Bài toán phụ khảo sát

3 (HSG ĐỀ 049) Cho đồ thị  C  y  x  3x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  song Câu 2: song với đường thẳng y 9 x  25 Lời giải y 3x  Do d song song với đường thẳng y 9 x  nê hệ số góc k 9 Hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình 3x  x 9  x   x 3 + Với x  tì tiếp tuyến có phương trình y 9 x  + Với x 3 tiếp tuyến có pt y 9 x  25 (loại ) Vậy có tiếp tuyến y 9 x  25 Câu 3: (HSG ĐỀ 049) Tính giới hạn: lim 1 x  x  3x sin x Lời giải lim 1  x  3x 1 lim x sin x x 3  3x   3x  sin x  x  3x    3x  3x (1   x )  lim    x sin x sin x      3x  3x (1   2x )  lim    x sin x   2x   sin x   3x  (1  3x)     x x  3x lim  lim lim  2 x sin x x x sin x x   x   3x  (1  3x)  lim Câu 8: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2012) Cho đồ thị  C  : y  x 1 Viết phương trình x tiếp tuyến   C  cho khoảng cách từ điểm I  1;  đến  lớn Lời giải Ta có y  3  2a     (C ), a 1 Gọi tiếp điểm M  a; ( x  1)  a   có phương trình: y  d ( I , )  3 2a  ( x  a)   3x  (a  1) y  2a  2a  0 (a  1) a  2(a  1)  2a  2a  32  (a  1)  a 32  (a  1)  a  32 ( a  1) Đẳng thức xảy 32 ( a  1)  a 1  +) Với a 1   có phương trình 3x  y   0  y  x   +) Với a 1   có phương trình 3x  y   0  y  x   Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y  x   y  x   Câu 7: (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2015) Cho đồ thị  C  : y  2x  Tìm tọa độ điểm M x 1 thuộc  C  cho tiếp tuyến  C  M cắt trục Ox, Oy hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OB 3OA Lời giải  2a   Gọi d tiếp tuyến  C  M , M  (C ) nên M  a;  , a   a 1  Ta có y  3  d có hệ số góc k  y (a )  ( x  1) (a  1) d có phương trình y  2a  3x 2a  a  ( x  a )   y   (a  1) a 1 (a  1) (a 1)  2a  2a   ;0  Do A d  Ox nên A      2a  2a   B B  d  Oy Do nên  0;  (a  1)2   Theo ta có OB 3OA  2a  2a  2a  2a   (a  1)2  2a  2a  0 (lo¹i A B O )  a 0    a     (a  1) 1 Vậy có hai điểm cần tìm M (0;  1) M ( 2;5) Câu 9:  M (0;  1)  M ( 2;5)  (ĐỀ THI OLYMPIC 11 – BIM SON 2014) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 27 sin x  33cos x Lời giải +) Tìm max y : Ta có y 27 sin x  33cos x 27 sin x  33cos x (1) Ta chứng minh: 27 sin x  33cos x 33 , x  R (2) Thật (2)  33(1  cos x)  27 sin x 0  33(1  cos x)  27(1  cos x) 0  (1  cos x)  33  27(1  cos x)(1  cos x)  0 (3) Theo BĐT côsi: 27 27   (2  2cos x)(1  cos x)(1  cos x)    32  33 2  3 BĐT (3) suy BĐT (2) Vậy y 33, x  R 27(1  cos x)(1  cos x)(1  cos x)  cos x 1  x k 2 , suy max y 33 Dấu “=”   sin x sin x +) Tương tự: y 27sin x  33cos x  27 sin x  33cos x , y  33 x   k 2 Câu 6:(HSG ĐỀ 059) Giả sử A, B, C ba điểm thẳng hàng cùng thuộc (C): y = x3 – 3x – Các tiếp tuyến A, B, C cắt (C) A’, B’, C’ Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng Lời giải Gọi A  x1 ; y1  , B  x ; y  , C  x ; y3  điểm thẳng hàng (C) thuộc đường thẳng  : y ax  b PT tiếp tuyến A là: y  3x1  3  x  x1   y1 (d1) 3 Xét PT: x  3x   3x1  3  x  x1   x1  3x1    x  x1   x  xx1  x12    x  x1    3x12    x  x1  0   x  x1   x  2x1  0   x  x1  x  2x   d1 cắt (T) A '  x '1 ; y '1  với x '1  2x1 y '1 x '13  3x '1   8x13  