ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH SÓC TRĂNG MÔN TOÁN LỚP 12 Năm học 2016 2017 (Thời gian 180 phút) Bài 1 (5,0 điểm) Giải phương trình 2 2 2016 2017log 1 log 1x x x x trên tập số thực Bài[.]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH SĨC TRĂNG MƠN TOÁN LỚP 12 Năm học 2016-2017 (Thời gian : 180 phút) Bài 1: (5,0 điểm) Giải phương trình log 2016 x x log 2017 x x tập số thực Bài 2: (5,0 điểm) Cho dãy xn Gọi A x1 xác định sau: x x x (n 0) n n n 1 1 Tính A (phần nguyên A ) x1 x2 x2016 Bài 3: (5,0 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 cho: a1 a2 a3 a4 a4 a5 a6 a7 Bài 4: (5,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A 1;1 Các điểm I 1; , J 1;3 tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh B C tam giác Lời giải Bài 1: Phương trình log 2016 x x log 2017 x x (1) x x Điều kiện: x x Đặt t log 2016 Mà x2 x x2 x x x 2016t x x 1 nên x x Phương trình cho trở thành 1 x x 2016t t t log 2016 2016 t log 2016 2017t t 2017 2016 2016 t t log 2016 2017 t log 2017 t log 2016 2017 0 t 0 x 1 x 1 Với t 0 x x 1 x 1 x 2 x 0 1 x x x x 0 Vậy x 0 nghiệm phương trình (1) Bài 2: Theo giả thiết: xn 1 xn xn xn 1 xn xn 1 1 xn 1 xn xn 1 1 xn xn xn 1 Suy 1 x1 x1 x2 1 x2 x2 x3 x2016 A x2016 x2017 , 1 1 (1) x1 x2 x2016 x1 x2017 Mặt khác xn 1 xn xn 1 nên xn 1 xn , n ; suy dãy số xn tăng xn (Dãy xn có dạng khai triển Do A 21 777 ; ; ; ; ) 16 256 1 A Vậy [A] 1 x1 x2017 x1 Bài 3: trường hợp sửa lời giải cho gọn TH1: Số tạo thành có mặt chữ số Suy a7 0 Chọn chữ số từ chữ số cịn lại, có C9 cách chọn Chọn số lớn xếp vào vị trí a4 có cách chọn 3 Chọn chữ số xếp vào vị trí a1 ; a2 ; a3 có C5 cách Chọn chữ số xếp vào vị trí a5 ; a6 có C2 cách Suy trường hợp có C9 C5 số TH2: Số tạo thành khơng có mặt chữ số Chọn chữ số từ chữ số cịn lại, có C9 cách chọn Chọn số lớn xếp vào vị trí a4 có cách chọn Chọn chữ số xếp vào vị trí a1 ; a2 ; a3 có C6 cách Chọn chữ số xếp vào vị trí a5 ; a6 ; a7 có C3 cách Suy trường hợp có C9 C6 số Vậy có tất C9 C5 C9 C6 1560 số Bài 4: + Đường tròn C ngoại tiếp ABC có tâm I 1; , bán kính R IA Suy phương trình đường trịn C : x 1 2 y 5 + Đường phân giác góc At ABC qua A 1;1 có vec tơ phương AJ 2; nên có phương trình x y 0 Gọi D At C D 2; 1 1 JBD JBC CBD B A 2 JBD BJD Khi 1 A BJD JBA BAJ B 2 BDJ cân D BD CD DJ B, C nằm đường tròn C1 tâm D , bán kính DJ Suy phương trình đường trịn C1 : x 2 2 y 2 + Vì B, C C C1 nên tọa độ điểm B, C nghiệm hệ phương trình: x y x y 0 2 x y x y 18 0 x y x y 0 x y 0 y y y y 0 x y 5 y 36 y 63 0 x y 21 21 y y ; x 5 y 3 y 3; x x 2 y 21 21 Vậy B 3;3 , C ; C 3;3 , B ; 5 5 A J I B C D 5 y 36 y 63 0 x 2 y