1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Phương pháp điểm trong giải quy hoạch tuyến tính

68 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 68
Dung lượng 597,94 KB

Nội dung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG LÊ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG LÊ PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG GIẢI QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU Nội dung KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Qui hoạch tuyến tính qui hoạch đối ngẫu 1.2 Phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu 1.3 Độ phức tạp thuật toán 12 1.4 Ví dụ Klee-Minty độ phức tạp mũ 15 PHƯƠNG PHÁP ELLIPSOID 19 2.1 Về hệ bất phương trình đại số tuyến tính 20 2.2 Kỹ thuật ellipsoid 23 2.3 Thuật toán Khachian 26 2.4 Áp dụng vào giải qui hoạch tuyến tính 29 PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG 30 3.1 Tâm giải tích 30 3.2 Đường trung tâm 34 3.3 3.2.1 Đường trung tâm đối ngẫu 37 3.2.2 Đường trung tâm gốc-đối ngẫu 40 Chiến thuật giải 41 3.3.1 Phương pháp hàm chắn gốc 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 3.4 3.3.2 Phương pháp bám đường gốc- đối ngẫu 45 3.3.3 Phương pháp hàm gốc- đối ngẫu 48 3.3.4 Độ phức tạp vòng lặp 51 Vấn đề khởi kết thúc thuật toán 52 3.4.1 Khởi thuật toán 53 3.4.2 Kết thúc thuật toán 3.4.3 Thuật toán HSD 54 56 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Nhiều tốn thực tế kinh tế, tài chính, cơng nghiệp kỹ thuật diễn đạt tốn qui hoạch tuyến tính, tức dạng tốn tìm cực đại (hay cực tiểu) hàm tuyến tính với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Phương pháp đơn hình Dantzig đề xuất từ năm 1947, đến sử dụng rộng rãi để giải toán qui hoạch tuyến tính Cách tiếp cần xét đỉnh tập đa diện ràng buộc lần lặp từ đỉnh tới đỉnh kề với nó, thường tốt đỉnh trước (cải tiến giá trị hàm mục tiêu) Cuối cùng, đạt tới đỉnh mà từ khơng thể cải tiến hàm mục tiêu nữa, đỉnh lời giải cần tìm tốn Mặc dầu hiệu thực tiễn (số lần lặp thường nhỏ m + n, m số ràng buộc tuyến tính n số biến toán) Tuy nhiên, V.Klee G.Minty(1972) đưa tốn qui hoạch tuyến tính đặc biệt mà để giải cần thời gian tỉ lệ với hàm mũ n Điều chứng tỏ mặt lý thuyết thuật tốn đơn hình khơng phải thuật toán thời gian đa thức Vào năm 1950, người ta đề cao tới phương pháp điểm (đi từ phía miền ràng buộc) Tuy nhiên, chúng chưa thành đạt phương pháp đơn hình Năm 1979 [4] Khachian người chứng minh giải tốn qui hoạch tuyến tính thời gian đa thức, cách sử dụng thuật tốn điểm thích hợp Mặc dầu thuật tốn Khachian chưa đủ hiệu thực tiễn, thành Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tựu Khachian làm khởi sắc quan tâm trở lại tới phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Tiếp đó, năm 1984 [3] Karmarkar đề xuất phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Phương pháp có độ phức tạp đa thức có hiệu thực tiễn cao, đặc biệt tốn tuyến tính cỡ lớn Các cơng trình nghiên cứu Khachian Karmarkar điểm khởi đầu cho nhiều nghiên cứu phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Đó chủ đề luận văn Cách tiếp cận khác với phương pháp đơn hình Thay cho cạnh tập ràng buộc từ đỉnh tới đỉnh khác, điểm lặp (xấp xỉ) men theo “ đường trung tâm” để tới tập lời giải Có nhiều dạng phương pháp điểm , tiêu biểu phương pháp chắn gốc, phương pháp bám đường gốc-đối ngẫu tạo lời giải cho hai toán gốc đối ngẫu qui hoạch tuyến tính, phương pháp hàm , Trong nhiều năm kể từ 1984, thuật toán phần mềm giải qui hoạch tuyến tính trở nên hồn tồn tinh xảo nói đến phương pháp điểm thực chiếm ưu Cũng có nhiều mở rộng phương pháp điểm để giải tốn tối ưu phi tuyến; qui hoạch lồi tồn phương, qui hoạch nón Chẳng hạn, Nesterov Nemirovsky (1994) [6] xây dựng sở lý thuyết phương pháp điểm cho tối ưu hóa lồi Luận văn đề cập tới phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính Khachian Karmarkar đề xuất Việc tìm hiểu nghiên cứu chủ đề cần thiết hữu ích giúp hiểu mở rộng ứng dụng phương pháp điểm vào toán tối ưu khác Nội dung luận văn chia thành ba chương: Chương 1“ Kiến thức chuẩn bị” nhắc lại tóm tắt số kiến thức cần thiết toán qui hoạch tuyến tính lý thuyết đối ngẫu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn qui hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu giải tốn qui hoạch tuyến tính Tiếp nêu khái niệm độ phức tạp thuật toán, thuật toán thời gian đa thức nêu ví dụ Klee- Minty phương pháp đơn hình có độ phức tạp mũ Các kiến thức cần đến chương sau Chương “Phương pháp Khachian” giới thiệu thuật toán ellipsoid Khachian đề xuất Về thực chất, thuật toán Khachian qui việc tìm nghiệm tối ưu cặp tốn đối ngẫu qui hoạch tuyến tính việc tìm nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính.Nhiều khái niệm kiện trình bày chương minh họa qua ví dụ hình vẽ cụ thể Chương “ Phương pháp điểm ” trình bày khái niệm tâm giải tích, đường trung tâm gốc đối ngẫu; nội dung phương pháp gốc-đối ngẫu, từ ý tưởng phương pháp (đi men theo đường trung tâm) đến thuật toán cụ thể (thuật toán bám đường) Phương pháp đánh giá phương pháp điểm hiệu giải qui hoạch tuyến tính Tiếp đó, giới thiệu hai thuật toán bám đường tiêu biểu: thuật toán dự báo thuật toán hiệu chỉnh Vấn đề khởi kết thúc thuật toán đề cập tới Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn đề cập tới nội dung phương pháp điểm giải qui hoạch tuyến tính, chưa sâu vào chi tiết thực thi thuật tốn Trong q trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt q trình làm luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Tốn học-Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ tốn –tin Trường THPT Ngơ Quyền –Thái Ngun tập thể bạn bè đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 09 năm 2011 Người thực Nguyễn Thị Hồng Lê Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại kết lý thuyết qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính, đồng thời nêu khái niệm độ phức tạp thuật tốn dẫn ví dụ V Klee G Minty cho thấy thuật toán đơn hình thuật tốn thời gian mũ (chứ khơng phải thuật toán thời gian đa thức!) Nội dung chương chủ yếu dựa tài liệu [1], [2], [5] [7] 1.1 Qui hoạch tuyến tính qui hoạch đối ngẫu Qui hoạch tuyến tính tốn tìm cực tiểu (cực đại) hàm tuyến tính f (x) tập