��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC V×ÌNG M�NH C×ÍNG NGUY�N LÞ PH�N R� TRONG QUY HO�CH TUY�N T�NH LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC Th¡i Nguy¶n 2013 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http //www lrc[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC V×ÌNG MNH CìNG NGUYN Lị PHN R TRONG QUY HOCH TUYN TNH LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cỉng tr¼nh ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc - Ôi Hồc ThĂi Nguyản Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS - TS TrƯn Vụ Thiằu PhÊn biằn 1: TS: Nguyạn V«n Ngåc - Vi»n To¡n håc Ph£n bi»n 2: GS TS: Nguyạn Bữớng - Viằn CNTT Luên vôn ữủc bÊo vằ trữợc hởi ỗng chĐm luên vôn hồp tÔi: Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc - Ôi Hồc ThĂi Nguyản Ngy 12 thĂng 10 nôm 2013 Cõ th tẳm hiu tÔi Thữ Viằn Ôi Hồc ThĂi Nguyản Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mưc lưc Mð ¦u Ch÷ìng Kián thực chuân b 1.1 1.2 1.3 1.4 Têp lỗi v têp lỗi a diằn Bi toĂn quy hoÔch tuyán tẵnh ối ngău quy hoÔch tuyán tẵnh Thuêt toĂn ỡn hẳnh cÊi biản Chữỡng Nguyản lỵ phƠn r cừa Dantzig-Wolfe 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 ị tững phƠn r cõa Dantzig - Wolfe Tr÷íng hđp G khỉng bà ch°n X¥y dỹng phữỡng Ăn cỹc biản ban Ưu Vẵ dử minh hồa phƠn r Dantzig - Wolfe Quy hoÔch tuyán tẵnh cĐu trúc khối Chữỡng Nguyản lỵ phƠn r cừa Benders 3.1 3.2 3.3 3.4 ị tững phƠn r cừa Benders B i to¡n chõ v bi toĂn chừ thu hàp Vẵ dử minh hồa phƠn r Benders Quy hoÔch tuyán tẵnh cĐu trúc bêc thang Kát luên T i li»u tham kh£o Số hóa trung tâm học liệu 12 14 15 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 21 21 27 30 32 35 38 38 41 44 46 51 52 Mð ¦u Qui hoÔch tuyán tẵnh (Linear Programming) l bi toĂn tối ữu ỡn giÊn nhĐt õ l bi toĂn tẳm cỹc tiu (hay cỹc Ôi) cừa mởt hm tuyán tẵnh vợi cĂc rng buởc ng thực hay bĐt ng thực tuyán tẵnh Qui hoÔch tuyán tẵnh cõ nhiÃu ựng dửng rởng rÂi lỵ thuyát v thỹc tiạn Phữỡng phĂp ỡn hẳnh (do G B Dantzig à xuĐt nôm 1947) l ph÷ìng ph¡p quen thc, câ hi»u qu£ º gi£i b i toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh v cĂc bi toĂn ữa ữủc và qui hoÔch tuyán tẵnh Phữỡng phĂp ỡn hẳnh cõ nhiÃu bián th khĂc Chng hÔn, vợi bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh cõ nhiÃu hằ số bơng khổng, ta thữớng dũng thuêt toĂn ỡn hẳnh cÊi biản tên dửng ở thữa cừa cĂc hằ số khĂc khổng Vợi bi toĂn cõ cĐu trúc c biằt, ta cƯn sỷ dửng cĂc thuêt toĂn riảng, hiằu quÊ Luên vôn ny dà cêp tợi nguyản lỵ phƠn r Dantzig - Wolfe v nguyản lỵ phƠn r Benders giÊi cĂc bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh cõ kẵch thữợc lợn hoc cõ cĐu trúc c biằt (cĐu trúc ma khối hay cĐu trúc ma bêc thang) ị tững cỡ bÊn cừa k thuêt phƠn r l ữa b i to¡n ban ¦u v· c¡c b i to¡n nhä hỡn (ẵt bián số hỡn hoc ẵt rng buởc hỡn) hoc cõ th tên dửng cĐu trúc riảng cừa bi toĂn (chng hÔn cĐu trúc bi toĂn vên tÊi) giÊi hiằu quÊ hỡn Ta bưt Ưu tứ trữớng hủp ỡn giÊn, õ bi toĂn gỗm hai khối r ng bc ëc lªp (two independent subsystems) khỉng câ bián số chung Chng hÔn, z= n1 X j=1 Soỏ hóa trung tâm học liệu cj xj + n X cj xj → M in j=n1 +1 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Vỵi i·u ki»n n1 X aij xj j=1 n1 X aij xj = bi , i = 1, , m1 (0.1) = bi , i = m1 + 1, , m j=n1 +1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n Do khỉng câ mèi li¶n h» n o giúa hai khèi n y (trø h m mưc ti¶u) nản ró rng l nghiằm cừa bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh (0.1) cõ th tẳm bơng cĂch giÊi hai qui hoÔch tuyán tẵnh (mội qui hoÔch ựng vợi mởt khối) tĂch biằt nhau, rỗi cởng hai giĂ tr tối ữu lÔi nhên ữủc giĂ tr tối ữu chung z Mët mð rëng cõa b i to¡n (0.1) l b i to¡n câ c§u tróc gâc - khèi (block - angular system) (0.2) sau ¥y B i to¡n n y câ K khối ởc lêp v cĂc rng buởc liản kát: z = (c0 )T x0 + (c1 )T x1 + + (ck )T xk → M in Vỵi i·u ki»n A0 x0 + A1 x1 + + AK xK = b B x1 = b1 (0.2) B K xK = bK x0 ≥ 0, x1 ≥ 0, , xK ≥ Câ th giÊi thẵch ỵ nghắa thỹc tá cừa mổ hẳnh khối (0.2) nhữ sau: GiÊ sỷ mởt cổng ty gỗm K nh mĂy hoÔt ởng gƯn nhữ ởc lêp k = 1, , K Méi nh m¡y câ c¡c rng buởc riảng, ởc lêp vợi rng buởc cừa cĂc nh m¡y kh¡c Tuy nhi¶n, giúa c¡c nh m¡y câ mởt số rng buởc chung, nhữ hÔn chá và ti ch½nh, v· lao ëng l nh ngh· v câ mët h m lủi ẵch chung Ôi diằn cho quyÃn lủi cừa cổng ty v K nh m¡y Trong b i to¡n (0.2) xk l vctỡ biu th cữớng ở hoÔt ởng cừa nh mĂy thự k v x0 l cữớng ở hoÔt ởng cừa bở phên quÊn lỵ cổng ty, khổng l hoÔt ëng cõa b§t cù nh m¡y n o Dáng thù nh§t l h m mưc ti¶u chung cho to n cỉng ty; dáng thù hai l m r ng buëc v· sû döng chung m t i Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nguyản khan hiám (ti chẵnh, lao ởng lnh nghà ); dáng thù ba l x1 r ng buëc ch¿ ri¶ng cõa nh m¡y thù nh§t v dáng ci cịng l mK r ng buëc ch¿ ri¶ng cõa nh m¡y thù K CĐu trúc gõc khối (0.2) gủi ỵ cho ta chia nhä b i to¡n ban ¦u th nh K b i to¡n ởc lêp nhau, rỗi sau õ iÃu chnh lới giÊi cĂc bi toĂn ny tẵnh án cĂc rng buởc liản kát chung Mởt cĂch xỷ lỵ khĂ phờ bián ối vợi cĂc nh kinh tá l bưt Ưu tứ nh giĂ tuý ỵ cĂc ti nguyản khan hiám v cho cĂc nh mĂy tỹ tối ữu hoĂ hoÔt ởng cừa mẳnh vợi iÃu kiằn l nh mĂy phÊi trÊ tiÃn cho cĂc ti nguyản hiám theo giĂ Â qui nh CĂc ti nguyản khan hiám m bở phên quÊn lỵ cổng ty v cĂc nh mĂy cƯn án nõi chung vữủt quĂ mực b (nguỗn ti nguyản cổng ty  cõ) Bi toĂn tr thnh tẳm mởt thuêt to¡n hi»u qõa º i·u ch¿nh c¡c gi¡ (c¡c nh¥n tỷ Lagrange) Nguyản lỵ phƠn r Dantzig-Wolfe cho php lm viằc ny nhớ mởt số hỳu hÔn lƯn lp PhƠn r Benders thỹc chĐt l phƠn r Dantzig - Wolfe Ăp dửng vo bi toĂn ối ngău Theo cĂch ny, số bián cừa bi toĂn ữủc giÊm bợt bơng cĂch thảm nhiÃu rng buởc mợi vo bi toĂn ối ngău Trong phƠn r Dantzig - Wolfe cĂc cởt cừa "bi toĂn chừ" ữủc sinh cƯn Trong phƠn r Benders cơng vªy, c¡c r ng bc cõa b i to¡n chõ Benders ch ữủc sinh cƯn án Mởt lợp b i to¡n kh¡c cơng hay g°p thüc ti¹n v cõ th Ăp dửng nguyản lỵ phƠn r l cĂc h» thèng bªc thang (staircase systems) C¡c h» thèng n y kh¡c vỵi h» thèng gâc - khèi (0.2) ð ché: cĂc hoÔt ởng mội bữợc thang chia s cĂc nguyản liằu Ưu vo v cĂc sÊn phâm Ưu vợi hai bữợc thang liÃn trữợc v sau nõ Chng hÔn, (0.3) mổ tÊ mởt hằ thống bêc thang câ c§p z = (c1 )T x1 + (c2 )T x2 + (c3 )T x3 + (c4 )T x4 → Vỵi i·u ki»n A11 x1 A21 x1 + A22 x2 A32 x2 + A33 x3 A43 x3 + A44 x4 = = = = b1 , b2 , b3 , b4 , x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (0.3) H» thèng bªc thang thữớng nĂy sinh xt cĂc quĂ trẳnh diạn theo thới gian, õ cĂc hoÔt ởng mởt thới ký (hay giai oÔn) trỹc tiáp tĂc ởng tợi (hay chu Ênh hững bi) cĂc hoÔt ởng thới ký tiáp sau (hay liÃn trữợc) m khổng cõ tĂc ởng tợi (hay chu Ênh hững bi) cĂc hoÔt ởng cĂc thới ký (giai oÔn) khĂc CĂc hằ thống nhữ thá nÊy sinh sÊn xuĐt hoÔt ởng sÊn xuĐt mội giai oÔn ch chu Ênh hững bi sÊn xuĐt giai doÔn liÃn trữợc v ch cõ tĂc ởng tợi sÊn xuĐt giai oÔn liÃn sau Trong cĂc bi toĂn nhữ thá, thữớng mởt số ma trản ữớng cho chẵnh Aii l giống v mởt số ma trản ữớng cho phư Ai,i−1 cơng gièng Khi â câ thº khai th¡c c§u tróc °c bi»t n y º gi£i b i to¡n Nởi dung luên vôn ữủc chia thnh ba chữỡng chẵnh Chữỡng vợi tiảu à "Kián thực chuân b" trẳnh by mởt số kián thực cỡ s và têp lỗi, têp lỗi a diằn, cĂch xĂc nh têp nh v têp cÔnh vổ hÔn cừa mởt têp lỗi a diằn v nh lỵ biu diạn têp lỗi a diản qua cĂc nh v cÔnh vổ hÔn cừa nõ Nảu cĂc kián thực cƯn thiát và bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh v tẵnh chĐt, cĂch xƠy dỹng bi toĂn ối ngău v cĂc quan hằ ối ngău qui hoÔch tuyán tẵnh Cuối chữỡng nhưc lÔi thuêt toĂn ỡn hẳnh cÊi biản giÊi qui hoÔch tuyán tẵnh Thuêt toĂn ny s ữủc dũng án chữỡng sau giÊi "bi toĂn chừ" theo phƠn r Dantzig - Wolfe Chữỡng vợi tiảu à "Nguyản lỵ phƠn r Dantzig - Wolfe" trẳnh by thuêt toĂn theo nguyản lỵ phƠn r Dantzig - Wolfe giÊi qui hoÔch tuyán tẵnh cõ kẵch thữợc lợn hoc cõ cĐu trúc ma khối c biằt: nảu ỵ tững cừa phữỡng phĂp v cĂc k thuêt tẵnh toĂn cử th