6x1    x13  3x1    18x1  18  8y1  18x1  18   ax1  b   18x1  18  4a   x '1  18  8b Chứng minh tương tự A’, B’, C’ cùng thuộc đường thẳng có PT:  ' : y  4a   x  18  8b Suy ra, đpcm Cách 2: Gọi A  x A ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  ba điểm phân biệt thẳng hàng thuộc đồ thị (C), A, B,   C thẳng hàng nên AB k AC  k 0    xB  xA   yC  y A   xC  x A   yB  y A  (1) (Trong x A  xB , xB  xC , xC  x A ) + Biến đổi (1) ta được: x A  xB  xC 0   + Tiếp tuyến A (C) có phương trình: y  x A  3  x  xA   x A  3x A   d  + Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) ta được:  x x A  x  x A   x  xA  0    x  x A + Vậy tiếp tuyến (d) cắt (C) điểm A’ có hồnh độ: x A '  x A + Tương tự ta có: xB '  xB , xC '  xC , x A '  xB '  xC '   xA  xB  xC  0 (3) Suy A’, B’, C’ thẳng hàng Câu 1: (HSG THPT TĨNH GIA NĂM 2018-2019) Cho hàm số: y =  m  3 x   m  1 x  m (C) Khi (C) cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 , tìm số thực a để biểu thức F  x1  a   x2  a  không phụ thuộc vào m Lời giải m  Với  phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , theo định lí m 1 2(m  1)   x1  x2  m  vi-et ta có:  , ta có: x x  m m 3  m 2a (m  1) F  x1  a   x2  a  x1 x2  a ( x1  x2 )  a =   a2 m 3 m 3 m  2am  2a m   2a (m  3)  4a  4a    a2   a 1  2a  a  m 3 m3 m3 F không phụ thuộc vào m  4a  0  a  Câu 1: (HSG THPT CẨM THỦY 1) Cho hàm số y x  x  có đồ thị  C  đường thẳng d m : y mx  m Tìm tất giá trị tham số m để d m cắt  C  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn : x12  mx1  2m x22  mx2  2m   x2 x1 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  mx  m  x   m   x  m  0  1 d cắt  C  hai điểm phân biệt   1 có hai nghiệm phân biệt khác   m     m  3  m  16     m 3 m 3 m 3 Do x1 , x2 hai nghiệm phương trình  1 nên: x12   m   x1  m  0  x12  m   x1  m  x22   m   x2  m  0  x22  m   x2  m  T  x12  mx1  2m x22  mx2  2m x1  m  x2  m     x2 x1 x2 x1 x12  x22   m  3  x1  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2   m    x1  x2  x1 x2 2  m     m     m    m   3m  9m  26  m m  m  3m  9m  26 T     3m  13m  14 0    T / m  m  m 3   Câu 1: (HSG THPT TRIỆU SƠN NĂM 2018-2019) Cho parabol  P  : y x  3x  đường thẳng d : y  x  m Tìm tất giá trị thực tham số m để d cắt  P  hai điểm phân biệt M , N khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng MN đến trục tọa độ bằng Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x  3x   x  m  x  x   m 0 (1) d cắt  P  hai điểm phân biệt M , N       m   m  (2) Gọi x1 , x2 hoành độ điểm M , N Khi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) M  x1 ;  x1  m  , M  x2 ;  x2  m   x1  x2 2 Theo Vi-et, ta có:   x1 x2 2  m Vì I trung điểm đoạn thẳng MN  I  1; m  1  m 2 Vì I cách trục tọa độ   m     m 0 Kết hợp với điều kiện (2)  m 2 Câu 1: (THPT ĐƠNG SƠN NĂM 2018-2019) Tìm tất giá trị thực m để hàm số y  x  2mx  7m  có tập xác định ¡ Lời giải Hàm số y  x  2mx  m  có tập xác định ¡  x  2mx  m  0, x    a 1     ' m  m  0   m 8 Vậy m cần tìm m  [  1;8] Câu 1: (HSG THPT HẬU LẬU NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  f  x   x  x   1 