Tiếp nội dung phần 1, Bài giảng môn Quy hoạch tuyến tính: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Lý thuyết đối ngẫu; bài toán vận tải và một số đề thi mẫu. Cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung phần 2 bài giảng.
Chương Lý thuyết đối ngẫu Mục lục chương 3.1 Định nghĩa toán đối ngẫu 64 3.2 Các định lý đối ngẫu 74 3.3 Phương án tối ưu toán đối ngẫu 81 3.4 Bài tập chương 89 3.1 Định nghĩa tốn đối ngẫu Ví dụ 3.1 Có m loại nguyên liệu dự trữ dùng để sản xuất n loại sản phẩm Để làm sản phẩm j cần aij nguyên liệu i cho bảng sau: PP PP SP PP PP NL P x2 a12 a22 :: : :: : xn n a1n a2n :: : NL dự trữ :: : x1 a11 a21 :: : m Giá bán am1 c1 am2 c2 amn cn bm b1 b2 :: : Trong đó, lượng nguyên liệu dự trữ thứ i bi giá bán sản phẩm j cj : Yêu cầu tìm số lượng sản phẩm x1 ; x2 ; : : : ; xn cho tổng doanh thu lớn Trang 65 Chương Lý thuyết đối ngẫu Giải Tổng doanh thu lớn max z D c1 x1 C C cn xn Khi tổng lượng nguyên liệu loại sử dụng phải nhỏ b1 ; nghĩa a11 x1 C C a1n xn b1 tương tự nguyên liệu loại n am1 x1 C C amn xn bm Vậy ta có tốn tìm x1 ; : : : ; xn cho: z D c1 x1 C C cnxn ! max Với ràng buộc ˆ < a11 x1 C C a1n xn b1 :: :: :: : : : ˆ : a x C C a x b m1 mn n m xj 0; j D 1; 2; : : : ; n Bài toán viết dạng ma trận z D cT x ! max Với ràng buộc Ax b x0 (3.1) A Mmn R/I b Mm1 R/I c; x Mn1 R/ Ví dụ 3.2 Với giả thiết giống ví dụ 3.1, giả sử có người muốn mua lại toàn nguyên liệu PP PP SP PP P NL PP x2 a12 a22 :: : :: : xn n a1n a2n :: : NL dự trữ y1 ; y2 ; :: : x1 a11 a21 :: : ym ; m Giá bán am1 c1 am2 c2 amn cn bm Tìm giá bán nguyên liệu i; yi để: b1 b2 :: : 3.1 Định nghĩa toán đối ngẫu Trang 66 Tổng giá trị người mua phải trả nhỏ Người bán không bị thiệt Giải Tổng giá trị người mua phải trả nhỏ thể hiện: z D b1 y1 C C bm ym ! max Khi sản xuất sản phẩm 1, người ta cần a11 nguyên liệu 1, , am1 nguyên liệu m: Khi bán nguyên liệu chủ sở hữu nhận a11 y1 C C am1 ym ; Mặc khác lượng nguyên liệu sản xuất sản phẩm bán với giá c1 : Vậy để người bán không bị thiệt bán nguyên liệu sản xuất sản phẩm a11 y1 C C am1 ym c1 Tương tự sản phẩm n a1n y1 C C amn ym cn Vậy tốn tìm giá bán y1 ; : : : ; yn cho z D b1 y1 C C bm ym ! Với ràng buộc ˆ < a11 y1 C C am1 ym c1 :: :: :: : : : ˆ : a y C C a y c 1n mn n n yi 0; i D 1; 2; : : : ; m Bài toán viết dạng ma trận z D bT y ! Với ràng buộc AT y c y0 A Mmn R/I b; y Mm1 R/I c Mn1 R/ (3.2) Trang 67 Chương Lý thuyết đối ngẫu Định nghĩa 3.1 (Bài toán đối ngẫu) Bài toán 3.1 3.2 gọi toán đối ngẫu Bài toán 3.1 gọi toán gốc toán 3.2 gọi toán đối ngẫu Nghĩa là: Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu z D cT x ! max z D bT y ! Với ràng buộc Với ràng buộc Ax b x0 AT y c y0 Định lý 3.2 Bài toán đối ngẫu toán đối ngẫu 3.2 toán gốc 3.1 Nghĩa là: Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu z D bT y ! z D cT x ! max Với ràng buộc Với ràng buộc AT y c y0 (3.3) Ax b x0 (3.4) Chứng minh Bài toán 3.3 tương đương z D bT y ! max Với ràng buộc AT y c y0 (3.5) Theo định nghĩa, đối ngẫu 3.5: z D cT x ! Với ràng buộc AT /T y b x0 tương đương với z D cT x ! max Với ràng buộc Ax b x0 (3.6) 3.1 Định nghĩa toán đối ngẫu Trang 68 3.1.1 Đối ngẫu toán max Định lý 3.3 Cho tốn gốc có dạng tắc, tốn gốc đối ngẫu tương ứng sau Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu z D cT x ! max z D bT y ! Với ràng buộc Với ràng buộc Ax D b x0 AT y c y tùy ý (3.7) (3.8) Chứng minh Bài toán gốc 3.7 tương đương z D cT x ! max Với ràng buộc Ax b Ax b x0 tương đương z D cT x ! max Với ràng buộc b A x b A (3.9) x0 Bài toán đối ngẫu 3.10 z D b j T u ! b v T Với ràng buộc u T T c A j A v u0 v0 tuong đương z D bT u v/ ! Với ràng buộc (3.10) Trang 69 Chương Lý thuyết đối ngẫu AT u Đặt y D u v/ c u0 v0 v ta kết Định lý 3.4 Bài toán gốc z D cT x ! max Với ràng buộc Ax b x tùy ý (3.11) có tốn đối ngẫu z D bT y ! Với ràng buộc AT y D c y0 (3.12) Chứng minh Bài toán gốc 3.11 tương đương z D cT x ! Với ràng buộc Ax b x tùy ý Theo định lý 3.3 định lý 3.2, toán đối ngẫu 3.13 z D bT y ! max Với ràng buộc AT y D c y0 tương đương z D bT y ! Với ràng buộc (3.13) 3.1 Định nghĩa toán đối ngẫu Trang 70 AT y D c y0 Hai tốn quy hoạch tuyến tính sau gọi cặp toán đối ngẫu Bài toán gọi toán gốc, toán gọi toán đối ngẫu Một ràng buộc điều kiện biến dòng gọi cặp ràng buộc đối ngẫu Bài toán gốc (1) z D c1 x1 C C cn xn ! max ai1 x1 C ai2 x2 C C n xn bi ai1 x1 C ai2 x2 C C n xn bi ai1 x1 C ai2 x2 C C n xn D bi xj xj xj R Bài toán đối ngẫu (2) z D b1 y1 C C bm ym ! yi yi yi R a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj a1j y1 C a2j y2 C C amj ym D cj Nhận xét Quan sát cặp toán đối ngẫu ta có nhận xét: Trong cặp toán đối ngẫu trên, hệ số ràng buộc thứ i toán gốc trở thành hệ số biến yi toán đối ngẫu Ngược lại, hệ số xj tốn gốc hệ số dịng j tốn đối ngẫu Hệ số hàm mục tiêu toán gốc trở thành hệ số vế phải ràng buộc ngược lại Ví dụ 3.3 Viết tốn đối ngẫu toán gốc sau cho biết cặp ràng buộc đối ngẫu z D 2x1 C x2 8x3 ! max Với ràng buộc < 7x1 C 4x2 C 2x3 28 3x1 x2 C 3x3 D 10 : 2x1 C 3x2 x3 15 x1 0; x2 Giải Bài toán gốc, đối ngẫu: Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu Trang 71 Chương Lý thuyết đối ngẫu z D 2x1 C x2 8x3 ! max 7x1 C 4x2 C 2x3 28 3x1 x2 C 