Mot so bai toan ve khao sat ham so

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăng dần lập thành một cấp số cộng, ở đó d là đường thẳng đi qua 2 điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho.. Vớ[r]

NGUYỄN VĂN XÁ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (ÔN TẬP CHUẨN BỊ CHO KÌ THI THPT QUỐC GIA) BẮC NINH - 2016 10 84/017-99 YP2-16 Mã số: 8I092M5 Lời nói đầu Tài liệu này tập hợp số bài toán khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, phục vụ việc ôn tập chuẩn bị cho kì thi THPT Quốc gia Ngày tháng năm 2016 Nguyễn Văn Xá Nguyễn Văn Xá Mục lục Lời nói đầu i Mục lục Chương Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba 1.1 Sự đồng biến, nghịch biến hàm bậc ba 1.2 Cực trị hàm bậc ba 1.3 Tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba 1.4 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba 1.5 Sự tương giao hai đồ thị 10 1.6 Một số bài toán khác 11 Chương Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương 14 2.1 Sơ đồ khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương 14 2.2 Bài tập 15 Chương Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức 18 3.1 Đường tiệm cận đồ thị hàm số 18 3.1.1 Đường tiệm cận đứng 18 3.1.2 Đường tiệm cận ngang 18 3.1.3 Đường tiệm cận xiên 18 3.2 Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức ax + b cx + d ax2 + bx + c 3.4 Hàm số phân thức y = dx + e 3.3 Hàm số phân thức y = 19 19 22 Chương1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) 1.1 1.1 Sự đồng biến, nghịch biến hàm bậc ba 1.2 Cực trị hàm bậc ba 1.3 Tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba 1.4 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba 1.5 Sự tương giao hai đồ thị 10 1.6 Một số bài toán khác 11 Sự đồng biến, nghịch biến hàm bậc ba Hàm số bậc ba y = ax3 +bx2 +cx+d (a 6= 0) luôn có đạo hàm y = 3ax2 +2bx+c là tam thức bậc hai và có không quá nghiệm trên R Kí hiệu ∆ là biệt thức tam thức y = 3ax2 +2bx+c và xét K là tập hợp có dạng [a; b] , (a; b) , [a; b) , (a; b] , (a; +∞) , (−∞; b) , [a; +∞) , (−∞; b] , (−∞; +∞) Khi đó • Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên K ⇔ y = 3ax2 + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ K • Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d nghịch biến trên K ⇔ y = 3ax2 + 2bx + c ≤ 0, ∀x ∈ K ( • Hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d đồng biến trên R ⇔ y = 3ax2 +2bx+c ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ a>0 ∆≤0 ( , • Hàm số y = ax3 +bx2 +cx+d nghịch biến trên R ⇔ y = 3ax2 +2bx+c ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ Tập K có dạng gọi là gian R a<0 ∆≤0 Nguyễn Văn Xá • Nếu a > và ∆ > thì phương trình y = có nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ) đồng thời hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến trên (−∞; x1 ] , [x2 ; +∞) , và nghịch biến trên đoạn [x1 ; x2 ] • Nếu a < và ∆ > thì phương trình y = có nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ) đồng thời hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d nghịch biến trên (−∞; x1 ] , [x2 ; +∞) , và đồng biến trên đoạn [x1 ; x2 ] Bài tập 1.1 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + Lập bảng biến thiên, xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, và cực trị hàm số Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [−3; 1] Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ −1 Bài tập 1.2 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3mx − nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Bài tập 1.3 Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + x + nghịch biến trên đoạn [1; 2] Bài tập 1.4 Tìm m để hàm số đồng biến trên R 2m − 1 x + y = x3 − 3 y = x3 − 3mx2 + 9x + m3 Bài tập 1.5 Tìm m để hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m + 1)x + nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn Bài tập 1.6 Tìm m để hàm số y = − x3 − mx2 + mx − Nghịch biến trên tập xác định Nghịch biến trên [0; +∞) Bài tập 1.7 Tìm a để hàm số y = f (x) = 4x3 + ax Thỏa mãn |f (sin t)| ≤ với t ∈ R Đồng biến trên R Bài tập 1.8 Tìm m để hàm số y = x3 + mx2 + mx − 2017 đồng biến trên [0; +∞) Bài tập 1.9 Tìm α để hàm số 1 y = x3 − (1 + cos α)x2 + 2x cos α + đồng biến x > 3 y = x − x2 sin α + (5 sin2 α − 3)x + đồng biến trên R Bài tập 1.10 Tìm m để hàm số y = 1.2 x2 + 5x + + m2 đồng biến trên khoảng (1; +∞) x+3 Cực trị hàm bậc ba Ta lưu ý • Nếu ∆ ≤ thì y = 3ax2 + 2bx + c không đổi dấu trên R, nên hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d không có cực trị • Nếu ∆ > thì y = 3ax2 + 2bx + c có nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2 ) và đổi dấu x qua nghiệm này, nên hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có điểm cực trị x1 , x2 Trong trường hợp này, tâm đối xứng (hay điểm uốn) đồ thị (C) hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d là trung điểm đoạn thẳng nối điểm cực đại A và điểm cực tiểu B đồ thị (C), đồng thời đường thẳng AB có phương trình y = kx + m, đó kx + m là đa thức dư chia đa thức ax3 + bx2 + cx + d cho đa thức 3ax2 + 2bx + c Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba Bài tập 1.11 Lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số y = x − x2 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [−1; 3] Bài tập 1.12 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + m có 2yCĐ + yCT = Bài tập 1.13 Tìm m để Hàm số y = x3 − (m + 2)x + m đạt cực đại x = −1 Hàm số y = −x3 + mx2 − đạt cực tiểu x = Hàm số y = x3 − 3mx2 + (m2 − 1)x + đạt cực đại x = Bài tập 1.14 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 4m có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị này nằm trên trục Ox Bài tập 1.15 Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 + (3m − 2)x + 2017 có điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn 1) < x1 < x2 2) 5x1 + 3x2 = Bài tập 1.16 Tìm m để hàm số y = x3 − 3x2 + mx − có điểm cực trị x1 , x2 thỏa mãn x21 + x22 = 2 Bài tập 1.17 Tìm m để hàm số y = x3 − mx2 − 2(3m2 − 1)x + có điểm cực trị x1 , x2 thỏa 3 mãn x1 x2 + 2(x1 + x2 ) = Bài tập 1.18 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + mx (C) có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng (d) : x − 2y − = Lời giải Tập xác định hàm số đã cho là D = R Ta có y = 3x2 − 6x + m là tam thức bậc hai ẩn x với ∆0 = − 3m Hàm số đã cho có hai điểm cực trị phương trình y = có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt ⇔ ∆0 > ⇔ − 3m > ⇔ m < (1) Với m < thì (C) có hai điểm cực trị A(x1 ; y1 ), B(x2 ; y2 ) với x1 , x2 là hai nghiệm phương trình y = và y1 = x31 − 3x21 + mx1 , y2 = x32 − 3x22 + mx2 Theo Định lí Vièt ta có x1 + x2 = 2, m x1 x2 = Gọi I là trung điểm AB thì 1 xI = (xA + xB ) = (x1 + x2 ) = 1, và 2
1 yI = (yA + yB ) = (y1 + y2 ) = (x31 − 3x21 + mx1 ) + (x32 − 3x22 + mx2 ) 2 3 m = (x1 + x32 ) − (x21 + x22 ) + (x1 + x2 ) 2

m = (x1 + x2 ) (x1 + x2 ) − 3x1 x2 − (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 + (x1 + x2 ) 2 3 m m = (4 − m) − − + = m − 2 tức là I(1; m − 2) Lưu ý


y1 − y2 = x31 − 3x21 + mx1 − x32 − 3x22 + mx2 = (x1 − x2 ) (x1 + x2 )2 − 3x1 x2 − 3(x1 + x2 ) + m = (x1 − x2 ) (4 − m − 3.2 + m) = −2(x1 − x2 ) 6= 0, Nguyễn Văn Xá −→ và BA = (x1 − x2 ; y1 − y2 ) = (x1 − x2 ; −2(x1 − x2 )) nên ~u1 = (1; −2) là vectơ phương đường thẳng AB Một vectơ phương đường thẳng d là ~u2 = (2; 1) Hai điểm A, B đối xứng với qua d và ( ( I∈d − 2(m − 2) − = ⇔ ⇔ m = (2) ~u1 ~u2 = 1.2 + (−2).1 = Kết hợp (1) và (2) ta m =  Bài tập 1.19 Tìm m để hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 4m3 đối xứng với qua đường thẳng y = x Bài tập 1.20 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − (2m − 1)x2 + (2 − m)x + có cực đại, cực tiểu, và hai điểm cực trị này có hoành độ dương Bài tập 1.21 Chứng minh hàm số y = x3 − mx2 − (2m + 3)x + luôn có cực trị với m Bài tập 1.22 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (C) Lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số trên đoạn [1; 4] Viết phương trình đường thẳng d biết hai điểm cực trị đồ thị (C) đối xứng với qua d Bài tập 1.23 Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x (C) Lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu và tìm cực trị hàm số Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số trên đoạn [−1; 2] Tìm m để đường thẳng y = x + m2 − m qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực trị (C) Bài tập 1.24 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 có cực trị Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số đã cho Bài tập 1.25 Tìm m để hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − có cực đại, cực tiểu, và các điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Bài tập 1.26 Tìm m để trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 9x + thuộc đường thẳng y = x + Bài tập 1.27 Tìm m để đồ thị y = x3 − 3mx2 + 3m3 có điểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích 48 (O là gốc tọa độ) Bài tập 1.28 Tìm m để đồ thị y = 2x3 − 3(m + 1)x2 + 6mx có điểm cực trị A, B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2017 Bài tập 1.29 Tìm m để đồ thị y = x3 − 3mx + có điểm cực trị A, B cho tam giác ABC cân đỉnh C(2; 3) Bài tập 1.30 Tìm m để đồ thị y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + m − có điểm cực trị, đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại tới trục hoành khoảng cách từ điểm cực tiểu tới trục tung Bài tập 1.31 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − mx2 + (2m − 1)x − m + có hai điểm cực trị có hoành độ dương Bài tập 1.32 Tìm m để đồ thị hàm số y = −x3 + 3(m + 1)x2 − (3m2 + 7m − 1)x + m2 − đạt cực tiểu điểm x < 1 Bài tập 1.33 Tìm m để hàm số y = x3 − (m − 1)x2 + 3(m − 2)x + 3 Đồng biến trên (2; +∞) Đạt cực trị x1 , x2 và x1 + 2x2 = Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba Bài tập 1.34 Từ bìa hình vuông cạnh a (a > 0) người ta cắt từ góc hình vuông cạnh x để lấy phần còn lại gấp thành hình hộp không nắp Xác định x để hình hộp đó có thể tích lớn Bài tập 1.35 Cho hàm số y = mx3 − mx2 + Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm x = Khi đó điểm này là điểm cực đại hay điểm cực tiểu, hàm số còn điểm cực trị nào khác không ? Tìm m để hàm số không có cực trị Chứng minh với m đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định Viết phương trình đường thẳng qua điểm cố định này Bài tập 1.36 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3, xy + yz + zx = −9 Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = xyz Bài tập 1.37 Tìm a, b, c để hàm số y = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu −1 x = −2 và đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = −1 Bài tập 1.38 Tìm m để hàm số y = x3 − 3mx2 + 6mx + 2016 Đồng biến trên R Nghịch biến trên khoảng (−1; 0) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng d điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăng dần lập thành cấp số cộng, đó d là đường thẳng qua điểm cố định đồ thị hàm số đã cho Bài tập 1.39 Tìm a, b để A(3; −34) là điểm uốn đồ thị hàm số y = ax3 − (b + 3)x2 − bx + Với a, b vừa tìm được, hãy xác định các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số đã cho Bài tập 1.40 Tìm p, q để hàm số y = x3 + px + q có cực đại và cực tiểu Tìm p, q để phương trình x3 + px + q = có nghiệm phân biệt Bài tập 1.41 Tìm m để hàm đồ thị hàm số y = x3 − 2mx2 + (2m2 − 1)x + m(m2 − 1) có hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó Bài tập 1.42 Tìm đường cao hình trụ có thể tích lớn cắt từ hình nón cụt có chiều cao 90cm và các đáy có đường kính là 60cm, 30cm 1.3 Tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc ba Bài tập 1.43 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = A(3; 0) x − x2 biết tiếp tuyến qua điểm Bài tập 1.44 Viết phương trình tiếp tuyến (C) : y = x3 − 3x + biết tiếp tuyến qua điểm A(2; 4) Bài tập 1.45 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = −x3 + 3x2 − biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn Bài tập 1.46 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : y = x3 − 2x2 + 3x biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài tập 1.47 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − tiếp xúc với trục hoành Nguyễn Văn Xá Bài tập 1.48 Cho hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm M (−1; −9) Bài tập 1.49 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 − (2m2 − 3m + 2)x + 2m(2m − 1) (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm cố định mà (C) luôn qua với m Tìm m để (C) tiếp xúc với Ox Tìm m để y = 98 − 49x là tiếp tuyến (C) Tìm m để hàm số đồng biến trên [2; +∞) Bài tập 1.50 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + 2mx Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; +∞) Gọi d là tiếp tuyến đồ thị hàm số tâm đối xứng Tìm m để d song song với trục hoành Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Bài tập 1.51 Cho (C) : y = x3 Có bao nhiêu tiếp tuyến (C) mà phần tiếp tuyến nằm phía trên trục Ox tạo với tia Ox góc tù ? Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến tạo với đường phân giác thứ góc 30 Với giá trị nào x thì tiếp tuyến điểm tương ứng (C) và (C ) : y = x2 song song với ? vuông góc với ? Viết phương trình tiếp tuyến chung (C) và (C ) 1.4 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d Bài tập 1.52 Cho hàm số y = mx3 + 3x2 + (m − 1)x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ   Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A ;0 Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b là đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị (C) Tìm m để hàm số đã cho có cực đại Tìm m để hàm số đã cho có cực tiểu Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên R Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến trên R Bài tập 1.53 Cho (C) : y = x3 − 3x + 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính diện tích hình phẳng2 giới hạn đồ thị (C), trục tung, trục hoành và đường thẳng x = −1 Cho hai đồ thị (C1 ) : y = f (x), (C2 ) : y = g(x) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1 ), (C2 ) và các đường thẳng Rb x = a, x = b (a < b) tính theo công thức S = |f (x) − g(x)| dx a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba Gọi d là đường thẳng có hệ số góc k và qua điểm uốn (C) Biện luận theo k số điểm chung (C) và d Tìm tọa độ các giao điểm trường hợp k = Bài tập 1.54 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m − Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Gọi A là giao điểm (C) với Oy Viết phương trình tiếp tuyến d (C) A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và d Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt Tìm m để phương trình x3 + 3x2 + mx + m = có đúng nghiệm thực Bài tập 1.55 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x − 26 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [−2; 1] Biện luận theo m số nghiệm phương trình |x3 − 3x2 + 1| = 2m − Bài tập 1.56 Cho hàm số y = −x3 + 3x + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x − 9y + 2016 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [−1; 3] Biện luận theo m số nghiệm phương trình −x3 + 3x + = m trên đoạn [−1; 3] Bài tập 1.57 Cho hàm số y = x3 − 3x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm trên đường thẳng x = điểm có thể kẻ đúng tiếp tuyến với (C) Bài tập 1.58 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Biện luận theo k số nghiệm phương trình −x3 + 3x2 = −k + 3k m Bài tập 1.59 Cho hàm số y = x3 − x2 + 3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 2 Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ −1 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị M song song với đường thẳng 5x − y = Bài tập 1.60 Cho hàm số y = −x3 + mx + m Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số đã cho tiếp xúc với trục Ox Tìm m để không có tiếp tuyến nào đồ thị hàm số đã cho vuông góc với Oy Chứng minh m ≤ thì không có hai tiếp tuyến nào đồ thị hàm số đã cho vuông góc với Bài tập 1.61 Cho hàm số y = x3 − x2 − 4x + 3 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x − 4y = Tìm m để d : y = mx + cắt (C) điểm phân biệt Nguyễn Văn Xá Bài tập 1.62 Cho hàm số y = (x − 1)(x2 − 2mx − m − 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn −1 Bài tập 1.63 Cho hàm số y = x3 − m(x + 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x = Với m vừa tìm hãy khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Tìm m để hàm số có điểm cực trị Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số là đồ thị hàm số bậc đồng biến Bài tập 1.64 Cho hàm số y = (x + a)3 + (x + b)3 − x3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số a = 2, b = Tìm a, b để hàm số có cực đại và cực tiểu Phương trình (x + a)3 + (x + b)3 − x3 = có tối đa bao nhiêu nghiệm thực ? Bài tập 1.65 Cho hàm số y = 3x2 − x3 (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm m để phương trình 3x2 − x3 = 3m có nghiệm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm uốn Chứng tỏ đường thẳng song song với tiếp tuyến đó luôn cắt (C) điểm Bài tập 1.66 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương Bài tập 1.67 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + (m − 1)x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Với m vừa tìm được, hãy khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho k Biện luận theo k số nghiệm phương trình x2 − 2x − = |x − 1| Bài tập 1.68 Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 6mx + m2 − Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 2 Chứng minh hàm số không thể luôn luôn nghịch biến   Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0; Bài tập 1.69 Cho hàm số y = x3 − 2(m − 1)x2 + (m2 − 4m + 1)x + 2(m2 + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số luôn luôn đồng biến Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 , x2 thỏa mãn 1 + = (x1 + x2 ) x1 x2 Bài tập 1.70 Cho hàm số bậc ba y = x3 − 3x2 + mx Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm k để phương trình cos3 x − 3cos2 x = k có nghiệm Biện luận theo a số nghiệm phương trình |x3 − 3x2 | = a 10 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba Biện luận theo b số nghiệm phương trình |x|3 − 3|x|2 = b Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng d qua hai điểm cực trị đó Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn qua Bài tập 1.71 Cho hàm số y = −x3 − 3x2 + mx + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) Bài tập 1.72 Cho hàm số y = mx3 + 3mx2 − (m − 1)x − 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số không có cực trị Bài tập 1.73 Cho hàm số y = −2x3 + 6x2 − Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến qua điểm A(−1; −13) Biện luận theo m số nghiệm phương trình |2x3 − 6x2 + 5| = m Biện luận theo k số nghiệm phương trình −2 |x3 | + 6x2 − = k Bài tập 1.74 Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + m Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành Tìm m để đồ thị hàm số cắt tục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăng dần lập thành cấp số cộng 1.5 Sự tương giao hai đồ thị Xét hai đồ thị (C1 ) : y = f (x), (C2 ) : y = g(x) Phương trình f (x) = g(x) (1) gọi là phương trình hoành độ điểm chung (C1 ) và (C2 ) Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt và (C1 ) và (C2 ) có k điểm chung phân biệt Hai đồ thị (C1 ), (C2 ) tiếp xúc với hệ phương trình sau đây có nghiệm ( f (x) = g(x) f (x) = g (x) Xét đồ thị (C) : y = ax3 + bx2 + cx + d (a 6= 0) và phương trình ax3 + bx2 + cx + d = (2) Ta thấy • Phương trình (2) có nghiệm trên R và (C) không có cực trị, (C) có điểm cực trị thỏa mãn yCĐ yCT > • Phương trình (2) có nghiệm trên R và (C) có điểm cực trị thỏa mãn yCĐ yCT = • Phương trình (2) có nghiệm trên R và (C) có điểm cực trị thỏa mãn yCĐ yCT < Bài tập 1.75 Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3 + 3x2 − = m x3 − 3x2 − m = 2|x|3 − 9x2 + 12 |x| = m Bài tập 1.76 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m cắt trục Ox điểm phân biệt có hành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x21 + x22 + x23 < Nguyễn Văn Xá 11 Bài tập 1.77 Cho hàm số y = x3 + 3x2 − Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình (x + 1)2 = m |x − 1| Bài tập 1.78 Cho hàm số y = x3 − 3x + (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Gọi d là đường thẳng qua A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m để d cắt đồ thị hàm số (C) ba điểm phân biệt Bài tập 1.79 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chứng minh đường thẳng d qua I(1; 2) và có hệ số góc là k (k > −3) cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, I, và I là trung điểm AB Tìm m để đường thẳng ∆ : y = mx − 2m tiếp xúc với (C) Bài tập 1.80 Cho hàm số y = 2x3 − 3mx2 + (m − 1)x + 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm m để đường thẳng y = − x cắt (C) ba điểm phân biệt Bài tập 1.81 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 3x2 + = log2 m Bài tập 1.82 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Gọi d là đường thẳng qua A(−1; 5) và có hệ số góc là m Biện luận theo m số điểm chung đường thẳng d và đồ thị (C) Bài tập 1.83 Cho hàm số y = x2 (m − x) − m (C) Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; 2) Chứng minh d : y = kx + k + cắt (C) điểm cố định không phụ thuộc vào m và k Tìm k theo m để d cắt (C) điểm phân biệt Bài tập 1.84 Cho hàm số y = x3 + mx2 + (m + 1)x Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; +∞) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt Bài tập 1.85 Gọi d là đường thẳng qua M (0; −1) và có hệ số góc k Biện luận theo k số điểm chung d với đồ thị (C) : y = 2x3 − 3x2 − 1.6 Một số bài toán khác Bài tập 1.86 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + m Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm m để trên đồ thị hàm số có điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ O 12 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba Bài tập 1.87 Cho hàm số y = x3 − (2m + 1)x2 + (m + 2)x + 3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm tập hợp tâm đối xứng đồ thị hàm số đã cho Gọi A là giao điểm đồ thị hàm số đã cho với trục Oy Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài tập 1.88 Chứng minh đồ thị hàm số y = (m + 3)x3 − 3(m + 3)x2 − (6m + 1)x + m + luôn qua điểm cố định A, B, C với m Viết phương trình đường thẳng qua A, B, C Bài tập 1.89 Cho hàm số y = x3 + (m − 1)x2 − (m + 3)x − 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số m = Tìm tất các cặp điểm (C) đối xứng với qua đường phân giác thứ không nằm trên đường phân giác thứ Tìm tập hợp tâm đối xứng đồ thị hàm số đã cho Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số đã cho Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Tìm m để không có tiếp tuyến nào đồ thị hàm số đã cho vuông góc với trục Oy Bài tập 1.90 Cho hàm số y = f (x) = x3 − 3x − (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoảnh độ x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức F = x31 x32 + x32 x33 + x33 x31 + 4x21 x22 x23 Tìm m để phương trình f (|x|) − m(x − 2) − = có nghiệm thực phân biệt Phương trình f (f (x)) = có bao nhiêu nghiệm thực ? Bài tập 1.91 Cho