ị tững cừa cĂch phƠn r ny l ữa bi toĂn vợi nhiÃu rng buởc và b i to¡n ½t r ng bc hìn (gåi l b i to¡n chừ) vợi rĐt nhiÃu bián Cởt hằ số cừa cĂc bián ny s ữủc tẳm dƯn cƯn, nhớ gi£i c¡c b i to¡n phư Tr÷íng hđp mi·n r ng bc cõa b i to¡n khỉng bà ch°n v v§n · tẳm phữỡng Ăn cỹc biản ban Ưu cho bi toĂn chừ cụng ữủc xt tợi v sau õ nảu mởt vẵ dử số minh hoÔ Cuối chữỡng nảu Ăp dửng phƠn r Dantzig - Wolfe vo bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh cõ cĐu trúc ma ữớng cho khối Chữỡng vợi tiảu à "Nguyản lỵ phƠn r Benders" trẳnh by thuêt toĂn theo nguyản lỵ phƠn r Benders giÊi qui hoÔch tuyán tẵnh, õ cĂc vctỡ i·u ki»n cõa b i to¡n ÷đc t¡ch th nh hai nhâm, ỗng thới Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ c¡c v²ctì thc nhâm thù nh§t câ c§u tróc c biằt (chng hÔn cĐu trúc bi toĂn vên tÊi, cĐu trúc ma khối hay cĐu trúc ma bªc thang ), cho ph²p gi£i b i to¡n ch¿ vỵi c¡c v²ctì i·u ki»n thc nhâm n y câ thº sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp giÊi riảng cõ hiằu qừa hỡn so vợi phữỡng phĂp giÊi chung, cỏn cĂc vctỡ thuởc nhõm thự hai cõ dÔng tờng quĂt ị tững cừa cĂch phƠn r ny l ữa bi toĂn vợi nhiÃu bián và bi toĂn ẵt bián hỡn (gồi l bi toĂn chừ) vợi rĐt nhiÃu rng buởc CĂc rng buởc ny ữủc tẳm dƯn cƯn, nhớ giÊi cĂc bi toĂn phử Sau õ nảu mởt vẵ dử số minh hoÔ Cuối chữỡng nảu Ăp dung phƠn r Benders vo qui hoÔch tuyán tẵnh cõ cĐu trúc ma bêc thang Luên vôn ny ữủc hon thnh vợi sỹ hữợng dăn v ch bÊo tên tẳnh cừa GS -TS Tr¦n Vơ Thi»u - Vi»n to¡n håc Vi»t Nam Tứ Ăy lỏng mẳnh, em xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn sƠu sưc ối vợi sỹ quan tƠm, ởng viản v sỹ ch bÊo hữợng dăn cừa thƯy Em xin trƠn trồng cÊm ỡn tợi cĂc ThƯy Cổ Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc - Ôi Hồc ThĂi Nguyản, o TÔo Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc ỗng thới tổi xin gỷi lới cÊm ỡn tợi têp th lợp cao hồc toĂn K5C, K5A Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc  ởng viản giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp v lm luƠn vôn ny Tổi xin cÊm ỡn tợi UBND huyằn Na Hang - PGD o tÔo Na Hang -Tuyản Quang, Ban giĂm hiằu, cĂc ỗng nghiằp trữớng phờ thổng DƠn Tởc BĂn Trú THCS Sinh Long - Na Hang -Tuyản Quang  tÔo iÃu kiằn cho tổi hồc têp v hon thnh ká hoÔch hồc têp Do Ơy l lƯn Ưu tiản thỹc hiằn cổng viằc nghiản cựu, nản luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, em rĐt mong ữủc sỹ õng gõp ỵ kián cừa cĂc ThƯy Cổ v cĂc bÔn bÊn luên vôn ữủc hon thiằn hỡn ThĂi Nguyản, ngy 08 thĂng 08 nôm 2013 Ngữới thỹc hiằn Vữỡng MÔnh Cữớng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ch÷ìng Kián thực chuân b Chữỡng ny trẳnh by mởt số kián thực cỡ s và têp lỗi, têp lỗi a diằn v nh lỵ biu diạn têp lỗi a diản qua cĂc nh v cÔnh vổ hÔn cừa nõ Nảu cĂc kián thực cƯn thiát và bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh v tẵnh chĐt, bi toĂn ối ngău v cĂc quan hằ ối ngău qui hoÔch tuyán tẵnh Cuối chữỡng à cêp tợi thuêt toĂn ỡn hẳnh cÊi biản giÊi qui hoÔch tuyán tẵnh Nởi dung cừa chữỡng ữủc tham khÊo chừ yáu tứ cĂc ti liằu [2], [3] v [4] 1.1 Têp lỗi v têp lỗi a diằn Têp lỗi l mởt khĂi niằm quan trồng ữủc dũng rởng rÂi tối ữu hoĂ Têp lỗi cõ nhiÃu tẵnh chĐt Ăng ỵ, c biằt l têp lỗi a diằn nh nghắa 1.1.1 Têp C Rn ữủc gồi l mởt têp lỗi náu nõ chựa trồn oÔn thng nối hai im bĐt ký thuởc nõ Nõi cĂch khĂc, têp C l lỗi náu a + (1 − α)b ∈ C vỵi måi a, b ∈ C v måi ≤ α ≤ Nâi riảng, têp , têp gỗm nhĐt mởt phƯn tỷ v ton bở khổng gian Rn l cĂc têp lỗi ã Mởt số têp lỗi Ăng ỵ: a,Têp afin, tực l têp chựa trồn ữớng thng i qua hai im bĐt ký thuởc nõ b, Siảu phng, tực l têp cõ dÔng H = x Rn : aT x = α, a ∈ Rn \ {0} , α ∈ R } c, C¡c nûa khæng gian âng H + = x ∈ Rn : aT x ≤ α , H − = x ∈ Rn : aT x ≥ α} d, C¡c nûa khæng gian mð H + = x ∈ Rn : aT x < α , H − = x ∈ Rn : aT x > } e, Hẳnh cƯu õng B(a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak r} (a Rn r > cho trữợc.) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Tứ nh nghắa têp lỗi trỹc tiáp suy mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn sau Ơy: a) Giao cừa mởt hồ bĐt ký cĂc têp lỗi l mởt têp lỗi ( hủp khổng úng ) b) Tờng cừa hai têp lỗi v hiằu cừa hai têp lỗi cụng l cĂc têp lỗi c) Náu C Rm, D Rn thẳ tẵch C ì D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} l mët tªp lỗi Rm+n (Cõ th m rởng cho nhiÃu têp lỗi) d) Têp M l mởt têp afin v ch¿ M = a + L vỵi a ∈ M v L l mët khæng gian con, gåi l khổng gian song song vợi M , hay tữỡng ữỡng: M l mởt têp afin v ch M l têp nghiằm cừa mởt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh, tực cõ biu diạn M = {x Rn : Ax = b, A ∈ Rm+n , b ∈ Rm } Giao cừa bĐt ký cĂc têp afin l têp afin nh nghắa 1.1.2 a) im x Rn cõ dÔng x = 1a1+2a2+ +k ak vợi Rn , λi ≥ 0, λ1 + λ2 + + λk = , gåi l mët tê hñp lỗi cừa cĂc im a1 , a2 , , ak b) im x Rn cõ dÔng x = λ1a1 + λ2a2 + + λk ak vỵi ∈ Rn, λi ≥ 0, λ1 + λ2 + + λk = , gåi l mët afin cõa c¡c iºm a1 , a2 , , ak c) im x Rn cõ dÔng x = 1a1 + λ2a2 + + λk ak vỵi ∈ Rn, λi ≥ , gåi l mët tê hìp tuy¸n tẵnh khổng Ơm hay l tờ hủp nõn cừa cĂc iºm a1 , a2 , , ak ành ngh¾a 1.1.3 Cho E l mởt têp bĐt ký trongRn , , a) Giao cõa t§t c£ c¡c tªp afin chùa E gåi l bao afin cõa E, kỵ hiằu l aff E õ l têp afin nhọ nh§t chùa E b) Giao cõa t§t c£ c¡c têp lỗi chựa E gồi l bao lỗi cừa E, kỵ hiằu l convE õ l têp lỗi nhọ nhĐt chựa E nh nghắa 1.1.4 a)Thự nguyản (hay số chiÃu) cừa mởt têp afin M, kỵ hiằu dimM, l thự nguyản (số chiÃu) cừa khổng gian song song vợi nõ Qui ữợc dim = b) Thự nguyản (hay số chiÃu) cừa mởt têp lỗi C, kỵ hiằu dim E, l thù nguy¶n hay sè chi·u cõa bao afin aff C cừa nõ Mởt têp lỗi C Rn gồi l cõ thự nguyản Ưy ừ náu dimC = n Têp lỗi a diằn l mởt dÔng têp lỗi cõ cĐu trúc ỡn giÊn v rĐt hay gp lỵ thuyát tối ữu tuyán tẵnh nh nghắa 1.1.5 Mởt têp lỗi m l giao cừa mởt số hỳu hÔn cĂc nỷa khổng gian õng gồi l mởt têp lỗi a diằn Nõi cĂch khĂc, õ l têp Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 38 Ch÷ìng Nguyản lỵ phƠn r cừa Benders Chữỡng ny trẳnh by thuêt toĂn phƠn r Benders giÊi qui hoÔch tuyán tẵnh: nảu ỵ tững phữỡng phĂp, cĂc k thuêt tẵnh toĂn nhơm ữa bi toĂn ban Ưu vợi nhiÃu bián và cĂc bi toĂn ẵt bián hỡn v ữa vẵ dử số minh hoÔ Cuối chữỡng nảu Ăp dửng phƠn r Benders vo bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh vợi cĐu trúc ma bêc thang Nởi dung cừa chữỡng ữủc tham khÊo chừ yáu tứ cĂc ti liằu [2] v [5] 3.1 ị tững phƠn r cừa Benders Mửc ny ta xt bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh sau Ơy: Tẳm cĂc bián số x1, x2, , xn v y1, y2, , yp tho£ m¢n (P0 ) f (x, y) = n X j=1 ci xj + p X dk yk → (3.1) k=1 vỵi i·u ki»n n X aij xj + j=1 p X dik yk = bi , i = 1, 2, , m, k=1 x ∈ X, yk ≥ 0, k = 1, 2, , p (3.2) (3.3) Trong â aij , bi, cj , dik , dk l nhỳng hơng số cho trữợc, têp n X Rn (Chng hÔn X = R+ hoc X = {0, 1}n) Kỵ hiằu: A = (aij)mìn, D = (dik )m×p , b = (b1 , b2 , , bm )T , d = (d1 , d2 , , dp )T , c = (c1 , c2 , , cn )T Ta viát lÔi bi toĂn (3.1) - (3.3) dữợi dÔng ngưn gồn: (P0 ) cT x + dT y : Ax + Dy ≥ b, x ∈ X, y ≥ Theo c¡ch ti¸p cên Benders, số bián cừa bi toĂn ữủc rút bợt nhớ thảm vo nhiÃu rng buởc bĐt ng thực mợi Tữỡng tỹ nhữ k thuêt Soỏ hoựa bụỷi trung taõm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39 sinh cët b i to¡n chõ Dantzig - Wolfe, c¡c b§t ¯ng thùc r ng buëc bi toĂn chừ Benders ch ữủc sinh cƯn, nhí dịng c¡i gåi l kÿ thuªt sinh dáng câ trạ (Delayed Row - Genera tion Procedure) PhƠn r Benders giú vai trá trung t¥m vi»c gi£i b i to¡n qui hoÔch tuyán tẵnh ngău nhiản nhiÃu giai oÔn Mửc ny trẳnh by phữỡng phĂp phƠn r Benders Ăp dửng giÊi bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh (P0) PhƠn r Benders bián ời hằ m bĐt phữỡng trẳnh cừa (n + p) ©n sè (x, y) th nh h» p + ân số v thữớng vợi nhiÃu bĐt phữỡng trẳnh hỡn ổi phƠn r Benders cỏn ữủc gồi l phữỡng phĂp khỷ bián (eliminate variables) Khi cố nh x X, (P0) tr thnh bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh theo bián y: LP( x) dT y + cT x : Dy ≥ b − Ax, y ≥ (3.4) º ìn gi£n lªp luªn, ta gi£ thiảt rơng vợi mội x X cố nh luổn tỗn tÔi y thọa mÂn Dy b Ax, tực l (x, y) l chĐp nhên ữủc ối vợi bi toĂn ban Ưu (P0) Vợi giÊ thiảt ny, bƠy giớ ta s ch cĂch tẳm nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n LP (x) x¡c ành theo (3.4) LĐy ối ngău cừa LP (x) ta nhên ữủc bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh (theo bián ối ngău u Rm), kỵ hiằu l LD(x): LD( x) n o T T T max (b − Ax) u + c x : D y ≤ d, u ≥ = (x) Kỵ hiằu C = u ∈ Rm : DT y ≤ d, u ≥ l miÃn chĐp nhên ữủc cừa LD( x) Ró rng C l mởt têp lỗi a diằn GiÊ sỷ u1, u2, , uL l c¡c ¿nh v v1, v2, , vM l phữỡng cỹc biản (chuân hõa) cừa C tực l DT ui ≤ d, ui ≥ 0, ∀i, v DT v j ≤ 0, v j ≥ 0, ∀j Ta nhưc lÔi khĂi niằm im cỹc biản v phữỡng cỹc biản cừa têp lỗi C Rn : ã x0 C l im cỹc biản cừa C náu khổng tỗn tÔi x1 , x2 C x1 6= x0 , x2 = x0 v λ ∈ (0, 1) cho x0 = λx1 + (1 − λ) x2 Nâi c¡ch kh¡c, iºm cüc biản cừa mởt têp lỗi l nhỳng im khổng nơm oÔn thng nối hai im khĂc bĐt ký thuởc têp õ ã Mởt phữỡng vổ hÔn cừa C gồi l mởt phữỡng cỹc biản cừa C náu nõ khổng th biu diạn dữợi dÔng tờ hủp tuyán tẵnh dữỡng cừa hai phữỡng vổ hÔn khĂc cừa C Nhữ vêy, náu d0 Rn l phữỡng cỹc biản cõa C th¼ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 khæng thº câ d0 = λ1d1 + λ2d2 vỵi λ1, λ2 ≥ v d1 6= d0, d2 6= d0 l hai phữỡng vổ hÔn (phữỡng lũi xa) cừa C Khi C l mởt têp lỗi a diằn thẳ im cỹc biản cừa C gồi l mởt nh cừa C v vctỡ ch phữỡng cừa mởt cÔnh vổ hÔn cừa C l mởt phữỡng cỹc biản cừa C Theo nh lỵ 1.1, mội u C cõ biu di¹n: u= L X i αi u + K X i=1 βj v j , (3.5) j=1 vỵi αi ≥ 0(i = 1, 2, , L), α1+α2+ +αL = v βj ≥ 0(j = 1, 2, , M ) Tø â T D u= L X i αi Du + i=1 K X βj Dv j ≤ d,u ≥ j=1 CĂc bĐt ng thực trản úng l cĂc nh ui v phữỡng cỹc biản vi thọa mÂn DT ui ≤ d, ui ≥ (i = 1, 2, , L) v DT v j ≤ 0, v j ≥ (j = 1, 2, , M ) Vợi biu diạn u theo (3.5), bi toĂn LD(x) cõ th viát lÔi theo bián i , j thnh: L h X T i i (b − Ax) u αi + i=1 K h X T j (b − Ax) v i βj + cT x → max (3.6) j=1 vỵi i·u ki»n α1 + α2 + + αL = 1, αi ≥ (i = 1, 2, , L) , βj ≥ (j = 1, 2, , M ) Ta câ c¡c nhªn x²t sau và bi toĂn (3.6): ã Do giÊ thiảt bi toĂn (P0 ) chĐp nhên ữủc nản bi toĂn (3.6) cõ nghiằm tối ữu hỳu hÔn vợi mội x  chồn, bi vẳ náu trĂi lÔi bi toĂn LP (x) s khổng cõ phữỡng Ăn (miÃn rng buởc rộng) Nhữ vêy, tẵnh chĐp nhên ữủc cừa LP (x) ko theo x thọa mÂn (b Ax)T v j 0, vợi måi (j = 1, 2, , M ) (3.7) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 Cho x thọa mÂn (3.7), õ nghiằm tối ữu cừa LD(x) ph£i l mët c¡c ¿nh cõa mi·n ch§p nhên ữủc cừa LD(x), nghắa l ã (x) = max (b Ax)T ui 1iL Nhữ vêy, qui hoÔch tuyán tẵnh ban Ưu (3.1) - (3.3) tữỡng ữỡng vợi b i to¡n cT x + max (b Ax)T ui xX 1iL vợi iÃu kiằn (3.7) Dạ dng thĐy rơng bi toĂn ny cõ th viát lÔi th nh cT x + γ → (3.8) vỵi i·u ki»n vỵi måi i = 1, 2, , L (b − Ax)T v j − γ ≤ vỵi måi j = 1, 2, , M (3.9) (3.10) x∈X (3.11) c¡c r ng bc (3.10) ÷đc ÷a v o º £m b£o rơng viằc chồn x X s tỗn tÔi y cho (x, y) l chĐp nhên ữủc ối vợi b i to¡n ban ¦u (P0) (b − Ax)T ui − γ ≤ 3.2 B i to¡n chõ v b i to¡n chõ thu hµp º cho gån, ta °t Gi = Aui , H j = Av j , gi = bT ui , hj = bT v j Th¸ cĂc Ôi lữủng ny vo bi toĂn (3.8) - (3.11) ta nhên ữủc bi toĂn chừ : Tẳm x v (dĐu tũy ỵ) cho = cT x + γ → (3.12) vỵi i·u ki»n xT Gi − γ ≤ gi , vỵi måi i = 1, 2, , L (3.13) xT H j ≤ 0, vỵi måi j = 1, 2, , M (3.14) x ∈ X (3.15) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 B i to¡n (3.12) - (3.15) gåi l b i to¡n chõ Benders So vỵi (P0), b i to¡n n y câ sè bián ẵt hỡn số rng buởc cõ th hỡn rĐt nhiÃu, cử th l (L + M)ì(n + 1), â L l sè ¿nh v M l sè phữỡng cỹc biản cừa têp lỗi a diằn C = {u ∈ Rm : DT u ≤ d, u ≥ 0} nh lỵ 3.2.1 (Bián ời Benders) Bi toĂn chừ Benders (3.12) - (3.15) tữỡng ữỡng vợi bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh ban Ưu (3.1) - (3.3), kẵch thữợc m × (n + p) C¡c r ng buëc cõa b i toĂn chừ s ữủc xĂc nh dƯn quĂ trẳnh giÊi Giống nhữ phƠn r Dantzig - Wolfe, thữớng khổng th biu diạn tữớng minh tĐt cÊ cĂc nh v phữỡng cỹc biản cừa têp lỗi a diằn Trong phƠn r Benders cụng vêy, thữớng khổng th biu diạn hiºn to n bë c¡c r ng buëc cõa b i to¡n chõ (3.12) - (3.15) º bt ¦u mët váng l°p k, giÊ thiát rơng ta  thứa ká tứ cĂc vỏng lp trữợc mởt têp Lk bĐt ng thực cừa têp L bĐt ng thực Ưu v têp Mk ≥ b§t ¯ng thùc cõa M b§t ¯ng thùc thù hai b i to¡n chõ B i to¡n tuyán tẵnh vợi Lk + Mk bĐt ng thực ữủc gåi l b i to¡n chõ Benders thu hµp (Benders Restricted Master Program) C¡c b§t ¯ng thùc n y gåi l c¡c lĂt cưt (cuts), mởt thuêt ngỳ lĐy tứ qui hoÔch nguyản, õ mội bĐt ng thực sinh s "cưt bọ" mởt phƯn miÃn chĐp nhên ữủc khổng chựa nghiằm nguyản cƯn tẳm GiÊ sỷ bi toĂn chừ Benders thu hàp cõ nghiằm tối ữu xk v k , ta xƠy dỹng bĐt ng thực mợi bơng cĂch ữa v o chi ph½ i·u ch¿nh ρk = b − Axk v gi£i b i to¡n n ρ k T o T u : D u ≤ d, u ≥ Khi gi£i (3.16) câ hai kh£ n«ng xÊy ra: ã LĂt cưt tối ữu Náu nhên ữủc nghiằm tối ữu hỳu hÔn nghiằm ny sinh bĐt ¯ng thùc mỵi (3.16) uk xT GLk +1 + γ ≥ gLk +1 , â GL +1 = Auk , gL +1 = bT uk B§t ¯ng thùc n y gåi l l¡t ct tèi ÷u (Optimality Cut) k k Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ th¼ 43 ã LĂt cưt chĐp nhên ữủc Mt khĂc, náu nhên ữủc nghiằm tối ữu vổ cỹc l mởt phữỡng cỹc biản (chuân hõa) vk thẳ nghiằm ny sinh bĐt ng thực mợi xT H Mk +1 hMk +1 , â H M +1 = Avk , hM +1 = bT vk B§t ¯ng thùc n y gồi l lĂt cưt chĐp nhên ữủc (Feasibility Cut) Sau thảm vo bi toĂn chừ Benders thu hàp lĂt cưt tối ữu hoc lĂt cưt chĐp nhên ữủc vợi ch¿ sè i = Lk+1 = Lk +1 ho°c j = Mk+1 = Mk +1, ta giÊi lÔi bi toĂn chừ thu hàp mợi GiÊi bi toĂn mợi ny nh lỵ 3.2.2 (DĐu hiằu (P0) khổng cõ phữỡng Ăn) Náu sau thảm vo bi toĂn chừ thu hàp lĂt cưt chĐp nhên ữủc mợi v giÊi lÔi cho thĐy bi toĂn khổng cõ phữỡng Ăn thẳ bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh ban Ưu (P0 ) s khổng cõ phữỡng Ăn nh lỵ 3.2.3 (Tiảu chuân tối ữu) Náu lĂt cưt tối ữu l chĐp nhên ữủc ối vợi x = xk v γ = γk th¼ (x, y) = xk , yk l mët nghi»m tèi ÷u cõa qui hoÔch tuyán tẵnh ban Ưu (P0), õ yk l ph÷ìng ¡n tèi ÷u cõa b i to¡n LP (xk ) - bi toĂn (3.4) k k Thuêt toĂn phƠn r Benders Bữợc Khi sỹ t = , ch¿ sè váng l°p k = 1, tªp ¿nh tªp phữỡng cỹc biản V0 = , L1 = |U0| = 0, M1 = |V0| = v chån b§t ký x1 X Bữợc 1- Xỷ lỵ bi toĂn Dũng thuêt toĂn ỡn hẳnh giÊi bi toĂn LD(xk ): ã Náu LD(xk ) cõ nghiằm tối ữu vổ cỹc thẳ giÊ sỷ v k l phữỡng cỹc biản nhên ữủc tứ thuêt toĂn ỡn hẳnh rỗi chuyn sang Bữợc ã TrĂi lÔi náu LD(xk ) cõ nghiằm tối ữu hỳu hÔn, giÊ sỷ uk l nh tối ữu v chuyn sang Bữợc Bữợc - Xỷ lỵ phữỡng cỹcbiản Thảm vk vo têp phữỡng cỹc biản bơng c¡ch °t Vk ← Vk−1 ∪ vk (Mk = Mk + 1) , Uk ← Uk−1(Lk = Lk−1 ) T½nh H k = Av k , hk = bT v k , thảm vo bi toĂn chừ thu hàp lĂt cưt chĐp nhên ữủc xT H k hk v chuyn sang Bữợc Bữợc - Xỷ lỵ im cỹc biản Tẵnh Gk = Auk , gk = bT uk N¸u U0 = ∅, xk Số hóa trung tâm học liệu T Gk + γk ≥ gk http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 44 thẳ dứng thuêt toĂn: giÊi LP xk tẳm yk v xk , yk l tối ữu cừa k (P0 ) ( nh k lỵ 3.3) TrĂi lÔi, thảm u vo têp nh bơng cĂch t Uk Uk−1 ∪ u (Lk = Lk + 1) , Vk ← Vk−1 (Mk = Mk−1 ) Th¶m v o b i to¡n chừ thu hàp lĂt cưt tối ữu xk T Gk + k gk v chuyn sang Bữợc Bữợc - Bi toĂn chừ (Mk ) GiÊi βk = cT x + γ → vỵi i·u ki»n vỵi måi ui ∈ Uk−1, vỵi måi vj ∈ Vk , xT Gi − γk ≤ gi , xT H j ≤ hj , x ∈ X N¸u Mk khổng chĐp nhên ữủc thẳ dứng thuêt toĂn Theo nh lỵ 3.2, (P0) khổng chĐp nhên ữủc (miÃn rng buởc cừa (P0) rộng ) ã Náu Mk cõ lới giÊi tối ữu hỳu hÔn thẳ chồn k+1 , xk+1 l lới giÊi tối ữu bĐt ký ã Náu Mk cõ lới giÊi tối ữu vổ hÔn thẳ chồn βk+1 = βk v xk+1 l x b§t ký thäa mÂn xT H j hj vợi mồi v j Vk ã Tông k k + v chuyn tr lÔi bữợc1 ã nh lỵ hởi tử cừa thuêt toĂn Benders nh lỵ 3.2.4 GiÊ sỷ (P0) l chĐp nhên ữủc Khi õ, sau mởt số hỳu hÔn bữợc thuêt toĂn trản s tẳm ữủc nghiằm tối ÷u cho b i to¡n (P0) ho°c ch¿ r¬ng khỉng tỗn tÔi nghiằm tối ữu 3.3 Vẵ dử minh