Phần 3 quy hoạch tuyến tính

Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Ph n 1: QUY HO CH TUY N TÍNH Ch ng 1: BẨI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH D NG T NG QUÁT C A BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH Tìm x f ( x) ( x1 , x2 , xn ) cho c1 x1 c2 x2 a11 x1 a12 x2 a1n xn [ , , ] b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn [ , , ] b2 am1 x1 xi1 cn xn am x2 0, xi2 max(min) hàm mục tiêu ràng buộc chung hệ ràng buộc amn xn [ , , ] bm 0, , xik ràng buộc dấu Bài toán dạng nh đ ợc gọi toán quy hoạch tuyến tính tổng qt Ví dụ 1: Giải tốn QHTT f ( x) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x2 0, x3 L P MƠ HÌNH BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH Ví dụ 2: (Bài tốn lập kế hoạch sản xuất) Một xí nghiệp sản xuất loại sản ph m theo ph ơng pháp khác nhau, kí hiệu PP1, PP2, PP3 Các loại nguyên liệu để sản xuất, kí hiệu N1, N2, N3 Biết số nguyên liệu để sản xuất có, định mức tiêu hao loại nguyên liệu số l ợng sản ph m sản xuất theo ph ơng pháp cho bảng sau: Nguyên Số l ợng có liệu (đơn vị) PP1 PP2 PP3 N1 250 N2 350 N3 450 10 12 Sản l ợng (đơn vị/giờ) Định mức tiêu hao Hưy lập mơ hình tốn tìm kế hoạch sản xuất cho xí nghiệp sản xuất đ ợc nhiều sản ph m Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 L P MƠ HÌNH BÀI TỐN Các bước Bước Thực Đặt n điều kiện cho n (ràng buộc dấu) Căn vào yêu c u toán, xác định số n, đơn vị tính điều kiện cho n Bước Lập hàm mục tiêu f(x) Căn vào n đư đặt, xác định hàm mục tiêu “yêu c u tối u” Bước Lập ràng buộc chung Căn vào n đư đặt, xác định ràng buộc “yêu c u kỹ thuật” Bước Viết mơ hình tốn Sau phân tích, ta lập mơ hình toán d ới dạng sau: Hàm mục tiêu Các ràng buộc chung Các điều kiện Giải Gọi x1 , x2 , x3 t ơng ứng số sản xuất theo PP1, PP2, PP3; x j 0(j 1, 2, 3) Khi đó, số nguyên liệu đ ợc sử dụng để sản xuất theo ph ơng pháp là: Nguyên liệu N1: x1 x2 x3 Nguyên liệu N2: x1 x2 x3 Nguyên liệu N3: x1 x2 x3 Tổng sản l ợng sản xuất đ ợc theo ph ơng pháp là: 10 x1 12 x2 x3 Khi đó, ta có mơ hình toán nh sau: f ( x) 10 x1 12 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 xj 0,( j max 250 350 450 1, 2, 3) Ví dụ 3: (Bài tốn xác định kh u ph n thức ăn) Để sinh sống ngày đêm, ng ời c n 70g Protit, 30g Lipit 420g Gluxit Hàm l ợng chất có 1g thức ăn A B nh sau: Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Thức ăn Chất dinh d ỡng A B Protit (g) 0,2 0,3 Lipit (g) 0,1 0,2 Gluxit (g) 0,6 0,4 Ngoài ra, biết giá gam thức ăn A B t ơng ứng 40đ 60đ Hưy lập mô hình tốn xác định khối l ợng thức ăn c n mua ngày cho tổng chi phí để mua loại thức ăn thấp Giải Gọi x1 , x2 t ơng ứng số gam thức ăn A, B c n mua ngày x j 0,( j 1, 2) L ợng chất dinh d ỡng có kh u ph n thức ăn c n mua là: Protit: 0, x1 Lipit: 0,1x1 Gluxit: 0, x1 0, x2 0, x2 0, x2 Tổng chi