lồi đa diện D ⊂ Rn Bài toán thường viết hai dạng: • Dạng chuẩn (standard form): min{f (x) = cT x : Ax ≥ 0, x ≥ 0} với A ∈ Rm×n (ma trận m hàng, n cột),b ∈ Rm , c, x ∈ Rn , x ≥ 0, tức x ∈ Rn+ T ký hiệu chuyển vị véctơ, D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} tập lồi đa diện • Dạng tắc (canonical form): Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ , ký hiệu A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c, x ∈ Rn Trong toán này, tập D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} tập lồi đa diện Trong hai dạng trên, f gọi hàm mục tiêu, D gọi tập ràng buộc hay miền chấp nhận Điểm x = (x1 , , xn )T ∈ D gọi lời giải (điểm, nghiệm)chấp nhận hay phương án toán Một phương án đạt cực tiểu (cực đại) hàm mục tiêu gọi lời giải (điểm, nghiệm) tối ưu hay phương án tối ưu Bài toán   max cT x : x ∈ D = − −cT x : x ∈ D Với toán qui hoạch tuyến tính, xảy ba khả năng: a) Bài tốn khơng có lời giải chấp nhận (tập ràng buộc D rỗng) b) Bài toán có lời giải chấp nhận được, khơng có lời giải tối ưu c) Bài tốn có lời giải tối ưu (hữu hạn) Định lý sau nêu điều kiện để qui hoạch tuyến tính có lời giải tối ưu Định lý 1.1 Nếu qui hoạch tuyến tính có lời giải chấp nhận hàm mục tiêu bị chặn miền chấp nhận (đối với tốn  min) qui hoạch chắn có lời giải tối ưu Định nghĩa 1.1 Một lời giải chấp nhận x ∈ D mà đồng thời đỉnh D gọi lời giải sở, nghĩa x biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai lời giải chấp nhận khác D Nói cách khác, x = λx1 + (1 − λ) x2 với < λ < x1 , x2 ∈ D phải có x = x1 = x2 Định lý sau nêu tính chất đặc trưng cho lời giải sở qui hoạch tuyến tính tắc với giả thiết m ≤ n rank(A) = m Định lý 1.2 Để lời giải chấp nhận x = {x1 , x2 , , xn } qui hoạch tuyến tính tắc lời giải sở, cần đủ véctơ cột Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Để tìm điều kiện cần đủ cho nghiệm tối ưu (BD), ta đưa vào vectơ nhân tử Lagrange lập hàm Lagrange T b y+µ n X  log sj − xT AT y + s − c j=1 Lấy đạo hàm riêng theo yj cho chúng 0, ta điều kiện bi − x = 0, ∀i = 1, , m, với vectơ dòng Bằng cách cho đạo hàm sj ta nhận µ − xj = 0, ∀j = 1, , n sj Kết hợp phương trình ràng buộc gốc lại với ta hệ điều kiện đầy đủ x ◦ s = µ1, Ax = b, AT y + s = c Các điều kiện trùng với điều kiện tối ưu đường trung tâm gốc (3.2) Chú ý x phương án chấp nhận gốc x > Để biểu diễn hình học đường trung tâm đối ngẫu, ta xét tập mức đối ngẫu  Ω (z) = y : c − AT y ≥ 0, bT y = z z ≤ z ∗ , z ∗ giá trị tối ưu (LD) Khi đó, tâm giải tích (y(z), s(z)) Ω (z) trùng với đường trung tâm đối ngẫu z tiến dần đến giá trị tối ưu z ∗ từ phía Điều minh họa Hình 3.2, vẽ miền chấp nhận đối ngẫu (chứ tập tối ưu) Tập mức Ω (z) vẽ với giá trị z khác Các tâm giải tích tập mức tạo nên đường trung tâm đối ngẫu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Hình 3.2: Đường trung tâm tâm giải tích miền ràng buộc đối ngẫu Ví dụ 3.3 (Hình vng đối ngẫu) Xét tốn đối ngẫu Ví dụ 3.2 Đó tốn y1 + y2 → max, với điều kiện y1 ≤ −1, y2 ≤ 0, Các biến bù hai bất đẳng thức s1 = −1 − y1 , s2 = −y2 Bài toán chắn đối ngẫu y1 + y2 + µ [log (−1 − y1 ) + log (−y2 )] → max, với điều kiện y1 ≤ −1, y2 ≤ 0, Nghiệm tối ưu tốn chắn y1 (µ) = −1 − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên µ , y2 = −2µ x1 (µ) http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Khi µ → ta nhận y1 → −1, y2 → Đó nghiệm tốn tuyến tính đối ngẫu Tuy nhiên, µ → +∞ vectơ y khơng bị chặn, lý ví dụ thân miền ràng buộc đối ngẫu không bị chặn 3.2.2 Đường trung tâm gốc-đối ngẫu Giả sử miền chấp nhận toán (LP) có điểm tập nghiệm tối ưu tốn bị chặn Khi đó, miền chấp nhận đối ngẫu có điểm Tập vectơ (x (µ) , y (µ) , s (µ)) gọi đường trung tâm gốc-đối ngẫu (primal-dual central path) Các vectơ thỏa mãn điều kiện x ◦ s = µ1 Ax = b, (3.3) AT y + s = c x ≥ 0, s ≥ với ≤ µ ≤ +∞ Như đường trung tâm xác định mà không cần rõ toán tối ưu cụ thể (gốc hay đối ngẫu) Đường đơn giản xác định tập đẳng thức bất đẳng thức Vì điều kiện (3.2) (3.3) sau nên đường trung tâm gốc- đối ngẫu tách thành hai thành phần cách chiếu xuống khơng gian thích hợp, mơ tả mệnh đề sau Mệnh đề 3.1 Giả sử miền chấp nhận toán gốc toán đối ngẫu có điểm Khi đó, đường trung tâm gốc-đối ngẫu có điểm Khi đó, đường trung tâm gốc-đối ngẫu (x (µ) , y (µ) , z (µ)) tồn với µ, ≤ µ < ∞ Hơn nữa, x (µ) đường trung tâm gốc (y (µ) , s (µ)) đường trung tâm đối ngẫu Ngồi ra, x (µ) (y (µ) , s (µ)) hội tụ tới tâm giải tích tập nghiệm tối ưu gốc tập nghiệm tối ưu đối ngẫu tương ứng µ → Độ lệch đối ngẫu (duality gap) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Giả sử (x (µ) , y (µ) , s (µ)) nằm đường trung tâm gốc-đối ngẫu Khi từ (3.3) suy cT x − bT y = y T Ax + sT x − y T b = sT x = nµ Giá trị cT x − bT y = sT x hiệu số giá trị mục tiêu toán gốc giá trị mục tiêu toán đối ngẫu Giá trị không âm (theo định lý đối ngẫu yếu qui hoạch tuyến tính) gọi độ lệch đối ngẫu Độ lệch đối ngẫu thước đo mức độ tối ưu Với phương án x tốn gốc giá trị cT x cận cho giá trị tối ưu z ∗ tốn đối ngẫu cT x ≥ z ∗ Tương tự, với phương án (y, s) tốn đối ngẫu giá trị bT y cận cho giá trị tối ưu z ∗ (= f ∗ ) tốn gốc bT y ≤ z ∗ Độ lệch đối ngẫu g = cT x − bT y cận cho cT x − z ∗ , z ∗ ≥ bT y = cT x − g Như vậy, có điểm chấp nhận gốc x điểm chấp nhận đối ngẫu (y, s) chất lượng điểm x (tức giá trị mục tiêu gốc x cách giá trị tối ưu bao xa) đo hiệu cT x − z ∗ ≤ g Tại điểm đường trung tâm gốc- đối ngẫu, độ lệch đối ngẫu nµ Rõ ràng độ lệch dần đến µ → Vì thế, x (µ) lẫn (y (µ) , s (µ)) tiến tới nghiệm tối ưu toán gốc đối ngẫu tương ứng 3.3 Chiến thuật giải Các định nghĩa khác đường trung tâm gợi chiến thuật khác giải qui hoạch tuyến tính Mục trình bày khái quát ba cách tiếp cận chung: phương pháp hàm chắn gốc (phương pháp bám đường), phương pháp bám đường dạng gốc- đối ngẫu phương pháp giảm dạng gốc- đối ngẫu Ở không phân tích chi tiết cách thực thi chúng, cịn cần đến số kỹ thuật giải qui hoạch phi tuyến tổng quát Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Bảng 3.1 miêu tả mối quan hệ chiến thuật giải với phương pháp đơn hình nhắc lại chương trước với điều kiện gốc chấp nhận (P-F), đối ngẫu chấp nhận (D-F) điều kiện độ lệch đối ngẫu (0-D)trong trình giải lặp theo chiến thuật Chẳng