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số  1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y  f  f  x   với x    2;0 Lời giải Bảng biến thiên: x y   -2    -1 ( ) Đồ thị ∙ y -3 x -2 -1 O -1 -4 - Đặt t=f(x), x    2;0 nên t    1;3 f  t    0; 24  f  f  x   24 x 0 ; f  f  x   0 x  Vậy xmax x  2;0   2;0 Câu 1:  P  : y x (ĐỀ HSG NÔNG CÔNG – THANH HÓA NĂM 2017-2018) Cho parabol  mx  đường thẳng d : y mx  3m  Tìm tất giá trị m để d cắt  P  hai 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho biểu thức P  x1  x2 đạt giá trị nhỏ Lời giải + Phương trình hồnh độ x  2mx  3m  0  15  + Ta có   m  3m   m     0, m 2   39 39  Ta có: P  2m     2 4   x1  x2 2m + Áp dụng định lí vi-et   x1 x2 3m  + Ta có P  x12  x22  x1  x2   x1 x2  4m  6m  12 39 + Vậy giá trị nhỏ P   m  4 m Câu (HSG ĐỀ 075) Tìm để đường thẳng d : y x  2m tiếp xúc với parabol  P  : y  x  x  3m Lời giải Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình:  x  x  3m  x  2m   x  x  m 0 Đường thẳng tiếp xúc với parabol phương trình có nghiệm kép   0   4m 0  m  Câu (HSG THPT CẨM THỦY NĂM 2018-2019) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị  C  đường thẳng d m : y mx  m Tìm tất giá trị tham số m để d m cắt  C  hai điểm phân biệt x12  mx1  2m x22  mx2  2m   x2 x1 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  mx  m  x   m   x  m  0  1 có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn : d cắt  C  hai điểm phân biệt   1 có hai nghiệm phân biệt khác   m     m  3  m  16     m 3 m 3 m 3 Do x1 , x2 hai nghiệm phương trình  1 nên: x12   m   x1  m  0  x12  m   x1  m  x22   m   x2  m  0  x22  m   x2  m  T  x12  mx1  2m x22  mx2  2m x1  m  x2  m     x2 x1 x2 x1 x12  x22   m  3  x1  x2  x1 x2   x1  x2   x1 x2   m  3  x1  x2  x1 x2 2  m     m  3   m  3  m   3m  9m  26   m m  m  3m  9m  26 T     3m  13m  14 0    T / m  m  m 3  Câu (THPT TRIỆU SƠN NĂM 2018-2019) Cho parabol  P  : y x  x  đường thẳng d : y  x  m Tìm tất giá trị thực tham số m để d cắt  P  hai điểm phân biệt M , N khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng MN đến trục tọa độ bằng Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x  3x   x  m  x  x   m 0 (1) Đường thẳng d cắt  P  hai điểm phân biệt M , N       m   m  (2) Gọi x1 , x2 hoành độ điểm M , N Khi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) M  x1 ;  x1  m  , M  x2 ;  x2  m   x1  x2 2 Theo Vi-et, ta có:   x1 x2 2  m Vì I trung điểm đoạn thẳng MN  I  1; m  1  m 2 Vì I cách trục tọa độ   m     m 0 Kết hợp với điều kiện (2)  m 2 Câu (HSG ĐỀ 078) Cho hàm số y ( x  2)( x  1) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số Lời gải Bảng biến thiên  x  x  x 0 y    x  x  x  x y     -2  (file thiếu hình đồ thị) Câu 1: (HSG ĐỀ 081) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P  hàm số y ax  bx  Biết parabol  P qua điểm A   1;   có trục đối xứng đường thẳng x 2 Lời giải Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P  hàm số y ax  bx  Biết parabol  P  qua điểm A   1;   có trục đối xứng đường thẳng x 2  P qua điểm A   1;    a  b   1  P có trục đối xứng đường thẳng x 2  b   4a  b 0   2a  a   