hồa phƠn r Benders Vẵ dử 3.3.1 Xt bi toĂn qui hoÔch nguyản hộn hủp - 42x1 + 18x2 + 33x3 − 8y1 − 6y2 + 2y3 → 10x1 + 8x2 − 2y1 − y2 + y3 ≥ 4, + 8x3 − y1 − y2 − y3 ≥ 3, 5x1 x1 , x2 , x3 ∈ {0, 1} , y1 , y2 , y3 ≥ Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45 Cè ành c¡c bi¸n x1, x2, x3 v chuyºn chóng sang v¸ phÊi rng buởc ta nhên ữủc bi toĂn theo cĂc bi¸n y1, y2, y3 −8y1 − 6y2 + 2y3 + (42x1 + 18x2 + 33x3 ) → −2y1 − y2 + y3 ≥ − 10x1 − 8x2 , −y1 − y2 − y3 ≥ − 5x1 − 8x3 y1 , y2 , y3 ≥ B i toĂn ối ngău cừa bi toĂn ny cõ dÔng: (4 − 10x1 − 8x2 )u1 + (3 − 5x1 − 8x3 )u2 + (42x1 − 18x2 − 33x3 )u → max vỵi i·u ki»n −2u1 − u2 ≤ −8, −u1 − u2 ≤ −6, u1 − u2 ≤ 2, u1 0, u2 MiÃn chĐp nhên ữủc C cừa bi toĂn ối ngău v Hẳnh 3.1 Hẳnh 3.1 MiÃn chĐp nhên ữủc C cừa bi toĂn ối ngău k T k k T k Vợi k = 5, β ≥ c x + b − Ax u ữủc thọa mÂn Ta kát luên x = x5 = (1, 0, 0) , β = 26, t÷ìng ựng vợi y = (2, 0, 0)) tẳm ữủc nhớ gi£i P1 y5 Số hóa trung tâm học lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 46 3.4 Quy hoÔch tuyán tẵnh cĐu trúc bêc thang Qui hoÔch tuyán tẵnh cĐu trúc bêc thang cõ ma rng buởc chia tĂch thnh K ì K ỉ vng hay nhªt, méi ỉ l mët ma m phƯn lợn Ãu l cĂc ma khổng, trứ cĂc ma nơm trản hay liÃn dữợi ữớng cho chẵnh, chng hÔn: x + c4 T A11 x1 A21 x1 + A22 x2 A32 x2 + A33 x3 A43 x3 + A44 x4 = = = = z = c1 T x1 + c2 T x2 + c3 T x4 → vỵi i·u ki»n b1 , b2 , b3 , b4 , Ơy K = Ta s gồi cĂc bêc thang liản tiáp tứ Ưu tợi chƠn thang l cĂc thíi ký t = 1, t = 2, t = v t = 4, m°c dò nhi·u ùng dửng cĂc bêc thang cõ th l cĂc giai oÔn cừa quĂ trẳnh sÊn xuĐt hay cĂc phƠn hoÔch cừa cĐu trúc vêt lỵ Phữỡng phĂp mổ tÊ sau Ơy câ t½nh kh¡i qu¡t, câ thº dịng º gi£i b i toĂn cõ cĐu trúc bêc thang vợi K bĐt ký Trong möc n y ta s³ ph¡c håa c¡ch ¡p döng nguyản lỵ phƠn r Benders, kát hủp vợi sỷ dửng truy hỗi tiáp cên phƠn r lỗng (nested decomposition approach) Mởt cĂch t lỗng cĂc phƠn hoÔch cừa x l tián theo thới gian, bưt Ưu tứ phƠn hoÔch x th nh {x1}, {x2, x3, x4} K¸t qu£ l b i to¡n xk ≥ 0, k = 1, , K, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 Benders c¦n gi£i theo x1 cè ành: γ1 = c2 T x2 + c3 T x3 + c4 T x4 → vỵi i·u ki»n A22 x2 = b2 − A21 x1 , A32 x2 + A33 x3 = b3 , A43 x3 + A44 x4 = b4 , xk ≥ 0, k = 2, 3, B i to¡n n y ữủc giÊi bơng cĂch tiáp tửc phƠn hoÔch {x2, x3, x4} thnh {x2}, {x3, x4}, v.v Mội phƠn hoÔch lm giÊm mởt bêc thang cho án bi toĂn cỏn lÔi ch gỗm nhĐt mởt bêc thang Bi toĂn chừ Benders thu hàp (tữỡng ựng vợi phƠn hoÔch thự nhĐt) cõ dÔng tữỡng tỹ nhữ bi toĂn (3.8) - (3.11), cử th l cõ dÔng vctỡ nhữ sau c1 T x1 + γ1 = z → vỵi i·u ki»n GT x1 + eγ1 ≥ g, e = (1, 1, , 1)T , H T x1 x1 ≥ h, ≥ â G = G1, G2, , g = (g1, g2, )T , H = H 1, H 2, v h = (h1 , h2 , ) T B i to¡n chõ thu hµp cho cĂc bi toĂn tiáp theo ữủc xĂc nh theo cĂch tữỡng tỹ Vẵ dử 3.4.1 (xem [5]) Xt qui hoÔch tuyán tẵnh sau õ xj ≥ 0, j = 1, 2, , B i toĂn cõ dÔng bêc thang vợi K=2: cT x + dT y = z (min) Ax = b1 , Bx + Dy = b2 , x ≥ 0, y ≥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 48 vỵi x = (x1, x2, x3)T , y = (y1, y2, y3)T = (x4, x5, x6)T , c = (1, 1, 1)T d = (3, 2, 1)T , b1 = (6, 6)T , b2 = (9, 15, 9)T v A= 3 1 ,B = −1 v −1 D = 1 º giÊi bi toĂn theo thuêt toĂn phƠn r Benders ta xuĐt phĂt tứ viằc tÔo bi toĂn chừ Ưu ti¶n β = cT x + δθ = z (min) , Ax =b1 , x ≥ â δ = náu khổng cõ lĂt cưt tối ữu no v = náu cõ ẵt nhĐt mởt lĂt ct tèi ÷u Trong tr÷íng hđp n y δ = vẳ lúc ny chữa cõ lĂt cưt tối ữu GiÊ sû b i to¡n chõ câ nghi»m tèi ÷u x = x0, ta gi£i b i to¡n dT y = w (min) , Dy = b2 − Bx0 , y ≥ (3.17) Sau â nghi»m tèi ÷u cõa b i to¡n ny ữủc dũng xƠy dỹng lĂt cưt cho bi toĂn chừ GiÊi bi toĂn chừ Ưu tiản z = x1 + x2 + x3 → Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 x1 + 2x2 + 3x3 = 3x1 + 2x2 + x3 = x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ ta nhên ữủc nghiằm tối ữu x0 = 1, 1, T Tẵnh vá phÊi cừa b i to¡n (3.17): 1 1, b2 − Bx0 = 15 − × = −1 1, 1, v sau â gi£i b i to¡n z = 3y1 + 2y2 + 