3x3 D 10 2x1 C 3x2 x3 15 x1 x2 x3 R z D 28y1 C 10y2 C 15y3 ! y1 y2 R y3 7y1 C 3y2 C 2y3 4y1 y2 C 3y3 2y1 C 3y2 y3 D Ví dụ 3.4 Viết tốn đối ngẫu toán gốc sau cho biết cặp ràng buộc đối ngẫu z D 2x1 C 3x2 ! max Với ràng buộc < 3x1 C 2x2 x1 C 2x2 : 4x1 C x2 x1 0; x2 Giải Bài toán gốc, đối ngẫu: Bài toán gốc z D 2x1 C 3x2 ! max 3x1 C 2x2 x1 C 2x2 4x1 C x2 x1 x2 Bài toán đối ngẫu z D 2y1 C 5y2 C y3 ! y1 y2 y3 3y1 y2 C 4y3 2y1 C 2y2 C y3 3.1.2 Đối ngẫu toán Bài toán gốc (1) z D c1 x1 C C cn xn ! ai1 x1 C ai2 x2 C C n xn bi ai1 x1 C ai2 x2 C C n xn bi ai1 x1 C ai2 x2 C C n xn D bi xj xj xj R Bài toán đối ngẫu (2) z D b1 y1 C C bm ym ! max yi yi yi R a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj a1j y1 C a2j y2 C C amj ym cj a1j y1 C a2j y2 C C amj ym D cj 3.1 Định nghĩa toán đối ngẫu Trang 72 Hai toán quy hoạch tuyến tính gọi cặp tốn đối ngẫu Bài toán gọi toán gốc, toán gọi toán đối ngẫu Một ràng buộc điều kiện biến dịng gọi cặp ràng buộc đối ngẫu Ví dụ 3.5 Viết toán đối ngẫu toán gốc sau cho biết cặp ràng buộc đối ngẫu z D 4x1 C 3x2 7x3 C x4 x5 ! Với ràng buộc 12x1 C 5x2 ˆ ˆ < x1 x3 4x4 2x1 C x2 C x3 2x4 ˆ ˆ : 3x1 C 4x2 5x3 C x4 3x5 5x5 D 17 x1 ; x3 0I x2 RI x4 ; x5 Giải Bài toán gốc, đối ngẫu: Bài toán gốc z D 4x1 C 3x2 7x3 C x4 x5 ! 12x1 C 5x2 3x5 x1 x3 4x4 5x5 2x1 C x2 C x3 2x4 3x1 C 4x2 5x3 C x4 D 17 x1 x2 R x3 x4 x5 Bài toán đối ngẫu z D 5y1 y2 C y3 C 17y4 ! y1 y2 y3 y4 R 12y1 C y2 C 2y3 C 3y4 5y1 C y3 C 4y4 D y2 C y3 5y4 4y2 2y3 C y4 y1 5y2 Các cặp ràng buộc dòng gọi cặp ràng buộc đối ngẫu Ví dụ 3.6 Viết tốn đối ngẫu toán gốc sau giải toán Trang 73 Chương Lý thuyết đối ngẫu đối ngẫu phương pháp đơn hình z D 10x1 C 8x2 C 19x3 ! Với ràng buộc < x1 C x2 C x3 3x1 C 2x3 : x1 C 2x2 C 5x3 x1 ; x2 ; x3 Giải Bài toán gốc, toán đối ngẫu: Bài toán gốc z D 10x1 C 8x2 C 19x3 ! x1 C x2 C x3 3x1 C 2x3 x1 C 2x2 C 5x3 x1 x2 x3 Bài toán đối ngẫu z D 6y1 C 2y2 C 5y3 ! max y1 y2 y3 y1 C 3y2 C y3 10 y1 C 2y2 C 2y3 y1 C 2y2 C 5y3 19 Chuyển toán đối ngẫu sang dạng tắc z D 6y1 C 2y2 C 5y3 ! max Với ràng buộc D 10 < y1 C 3y2 C y3 C y4 y1 C 2y2 C 2y3 C y5 D : y1 C 2y2 C 5y3 C y6 D 19 yi 0; i D 1; : : : ; Bảng đơn hình: B cB bB A4 A5 A6 0 10 19 A4 A1 A6 max 11 AB 1 -6 0 AB 2 2 -2 10 AB 5 -5 -1 AB 0 0 AB 0 0 -1 -1 AB 0 0 Trang 123 Chương A Đề thi mẫu hai cần máy cán, máy tiện máy mài Để sản xuất đơn vị sản phẩm thứ ba cần máy cán, máy tiện máy mài Giá bán đơn vị sản phẩm thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương ứng 140, 130, 180 triệu đồng Hỏi xí nghiệp nên sản xuất đơn vị sản phẩm loại để doanh thu nhiều Câu (2,5 điểm) Giải toán