hạn, phương pháp đơn hình gốc ln cải tiến lời giải gốc chấp nhận được, giữ cho độ lệch đối ngẫu (điều kiện độ lệch bù) bỏ qua tính chấp nhận đối ngẫu ; phương pháp đơn hình đối ngẫu ln cải tiến lời giải đối ngẫu chấp nhận được, giữ cho độ lệch đối ngẫu (điều kiện độ lệch bù) bỏ qua tính chấp nhận gốc Phương pháp hàm chắn gốc cải tiến lời giải gốc chấp nhận bỏ qua tính chấp nhận đối ngẫu bỏ qua điều kiện độ lệch bù; phương pháp điểm gốc- đối ngẫu cải tiến cặp lời giải gốc đối Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 ngẫu chấp nhận được, bỏ qua điều kiện độ lệch bù 3.3.1 Phương pháp hàm chắn gốc Xét toán qui hoạch tuyến tính dạng tắc  cT x : Ax = b, x ≥ Một cách tiếp cận trực tiếp sử dụng hàm chắn gốc giải tốn T c x−µ n X log xj → min, (3.4) j=1 với điều kiện Ax = b, x > 0, giá trị µ đủ nhỏ Trên thực tế, muốn giảm độ lệch đối ε ngẫu tới ε ta cần giải tốn với µ = Nhưng đáng tiếc với µ n nhỏ tốn (3.4) tốn đặt khơng chỉnh, theo nghĩa hệ điều kiện cần suy biến Điều gây khó khăn cho việc giải tốn với µ nhỏ Vì thế, chiến thuật chung xuất phát từ giá trị µ khơng q lớn (chẳng hạn µ = 100 ) giải xấp xỉ toán Lời giải nhận điểm xấp xỉ đường trung tâm gốc, cách xa đường trung tâm khoảng cách từ đường trung tâm gốc điểm giới hạn µ → Tuy nhiên, lời giải µ = 100 dùng làm điểm xuất phát cho tốn với tham số µ nhỏ đơi chút, điểm gần với lời giải tối ưu tốn Sau vịng lặp giảm giá trị µ theo tỉ lệ dương γ cố định trước (0 < γ < ):µk+1 = γµk , k số đếm vịng lặp Nếu chiến thuật giải giá trị µ0 vịng lặp k ta có µk xuống nhỏ ε cần thực số vịng lặp µk = γ k µ0 Do để giảm µ0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 k= log ε log γ Để giải toán (3.4), người ta thường dùng phương pháp Newton quen thuộc Theo cách này, phương pháp Newton xử lý toán (3.4) với giá trị µ cố định nhờ xét phương trình (3.2) đường trung tâm x ◦ s = µ1, Ax = b (3.5) AT y + s = c Từ điểm cho trước x ∈ P phương pháp Newton di chuyển tới điểm gần với nghiệm tối ưu x+ ∈ P cách di chuyển theo hướng dx , dy ds xác định từ biến thể tuyến tính hóa (3.5) µX −2 dx + ds = µX−1 I − c, Adx = (3.6) AT dy + ds = (Nhớ X ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thành phần vectơ x > 0) Khi đó, điểm lặp xác định cách chọn độ dài bước α thích hợp theo hướng dx sau: x+ = x + αdx Chú ý x ◦ s = µ1 s = c − AT y d ≡ (dx , dy , dz ) = điểm có thỏa mãn Ax = b đường trung tâm Nếu có thành phần x ◦ s nhỏ µ d có xu hướng tìm lời giải cho làm tăng thành phần Điều ngược lại xẩy với thành phần x ◦ s lớn µ Thủ tục lặp lại số lần nhận điểm đủ gần nghiệm tối ưu tốn chắn tương ứng với giá trị µ cho Nghĩa tới điều kiện cần đủ (3.1) thỏa mãn (một cách xấp xỉ) Trong mục sau phân tích số chi tiết liên quan đến thực thi đầy đủ phương pháp Newton Tuy nhiên, phương pháp làm việc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 tốt µ khơng q lớn điểm xuất phát gần lời giải chiến thuật hàm chắn đề cập tới mục Để giải (3.6) nhân bên trái phương trình đầu với X ta nhận µdx + X ds = µXI − X2 c Sau nhân bên trái với A sử dụng Adx = 0, ta có AX2 ds = µAXI − AX2 c Để ý ds = −AT dy ta