UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2013 - 2014 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN HỌC Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (6 điểm) a) Giải bất phương trình: 3x x 2 x x x3 8y 2 xy (1 y) b) Giải hệ phương trình: Bài (4 điểm) Cho x y số nguyên dương thoả mãn: 4x 1 2 y 1 x x 3 y y Chứng minh (*) 6( x y ) 5( x y ) số nguyên Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC có a, b, c, ma , mb , mc , R độ dài cạnh BC , CA, AB , độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C bán kính đường trịn a b2 b2 c c a 12 R Chứng minh ngoại tiếp tam giác Biết rằng: mc ma mb tam giác ABC Bài (3 điểm) Với tập A khác rỗng tập X 2;3;4; ;2013;2014 ta tính tích tất phần tử thuộc A Hãy tính tổng T nghịch đảo tất tích Bài (3 điểm) Cho a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 1 a a b b b c c c a Hết Họ tên : Số báo danh : ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 10 CẤP TỈNH MƠN: TỐN NĂM HỌC: 2013 - 2014 Bài Bài a) Giải bất phương trình: Lời giải 3x x 1 x Điểm Lời giải: x ĐK: x 0 x 2 3x x x Ta có: x 3 3x x x 0,5 đ 1,5 đ Hệ x Hệ 3 vô nghiệm Kết luận: Tập nghiệm Bpt S 2;0 b) Giải hệ phương trình: Lời giải: 0,5 đ 0,5 đ x y 2 xy (1 y ) (1) y 1 x3 4x 1 ( 2) §K: x 0 Tõ pt (2) ,suy x (1) x( x y) 4 y (2 y x) ( x y )( x y ) 0 x 2 y ( v× x y ) Thay vào phương trình (2) ta được: x x x x (*) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 1đ x2 x2 3 x x 2x ( x 4) x x ( x x) x 4 4 x 4 ( x ) x x 3 x x 2 Dấu đẳng thức xảy x Hệ phơng trình có nghiệm 2;1 Bài (Chú ý :Cách khác : Bình phương vế pt (*) Cho x y số nguyên dương thoả mãn: 2đ ( x 2) ( x x 4) 0 ) x x 3 y y (*) Chứng minh 6( x y ) 5( x y ) số nguyên Lời giải: Từ (*) dễ thấy x ( x y )(3x y 1) y ( x y )(2 x y 1) Từ suy : x – y = ƯSCLN(x2,y2) = (ƯSCLN(x,y))2 Và 2x+ 2y + 3x + 3y + số phương 1đ 1,5đ Bài Do 6( x y )2 5( x y ) (2 x y 1)(3x y 1) Z Cho tam giác ABC có a, b, c, ma , mb , mc , R độ dài cạnh BC , 1.5 đ CA, AB , độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C bán kính đường trịn a b2 b2 c c a 12 R ngoại tiếp tam giác Biết rằng: mc ma mb Chứng minh tam giác ABC Lời giải: A D C B E Kẻ trung tuyến AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác E Ta có 0,5 đ AE 2 R a2 Suy AD+DE = AE 2R Mà AD.DE=BD DC nên DE= 4ma đ a2 2 R nên ma 4ma Dấu đẳng thức xảy AE đường kính đường trịn ngoại tiếp, nghĩa A , tâm đường tròn ngoại tiếp O , trọng tâm G thẳng hàng, hay tam 0,5 đ giác ABC cân A Tương tự ta có mb b2 c2 2 R , mc 2 R 4mb 4mc 0,5 đ Cộng theo vế ý 4ma2 a 2(b c ), 4mb2 b 2(a c ), 4mc2 c 2(a b ) ta được: a b2 b2 c2 c2 a2 12 R mc ma mb Dấu xảy tam giác ABC 1,5 đ Vì giả thiết cho xảy dấu nên có điều phải chứng minh Bài Với tập A khác rỗng tập X 2;3;4; ;2013;2014 ta tính tích tất phần tử thuộc A Hãy tính tổng T nghịch đảo tất tích Lời giải: Tacó: 1 1 1 T 2014 2.3 2.4 2013.2014 2.3 2014 2 Vậy: T . 1 3 4 2014 Bài 5 2014 2015 1 2013 2014 2015 2013 1 2 Cho a, b, c thỏa mãn abc 1 1,5 đ 1,5 đ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P 1 a a b b b c c c a Lời giải: Do a, b, c 0, abc 1 nên tồn số dương x, y, z cho: x z y a ;b ;c y x z Khi đó: P y y x( x yz ) y2 xy ( x yz ) x x z ( z xy ) x2 zx( z xy ) z z y ( y xz ) z2 zy ( y zx) Theo bất đẳng thức bunhiacơpxki ta có: ( x y z )2 P xy ( x yz ) yz ( y zx) zx ( z xy ) ( x y x)2 ( xy yz zx)( x y z xy yz zx ) Theo bất đẳng thức A-G : 1đ (2 xy yz zx)( x y z xy yz zx) x y z 3( xy yz zx) Lại có: 3( x y z ) 9( xy yz zx) 1đ 3( x y z ) 3( xy yz zx) 4( x y z ) 2 x y z 3( xy yz zx) 4 x y z ( xy yz zx)( x y z xy yz zx ) ( x y z ) P Dấu “=” xảy a b c 1 Vậy giá trị nhỏ P a b c 1 1đ