y  x  x  Từ  1 ,   ta có  b 4 Bảng biết thiên x y Đồ thị ĐỀ SỐ 82 Câu 1: 2 (HSG ĐỀ 082) Cho parabol  P  : y 2 x  2mx  m đường thẳng  d  : y  x  4m  Tìm tất giá trị m để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 biểu thức A  x1 x2   x1  x2  đạt giá trị lớn Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: 2 x  2mx  m  x  4m   x  x  m  1  m  4m  0 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   ' 0   m  1  m  4m  0  m  6m  0   m    m  4m  suy m  4m  m  8m  m  8m     m  1   (do  m  1) 2 Theo định lí Viet ta có x1  x2   m  1 , x1 x2  A  x1 x2   x1  x2  Suy Amax  Câu 1: m  2 (HSG ĐỀ 083) Cho Parabol ( P ) : y x  2(m  1) x  (1) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 3 b Tìm tất giá trị tham số m để parabol (P) cắt trục Ox điểm phân biệt A B cho tam giác IAB tam giác (với I đỉnh (P)) Lời giải a Khi m = 3, hàm số trở thành: y  x  x  +) TXD: R +) Sự biến thiên Hàm số nghịch biến khoảng ( ;  2) , đồng biến khoảng ( 2; ) Bảng biến thiên x -  -2 + y + + -1 +) Vẽ đồ thị Đồ thị hàm số parabol có đỉnh I(-2;-1), hướng bề lõm lên trên, nhận đường thẳng x = -2 làm trục đối xứng, cắt ox điểm (-1;0), (-3;0) b Đỉnh (P): I  m  1;3  ( m  1)   Phương trình hồnh độ giao điểm (P) trục Ox là: x  2(m  1) x  0  * Để (P) cắt Ox điểm phân biệt   * có nghiệm  m 1   ' ( m  1)      m   Khi phương trình  * có nghiệm: x1 1  m  m  2m  2, x2 1  m     phân biệt m  2m    A  m  m  2m  ;0 , B  m  m  2m  ; ,   AB  m  2m  2; , IA m  2m  2; m  2m      Do (P) nhận đường thẳng x 1  m làm trục đối xứng nên tam giác IAB cân I Để tam giác IAB suy AB IA ,  m  2m    m  m     m  2m     m  2m    m2  2m     m  2m    m2  2m  3  m 1   tm  Vậy m 1  Câu 1:  P  : y 2 x  2mx  m2 đường thẳng  d  : y  x  4m  Tìm tất giá trị m để  d  cắt  P  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 biểu thức A  x1 x2   x1  x2  đạt giá trị lớn (HSG THPT LÊ LỢI NĂM 2018-2019) Cho parabol Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: 2 x  2mx  m  x  4m   x  x  m  1  m  4m  0 Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   ' 0     m  1  m  4m  0  m  6m  0   m  m  4m  * ) Theo định lí Viet ta có x1  x2   m  1 , x1 x2  suy m  4m  m2  8m  m  8m  A  x1 x2   x1  x2     m  1   (do  m  1) 2 Suy Amax 9 m  Câu 1: (TRƯỜNG THPT LÊ LỢI NĂM 2017 - 2018) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số y  x  bx  c biết rằng (P) có đỉnh I   1;   Lời giải Đồ thị hàm số có đỉnh I   1;   nên ta có: Vậy hàm số cần tìm y  x  x  Bảng biến thiên: x - -1 +  y x  x  -4 Đồ thị hàm số: Nhận xét: Đồ thị hàm số có đỉnh I ( -1; -4) nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng 2 Câu Cho hàm số y  x  2(m  1) x   m (1) , ( m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vng K , K (2;  2) Lời giải - Phương trình hoành độ giao điểm  x  2(m  1) x   m 0  x  2(m  1) x  m  0 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt,   '   (m  1)  m2    2m    m   - Gọi nghiệm phương trình (2) x1 , x2 Tọa độ giao điểm A, B A( x1 ;0) , B( x2 ;0) ;   KA ( x1  2; 2), KB (x2  2; 2) - Khi theo ta có:   KA  KB  KA KB 0  (x1  2)(x2  2)  0  x1x2  2( x1  x2 )  