nhận T AX2 A dy = −µAXI + AX2 c Như vậy, tính dy cách giải hệ phương trình tuyến tính Sau ds tính từ phương trình thứ ba (3.6) cuối dx tìm từ phương trình đầu (3.6) Khi giải hệ (3.6) ta cần  O nm2 + m3 phép tính số học cho bước lặp Newton 3.3.2 Phương pháp bám đường gốc- đối ngẫu Một chiến thuật khác giải qui hoạch tuyến tính bám theo đường trung tâm từ cặp nghiệm gốc- đối ngẫu ban đầu cho trước Xét tốn qui hoạch tuyến tính dạng tắc (LP) cT x → min, với điều kiện Ax = b, x ≥ 0, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn cho trước x ∈ Rn vectơ biến cần tìm Bài tốn đối ngẫu tương ứng có dạng (LD) bT y → max, với điều kiện AT y + s = c, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 s ≥ 0, Ký hiệu P tập chấp nhận toán gốc (LP), gọi tắt tập chấp nhận gốc D tập chấp nhận toán đối ngẫu (LD), gọi tắt tập chấp nhận đối ngẫu với P = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} ,  D = (y, s) ∈ Rm+n : AT y + s = c, s ≥ , Ta giả thiết " phần trong" P D khác rỗng, nghĩa P = {x ∈ Rn : Ax = b, x > 0} = ∅  D0 = (y, s) ∈ Rm+n : AT y + s = c, s > 6= ∅ Ký hiệu z ∗ giá trị tối ưu hai hàm mục tiêu (gốc đối ngẫu)  F = (x, y, s) ∈ Rn+m+n : Ax = b, AT y + s = c, x ≥ 0, s ≥ ,  F = (x, y, s) ∈ Rn+m+n : Ax = b, AT y + s = c, x > 0, s > Với giả thiết P 6= ∅ D0 6= ∅ F 6= ∅ Khi đó, đường trung tâm (gốc-đối ngẫu) mô tả tập dạng gốc- đối ngẫu:  C=  T x s (x, y, s) ∈ F : x ◦ s = n (Nhớ x ◦ s = x1 s1 + x2 s2 + + xn sn tích theo thành phần hai vectơ x s ) Trên đường trung tâm C ta có x ◦ s = µI , xT s = nµ Lân cận đường trung tâm C có dạng L (η) = { (x, y, s) ∈ F : |x ◦ s − µI| < ηµ, µ = xT s } n với số η đó: η ∈ (0, 1), chẳng hạn η = 0, 25 Có thể hình dung lân cận ống (hay đường tàu điện ngầm), đường trung tâm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Ý tưởng phương pháp bám đường di chuyển lân cận hình  ống đường trung tâm tới lời giải Điểm khởi đầu x0 , y , s0 ∈ L (η) tìm cách giải toán chẵn tương ứng với giá trị µ0 cố định dùng pha khởi trình bày mục 3.4.1 Sau đó, thực di chuyển luân phiên gọi bước dự báo (predictor step) bước hiệu chỉnh (corrector step) Sau thực cặp bước này, điểm lặp nhận lân cận cố định cho đường trung tâm, tiến gần tới tập nghiệm tối ưu tốn qui hoạch tuyến tính Về bản, bước dự báo vạch để di chuyển song song với đường trung tâm Hướng dịch chuyển d = (dx , dy , ds ) xác định từ biến thể tuyến tính hóa phương trình (3.3) đường trung tâm gốc- đối ngẫu x ◦ dx + x ◦ ds = ηµI − x ◦ s, Adx = (3.7) AT dy + ds = Ở chọn η = Để rõ phụ thuộc d vào cặp (x, s) có tham số η , ta viết d = d (x, s, η) Khi đó, điểm lặp tìm cách thực bước dịch chuyển theo hướng d, chẳng hạn (x+ , y + , s+ ) = (x, y, s) + α (dx , dy , ds ) với α độ dài bước dịch chuyển Chú ý dx T ds = −dx T AT dy = Do x+ T   s+ = (x + αdx )T (s + αds ) = xT s+α(dx )T s + xT ds = (1 − α) xT s, đẳng thức cuối nhân phương trình đầu (3.7) với IT Như vậy, bước dự báo làm giảm độ lệch đối ngẫu theo tỉ lệ (1 − α) Độ dài bước lớn theo hướng dịch chuyển chọn cho điểm lặp thu không vượt lân cận L (2η) đường trung tâm Về thực chất, bước hiệu chỉnh di