1y3 → 4y1 − y2 + y3 = 3y1 + 2y2 + y3 = y + y2 + y3 = 1, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ B i to¡n n y khæng câ phữỡng Ăn v vẳ thá ta dũng cĂc nhƠn tỷ khổng chĐp nhên ữủc cừa nõ tÔo lĂt cưt chĐp nhên ữủc CĂc nhƠn tỷ T khổng chĐp nhên ữủc ny l u = 0, 2, Tiáp theo, ta tẵnh lĂt cưt chĐp nhên ữủc H 1x h1 vợi T T H = u1 B = −6 −1, v h1 = u1 b2 = −6, B i to¡n chừ thu hàp mợi l z = x1 + x2 + δγ → x1 + 2x2 + 3x3 = 6, 3x1 + 2x2 + x3 = 6, −6x1 + 4x2 − 1, 4x3 = −6, 6, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ â δ = vẳ văn chữa cõ lĂt cưt tối ữu Lới gi£i tèiT÷u cõa b i to¡n n y l z1 = 3, x1 = 1, 207792; 0, 584416; 1, 207792 Dòng nghiằm ny ta tẵnh vá phÊi cừa bi toĂn mỵi: 1 1, 207792 6, b2 −Bx1 = 15 − × 0, 584416 = 9, −1 1, 207792 3, 545456 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 v gi£i b i to¡n mỵi w = 3y1 + 2y2 + 1y3 → 4y1 − y2 + y3 = 6, 3y1 + 2y2 + y3 = 9, y + y2 + y3 = 3, 545456 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ Ta nhên ữủc lới giÊi tối ữu w = 9, v y ∗ = 1, 9091 1, 6364 T 0, T vợi nhƠn tỷ tối ữu u2 = Tiáp õ, ta tẵnh lĂt cưt tối ữu G1x + g1 vợi T T G1 = u2 B = , v g1 = u2 b2 = 15 B i to¡n chừ thu hàp mợi l z = x1 + x2 + γ → x1 + 2x2 + 3x3 = 6, 3x1 + 2x2 + x3 = 6, −6x1 + 4x2 − 1, 4x3 = −6, 6, 3x1 + 2x2 + x3 + γ = 6, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ Líi gi£i tèi ÷u cõa b i to¡n chõ n y l T 1, 207792; 0, 584416; 1, 207792 z2 = 12, x2 , γ2 = 9, γ2 = w∗ = nản ta tối ữu v dứng thuêt toĂn Kát quÊ, ta nhên ữủc lới giÊi tối ữu cừa bi toĂn ban ¦u l v x∗ = 1, 207792; 0, 584416; 1, 207792 y∗ = 1, 9091 1, 6364 0, T = Ôt T , fmin = 12 Tõm lÔi, chữỡng ny  trẳnh by thuêt toĂn phƠn r Benders giÊi qui hoÔch tuyán tẵnh kẵch thữợc lợn hoc cõ cĐu trúc c biằt, cho php ữa bi toĂn ban Ưu vợi nhiÃu bián và cĂc bi toĂn it bián hỡn KhĂc vợi phƠn r Danzig-Wolfe, bi toĂn chừ Benders câ nhi·u r ng buëc ©n, c¡c r ng buëc n y s³ ữủc tẳm v ữa vo bi toĂn chừ thu hàp quĂ trẳnh thỹc hiằn thuêt toĂn PhƠn r Benders thẵch hủp cho cĂc bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh cõ cĐu trúc ma bêc thang Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 Kát luên Khi giÊi bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh cõ kẵch thữợc lợn hoc cõ cĐu trúc c biằt, ngữới ta thữớng tẳm c¡ch chia nhä nâ th nh nhi·u b i to¡n k½ch thữợc nhọ hỡn hoc d xỷ lỵ hỡn nhớ tên dửng cĐu trúc riảng cừa cĂc bi toĂn õ l ỵ tững phƠn r qui hoÔch tuyán tẵnh Cõ hai cĂch tiáp cên Ăng ỵ l nguyản lỵ phƠn r Dantzig Wolfe v nguyản lỵ phƠn r Benders Luên vôn  trẳnh by v Ôt ữủc mởt sè k¸t qu£ sau: C¡c ki¸n thùc cì sð và têp lỗi, têp lỗi a diằn, bi toĂn qui hoÔch tuyán tẵnh, bi toĂn ối ngău v thuêt toĂn ỡn hẳnh cÊi biản Nguyản lỵ phƠn r Dantzig - Wolfe qui hoÔch tuyán tẵnh: ỵ tững, cĂc k thuêt tẵnh toĂn cử th v vẵ dử số minh hoÔ p dửng phƠn r Dantzig - Wolfe vo qui hoÔch tuyán tẵnh cõ cĐu trúc ma ữớng cho khối Nguyản lỵ phƠn r Benders qui hoÔch tuyán tẵnh: ỵ tững, k thuêt tẵnh toĂn v cĂc vẵ dử số p dung phƠn r Benders vo qui hoÔch tuyán tẵnh cõ cĐu trúc ma bêc thang Cõ th xem luên vôn nhữ bữợc tẳm hiu Ưu tiản và cĂc nguyản lỵ phƠn r qui hoÔch tuyán tẵnh TĂc giÊ luên vôn hy vồng s cõ dp ữủc tẳm hiu sƠu hỡn và mt k thuêt tẵnh toĂn v cĂc phữỡng phĂp phƠn r khĂc chữa ữủc à cêp tợi luên vôn ny Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52 T i li»u tham kh£o [1] N T B Kim (2008) Gi¡o tr¼nh cĂc phữỡng phĂp tối ữu: Lỵ thuyát v thuêt toĂn NXB B¡ch Khoa H Nëi [2] B T T¥m, T V Thi»u (1998) C¡c ph÷ìng ph¡p tèi ÷u ho¡ NXB Giao thỉng vªn t£i [3] T V Thi»u (2004) Gi¡o trẳnh tối ữu tuyán tẵnh NXB H QG HN [4] M S Bazara et al., Nonlinear Programming: Theory and Algorithms 3rd Edition A John Willey and Sons, Inc., Publication, 2006 [5] G B Dantzig, M N Thapa (2003) Linear Programming: Theory and Extensions Springer [6] S Gass (1994) Linear Programming and its Extensions Iternational Editions Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/