phí cho kh u ph n thức ăn là: 40 x1 60 x2 Khi đó, ta có mơ hình tốn nh sau: f ( x) 40 x1 60 x2 0, x1 0, x2 70 0,1 x1 0, x2 30 0, x1 0, x2 420 x1 0, x2 Ví dụ 4: (Bài tốn phân bổ vốn đ u t ) Một nhà đ u t có tỉ đồng, muốn đ u t vào lĩnh vực: chứng khốn, cơng trái, gửi tiết kiệm bất động sản Biết lưi suất hàng năm lĩnh vực đ u t nh sau: Lĩnh vực đ u t Lãi suất hàng năm (%) Chứng khốn 20 Cơng trái 12 Gửi tiết kiệm 10 Bất động sản 15 Ngoài ra, để giảm thiểu mức rủi ro, nhà đ u t cho khơng nên đ u t vào chứng khốn v ợt 40% tổng vốn đ u t , cịn đ u t vào cơng trái gửi tiết kiệm phải 25% tổng vốn đ u t tiền gửi tiết kiệm phải 100 triệu đồng Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Nếu ng ời muốn đ u t toàn số tiền nên đ u t vào lĩnh vực nh để thu đ ợc lợi nhuận tối đa Giải Ví dụ 5: (Bài tốn cắt nguyên vật liệu) Một xí nghiệp may mặc c n sản xuất 2000 qu n 1000 áo Mỗi vải có cách cắt cho bảng sau: Cách cắt Qu n Áo 90 35 80 55 70 70 60 90 120 100 Hưy tìm ph ơng án cắt cho tổng số vải sử dụng Giải Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 CÁC D NG C A BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH 3.1 D ng t ng qt Tìm x ( x1 , x2 , xn ) cho f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn max(min) a11 x1 a12 x2 a1n xn [ , , ] b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn [ , , ] b2 am1 x1 am x2 D xi1 - Một vecto x 0, xi2 amn xn [ , , ] bm 0, , xik ( x1 , x2 , , xn ) đ ợc gọi ph ơng án (PA) toán x thỏa hệ ràng buộc (D) - Tập hợp tất PA toán gọi tập ph ơng án - Ph ơng án tối u (PATU) Bài toán min: Một ph ơng án làm cho hàm mục tiêu đạt cực tiểu gọi PATU Kí hiệu x * Bài toán max: Một ph ơng án làm cho hàm mục tiêu đạt cực đại gọi PATU Kí hiệu x * - Bài tốn QHTT có PATU đ ợc gọi toán giải đ ợc - Hai toán QHTT gọi t ơng đ ơng chúng có tập PATU - Chuyển tốn max toán min: f ( x) x D max g ( x) x f ( x) D - Một ràng buộc gọi chặt PA x ta thay x vào ràng buộc xảy dấu ( ) Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 - Một ràng buộc gọi lỏng PA x ta thay x vào ràng buộc xảy dấu bất đẳng thức ( , ) Phương án cực biên (phương án bản, PACB) toán QHTT: - Một PA có số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính n (số biến) gọi PACB - Một PACB có số ràng buộc chặt = n (số biến) đ ợc gọi PACB không suy biến n (số biến) đ ợc gọi PACB suy biến - Một PACB có số ràng buộc chặt - Một PA có số ràng buộc chặt độc lập tuyến tính < n (số biến) gọi ph ơng án không cực biên 3.2 D ng tắc Bài tốn QHTT dạng tổng quát đ ợc gọi toán QHTT dạng tắc thỏa điều kiện sau: - Ràng buộc gồm tất ph ơng trình - Các biến x j 0, j 1, 2, , n Mơ hình tốn QHTT dạng tắc: f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn max(min) a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 D x1 amn xn 0, , xn bm Dạng đại số: f ( x) c, x