0  m 1  m2   2.2(m  1)  0  m2  4m  0    m 3 - Kết hợp điều kiện m   , ta m 1 , m 3 Câu (HSG ĐỀ 095) Cho parabol  P  : y  x  x  đường thẳng d : y mx  Tìm tất giá trị thực m để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác OAB bằng Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d nghiệm phương trình :  x 0 x  x  mx   x  x   m    0    x m  Để d cắt  P  hai điểm phân biệt A, B  m 0  m  Với x 0  y 3  A  0;3  Oy 2 Với x 4  m  y m  4m   B   m; m  4m   Gọi H hình chiếu B lên OA Suy BH  xB   m 9 Theo giả thiết tốn, ta có S OAB   OA.BH   m   2 2  m   m  3    m  Câu 2 (HSG ĐỀ 095) Cho hàm số y  x  2(m  1) x   m (1) , ( m tham số) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho tam giác KAB vuông K , K (2;  2) Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm  x2  2(m  1) x   m2 0  x  2( m  1) x  m2  0 (2) Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt,   '   (m  1)  m2    2m    m   Gọi nghiệm phương trình (2) x1 , x2 Tọa độ giao điểm A, B A( x1 ;0) , B( x2 ;0) ;   KA (x1  2; 2), KB (x2  2; 2) Khi theo ta có:   KA  KB  KA KB 0  (x1  2)(x2  2)  0  x1x2  2( x1  x2 )  0  m 1  m2   2.2( m  1)  0  m  4m  0    m 3 Kết hợp điều kiện m   , ta m 1 , m 3 Lời giải +) Tịnh tiến đồ thị  C  sang trái đơn vị ta đồ thị hàm số y  f  x  1 +) Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  1 xuống đơn vị ta đồ thị hàm số y  f  x  1  +) Đối xứng phần phía Ox đồ thị hàm số y  f  x  1  qua Ox bỏ phần phía ta đồ thị  C ' hàm số y g ( x )  f  x  1  +) Từ đồ thị  C   g ( 5)  f     3 g (1)  f    9 +) Đặt t  f  x  1  , t   0;3 phương trình biểu thị theo t là:  t  2t m (1) Qua phần đồ thị t  C ' ứng với x    5;1 ta giá trị t   0;3 phương trình f  x  1  cho khơng nghiệm x    5;1 Do phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc   5;1 phương trình (1) có nghiệm phân biệt thuộc  3; Xét hàm số y  t    t  2t , ta có bảng biến thiên:   Qua BBT ta m    ;  giá trị cần tìm   Câu (HSG THPT YÊN ĐỊNH NĂM 2017-2018) Cho phương trình : x  mx  m  0 Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: B x1 x2  x  x22   x1 x2  1 Lời giải  x1  x2 m Theo hệ thức Vi-ét :   x1 x2 m  x1 x2  x1 x2  2(m  1)  2m   B    2 x1  x2   x1 x2  1 ( x1  x2 )  m2  m 2 Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m 2m   Bm2  2m  B  0 (Với m ẩn, B tham số) m2  Ta có:  1  B(2 B  1) 1  B  B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m    B  B  0  B  B  0   B  1  B  1 0 hay Vậy: max B=1  m = 1, B   m  2 B (**) Câu (HSG THPT YÊN ĐỊNH NĂM 2017-2018) Cho parabol  P  : y  x   m  1 x  m  với m tham số Chứng minh rằng m  R khoảng cách từ đỉnh  P  đến trục Ox không nhỏ Lời giải  m  m  2m  25  I ; + Tọa độ đỉnh     + Khoảng cách từ đỉnh parabol đên trục Ox bằng 1 d   m  2m  25    m  1  6, m  R  đpcm 4 Câu (HSG THPT YÊN ĐỊNH NĂM 2017-2018) Cho hàm số y  x có đồ thị (P) đường thẳng (d) qua N ( 1;  2) có hệ số góc k Chứng minh với k đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Giả sử A(x1 ; y1 ), B(x ; y ) , tìm k để S x1  x  y1  y đạt giá trị lớn Lời giải (d) có dạng y=k(x+1)-2 Pt hoành độ giao điểm x  kx  k  0 Do  (k  2)   