A, B, C là ba điểm thẳng hàng nằm trên đồ thị (Γ) : y = x3 − 3x + Tiếp tuyến với (Γ) A, B, C cắt trở lại (Γ) A0 , B , C khác A, B, C Chứng minh ba điểm A0 , B , C thẳng hàng Bài tập 1.92 Cho hàm số y = f (x) = x3 + x2 + (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+5y−1 = Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Tìm k để phương trình sin3 x + sin2 x + = k có nghiệm Tìm m để đường thẳng ∆ : y = (m + 1)x + cắt (C) điểm phân biệt M (0; 1), N (x1 ; y1 ), P (x2 ; y2 ) thỏa mãn x31 − (m + 2)x1 x32 − (m + 2)x2 + = −1 x22 + x21 + Bài tập 1.93 Cho hàm số y = f (x) = x3 − 3x2 + (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) Tìm tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ mà từ đó kẻ tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị (C) Biểu diễn tập hợp này trên hình vẽ Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức  √ π T = cos x − (1 − sin x cos x) − sin 2x − Nguyễn Văn Xá 13 Bài tập 1.94 Tìm a, b để I(1; 3) là tâm đối xứng đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 Bài tập 1.95 Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 có đồ thị (C), đó m là tham số 1) Chứng minh với m đồ thị (C) luôn có điểm cực đại A và điểm cực tiểu B Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm quỹ tích các điểm A, quỹ tích các điểm B và quỹ tích các điểm tâm đối xứng (C) m thay đổi Bài tập 1.96 Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 có đồ thị (C), đó m là tham số 1) Chứng minh với m đồ thị (C) luôn có điểm cực đại A và điểm cực tiểu B Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm quỹ tích các điểm A, quỹ tích các điểm B và quỹ tích các điểm tâm đối xứng (C) m thay đổi Bài tập 1.97 Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + (m − 1)x2 − m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăng dần lập thành cấp số nhân 11 hai điểm phân biệt đối xứng với Bài tập 1.98 Tìm trên đồ thị (C) : y = − x3 + x2 + 3x − 3 qua trục Oy Bài tập 1.99 Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m + (C) 1) Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị (C) 2) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x < 3) Tìm điểm cố định mà (C) luôn qua với m Bài tập 1.100 Cho hàm số y = −x3 + (m + 3)x2 − (3m + 2)x + 2m Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị hàm số Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x1 x2 + x1 + x2 = Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt cho tổng các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số ba điểm đó đạt giá trị lớn Bài tập 1.101 Đồ thị hàm số y = (3a2 − 1)x3 − (b3 + 1)x2 + 3c2 x + 4d có hai điểm cực trị là M (1; −7) và N (2; −8) Tính giá trị biểu thức F = a2 + b2 + c2 + d2 Bài tập 1.102 Cho hàm số y = (m + 1)x3 − (2m + 1)x − m + 1 Tìm m để hàm số đồng biến trên R Chứng minh với m đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng d qua điểm cố định này Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nói trên Chương2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) 2.1 Sơ đồ khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương 14 2.2 Bài tập 2.1 15 Sơ đồ khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 6= 0) i) Tập xác định: D = R ii) Sự biến thiên: - Giới hạn: Nếu a > thì lim y = +∞; a < thì lim y = −∞ x→±∞ x→±∞ - Đạo hàm: y = 4ax3 + 2bx Giải phương trình y = Lập bảng biến thiên - Kết luận các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến và cực trị hàm số1 iii) Vẽ đồ thị: - Lập bảng số giá trị - Vẽ đồ thị - Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng Phương trình y = có nghiệm ba nghiệm phân biệt Nếu phương trình y = có nghiệm thì nghiệm đó là x = và đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có điểm cực trị, điểm cực trị đó nằm trên trục Oy, đó là điểm cực tiểu a > và là điểm cực đại a < Khi phương trình y = có ba nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có ba điểm cực trị; a > thì có hai điểm cực tiểu và điểm cực đại, a < thì có hai điểm cực đại và điểm cực tiểu; ba điểm cực trị này luôn có điểm nằm trên Oy và hai điểm còn lại đối xứng với qua Oy Nguyễn Văn Xá 2.2 15 Bài tập Bài tập 2.1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 y = −x4 + x2 − y = x4 − 8x2 + Bài tập 2.2 Cho hàm số y = −x4 + 2x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường thẳng y = −8 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số đã cho trên đoạn [−2; 0] Bài tập 2.3 Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác vuông Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 10] Bài tập 2.4 Cho hàm số y = −x4 + 2x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 − 2x2 + m = Tính diện tích tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị đồ thị (C) Bài tập 2.5 Cho hàm số y = 2x4 − 4x2 (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 48x + 2017 Tìm m để phương trình x2 |x2 − 2| = m có nghiệm phân biệt Bài tập 2.6 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − 2m2 x2 + có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác vuông cân Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m nhận giá trị nhỏ số các giá trị vừa tìm Bài tập 2.7 Cho hàm số y = x4 − (3m + 2)x2 + 3m Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đường thẳng y = −1 cắt đồ thị hàm số đã cho bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Bài tập 2.