k a = (ka1 ; ka ; ka ) −> −> hai vect¬ a = (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) −> −> a ) a ± b = (a ± b ; a ± b ; a ± b ) −> b ) k a = (ka1 ; ka ; ka ), k ∈ R Chøng minh −> −> −> −> a = a1 i + a j + a k −> −> −> −> b = b1 i + b j + b k −> −> −> −> −> −> −> a ± b = (a ± b ) i + (a ± b ) j + (a ± b ) k ⇔ a ± b = (a ± b ; a ± b ; a ± b ) TrÇn Träng TiÕn Đình Lập I. Toạ độ điểm Ví dụ Cho A(1; 3; 2), > −> −> −> B(3;-2;1) C(4;-1;3) véctơ OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) −> > > > > Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hình bình Giải II BTTĐ phép toánhành Do ABCD hình bình hành ta vectơ B có: C Trong không gian Oxyz cho − −− > − −− > −> −> hai vect¬ CD = BA a = (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) D A a = b x D − xC = x A − x B −> −> −> a ) a = b = a = b ; b ) = ( 0; 0; 0) ⇔ y − y = y − y D C A B a = b z − z = z − z 3 D C A B c) a vµ b phơng x D = x A − x B + xC = − + = chØ a1=kb1 , a2 = kb2 , − −− > a = ka ⇔ y D − y C = y A − y B + y C = + − = d ) AB = ( x B − 3x A ; y B −3y A ; z B − z A ) z − z = z − z + z = − + = D C A B C e) M lµ trung ®iÓm AB + xB y A + y B z A + z B x Akhi vµMchØ VËy D = (2; 4; 4) = ; ; 2 a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) Trần Trọng Tiến I. Toạ độ điểm Ví dơ > −> −> −> cđa OM =vÐct¬ x i + y− > j + z− >k − >M= (x; y; z) Cho A(1; 1; 1), −> −> a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) Đình Lập B(0;7/3;2/3) C(7/4; 0; 5/4) Chứng minh A, B, C Giải II BTTĐ phép toánthẳng hàng > vect¬ AB = − 1; − 1; − Trong kh«ng gian Oxyz cho 3 −> −> hai a = vect¬ (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) 1 = − 1; ; − 3 a = b −> −> −> − −− > a ) a = b = a = b ; b ) = ( 0; 0; 0) 7 AC = − ; − ; − 1 a = b 4 3 1 3 c) a b phơng = ; 1; chØ a1=kb1 , a2 = kb2 , 4 4 − −− > − −− > − −− > d ) AB = ( x B −a3x A=; yka − y ; z − z ) B A B A ⇒ AB = − AC e) M trung điểm AB => AB , AC cïng ph¬ng + xB y A + y B z A + z B x Akhi vµMchØ = ; ; hay A, B, C thẳng hàng 2 Trần Trọng Tiến Đình Lập I. Toạ độ điểm Ví dụ Cho A(1; 3; 2), > > > > M(3;-2;1) Tìm toạ ®é cđa vÐct¬ OM = x i + y j + z k M= (x; y; z) −> −> −> −> −> ®iĨm B cho A, B ®èi xứng qua điểm M Giải II BTTĐ phÐp to¸n a = a i + a j + a k ⇔ a = (a ; a ; a ) vectơ Trong không gian Oxyz cho Do A B đối xứng > > hai vectơ qua M nên M a = (a1 ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) trung điểm AB, nên ta a = b cã x + x y + y z + z −> −> −> A B B B ; A ; A a ) a = b = a = b ; b ) = ( 0; 0; 0) M = 2 a = b 3 x B = 2x M − x A = 2.3 = c) a b phơng vµ chØ a1=kb1 , a2 = kb2 , ⇔ y B = 2y M − y A = 2.( −2) − = −7 − −− > z = 2z − z = 2.1 − = B d ) AB = ( x B −a3x A=; yka − y ; z − z ) M A B A B A e) M trung điểm AB + xB y A + y B z A + z B x Akhi vµMchØ = ; ; 2 Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0) Củng cố Qua học học sinh cần nắm đợc Hệ toạ độ không gian Toạ độ vectơ Toạ độ điểm, toạ độ hình chiếu điểm trục toạ độ mặt phẳng toạ độ Các phép toán vectơ Điều kiện ba điểm thẳng hàng, phơng pháp tìm toạ độ điểm qua phép đối xøng t©m ... vµMchØ = ; ; 2 Vậy toạ độ điểm B = (5; -7; 0) Củng cố Qua học học sinh cần nắm đợc Hệ toạ độ không gian Toạ độ vectơ Toạ độ điểm, toạ độ hình chiếu điểm trục toạ độ mặt phẳng toạ độ Các phép... b ) = ( 0; 0; 0) M = 2 a = b 3 x B = 2x M − x A = 2. 3 − = c) a b phơng chØ a1=kb1 , a2 = kb2 , ⇔ y B = 2y M − y A = 2. ( ? ?2) − = −7 − −− > z = 2z − z = 2 .1 − = B d ) AB = ( x... cho tríc vµ viÕt a = (a1; a2; a3) hoặcx a(a ;a3) Trong toạ độ Oxyz, 1; a2xét Nhận toạ độ điểm M toạ độ vec tơ OM Ta cã M=(x; y; z) OM = (x; y; z) −> a −> −> i M1 k O M2 M −> j M’ M’’ y TrÇn