Ax b x với A min(max) a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a m1 am amn b1 ,b b2 bn x1 ,x x2 ,c c1 c2 cn xn Ví dụ 6: Bài tốn sau có dạng tắc f ( x) x1 x2 x3 x4 x1 x2 x4 15 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 xj 0,( j 1, ) Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh với A 15 ,b 1 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Biến đổi tốn QHTT dạng tổng qt dạng tắc: Từ tốn QHTT dạng tổng qt, ta xây dựng tốn QHTT dạng tắc: n Khi gặp ràng buộc dạng aij x j bi ta đ a vào n phụ xn để biến ph ơng trình j n aij x j xn bi j n Khi gặp ràng buộc dạng aij x j bi ta đ a vào n phụ xn để biến ph ơng trình j n aij x j xn bi j Khi gặp n x j 0, ta đổi biến x j Khi gặp n x j tùy ý, ta đổi biến x j x j, với x j, x j, x j,, với x j, 0, x j,, Chú ý: Khi tìm đ ợc PATU tốn dạng tắc ta c n tính giá trị n ban đ u bỏ n phụ, đ ợc PATU toán dạng tổng quát đư cho Ví dụ 7: Biến đổi tốn QHTT sau dạng tắc: a) f ( x ) c) f ( x ) x1 x2 x3 x1 x2 x4 x4 x2 x2 x3 xj 0; j 1, 2, 3, x1 x2 x3 x1 x2 x1 x1 0, x3 x1 x2 x3 x3 x3 x1 x2 x4 3 x1 x2 x3 x1 d) f ( x ) 17 x3 x3 12 10 x2 max x3 x1 x3 x2 x2 b) f ( x ) x1 x1 x1 x1 x1 0, x2 x2 x2 x2 x1 x2 xj 0,( j x3 max x3 x3 x3 1, 2, 3) Giải a) Các n toán khơng âm Ràng buộc thứ bất ph ơng trình dạng Ràng buộc thứ hai bất ph ơng trình dạng nên ta cộng vào vế trái n phụ không âm x5 nên ta trừ vào vế trái n phụ khơng âm x6 Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Khi đó, ta đ ợc tốn dạng tắc: f ( x) x1 x2 x1 x3 x4 x4 x5 x2 x1 x2 x2 x3 xj 0; j x3 x6 x4 1, 2, 3, 4, 5, b) Hệ ràng buộc có bất ph ơng trình, n x2 n x3 có dấu tùy ý nên ta thực phép biến đổi sau: Thêm vào toán n phụ x4 , x5 Đặt x2 x2 ' x3 x3 ' x3 '' với x3 ', x3 '' Khi đó, ta đ ợc tốn dạng tắc: f ( x) x1 x2 ' x3 ' x3 '' x1 x2 ' x3 ' x3 '' x4 x1 x2 ' x3 ' x3 '' x1 x2 ' x3 ' x3 '' x5 x1 , x2 ', x3 ', x3 '', x4 , x5 3.3 D ng chu n Bài tốn QHTT dạng chu n tốn có dạng tắc: Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh f ( x) c1 x1 c2 x2 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am x2 0, amn xn , xn 2015 max(min) cn xn a11 x1 x1 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính bm đó: - Các hệ số tự b1 , b2 , , bm - Trong ma trận hệ số ràng buộc A có đ y đủ m vecto cột đơn vị e1 , e2 , 0 e1 , e2 , em : , , em 0 Khi đó: - Các n ứng với vecto cột đơn vị e1 , e2 , , em đ ợc gọi n (ACB) - Một PA mà n không đ ợc gọi PACB - Một PACB mà n d ơng đ ợc gọi PACB không suy biến - Ng ợc lại, PACB có n đ ợc gọi PACB suy biến Ví dụ 8: Xét tốn ( P ) : f ( x) x1 x1 x2 x5 x2 x2 x3 x2 0,( j xj x4 x5 10 x5 20 x5 1, 5) Bài toán ( P ) đ ợc cho d ới dạng tắc Các hệ số tự b1 12, b2 20, b3 không âm Ma trận hệ số A 0 1 Có chứa đ y đủ vecto cột đơn vị e1 (cột 1), e2 (cột 3), e3 (cột 4) Do đó, tốn có dạng chu n, đó: Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh - n thứ x1 - n thứ x3 - n thứ x4 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Các n x1 , x3 , x4 n (ACB); n x2 , x5 n khơng Trong tốn trên, cho n thứ k x1 10, x2 0, x3 20, x4 5, x5 hệ số tự thứ k , cịn n khơng 0, nghĩa PACB khơng suy biến có đủ thành ph n d ơng Ta gọi PACB ban đ u toán PACB ban đ u x0 (10, 0, 20, 5, 0); f ( x0 ) 20 Ví dụ 9: Xét toán QHTT sau: a) f ( x ) x1 x2 x1 x3 x3 x1 x2 x1 xj x6 x4 b) f ( x ) x5 x1 x1 x3 x3 0, j x4 x6 10 x6 36 1, x2 x2 x2 xj 0, j x3 x3 x4 x6 max x4 x5 12 x4 x5 24 x4 x5 x6 18 1, PH NG PHÁP Đ N HỊNH GI I BÀI TOÁN QHTT D NG CHU N 4.1 Thu t toán đ n hình gi i tốn MIN Cho tốn QHTT dạng chu n Thuật tốn đơn hình gồm b ớc: Bước 1: Lập bảng đơn hình xuất phát - Từ toán dạng chu n, xác định biến sở vecto sở t ơng ứng (các biến biến sở biến tự xác định vecto tự t ơng ứng) Lập bảng đơn hình xuất phát nh sau: Hệ S n C B n Ph ng Án x1 xv xn c1 cv cn Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com i 10 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Ch Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 ng 2: BẨI TỐN Đ I NG U CÁCH THÀNH L P BẨI TOÁN Đ I NG U Cặp toán QHTT đối ngẫu cặp tốn có dạng sau: Quy tắc lặp toán đối ngẫu:     Hàm mục tiêu BT gốc min(max) hàm mục tiêu BT đối ngẫu max( min) Hệ số hàm mục tiêu BT gốc hệ số vế phải ràng buộc chung BT đối ngẫu Hệ số vế phải ràng buộc chung BT gốc hệ số hàm mục tiêu BT đối ngẫu Ma trận hệ số BT gốc lấy chuyển vị thành ma trận hệ số BT đối ngẫu Dấu ràng buộc chung BT gốc quy định dấu ràng buộc biến t ơng ứng BT đối ngẫu Dấu ràng buộc biến BT gốc quy định dấu ràng buộc chung t ơng ứng BT đối ngẫu Cách nhớ: - Bài toán gốc min: ràng buộc chung dấu, ràng buộc biến trái dấu - Bài toán gốc max: ràng buộc chung trái dấu, ràng buộc biến dấu Ví dụ 1: Viết toán đối ngẫu (D) xác định cặp đối ngẫu: Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 32 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh a) f ( x) x1 x2 x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 x1 0, x2 c) f ( x ) x4 b) f ( x ) x1 x2 x1 x2 x1 x1 0, x3 , x4 tùy ý x1 x2 x3 12 x1 x2 x3 x1 x4 x3 x4 x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 0, x4 0, x5 0, x3 x1 x3 x3 x2 x3 0, x3 tùy ý 0, x2 x1 x2 x3 28 x1 x2 x3 10 x1 x2 x3 17 x1 0, x2 x5 2015 max x2 d ) f ( x) x3 x1 x5 x5 x1 x1 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính x3 max 15 0 Giải a) Bài toán đối ngẫu (D): g( y) y1 y2 max y3 y1 y3 y1 y2 y1 y2 y3 y1 y2 y1 0, y2 y3 y3 0, y3 tùy ý Các cặp ràng buộc đối ngẫu: (là cặp ràng buộc có dạng bất đẳng thức) x1 x2 x2 x3 x3 x1 0; y1 x2 0; y1 7; y1 x4 1; y2 x4 y3 y2 0 y3 b) Bài toán đối ngẫu (D): g( y) y1 y2 y3 y1 y2 y3 y1 y1 y1 y3 y2 0, y2 y3 1 0, y3 tùy ý Các cặp ràng buộc đối ngẫu: Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 33 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh x1 x2 x1 x1 0; y1 x2 0; y1 x3 6; y1 x3 4; y2 y2 y3 y3 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 CÁC Đ NH LÍ C B N Đ nh lí 1: Đối với cặp tốn đối ngẫu xảy ba tr ờng hợp sau: - Cả hai toán khơng có ph ơng án Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 34 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 - Cả hai tốn có ph ơng án, lúc hai tốn có ph ơng án tối u giá trị hàm mục tiêu chúng - Một hai tốn khơng có ph ơng án tốn có ph ơng án Bài tốn có ph ơng án có hàm mục tiêu khơng bị chặn, nên hai tốn khơng có ph ơng án tối u Hệ qu 1: Nếu hai toán đối ngẫu có PATU tốn có PATU Hệ qu 2: x*, y * PATU ( P ),( D ) x*, y * PA ( P ),( D ) f ( x*) Đ nh lí (Độ lệch bù y u): x*, y * PATU ( P ),( D ) g ( y*) x*, y * PA ( P ),( D ) thỏa điều kiện “trong cặp đối ngẫu, ràng buộc lỏng ràng buộc chặt” TỊM PH NG ÁN T I U C A BẨI TOÁN Đ I NG U Áp d ng đ nh lí độ lệch bù y u tìm PATU c a bƠi tốn đ i ng u: Giả sử x PATU toán gốc Ta xét cặp ràng buộc đối ngẫu tốn, lập hệ ph ơng trình đ ợc tạo bởi: ràng buộc đối ngẫu cịn lại ràng buộc chặt - Nếu x j - Thay x vào ràng buộc tốn gốc: đ ợc ràng buộc lỏng ràng buộc đối ngẫu t ơng ứng ràng buộc chặt Giải hệ ph ơng trình ta tìm đ ợc PATU y Ví dụ 2: Cho toán QHTT (P) f ( x) 15 x1 x2 10 x3 x2 x3 3 x1 x1 x2 x1 x3 x2 max x3 0, x3 x1 0, x2 a) Viết toán đối ngẫu (D) b) Biết tốn (P) có PATU x ; 0; , tìm PATU tốn (D) 10 Giải a) Bài toán đối ngẫu (D): g( y) y1 y2 y3 y1 y2 y3 15 y1 y2 y3 y1 y2 y3 10 y1 0, y2 0, y3 Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 35 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh ph ơng án tối u (P) Gọi y ; 0; 10 Ta có x b) Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 ( y1 , y2 , y ) ph ơng án tối u toán (D) Theo định lý độ lệch bù yếu, ta có : x1 x1 x2 x2 x1 3( chaët) x3 x2 4( loûng) 2, 2 x3 x2 10 x3 (1) ( chaët) x3 ( lỏng) ( chặt) x1 y2 ( loûng) y1 y2 y3 15 ( 2) y1 y2 y3 10 ( 3) Từ (1), (2) (3), ta có hệ ph ơng trình : y2 y1 y1 y2 y2 y3 y3 15 y1 y2 y3 10 Vậy toán đối ngẫu (D) có ph ơng án tối u y 7; 0; Ví dụ 3: Cho tốn QHTT (P) f ( x) 12 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 10 x1 x2 x3 xj 0, j 12 1, a) Viết toán đối ngẫu (D) b) Biết tốn (P) có PATU x 0; ;1 , tìm PATU tốn (D) Giải Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 36 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Ví dụ 4: Cho tốn QHTT (P) Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 37 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh f ( x) x1 x1 x2 x3 x1 x3 x1 x2 10 x3 0, j xj 2015 max x3 x2 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 19 1, a) Tìm ph ơng án tối u toán (P) Ph ơng án tối u có khơng? b) Viết tốn đối ngẫu (D) Tìm ph ơng án tối u (D) Giải Bài toán (Q) t ơng ứng dạng chu n: a) h( x ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4 x1 x1 xj x3 x2 0, j max 10 x5 x3 x6 19 1, Giải toán (Q) thuật tốn đơn hình: Hệ s ACB bi ACB x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 i x4 10 1 0 x5 8 x6 19 0 19 h(x) -6 -2 -5 0 x1 3/2 1/2 1/2 0 10 x5 -3/2 3/2 -1/2 x6 14 1/2 9/2 -1/2 28/9 h(x) 30 -2 0 x1 2/3 -1/3 - x3 -1 -1/3 2/3 - x6 5 -3 - h(x) 34 7/3 4/3 Do j 0, j đạt đ ợc hmax 1, 6, ph ơng án tối u toán (Q) x ( 4; 0; 2; 0; 0; 5), giá trị hàm mục tiêu 34 Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 38 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính Vậy tốn gốc (P) có ph ơng án tối u x f max 2015 ( 4; 0; 2), giá trị hàm mục tiêu đạt đ ợc 34 Dựa vào bảng đơn hình cuối cùng, ta thấy x j n Vì ph ơng án tối j u tìm đ ợc Bài toán đối ngẫu (D) b) g( y) 10 y1 y2 19 y3 y1 y2 y3 y1 y1 yj y3 y3 y2 0, j 1, ( 4; 0; 2) ph ơng án tối u (P) Gọi y Ta có x ( y1 , y2 , y ) ph ơng án tối u toán (D) Theo định lý độ lệch bù yếu, ta có : x1 x2 x1 x3 x3 10 19 ( loûng) x1 x2 x3 x1 ( loûng) x2 ( chaët) y1 x3 ( loûng) y1 14 y2 y2 y3 (1) y3 (2) y3 ( 3) Từ (1), (2) (3), ta có hệ ph ơng trình : y1 y3 y1 y1 y2 y2 y3 y3 y2 y3 Vậy tốn đối ngẫu (D) có ph ơng án tối u y ; ;0 3 Ví dụ 5: Cho tốn QHTT (P) Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 39 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh f ( x) x1 x1 x2 x4 x1 x3 x4 x1 x3 x4 0, j 2015 max x4 x3 xj x2 x3 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 50 16 23 1, a) Tìm ph ơng án tối u toán (P) Ph ơng án tối u có khơng? b) Viết tốn đối ngẫu (D) Tìm ph ơng án tối u (D) có Giải Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 40 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Ví dụ 6: Cho tốn QHTT (P) Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 41 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh f ( x) x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 xj 0, j Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 x3 x3 4 x3 x3 1, a) Viết toán đối ngẫu (D) Tìm PATU tốn (D) b) Tìm PATU toán (P) Giải Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 42 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 43 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 2015 BÀI T P Bài 2.1 Lập toán đối ngẫu: a) f ( x) x1 b) g( y) y1 y2 y1 y2 x3 x1 x2 x3 y1 y2 x1 x2 x3 y1 y2 0, x2 g( y) x1 x2 x2 max x3 x2 x3 x1 x2 x3 0, x3 x1 y2 x3 x1 x2 f ( x) x2 x1 e) x3 x1 x1 c) x2 x2 d) f ( x) 0, y3 y1 y3 y3 y3 1 y1 y2 y3 y1 y2 y3 y1 x4 f) g( y) 0, y2 y1 y2 0, y3 y3 max x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 0, x2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x1 x1 x2 y1 y1 x2 0; x2 max x3 x3 0, x3 y3 x3 y2 x3 x2 y1 x1 2 y2 g( y) max y3 x1 x1 g) y2 y3 1 h) f ( x) y1 y2 y2 0, y3 y2 y3 y3 1 y3 y4 y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3 