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − mx2 + m − cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự tăng dần lập thành cấp số cộng Tùy theo m hãy tìm giá trị nhỏ hàm số đã cho 363 Bài tập 2.9 Chứng minh x7 − x6 + 3x4 − 3x2 + > 0, ∀x ≥ − 500 Bài tập 2.10 Cho hàm số y = x4 − 2x2 + 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x − 24y + 2016 = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [−3; 2] 16Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc bốn trùng phương Bài tập 2.11 Cho hàm số y = x4 − x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số trên đoạn [−2; 1] Tìm m để phương trình sin4 x − sin2 x + = m có nghiệm Bài tập 2.12 Cho hàm số y = f (x) = − x4 + 2x2 + (C) 4 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục Ox Bài tập 2.13 Cho hàm số y = x4 − 2x2 (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [−2; 4] Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ Bài tập 2.14 Cho hàm số y = −x4 − x2 + (C) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục Ox Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x − 6y − = Bài tập 2.15 Cho hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + m Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn OA = BC, với O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị nằm trên trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại Tìm m để giá trị nhỏ hàm số (trên R) đạt lớn Bài tập 2.16 Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số có cực đại Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị Bài tập 2.17 Cho hàm số y = x4 − x2 − 12 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục hoành Biện luận theo m số nghiệm phương trình |x4 − x2 − 12| = m Bài tập 2.18 Cho hàm số y = x4 − (3m + 1)x2 + 2(m + 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O Bài tập 2.19 Cho hàm số y = f (x) = x4 − 2x2 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x0 thỏa mãn f 00 (x0 ) = −1 Biện luận theo m số nghiệm phương trình |x4 − 8x2 | = m Nguyễn Văn Xá 17 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn (C) và trục Ox Quay (H) xung quanh Ox ta thu khối tròn xoay (T ) Tính thể tích2 khối tròn xoay (T ) Bài tập 2.20 Cho hàm số y = x4 − 8x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 − 8x2 + = log3 m Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số trên đoạn [−3; 2] Bài tập 2.21 Cho hàm số y = f (x) = −2x4 + 4x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Biện luận theo m số nghiệm phương trình −2x4 + 4x2 + = 2m Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số trên đoạn [0; 2] Bài tập 2.22 Cho hàm số y = x4 + kx2 − k − 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số k = Chứng tỏ với số thực k đồ thị hàm số đã cho luôn qua hai điểm cố định A, B Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB Ta gọi A là điểm cố định nói trên có hoành độ dương Xác định k để tiếp tuyến với đồ thị hàm số A song song với đường thẳng y = 2x − Tìm k để các tiếp tuyến với đồ thị hàm số A và B - Song song với nhau; - Vuông góc với Bài tập 2.23 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 − 9x2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ Bài tập 2.24 Cho hàm số y = x4 + x2 + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Bài tập 2.25 Cho hàm số y = x4 − 2m2 x2 + 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác có diện tích là 32 Bài tập 2.26 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m3 − m2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để điểm cực tiểu đồ thị hàm số nằm trên trục hoành Bài tập 2.27 Cho hàm số y = − x4 + mx2 + 2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = −1 Biện luận theo m số điểm cực trị hàm số Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) Khi quay hình phẳng giới hạn đồ thị y = f (x) (C), trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh Rb trục Ox ta thu khối tròn xoay có thể tích V = π f (x)dx a Chương3 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức 3.1 Đường tiệm cận đồ thị hàm số 18 3.2 Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức 19 ax + b cx + d ax2 + bx + c 3.4 Hàm số phân thức y = dx + e 3.3 Hàm số phân thức y = 3.1 3.1.1 19 22 Đường tiệm cận đồ thị hàm số1 Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị (C) : y = f (x) ít bốn điều kiện sau đây thỏa mãn lim f (x) = +∞, lim+ f (x) = −∞, x→x+ 3.1.2 x→x0 lim f (x) = +∞, x→x− lim f (x) = −∞ x→x− Đường tiệm cận ngang Đường thẳng y = b gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị (C) : y = f (x) lim f (x) = b lim f (x) = b x→+∞ 3.1.3 x→−∞ Đường tiệm cận xiên Đường thẳng y = ax + b, a 6= 0, gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) đồ thị (C) : y = f (x) lim (f (x) − (ax + b)) = lim (f (x) − (ax + b)) = x→+∞ Ở đây ta xét các tiệm cận là đường thẳng x→−∞ Nguyễn Văn Xá 19 Tiệm cận ngang coi là trường hợp suy biến tiệm cận xiên a = Cách xác định hệ số a, b phương trình đường tiệm cận xiên: f (x) , x→+∞ x b = lim (f (x) − ax) ; f (x) , x b = lim (f (x) − ax) ; a = lim x→+∞ a = lim x→−∞ x→−∞ a = ta có tiệm cận ngang c e , c 6= 0, d 6= 0, có đồ thị (C) Khi đó đường thẳng ∆1 : x = − dx + e d là tiệm cận đứng và đường thẳng ∆ : y = ax + b là tiệm cận xiên (nếu a = thì ∆ là tiệm cận 2   e bd − ae ngang) (C) Giao điểm I − ; = ∆1 ∩ ∆2 là tâm đối xứng đồ thị (C) d d Xét hàm số y = ax + b + 3.2 Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức i) Tìm tập xác định ii) Xét biến thiên - Tính các giới hạn vô cực và các giới hạn vô cực Kết luận tiệm cận và tâm đối xứng đồ thị hàm số - Tính đạo hàm (tìm nghiệm đạo hàm) - Lập bảng biến thiên - Kết luận các khoảng đơn điệu và cực trị hàm số iii) Vẽ đồ thị - Lập bảng số giá trị - Vẽ đồ thị hàm số 3.3 Hàm số phân thức y = ax + b cx + d ax + b Xét hàm số phân thức y = (c 6= 0, ad − bc 6= 0) cx + d   d - Tập xác định: D = R\ − c ad − bc - Đạo hàm y = 6= 0, ∀x ∈ D Do đó hàm số không có cực trị Nếu ad − bc > thì (cx + d)2     d d hàm số đồng biến trên khoảng −∞; − , − ; +∞ Nếu ad − bc < thì hàm số nghịch c c    d d biến trên khoảng −∞; − , − ; +∞ c c   d a d a - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − , tiệm cận ngang y = và tâm đối xứng I − ; c c c c Tâm đối xứng đồ thị không thuộc đồ thị Mọi tiếp tuyến đồ thị không qua tâm đối xứng Lưu ý trên toàn tập xác định D hàm số không đồng biến, không nghịch biến 20 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức x+2 Viết phương trình 2x + tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy A, B cho tam giác OAB cân gốc tọa độ O Tìm trên (C) điểm có tọa độ nguyên Bài tập 3.1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 3x + 2x − Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Bài tập 3.2 Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến hàm số điểm có tung độ −7 3x + Biện luận theo m số nghiệm phương trình = m 2x − 3x − x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Bài tập 3.3 Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc tiếp tuyến là |x| − Biện luận theo m số nghiệm phương trình = m x+1 2x + Bài tập 3.4 Cho hàm số y = x+1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2x + = k Biện luận theo k số nghiệm phương trình |x + 1| Tìm m để dường thẳng d : y = m − 2x cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt A, B √ cho tam giác OAB có diện tích là 3, O là gốc tọa độ 1−x 2x − 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số Bài tập 3.5 Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tổng các hệ số góc tiếp tuyến với (C) A và B đạt giá trị lớn − |x| Biện luận theo k số nghiệm phương trình = k |x| − 2x + x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Bài tập 3.6 Cho hàm số y = Tìm k để đường thẳng d1 : y = kx + 2k + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A và từ B đến Ox Tìm m để đường thẳng d2 : y = −x + m cắt (C) hai điểm D, E cho độ dài đoạn DE nhỏ 2x − Bài tập 3.7 Cho hàm số y = x−2 Khảo sát sưj biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số |2x − 3| Biện luận theo m số nghiệm phương trình = m x−2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến với (C) M cắt hai đường tiệm cận (C) A, B và hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2π (I là tâm đối xứng đồ thị (C)) Bài tập 3.8 Cho hàm số y = 2x − (C) x−1 Nguyễn Văn Xá 21 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác đồ thị (C) cho độ dài đoạn M N đạt nhỏ |2x − 1| Biện luận theo m số nghiệm phương trình = m |x − 1| Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ O và cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho O là trung điểm AB 1−x x−2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số 1−x Biện luận theo m số nghiệm phương trình = m |x| − Tìm hai điểm A, B trên (C) cho AB = và đường thẳng AB vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ Bài tập 3.9 Cho hàm số y = x+3 x−1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Bài tập 3.10 Cho hàm số (C) : y = Cho điểm M trên đồ thị (C) Tiếp tuyến với (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A, B Chứng minh M là trung điểm AB Chứng minh đường thẳng AB không qua điểm I(1; 1) (2m − 1)x − m2 x−1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = −1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị vừa vẽ và hai trục tọa độ Bài tập 3.11 Cho hàm số y = Tìm m để đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng y = x là tiếp tuyến Tìm m để trên đồ thị hàm số đã cho tồn cặp điểm phân biệt đối xứng với qua trục tung x+1 (C) cắt đường thẳng d : y = 2x + m hai x−1 điểm phân biệt A, B cho các tiếp tuyến với (C) A và B song song với Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M cho khoảng cách từ M tới giao điểm hai đường tiệm cận (C) là ngắn Bài tập 3.12 Tìm m để đồ thị hàm số y = Bài tập 3.13 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − (C) Tìm m để đồ thị (C) cắt đường thẳng −→x −−→ y = 3x + m hai điểm phân biệt A, B cho OA, OB là góc nhọn, O là gốc tọa độ Bài tập 3.14 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) : y = x−1 Viết phương trình 2x + tiếp tuyến (C) điểm có tọa độ nguyên 2x Viết phương trình tiếp tuyến x+1 (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Bài tập 3.15 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) : y = 2x + Viết phương trình tiếp tuyến x+1 (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 2017 Bài tập 3.16 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) : y = 22 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức x+2 x−1 Khảo sát biến thiến và vẽ đồ thị (C) hàm số Bài tập 3.17 Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết khoảng cách từ điểm I tới tiếp tuyến là lớn (I là tâm đối xứng (C)) √ Tìm điểm M trên (C) để khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x là Tìm điểm N trên (C) cho tổng khoảng cách từ N tới hai đường tiệm cận (C) đạt nhỏ x−2 Bài tập 3.18 Cho hàm số y = x−1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = −1 Viết phương trình tiếp tuyến (C) M biết hệ số góc đường thẳng IM là k = −9, I là tâm đối xứng (C) x x−1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Bài tập 3.19 Cho hàm số y = Tìm m để d : y = m − x cắt (C) hai điểm phân biệt Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M , biết tiếp tuyến vuông góc với IM , I là tâm đối xứng (C) x+3 Bài tập 3.20 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng x+2 y = x − m hai điểm phân biệt A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ 2x − Bài tập 3.21 Cho đồ thị y = (C) và điểm A(−5; 5) x+1 1) Tìm m để đường thẳng y = m − x cắt (C) hai điểm phân biệt M , N cho OAM N là hình bình hành, O là gốc tọa độ 2) Đồ thị (C) cắt trục Ox, Oy H, K Tìm điểm P thuộc (C) cho tam giác HKP có diện tích x Bài tập 3.22 Cho hàm số y = (C) x+1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết khoảng cách từ tiếp điểm tới đường thẳng 3x + 4y = 3.4 ax2 + bx + c Hàm số phân thức y = dx + e ax2 + bx + c e đó a 6= 0, d 6= (thường có thêm giả thiết − dx + e d không là nghiệm tam thức bậc hai ax2 + bx + c) n eo - Tập xác định: D = R\ − d λ e - Viết hàm số dạng y = mx + n + Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = − , tiệm cận dx + e d xiên y = mx + n Giao điểm hai đường tiệm cận chính là tâm đối xứng đồ thị Xét hàm số phân thức y = Nguyễn Văn Xá 23 x2 − 2x + x−2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Bài tập 3.23 Cho hàm số y = Tìm trên (C) điểm có tọa độ nguyên Tìm m để d : y = mx + − 2m cắt (C) hai điểm phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm đó x2 + mx + x+m Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = −1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị vừa vẽ, biết tiếp tuyến qua điểm A(1; 0) Bài tập 3.24 Cho hàm số y = Tìm m để hàm số đạt cực đại x = Tìm m để đồ thị hàm số không cắt trục hoành Tìm quỹ tích tâm đối xứng đồ thị hàm số đã cho x2 + 4x + Tìm trên (C) hai điểm x+1 phân biệt A, B đối xứng với qua đường thẳng x − y + = Bài tập 3.25 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = 1 Bài tập 3.26 Cho hàm số y = x − + x−1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (G) hàm số 1 = m Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − + x−1 Tính diện tích hình phẳng giới hạm đồ (G), trục hoành, các đường thẳng x = 2, x = Bài tập 3.27 −x2 + 4x − x−2 −x2 − (m − 4)x + m2 − 4m − Tìm m để các đường tiệm cận đồ thị hàm số y = trùng x+m−2 với các đường tiệm cận tương ứng đồ thị hàm số khảo sát trên Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = (m + 1)x2 + (m + 3)x + m + x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số m = −1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) và hai trục tọa độ Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến đó qua điểm A(−1; 3) Bài tập 3.28 Cho hàm số y = Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng xác định Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định x2 − 2kx + k + x−k Khi k = 1, hãy khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi d là đường thẳng qua A(3; 0) và có hệ số góc a Biện luận theo a số điểm chung (C) và d Với giá trị nào a thì d là tiếp tuyến (C) ? Bài tập 3.29 Cho hàm số y = Chứng minh với k bất kì, đồ thị hàm số đã cho luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời tổng các tung độ chúng Bài tập 3.30 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = − x − nhỏ hàm số trên đoạn [−1; 2] Tìm giá trị lớn và giá trị x+2 24 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức Bài tập 3.31 Tìm m để x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m có hai điểm cực trị cùng với gốc tọa độ O tạo Đồ thị hàm số y = x+2 thành tam giác vuông O mx2 + (3m2 − 2)x − 2 Góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số y = 450 x + 3m 1 Đồ thị hàm số y = mx + có điểm cực tiểu cách tiệm cận xiên khoảng √ x 2 −x + 3x − Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = hai điểm A, B cho AB = 2(x − 1) mx2 + x + m cắt Ox hai điểm phân biệt có hoành độ dương Đồ thị hàm số y = x−1 √ x2 + (m + 1)x + m + Đồ thị hàm số y = có hai điểm cực trị A, B và AB = 20 x+1 x2 + mx − tạo với hai trục tọa độ tam giác có Tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = x−1 diện tích 2x + m Đồ thị hàm số y = cắt đường thẳng y = x + hai điểm A, B cho OAB là x−1 √ tam giác có diện tích 21, O là gốc tọa độ x2 + 2mx + − 3m2 có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Đồ thị hàm số y = x−m x2 − 2mx + 10 Đồ thị hàm số y = có hai điểm cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực x−1 trị đó song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 2x2 + mx + m (C) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A, B cho 11 Đồ thị hàm số y = x+1 các tiếp tuyến với (C) A và B vuông góc với x2 + x−1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Bài tập 3.32 Cho hàm số y = Tìm trên đường thẳng y = điểm mà từ đó kẻ đúng hai tiếp tuyến đến (C) Bài tập 3.33 Tìm m để hàm số y = x2 + 5x + m2 + đồng biến trên khoảng (1; +∞) x+3 Bài tập 3.34 Tìm m để hàm số y = x2 − 3x đồng biến trên [1; +∞) x−m 2x2 + x + , ∆1 : x = −1, ∆2 : y = 2x − Chứng minh tích x+1 khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc (C) đến các đường thẳng ∆1 , ∆2 luôn là số Bài tập 3.35 Cho (C) : y = 2x2 + mx + m (C) cắt trục hoành hai điểm phân x+1 biệt A, B cho các tiếp tuyến với (C) A và B vuông góc với Bài tập 3.36 Tìm m để đồ thị hàm số y = Bài tập 3.37 Tìm m hàm số y = x2 + mx − m + 2 có cực đại, cực tiểu thỏa mãn yCĐ + yCT = 72 x−1 x2 − 2x + m Bài tập 3.38 Cho hàm số y = x−2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn [−1; 0] Nguyễn Văn Xá 25 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng xác định Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm a để phương trình sau đây có nghiệm √ 91+ 1−t2 Bài tập 3.39 Tìm m để (C) : y = trục tung √ − (a + 2).31+ 1−t2 + 2a + = x2 + 2mx + − 3m2 có hai điểm cực trị nằm hai phía x−m x2 − 2mx + có hai điểm cực trị và đường thẳng qua hai x−1 điểm đó song song với đường thẳng 2x − y + 2017 = Bài tập 3.40 Tìm m để (C) : y = Bài tập 3.41 Tìm trên đồ thị (C) : y =   điểm I ;1 x2 − 3x + tất các cặp điểm đối xứng với qua x−2 Bài tập 3.42 Tìm trên đường thẳng x = điểm mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến tới đồ x2 − 3x + thị (C) : y = và hai tiếp tuyến đó vuông góc với x x2 − 2x + Bài tập 3.43 Cho hàm số y = x−1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để d1 : y = m − x cắt (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng với qua d2 : y = x + x2 + 2x + x Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Bài tập 3.44 Cho hàm số y = Biện luận theo m số nghiệm phương trình |x + 2| + = log2 m x x2 + 3x + x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số x2 + 3x + Biện luận theo m số nghiệm phương trình = 3m |x + 1| Bài tập 3.45 Cho hàm số y =