chuyển theo hướng vng góc với đường trung tâm nhằm tiến gần tới đường Bước hiệu chỉnh đưa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 điểm lặp trở lại lân cận L (η) xác định cách chọn η = xT s (3.7) với µ = Chú ý x ◦ s = µI d = 0, điểm lặp n có đường trung tâm Bước hiệu chỉnh trùng với bước phương pháp hàm chắn Tuy nhiên, phương pháp " dự báo- chỉnh sửa" đòi hỏi dãy cặp bước, cặp gồm bước dự báo bước hiệu chỉnh Điều tương phản với phương pháp hàm chắn, phương pháp hàm chắn địi hỏi với µ, loạt bước để tới đường trung tâm sau thực dãy khác để giảm giá trị µ Có thể chứng minh (x, y, s) ∈ L (η) với xT s dừng bước dự báo, độ dài bước thỏa mãn α ≥ √ µ = n n    √ Như vậy, độ phức tạp phép lặp phương pháp O n log để ε µ ≤ ε, nµ0 độ lệch đối ngẫu lúc ban đầu Hơn nữa, đạt µ0 người ta cịn chứng minh độ dài bước α → xT s → 0, nghĩa độ lệch đối ngẫu nhỏ tốc độ giảm đối ngẫu nhanh 3.3.3 Phương pháp hàm gốc- đối ngẫu Trong phương pháp ta dùng hàm gốc- đối ngẫu để đánh giá tiến trình giải Hàm giảm dần sau vịng lặp Khơng hạn chế lân cận hay độ dài bước trình lặp miễn hàm giảm Hàm giảm nhiều tốc độ hội tụ thuật tốn nhanh Như vậy, góc độ thực tiễn, thuật tốn giảm tỏ ưu việt so với thuật toán bám đường mà điểm lặp bị hạn chế lân cận đường trung tâm Với x ∈ P (y, s) ∈ D0 , hàm gốc đối ngẫu xác định theo công thức: n  X ψn+ρ (x, s) ≡ (n + ρ) log x s − log (xj sj ), T j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 ρ ≥ Từ bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân suy n  X n log x s − log (xj sj ) ≥ n log n T j=1 Khi n  X  ψn+ρ (x, s) ≡ ρ log x s +n log x s − log (xj sj ) ≥ ρ log xT s +n log n T T  j=1 (3.8) Như vậy, với ρ > 0, ψn+ρ (x, s) → −∞ kéo theo xT s → Chính xác hơn, từ (3.8) ta có  ψn+ρ (x, s) − n log n x s ≤ exp ρ T  Vì thế, hàm gốc- đối ngẫu cho cận hiển độ lớn độ lệch đối ngẫu Mục đích phương pháp đưa hàm giảm dần tới trừ vô Phương pháp dùng để giảm hàm biến thể phương n (3.7) pháp Newton (3.7) Trong trường hợp ta chọn γ = n+ρ Để ý tổ hợp cách chọn dự báo cách chọn hiệu chỉnh Cách dự báo dùng γ = cách hiệu chỉnh dùng γ = Phương pháp hàm gốc - đối ngẫu sử dụng γ Cách tỏ hợp lý cách dự báo di chuyển song song với đường trung tâm nhằm hướng tới độ lệch đối ngẫu nhỏ cách hiệu chỉnh vng góc để tiến gần tới đường trung tâm Phương pháp đồng thời thực hai mục tiêu Tất nhiên, ý tưởng trực quan cần làm xác √ Với ρ ≥ n hàm bảo đảm giảm lượng cố định δ Cụ thể  ψn+ρ x+ , s+ − ψn+r (x, s) ≤ −δ với số δ ≥ 0, Về lý thuyết, kết cho cận số vòng lặp cần thực cận sánh với phương pháp khác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Tuy nhiên, đạt thuật tốn nhanh nhờ dùng kỹ thuật tìm xác tia theo hướng d để giảm nhanh phương pháp hàm gốc - đối ngẫu vòng lặp Thuật tốn mơ tả sau  Bước Xuất phát từ điểm x0 , y , s0 ∈ F với      √ T 0 ψn+ρ x , s ≤ ρ log x0 s0 + n log n + O n log n Điểm xác định theo thủ tục tìm điểm ban đầu (thuật tốn √ n Chọn tham khởi mục (3.4.1)) Đặt ρ ≥ n Đặt k = γ = n+ρ số đo độ xác ε >  Bước Đặt (x, s) = xk , sk tính (dx , dy , ds ) theo (3.7) Bước Đặt xk+1 = xk + αdx , yk+1 = y k + αdy , sk+1 = sk + αds với α = arg ψn+ρ (x + αdx , s + αds ) α≥0 xk Bước Đặt k ← k + Nếu T sk (x0 )T s0 ≤ ε dừng thuật tốn Trái lại, quay lại thực bước  Định lí 3.1 Thuật tốn nêu kết thúc sau không O ρ log  n  ε vòng lặp để đạt xk T sk (x0 )T s0 ≤ ε Chứng minh Chú ý sau k vịng lặp, từ (17) ta có       √ T k k 0 ψn+ρ x , s ≤ ψn+ρ x , s −kδ ≤ ρ log x0 s0 +n log n+O n log n −kδ Như vậy, từ bất đẳng thức (3.8) ta nhận  T      √ T ρ log xk sk + n log n ≤ ρ log x0 s0 + n log n + O n log n − kδ hay ρ log   k T k x s  − log   T x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên s  ≤ −kδ + O √  n log n http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Do đó, k ≥ O (ρ log n) ta phải có    T     T ρ log xk sk − log x0 s0 ≤ −ρ log ε hay xk T sk ≤ ε (x0 )T s0 √ √ Định lý với ρ ≥ n Như vậy, cách chọn ρ = n ta  n  √ n log cận cho độ phức tạp vòng lặp O ε 3.3.4 Độ phức tạp vòng lặp Về bản, vòng lặp địi hỏi giải hệ (3.7) để tìm hướng d Để ý phương trình đầu (3.7) viết sau: Sdx + Xds = γµI − XSI, X S hai ma trận đường chéo với phần tử đường chéo thành phần x > s > Nhân bên trái hai vế với S −1 ta dx + S −1 Xds = γµS −1 I − x Sau đó, nhân bên trái hai vế với A để ý Adx = ta nhận AS−1 Xds = γµAS−1 I − Ax = γµAS−1 I − b Sử dụng ds = −AT dy ta có  AS−1 XAT dy = b − γµAS−1 I Như vậy, chi phí tính tốn bước lặp phương pháp điểm đề cập tới mục lập lấy nghịch đảo ma trận AXS −1 AT ,  cơng việc cần địi hỏi O nm2 + m3 phép toán số học Tuy nhiên, tính truy hồi lấy nghịch đảo ma trận xấp xỉ ma trận nhờ dùng phép toán số học Trên thực tế, cách dùng " kỹ thuật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 hạng một" (rank-one technique) để chỉnh sửa xấp xỉ nghịch đảo ma trận chuẩn trình lặp, người ta giảm số trung bình √ 2 phép tốn số học o vịng lặp tới O nm Như vậy, xem dung sai tương đối ε biến ta có đánh giá sau cận độ phức tạp tính theo số lượng phép toán số học để giải qui hoạch tuyến tính √ Hệ 3.1 Cho ρ = n Khi thuật tốn nêu kết thúc sau khơng   n  phép toán số học O nm log ε 3.4 Vấn đề khởi kết thúc thuật tốn Mục trình bày số vấn đề quan trọng có liên quan đến thuật tốn điểm giải qui hoạch tuyến tính Vấn đề thứ liên quan đên khởi thuật toán Hầu tất thuật toán điểm cần giả thiết quy, nghĩa địi hỏi F 6= ∅ Cần phải làm khơng có giả thiết này? Một vấn đề nũa thuật toán điểm cần phải xuất phát từ điểm chấp nhận chặt nằm gần đường trung tâm Vấn đề thứ hai liên quan đến kết thúc thuật toán Phương pháp đơn hình kết thúc lời giải xác, cịn thuật tốn điểm thuật tốn tối ưu liên tục, sinh dãy vô hạn lời giải hội tụ tới lời giải tối ưu Nếu liệu tốn ngun hay hữu tỷ sau đạt cận thời gian xấu nhất, liệu lời giải xác có thu cách làm trịn lời giải xấp xỉ cuối hay không? Nảy sinh thêm số câu hỏi: Thứ nhất, giả sử mô hình tính tốn với số thực (tức liệu số thực), làm kết thúc thuật tốn lời giải xác? Thứ hai, với trạng thái liệu nào, liệu q trình lặp kiểm tra thực tế chi phí tính tốn để nhận biết lời giải xác thuật tốn dừng trước đạt cận thời gian xấu nhất? Ở lời giải xác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ngày đăng: 18/10/2023, 15:05