vận tải cân thu phát có cấm với số liệu cho bảng sau: bj 65 120 60 110 14 110 80 A.3 55 Đề thi học kỳ II năm 2011-2012 Câu (2 điểm) Một đoàn lữ hành cần thuê lạc đà bứu hai bứu để chở hàng hóa từ A đến B Mỗi lạc đà bứu chở 300 kg hàng hóa, lạc đà hai bứu chở 500 kg hàng hóa Trong chuyến đi, lạc đà: Một bứu dùng bó cỏ kho lít nước Hai bứu dùng bó cỏ khơ 10 lít nước Lượng cỏ khơ nước dự trữ 30 bó 100 lít Mỗi lạc đà bứu thuê với giá đơn vị tiền tệ, lạc đà hai bứu thuê với giá đơn vị tiền tệ, Nếu đồn lữ hành chở 4000 kg hàng hóa từ A đến B cần thuê lạc đà bứu hai bứu để số tiền thuê Hãy lập mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính Câu (5 điểm) Cho tốn quy hoạch tuyến tính mà ta gọi toán (P) z D 14x1 C 12x2 C 14x3 ! Với ràng buộc < x1 C x2 C 3x3 30 3x1 C 2x2 C x3 25 : x1 C 3x2 C 2x3 35 xj 0; j D 1; : : : ; A.4 Đề học kì III năm 2011-2012 Trang 124 a Viết toán đối ngẫu (Q) toán (P) b Giải toán đối ngẫu (Q), sau suy phương án tối ưu (nếu có) tốn (P) Câu (3 điểm) Giải tốn vận tải (min hàm mục tiêu cước phí) không cân thu phát, với số liệu cho bảng sau: bj 135 125 100 14 120 12 A.4 150 130 9 Đề học kì III năm 2011-2012 Câu (3 điểm) Giải toán vận tải (min hàm mục tiêu) cân thu phát với số liệu bảng sau bj 100 80 12 200 100 13 15 100 40 Câu (4 điểm) Một công ty sản xuất hai loại thực phẩm A, B Nguyên liệu để sản xuất gồm: bột, đường dầu thực vật với trữ lượng tương ứng là: 30 tấn, 12 tấn, Để sản xuất tấn: Thực phẩm loại A cần: 0,5 bột, 0,5 đường 0,2 dầu thực vật Thực phẩm loại B cần: 0,8 bột, 0,4 đường 0,4 dầu thực vật Giá bán thực phẩm A 4500 USD, giá bán thực phẩm B 4000USD Hỏi cần sản xuất loại thực phẩm tiền để có doanh thu lớn nhất? Trang 125 Chương A Đề thi mẫu Câu (3 điểm) Cho toán quy hoạch tuyến tính z D x1 C 2x2 C 3x3 C C nxn ! Với ràng buộc ˆ x1 ˆ ˆ ˆ ˆ < x1 C x2 x1 C x2 C x3 ˆ :: :: :: ˆ ˆ : : : ˆ ˆ : x C x C x C C x n xj 0; :: :: : : n j D 1; : : : ; n a Phát biểu toán đối ngẫu toán b Hãy giải hai toán suy phương án tối ưu tốn cịn lại Phụ lục B Bài giải đề mẫu B.1 Bài giải học kì III năm học 2010-2011 Câu a xT D 0I 4I 2/ có hệ vector liên kết ˇ ˇ ˇ1 :: D1Ô0 B D fA2 :A3 g ) jBj D ˇˇ 3ˇ Vậy x phương án cực biên Hệ ràng buộc tương đương 8x1 C x2 D 5x1 C x3 D Đặt cB D c2 I c3 / D 5I 7/ ta tính 2 D3 D 1 DhcB I A1 i c1 D 5I 7/.8I 5/ 4D1 Do 91 D > nên phương án cực biên thời không phương án tối ưu b Xây dựng phương án tốt B cB bB A2 A3 A1 A3 1/2 9/2 AB -5 1 0 AB 0 1/8 5/8 -1/8 AB 0 Trang 127 Chương B Bài giải đề mẫu Phương án 1=2I 0I 9=3/ phương án tốt Câu Gọi x1 ; x2 ; x3 lượng thực phẩm I, II, III T1-x1 10 D1 D2 D3 Giá T2-x2 12 T3-x3 14 Tối thiểu 20 25 30 a Ta có tốn quy hoạch z D 10x1 C 12x2 C 14x3 ! Với ràng buộc < 4x1 C x2 C 3x3 20 2x1 C 7x2 C x3 25 : x1 C 3x2 C 4x3 30 xj 0; j D 1; : : : ; b Bài toán đối ngẫu z D 20y1 C 25y2 C 30y3 ! max Với ràng buộc < 4y1 C 2y2 C y3 10 y1 C 7y2 C 3y3 12 : 3y1 C y2 C 4y3 14 yi 0; i D 1; : : : ; c Giải phương pháp đơn hình B cB bB A4 A5 A6 max A4 A5 A3 max 0 10 12 14 13/2 3/2 7/2 0 30 AB 20 -20 13/4 -5/4 3/4 5/2 AB 25 -25 7/4 25/4 1/4 -35/2 AB 30 -30 0 AB 0 0 AB 0 0 0 AB 0 -1/4 -3/4 1/4 15/2 B.1 Bài giải học kì III năm học 2010-2011 A4 A2 A3 max A1 A2 A3 max 25 30 20 25 30 152/25 6/25 86/25 76/45 26/45 94/45 18/5 -1/5 4/5 -1 0 0 0 0 0 0 Trang 128 0 5/18 1/18 -2/9 5/18 -7/25 4/25 -1/25 14/5 -7/90 13/90 1/45 49/18 -1/25 -3/25 7/25 27/5 -1/90 -11/90 13/45 97/18 Phương án tối ưu toán đối ngẫu yT D 76=45I 26=45I 94=45/ Ta suy phương án tối ưu toán gốc xT D 5=18I 49=18I 97=18/ Câu a Phương án xây dựng phân phối Vogel s1 =3 s2 =-3 s3 =-5 s4 =-1 sj 25 35 120 50 ri r1 =0 110 110 r2 =-5 80 25 35 1010 10 r3 =-3 40 b Bài toán vận tải sau quy khơng cước phí bj 55 65 120 60 110 110 25 35 10 10 1 80 10 110 12 Do 8cij nên phương án cực biên thời phương án tối ưu Trang 129 Chương B Bài giải đề mẫu B.2 Bài giải học kì I năm học 2011-2012 Câu a Phương án xT D 8=3I 0I 0I 7=3/ có hệ vector liên kết ˇ ˇ ˇ1 4ˇ ˇD 3Ô0 B D fA1 I A4 g ) jBj D ˇˇ 1ˇ Vậy x phương án cực biên Hệ ràng buộc tương đương x1 C 2=3x2 C 10=3x3 D 8=3 1=3x2 1=3x3 C x4 D 7=3 Đặt cB D c1 I c4 / D 5I 34/: Ta tính 1 D4 D 2 DhcB I AB 2i c2 D 5I 34/.2=3I 1=3/ 3 DhcB I AB 3i c3 D 5I 34/.10=3I 1=3/ D 35=2 D 7=3 Do có 2 D 35=3 > nên phương án cực biên thời không phương án tối ưu Xây dựng phương án tốt B cB bB A1 A4 34 8/3 7/3 A2 A4 34 AB 0 3/2 -1/2 -35/2 AB 2/3 1/3 35/3 0 AB 3 10/3 -1/3 7/3 -2 -56 AB 34 0 b Phương án tối ưu xN T D 0I 4I 0I 1/ có hệ vector sở liên kết B D fA2 I A4 g: Đặt :: B c D c2 I c4 / D 3I 34/I B D A2 :A4 / D 1 Phương án tối ưu toán đối ngẫu nghiệm hệ ( 2y1 C y2 D 4y1 C y2 D 34 B.2 Bài giải học kì I năm học 2011-2012 Cán Tiện Mài Lợi nhuận SPI-x1 140 SPII-x2 130 Trang 130 SPIII-x3 3 180 590 340 200 Câu Ta có mơ hình z D 14x1 C 13x2 C 18x3 ! max Với ràng buộc < 2x1 C 5x2 C 8x3 5x1 C 3x2 C 3x3 : x1 C x2 C 3x3 xj 0; (đơn vị 10 triệu) 590 340 200 j D 1; : : : ; Dạng tắc z D 14x1 C 13x2 C 18x3 ! max Với ràng buộc D 590 < 2x1 C 5x2 C 8x3 C x4 5x1 C 3x2 C 3x3 C x5 D 340 : x1 C x2 C 3x3 C x6 D 200 xj 0; j D 1; : : : ; B cB bB A4 A5 A6 0 590 340 200 A4 A5 A3 0 18 170/3 140 200/3 A4 A1 14 80 35 AB 14 -14 -2/3 1/3 -8 AB 13 -13 7/3 1/3 -7 8/3 1/2 AB 18 3 -18 0 0 AB 0 0 AB 0 0 0 1/6 1/4 AB 0 -8/3 -1 1/3 -17/6 -1/4 Trang 131 Chương B Bài giải đề mẫu A3 18 55 A2 A1 A3 max 13 14 18 30 20 50 0 0 1/6 -3 0 0 0 3/8 -3/16 -1/16 9/8 -1/12 1/16 7/32 -3/32 35/16 5/12 -17/16 9/32 19/32 13/16 Mọi j nên phương án tối ưu xT D 20I 30I 50/: Câu Phương án xuất phát xây dụng phân phối Vogel s1 =-6 s2 =-7 s3 =-14 s4 =-6 sj 55 65 120 60 ri r1 =0 110 10 14 40 60 r2 =4 110 55 55 M r3 =10 80 M 80 Bài tốn vận tải sau quy khơng cước phí 65 C 110 10 110 55 55 80 M+4 M+3 bj 55 120 60 0 40 60 C -2 80 Do 9c23 D < nên phương án cực biên thời không phương án tối ưu Ta xây dựng phương án tốt hơn: Lượng điều chỉnh q D f40I 55g D 40 Phương án s1 =-2 s2 =-3 s3 =-8 s4 =-2 ri sj r1 =-4 110 55 65 50 120 14 60 60 r2 =0 110 55 15 40 M r3 =4 80 M 80 Bài tốn vận tải sau quy khơng cước phí chọn: B.3 Bài giải học kì II năm học 2011-2012 55 bj 110 65 50 Trang 132 120 60 60 110 55 15 40 80 M+2 M+1 80 8cij nên phương án cực biên thời phương án tối ưu 50 60 x D @55 15 40 A 0 80 B.3 Bài giải học kì II năm học 2011-2012 Câu Gọi x1 ; x2 số lạc đà một, hai bứu cần thuê: Cỏ khô Nước Chở Tiền thuê Một bứu - x1 300 Hai bứu - x2 10 500 Vậy tìm x1 ; x2 cho z D 3x1 C 5x2 ! Với ràng buộc 3x2 30 < 4x1 C 8x1 C 10x2 100 : 300x1 C 500x2 4000 xj 0; Câu j D 1; Dự trữ 30 100 4000 Trang 133 Chương B Bài giải đề mẫu a Bài toán đối ngẫu z D 30y1 C 25y2 C 35y3 ! max Với ràng buộc < y1 C 3y2 C y3 14 y1 C 2y2 C 3y3 12 : 3y1 C y2 C 2y3 14 yj 0; j D 1; : : : ; b Giải toán đối ngẫu Bài tốn có dạng tắc z D 30y1 C 25y2 C 35y3 ! Với ràng buộc D 14 < y1 C 3y2 C y3 C y4 y1 C 2y2 C 3y3 C y5 D 12 : 3y1 C y2 C 2y3 C y6 D 14 yj 0; j D 1; : : : ; B cB bB A4 A5 A6 0 14 12 14 A4 A3 A6 35 10 A4 A3 A1 35 30 58/7 22/7 18/7 A2 A3 A1 max 25 35 30 58/17 12/17 52/17 AB 30 1 -30 2/3 1/3 7/3 -55/3 0 0 AB 25 -25 7/3 2/3 -1/3 -5/3 17/7 5/7 -1/7 -30/7 0 AB 35 -35 0 0 0 AB 0 0 0 7/17 -5/17 1/17 30/17 AB 0 0 -1/3 1/3 -2/3 35/3 -1/7 3/7 -2/7 45/7 -1/17 8/17 -5/17 105/17 AB 0 0 -2/7 -1/7 3/7 55/7 -2/17 -1/17 7/17 125/17 Mọi j nên phương án yT D 52=17I 58=17I 12=17I 0I 0I 0/ phương B.3 Bài giải học kì II năm học 2011-2012 Trang 134 án tối ưu toán đối ngẫu Phương án tối ưu toán gốc xT D 30=17I 105=15I 125=17/: Câu Tống phát 400, tổng thu 360 nên ta thêm trạm thu giả với lượng 40 bj 135 125 100 40 14 120 12 150 130 9 Phương án cực biên xây dựng theo phương pháp Vogel bj 135 125 120 12 120 150 3135 5 130 40 100 14 10 90 40 Quy khơng cước phí s1 =-3 s2 =-5 s3 =-7 s4 =3 bj 135 125 r1 =-2 120 12 120 r2 =0 150 3135 5 r3 =-3 130 40 100 14 10 90 40 Bài toán sau quy khơng cước phí bj 135 125 120 120 150 0135 130 40 100 0 10 90 40 Mọi cij nên phương án cực biên thời phương án tối ưu Giá trị hàm mục tiêu z D 2150: Trang 135 Chương B Bài giải đề mẫu B.4 Bài giải học kì III năm học 2011-2012 Câu Phương án xuất phát xây dụng phân phối Vogel s1 =-6 s2 =-4 s3 =-7 s4 =-3 sj 100 80 100 40 ri r1 =0 220 6100 12 100 20 15 r2 =0 100 13 80 20 Bài toán vận tải sau quy khơng cước phí bj 100 80 100 40 0 220 0100 100 20 100 80 20 Vậy phương án phương án tối ưu Câu Gọi x1 ; x2 số sản phẩm A, B cần sản xuất Theo đề ta có Bột Đường Dầu Doanh thu Thực phẩm A-x1 0,5 0,5 0,2 4500 Thực phẩm B-x2 0,8 0,4 0,4 4000 30 12 6 Ta có tốn quy hoạch tuyến tính z D 4500x1 C 4000x2 ! max Với ràng buộc < 1=2x1 C 4=5x2 30 1=2x1 C 2=5x2 12 : 1=5x1 C 2=5x2 xj 0; B cB bB A3 30 AB 45 1/2 j D 1; AB 40 4/5 AB AB 0 AB 0 Tài liệu tham khảo A4 A5 max A3 A1 A5 max A3 A1 A2 max 0 45 0 45 40 Trang 136 12 18 24 6/5 16 20 1/2 1/5 -45 0 0 2/5 2/5 -40 2/5 4/5 6/25 -4 0 0 0 0 0 0 -1 -2/5 90 -1/3 10/3 -5/3 250/3 0 -5/3 -10/3 25/6 50/3 Câu Bài toán đối ngẫu z D y1 C 2y2 C 3y3 C C nyn ! max Với ràng buộc ˆ y C y2 C y3 C C yn ˆ ˆ < y2 C y3 C C yn :: :: :: :: :: :: ˆ : : : : : : ˆ ˆ : yn n yi 0; i D 1; : : : ; n Bằng cách thêm ẩn phụ chuyển toán sang dạng tắc Lập bảng đơn hình ta tìm phương án tối ưu yT D y1 I : : : I yn I ynC1 I : : : I y2n / D 0I : : : I 0I 1/ dùng hệ 3.11 suy phương án tối ưu toán gốc xT D nI 0I : : : I 0/ Tài liệu tham khảo [1] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương (2000) Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục [2] Nguyễn Đình Tùng (2010) Quy hoạch tuyến tính [3] Lê Khánh Luận (2006) Quy hoạch tuyến tính NXB Lao động [4] Bùi Phúc Trung (2003) Quy hoạch tuyến tính NXB Lao động Xã hội [5] Bernard Kolman, Robert E Beck (1995) Elementary Linear Programming with Applications Elsevier Science & Technology Books [6] Robert J Vanderbei (2007) Linear Programming, Foundations and Extensions Third Edition Springer Publication [7] George B Dantzig, Mukund N Thapa (1997) Linear Programming, Introduction Springer Publication ... D 2x1 C 3x2 ! max Với ràng buộc < 3x1 C 2x2 x1 C 2x2 : 4x1 C x2 x1 0; x2 Giải Bài toán gốc, đối ngẫu: Bài toán gốc z D 2x1 C 3x2 ! max 3x1 C 2x2 x1 C 2x2 4x1 C x2 x1 x2 Bài. .. bj b1 b2 bj bn a2 c 12 c11 x 12 x11 c 22 c21 x 22 x21 c1j x1j c2j x2j c1n x1n c2n x2n :: : ci2 ci1 xi2 xi1 cij xij ci n xi n :: : am cm1 cm2 xm1 xm2 cmj xmj cmn xmn a1 Trang 95 Chương Bài toán... chỉnh 20 50 20 bj 90 70 40 40 40 50 80 40 C -1 0 20 40 30 C 0 50 20 7 40 bj q D 20 I 50 D 20 30 30 50 90 30 20 Phương án có 70 30 x 12 D x 12 C 20 D 20 ˆ ˆ ˆ 40