nên (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(x1;  x12 ), B(x ;  x 2 ),S  k  k   15  15  15 S  (k  )2  k Dấu = xảy k  Vậy MaxS  4 Câu Cho Parabol (P) : y = x2 – 4x + a Vẽ Parabol (P), từ lập bảng biến thiên hàm số b Tìm m để phương trình | x2 – 4x + 3| = m có nghiệm phân biệt Lời giải Cho Parabol (P) : y = x2 – 4x + a Vẽ Parabol (P), từ lập bảng biến thiên hàm số + Đỉnh I(2; - 1) + Trục đối xứng : x = + Vì a = > nên bề lõm (P) quay lên + (P) cắt Oy (0; 3) (P) cắt Ox (1; 0), (3; 0) Bảng thiến thiên: b Tìm m để phương trình | x2 – 4x + 3| = m có nghiệm phân biệt PT cho có nghiệm phân biệt  đường thẳng d: y = m cắt (C): y = | x2 – 4x + 3| điểm phân biệt + Vẽ đồ thị (C): y = | x2 – 4x + 3| Từ đồ thị  d cắt (C) điểm phân biệt  < m < Vậy m  (0; 1) phương trình cho có nghiệm phân biệt Câu (HSG THPT NGA SƠN NĂM 2017-2018) Cho Parabol (P) y x  mx  đường thẳng (d) y 2mx  m Tìm m để (P) cắt (d) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x cho biểu thức B  2x1x  đạt giá trị nhỏ x  x 22  2(x1x  1) Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x  mx  m  0 Điều kiện có nghiệm 2m  (m  2) 1 B    (Dấu “=” xảy m  2m  2(m  2) 2 Câu (HSG THPT TRIỆU SƠN NĂM 2017) Cho hàm số y x   m  1 x  3, ( Pm ) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m 1 b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt d : y  hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2 4 Lời giải a) Học sinh tự vẽ b) Xét phương trình: x   m  1 x  0 (*) để đồ thị hàm số cắt d hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn  '   hết pt (*) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn x1 ; x2    s 0   p 0    m 1     m   m 1 ; theo định lí viet ta có: m    x1  x2 4 trước  m  1  0  2  m  1 0  0   x1  x2 2(m  1)   x1.x2 4 x1  x2 4  x1  x2  x1.x2 16  2(m  1)  16  m 5 (TM) Câu (THPT HÀM RỔNG THANH HĨA) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x  x  m Lời giải + Vẽ đồ thi hàm số y  x  x  ( P1 ) + Xóa bỏ phần bên trái Oy ( P1 ) , sau lấy đối xứng phần giữ lại ( P1 ) qua Oy ta đồ thị hàm số y  x  x  ( P2 ) + Lấy đối xứng phần phía Ox ( P2 ) , sau xóa bỏ phần phía Ox ta đồ thị hàm số y  x  x  ( P) + Số nghiệm pt bằng số điểm chung d: y = m ( P ) : y  x  x  KL: + Pt vô nghiệm khi: m < + Pt có nghiệm khi: m > + Pt có nghiệm khi: m = + Pt có nghiệm khi: m   1;3   0 + Pt có nghiệm khi: m =1 + Pt có nghiệm khi: m   0;1 Câu (HSG THPT HẬU LỘC NĂM 2017-2018) Cho parabol  P  : y  x   m  1 x  m  với m tham số Chứng minh rằng đỉnh  P  đến trục Ox khơng nhỏ m  R khoảng cách từ Lời giải  m 1 m  2m  25  ; + Tọa độ đỉnh I     + Khoảng cách từ đỉnh parabol đên trục Ox bằng d 2 m  2m  25    m  1  6, m  R  đpcm  4 Câu (HSG THPT HẬU LỘC NĂM 2017-2018) Tìm m nguyên dương nhỏ để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ cho số nguyên Lời giải Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A, B phương trình hồnh độ giao điểm: có nghiệm phân biệt Khi đó: Do đó: số nguyên m – ước Ta phương trình tương ứng : ; ; ; Vậy: Giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán là: Câu (HSG THPT HẬU LỘC NĂM 2017-2018) Tìm