y4 y1 y2 y3 y4 0, y2 y1 Bài 2.2 Cho tốn QHTT (P): Ơn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 44 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh f ( x) x1 x2 x1 x3 x2 x4 x4 x2 x5 0; j 32 x5 30 x5 36 x2 xj 2015 x5 x4 x3 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 1, a) Tìm ph ơng án tối u tốn (P) Ph ơng án tối u có khơng? b) Viết tốn đối ngẫu (D) Tìm ph ơng án tối u (D) có Bài 2.3 Cho toán QHTT (P): f ( x) x1 x2 x1 x3 x2 x4 x3 x2 x3 x4 60 x5 0; j max 52 x2 xj x5 36 1, a) Tìm ph ơng án tối u tốn (P) Ph ơng án tối u có khơng? b) Viết tốn đối ngẫu (D) Tìm ph ơng án tối u (D) có Bài 2.4 Cho toán QHTT (P): f ( x) x1 max x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 20 x1 x2 x3 x4 18 x1 x2 x3 x4 40 xi 0(j 1, 2, 3, 4) a) Tìm ph ơng án tối u toán (P) Ph ơng án tối u có khơng? b) Viết tốn đối ngẫu (D) Tìm ph ơng án tối u (D) có Bài 2.5 Giải tốn QHTT sau: f ( x) 12 x1 27 x2 x1 x2 x3 12 x1 x2 x3 6 x1 x2 x3 xj 0, j x3 24 1, Bài 2.6 Giải toán QHTT sau: Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 45 Đại Học Ngân Hàng Tp Hồ Chí Minh f ( x) 24 x2 x1 x2 x3 12 x1 x2 x3 15 x3 x1 xj 12 x3 x2 0, j 2015 28 x1 x1 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 1, Bài 2.7 Cho toán QHTT (P): f ( x) x1 x2 x3 x1 x2 x4 x5 x1 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x5 x2 , x3 , x4 x4 x5 12 20 a) Lập toán đối ngẫu (D) (P) ( 4; 2; 0; 5; 0) có phải ph ơng án tối u (P) b) Sử dụng định lí độ lệch bù yếu kiểm tra xem x* không? Bài 2.8 (ĐHNH 2007) Cho toán QHTT (P) f ( x) x1 x1 x3 x1 x1 x2 x4 x2 x2 x1 , x2 , x4 x3 x4 x3 x4 x3 x4 a) Viết toán đối ngẫu (P) b) Phân tích tính chất (PA, PACB, PATU) vectơ x0 (3, 0, 2, 0) toán (P) đư cho Xác định tập ph ơng án tối u toán đối ngẫu (P) Bài 2.9 Cho toán QHTT (P) f ( x) x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x3 x4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 x4 x5 x4 x5 x4 x5 x5 a) Viết toán đối ngẫu (P) b) Chứng minh x0 (2; 0; 0; 8; 6) PATU toán (P) Xác định tập ph ơng án tối u toán (P) Ôn thi cao học – Th.S Nguyễn Phương – 0988.660.985 – nguyenphuongblog.wordpress.com 46 ... j x1 x4 28 x1 x2 x3 x3 x4 31 x1 x2 x3 x3 x4 16 x1 x2 x3 xj 1, x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 xj Phần 1: Quy hoạch tuyến tính 0, j f) f ( x) 12 0, j x1 x2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 xj 1, Bài 1.17 Hãy... x2 x3 x4 x1 x2 x3 x4 0, x4 0, x5 0, x3 x1 x3 x3 x2 x3 0, x3 tùy ý 0, x2 x1 x2 x3 28 x1 x2 x3 10 x1 x2 x3 17 x1 0, x2 x5 2015 max x2 d ) f ( x) x3 x1 x5 x5 x1 x1 Phần 1: Quy hoạch tuyến tính x3... y2 0, y3 y3 max x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 0, x2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x1 x1 x2 y1 y1 x2 0; x2 max x3 x3 0, x3 y3 x3 y2 x3 x2 y1 x1 2 y2 g( y) max y3 x1 x1 g) y2 y3 1 h)