HƯỚNG DẪN CHẤM VA BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI TOÁN KHỐI 10 (ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ CỦA TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) -Câu I ( điểm) Điều kiện: x 1, y 0 Trước hết ta chứng minh bđt sau: a2 b2 7(a b) 8 2(a b ) (*) với a, b b a ( a b ) 0 Thật vậy: bđt a b 2(a b ) a a 1 8 Bđt ta có a b a b (a b) (a b) 2(a b ) a a 1,0đ 1,0đ Dấu đẳng thức xảy a b Nhận xét y 0 không thỏa mãn hệ, chia vế phương trình đầu hệ cho x y 7( x y ) 8 2( x y ) y x Theo bđt (*) ta thu x y Thế vào phương trình sau hệ ta xy ta đ ợc 2(1 x ) x x x x đặt t x x với t 0 ta có phương trình t 2( x 1)t x 0, ' ( x 1) t x (loại) t 2 Giải phương trình suy nghiệm x Vậy hệ phương trình có nghiệm x y 2 1,0đ 1,0đ Câu II (4 điểm) a b c ,y ,z a bc a bc a b c Ta có x, y, z v x y z 1 Đặt x 1,0đ Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: (1 z ) (1 y) (1 x) 2 2 2 z (1 z ) y (1 y ) x (1 x) (1 x) 16 x 13 16 x 13 Ta c ó 2 2 x (1 x) (3 x 1) 39 Từ suy VT bđt 16 4( x y z ) (đpcm) 2 Dấu xảy x y z a b c 1,0đ 1,0đ 1,0đ Câu III ( điểm) 1 sin AKX sin OKY AKC XKY AKC XKO YKC Ta có AKO CKO 2 sin XKO sin YKC Theo định lý Sin tam giác AKY, XKO, OKY, YKC đẳng thức 1,0đ XO YO AK CK 1 (1) XA YC KO XO YO AL.CL 1 (2) Tương tự XLY ALC XA YC OL2 AK CK AL.CL Từ (1) (2) ta cần chứng minh (*) KO OL2 tương đương với 1,0đ 1,0đ Nhưng (*)đúng theo Định lý Sin tam giác KOA, KOC, LOA, LOC Ta có đpcm Câu IV ( điểm) Cho n 1, 2,3 giả thiết nhân vế ta 144 x3 ( x1 x2 )( x2 x3 )( x3 x4 ) Mặt khác x4 x3 ( x2 x1 ) 2 x3 , x5 x4 ( x3 x2 ) 2 x32 Vậy 144 x6 x5 ( x4 x3 ) 2 x32 3x3 144 6 x33 x3 1; - Nếu x3 1 144 ( x1 x2 )(1 x2 )(1 x1 x2 ) Các cặp gồm số tự nhiên liên tiếp ước 144 (1, 2), (2,3), (3, 4), (8,9) Mà x1 x2 2 nên ta có trường hợp sau: + x1 x2 2 x1 21, x2 23 (lo ại) + x1 x2 3 x1 11, x2 (lo ại) + x1 x2 8 x1 7, x2 1, x4 8, x5 16, x7 3456 - Nếu x3 2 144 2( x1 x2 )(2 x2 )(2 x1 x2 ) 36 ( x1 x2 )(2 x2 )(1 x1 x2 ) Các cặp gồm số tự nhiên liên tiếp ước 36 (1, 2), (2,3), (3, 4) Lý luận tương tự ta thu x7 3456 Vậy kết toán x7 3456 Câu V( điểm) Sắp xếp phần tử X theo thứ tự tăng dần x1 x2 x3n Đặt X1 x1 , x2 , , xn , X xn 1 , xn 2 , , x2 n , X x2n 1, x2n 2 , , x3n Ta định nghĩa hàm f : X X X X X sau: f (a, b, c) (b a, c b) Ta có X X X n v f ( X X X ) X X Tập f ( X X X ) gồm cặp số mà tổng chúng lớn n3 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 1,0đ 2 2 2 n3 n3 (n3 1) n 2 k 1 Theo nguyên lý Dirichlet, tồn phần tử X X X l (ai , bi , ci ) (i 1, 2,3) Số phần tử tập f ( X X X ) không vượt k 1,0đ 1,0đ có chung ảnh thuộc f ( X X X ) Đặt x0 b1 c1 , y0 c1 a1 , z0 a1 b1 Ta có số nghiệm khơng tầm thường 1,0đ hệ cho Mặt khác khơng thể b j tập X , X rời Tương tự ta có c j , ci b j Ngồi ta có a1 a2 ( a1 , b1 , c1 ) ( a2 , b2 , c2 ) đồng Do số thu phân biệt hồn tồn Ta có đpcm 1,0đ