m nguyên dương nhỏ để đồ thị hàm số y  m   x   m   x  m  cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 cho x1 , x2 số nguyên Lời giải Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A, B  m   x   m   x  m  0 có nghiệm phân biệt m    m 4 m 1  m m Do đó: x1 , x2 số nguyên m  ước Ta phương trình tương ứng: m    m 1 m    m 3 m  1  m 5 m  3  m 7 Vậy giá trị m thỏa mãn yêu cầu tốn là: m 1 Khi đó: x1.x2  phương trình hồnh độ giao điểm: Câu (HSG THPT BA ĐÌNH NĂM 2017-2018) Cho hàm số y  x  2(m  1) x  m3  (m  1) có đồ thị ( Pm ) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  b Giả sử ( Pm ) cắt Ox hai điểm có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 4 Tìm giá 3 trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P x1  x2  x1 x2 (3x1  3x2  8) Lời giải a b Phương trình hồnh độ giao điểm (P) Ox là: x   m  1 x  m3   m 1 0 (1) (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2 4   m 2  m  m   0  ' 0        m 0   x1  x2 4   m  1 4  m 3    m 0  m 3  Theo định lí Viet ta có: x1  x2 2  m  1 , x1 x2  m   m  1 3 2 Suy ra: P  x1  x2   x1 x2 8  m  1  8m3   m  1  16m  40m m -2 16 0 P -144 -24 Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 m 2 , Pmin  144 m  Câu (HSG ĐỀ 121) Tìm m để đường thẳng điểm phân biệt cắt đồ thị cho diện tích tam giác Lời giải Tìm m để đường thẳng cho diện tích tam giác cắt đồ thị bằng bằng với điểm phân biệt với Phương trình hồnh độ giao điểm Để (d): cắt (d) điểm phân biệt Giả sử có nghiệm phân biệt nghiệm pt (2) Mà ta có Khi ta có Câu (HSG THPT SẦM SƠN NĂM 2017-2018) Cho hàm số y mx   m  1 x  m  (Pm ) Xác định m để đồ thị (Pm ) cắt trục Ox hai điểm phân biệt x1,x2 thỏa mãn : x1  x2 2 Lời giải Hoành độ giao điểm Pm với Ox nghiệm pt mx   m  1 x  m  0 (Pm ) m 0 m    ;    0;1 Theo gt pt có nghiệm pb    '  Khi x1 - x = 2   x1  x2   x1 x2 8   m  1 x1  x2    m Áp dụng hệ thức vi ét   x x  m   m   m  1  m  2m   m  3m 2m  2m  m  0   m  2 2 2 Câu (HSG ĐỀ 130) Cho hàm số y x  x  (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (1) Gọi A, B hai điểm thuộc đường thẳng y = Tìm C, D thuộc đồ thị ( P) cho ABCD hình vng, biết xC , xD  Lời giải Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số: y x  x  * TXĐ: D  Đỉnh I(2;-1) Trục đối xứng: x 2 Do a 1  nên hàm số nghịch biến khoảng (  ;2) đồng biến khoảng (2; ) * Đồ thị: Đồ thị cắt trục Ox (1;0) (3;0) Đồ thị cắt trục Oy (0;3) Gọi A, B hai điểm thuộc đường thẳng y = 3; C, D thuộc đồ thị ( C) cho ABCD hình vng, biết xC , xD  + Goi D ( x0 ; y0 ), CD / / AB nên C đối xứng với D qua đường thẳng x = C (4  x0 ; y0 ), y + ABCD hình vng , suy d(D, y =3)= CD   y0   x0 , x0  + Giải tìm 2điểm C, D có tọa độ 3 Câu 2:   5;  ,  5;  (TRƯỜNG THPT  TĨNH GIA 1-2017-2018) cos x  cos x(1  sin x ) 6  sin x Lời giải cos x  cos x(1  sin x ) 6  sin x  cos x      Câu 1: sin x  cos x  sin x  0   cos(2 x  )  cos( x  )  0   cos ( x  )  cos( x  )  0 6   cos( x  ) 1; cos( x  )  2(l ) 6  x  k 2 Giải O 1 1 1 1 phương trình x sau: (HSG THPT SẦM SƠN NĂM HỌC 2017-2018) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y 2 x  x  Lời giải *Bảng biến thiên: