Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VI TIẾN DŨNG THUẬT TỐN NĨN XOAY GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN TỔNG QT Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS : NGUYỄN ANH TUẤN THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Bài toán tối ưu tổng quát số mơ hình tốn thực tế 1.1 Bài toán tối ưu tổng quát 1.2 Một số mơ hình thực tế 1.2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 1.2.2 Bài toán vận tải 1.2.3 Bài toán túi 1.3 Tập lồi đa diện 1.4 Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt số phương pháp giải 1.4.1 Bài toán quy hoạnh tuyến tính tổng quát 1.4.2 Dạng chuẩn tắc dạng tắc 1.4.3 Đưa toán QHTT dạng chuẩn tắc Một số phương pháp giải toán QHTT 11 1.5.1 Phương pháp đơn hình [6] 11 1.5.2 Phương pháp đơn hình cải biên [6] 14 1.5.3 Phương pháp Karmarkar ( Điểm trong) [6] 16 1.5 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng qt phương pháp nón xoay 18 2.1 Một số khái niệm liên quan đến hàm số tuyến tính [1] 18 2.2 Khái niệm miền ràng buộc tuyến tính không bị chặn, phương vô hạn chấp nhận hướng tăng, giảm hàm gần lồi-gần lõm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 20 ii 2.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát 22 2.4 Khái niệm nón tuyến tính, cạnh nón nón 23 2.4.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính 23 2.4.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình 23 2.4.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M 28 2.4.4 Định nghĩa nón 30 Phương pháp nón xoay tuyến tính 34 2.5.1 Thuật tốn nón xoay tuyến tính 35 2.5.2 Bảng lặp giải tốn qui hoạch tuyến tính thuật tốn 2.5 nón xoay tuyến tính ví dụ minh hoạ 37 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn thuật tốn nón xoay MTBC 3.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn 44 3.1.1 Xây dựng nón ban đầu 3.1.2 Thuật tốn nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn 3.2 44 45 45 Bảng lặp nón xoay giải tốn qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn thuật tốn MTBC ví dụ minh hoạ 47 3.3 Thuật toán nón xoay MTBC giải ví dụ KLEE – MINTY 57 3.4 Vài nét độ phức tạp tính tốn thuật tốn MTBC kết luận 61 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sỹ Nguyễn Anh Tuấn người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể q thầy giáo giảng dạy Trường Đại Học Khoa Học Viện Toán Học Việt Nam dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập trường Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới bạn đồng môn giúp đỡ, cổ vũ, động viên suốt trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ gian khó, vất vả ngày đêm tạo điều kiện tốt để có thành ngày hôm Thái Nguyên, ngày 25 tháng 05 năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Chúng ta biết quy hoạch tuyến tính tốn quan trọng lý thuyết tối ưu hóa Những thập kỷ qua, với phát triển mạnh mẽ công nghệ thơng tin, quy hoạch tốn học có bước tiến lớn phải nói đến phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính gắn liền với tên tuổi nhà toán học L.V Kantorovich (1939), George Dantzig (1947), Lemke (1954), Leonid Khachian (1979), Karmarkar (1984), Bài tốn quy hoạch tuyến tính có hai dạng dạng chuẩn dạng tắc, hai dạng có quan hệ mật thiết với Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tốn có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính, cịn tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc tốn quy hoạch có miền ràng buộc hệ phương trình tuyến tính với biến có dấu khơng âm Chúng ta biết, qua phép biến đổi dễ dàng đưa toán từ dạng chuẩn dạng tắc, làm cho số chiều toán tăng lên đáng kể số ràng buộc bất phương trình tuyến tính tốn dạng chuẩn lớn, phải thêm vào nhiều biến bù (để đưa ràng buộc bất phương trình phương trình) Chính lý nên luận văn trình bày phương pháp nón xoay tuyến tính giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn thuật tốn nón xoay tuyến tính giải cho lớp tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn gọi thuật tốn nón xoay MTBC, với sở xuất phát ban đầu nhận biết dễ dàng trường hợp tổng quát xuất phát từ gốc toạ độ đỉnh nón arctan dương hay từ véc tơ đơn vị Hơn nữa, dù miền ràng buộc toán bị thoái hố khơng ảnh hưởng đến tính hữu hạn bước lặp phương pháp nón xoay Các thuật tốn nón xoay biến thể từ phương pháp nón-min giải toán quy hoạch gần lồi-gần lõm đề xuất Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sách “Quy hoạch gần lồi-gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính”([2]) Luận văn gồm chương: • Chương trình bày tốn quy hoạch tổng quát, khái niệm tập lồi số mơ hình thực tế đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với số phương pháp giải toán quy hoạch tuyến tính quen thuộc thơng dụng • Chương trình bày khái niệm liên quan đến hàm số tuyến tính, từ làm sở lý thuyết cho việc xây dựng phương pháp nón xoay tuyến tính giải trục tiếp tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn biết nón-min hàm mục tiêu tốn • Chương (dựa phương pháp nón xoay đề nghị chương 2) trình bày việc xây dựng thuật tốn nón xoay MTBC giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn ví dụ số minh hoạ cho thuật tốn, có thí dụ KLEE-MINTY với số chiều toán cho lời giải sau bước lặp • Luận văn hồn thành dựa sách “Quy hoạch gần lồi - gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” ([2]) “Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” [1] sách, tài liệu có phần tài liệu tham khảo Thái Nguyên, ngày 25 tháng 05 năm 2013 Tác giả Vi Tiến Dũng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán tối ưu tổng qt số mơ hình tốn thực tế 1.1 Bài toán tối ưu tổng quát Bài toán tối ưu tổng quát phát biểu sau: Cực tiểu hóa (cực đại hóa) hàm: f (x) → min(max) (1.1) gi (x)(≤, =, ≥)bi , i = 1, , m (1.2) x ∈ X ⊂ Rn (1.3) với điều kiện : Bài toán (1.1) - (1.3) gọi toán quy hoạch, hàm f (x) gọi hàm mục tiêu, hàm gi (x), i = 1, , m gọi hàm ràng buộc, đẳng thức bất đẳng thức hệ (1.2) gọi ràng buộc Tập hợp D = {x ∈ X|gi (x)(≤, =, ≥)bi , i = 1, , m} (1.4) Một phương án x∗ ∈ D đạt cực tiểu (hay cực đại) hàm mục tiêu, cụ thể là: f (x∗ ) ≤ f (x), ∀x ∈ D {đối với toán min} f (x∗ ) ≥ f (x), ∀x ∈ D {đối với toán max } gọi phương án tối ưu (hay lời giải) tốn.Khi f (x∗ ) gọi giá trị tối ưu toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Một số mơ hình thực tế 1.2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu phát biểu sau : Giả sử xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm sử dụng m loại nguyên liệu khác Ta đưa vào kí hiệu sau: xj lượng sản phẩm loại j(j = 1, , n) mà xí nghiệp sản xuất cj tiền lãi (hay giá bán) đơn vị sản phẩm j(j = 1, , n) aij suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất đơn vị sản phẩm loại j bi lượng dự trữ tài nguyên loại i(i = 1, , n) Trong điều kiện cho, xác định giá trị xj , j = 1, , n cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) lớn với số tài nguyên có Mơ hình tốn học có dạng tốn quy hoạch tuyến tính sau: n X cj xj → max j=1 với điều kiện n X aij xj ≤ bi , i = 1, , m j=1 1.2.2 Bài toán vận tải Có m kho hàng chứa loại hàng hóa (đánh số i = 1, , m), lượng hàng hóa kho i , i = 1, , m Gọi kho i điểm phát i Có n địa điểm tiêu thụ loại hàng (đánh số j = 1, , n với nhu cầu tiêu thụ điểm j bj , j = 1, , m) Gọi điểm tiêu thụ j điểm thu j Gọi cij cước vận chuyển đơn vị hàng hóa từ điểm phát i đến điểm thu j Hàng chuyển từ điểm phát i đến điểm thu j Hãy lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa từ điểm phát tới điểm thu cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ Ký hiệu xij lượng hàng vận chuyển từ điểm phát i đến điểm thu j Khi ta có mơ hình tốn học: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n m X X cij xij → i=1 j=1 với điều kiện n X xij = , i = 1, , m j=1 m X xij = bj , j = 1, , n i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m; j = 1, , n Ngồi cịn có điều kiện thu phát: m X = i=1 1.2.3 m X bj j=1 Bài toán túi Một người du lịch muốn đem theo túi nặng không b kilogam Có n loại đồ vật mà dự định đem theo Mỗi đồ vật loại j có khối lượng aj kilogam giá trị cj Người du lịch muốn chất vào túi đồ vật cho tổng giá trị đồ vật đem theo lớn Ký hiệu xj số đồ vật loại j chất vào túi Ta có tốn sau: n X cj xj → max j=1 n X aj x j ≤ b j=1 xj ≥ 0, j = 1, , n xj nguyên, j = 1, , n Đây tốn quy hoạch ngun Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Tập lồi đa diện Định nghĩa Một tập lồi mà giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện.Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính : < , x >≤ bi , i = 1, , m(ai ∈ Rn , bi ∈ R) (1.5) Nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A ma trận cấp m ∗ n b ∈ Rm Vì phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập lồi đa diện tập nghiệm hệ phương trình bất phương trình tuyến tính < , x >= bi , i = 1, 2, p < , x >≤ bi , i = p + 1, , m Hạng hệ bất phương tuyến tính (1.5) định nghĩa hạng ma trận A Nếu hạng hệ m ta nói hệ độc lập tuyến tính Một tập lồi đa diện khơng bị chặn ( không giới nội ) Một tập lồi đa diện mà đồng thời nón lồi ( tương ứng với trường hợp b = 0) gọi nón lồi đa diện.Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thơng thường R2 ví dụ cụ thể đa diện lồi Mỗi điểm cực biên tập lồi đa diện gọi l mt nh ca nú ă Mi cnh vụ hạn tập lồi đa diện tương Tập đỉnh C ký hiệu C ứng với phương cực biên Cho tập lồi đa diện D 6= Ø xác định hệ bất phương trình tuyến tính (1.5) Khi bất phương trình (1.5) gọi ràng buộc D Ta nói điểm xo ∈ D thoả mãn chặt ràng buộc i∗ : ∗ < , x0 >= bi Với x ∈ D Ký hiệu I(x) = {i :< , x >= bi } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 An+i = C i (i = 1, , N ); bn+i = di (i = 1, , n); An+N +1 = −C(i = 1, , N ); bn+N +1 = M ∗ ; Dễ thấy hạng hệ véc tơ Ai (i = 1, 2, , m = n + N + 1) n (vì có hệ hệ véc tơ đơn vị Ai = −E i (i = 1, , n) độc lập tuyến tính).Như tốn (E+ ) tốn (E) bổ sung thêm ràng buộc (3.1) Bây xây dựng nón – bau đầu tốn (E+ ) 3.1.1 Xây dựng nón ban đầu Gọi Jc− := {j ∈ {1, 2, , n} : cj < 0} Jc+ := {j ∈ {1, 2, , n} : cj ≥ 0},nếu : n nón-min Jc− = ∅ tức cj ≥ 0, ∀j = 1, 2, , n có nón R+ tốn tốn (E+ ) đỉnh D0 = E = (0, 0, , 0), với véc tơ phương zRi +n = E i , i = 1, 2, , n Jc− 6= ∅.Gọi s số thuộc Jc− gọi Ms nón đơn hình xác định hệ ràng buộc sau: Ms := {x ∈ R : − < C, x > +M ∗ ≤ 0, xj ≥ 0, ∀j = 1, 2, , n; j 6= s} ∗ Đỉnh xMs = (0, , 0, Mcs , 0, , 0) (là điểm mà toạ độ thứ s nhận giá trị M∗ cs toạ độ lại nhận giá trị 0) Từ hệ (2.4) dễ dàng xác định n+M +1 véc tơ phương cạnh nón Ms là: zM = (0, , 0, c1s , 0, , 0) s (là điểm mà toạ độ thứ s nhận giá trị cs toạ độ lại nhận j j véc tơ = (0, , 0, 1, 0, , 0, − ccsj , 0, , 0, ∀j = 1, 2, , n; j 6= s; zM giá trị 0),zM s s mà toạ độ thứ j nhận giá trị toạ độ thứ s nhận giá trị − ccsj toạ độ khác nhận giá trị Dựa vào hệ 2.1 ta dễ dàng thấy j < c, zM >≥ 0, ∀j = 1, 2, , n suy nón Ms nón-min tốn (E+ ) Vậy s xây dựng xong nón-min ban đầu tốn (E+ ) nón Ms 3.1.2 Thuật tốn nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn Thuật tốn nón xoay MTBC Bước chuẩn bị (bước 0) Gọi Jc− := {j ∈ {1, 2, , n} : cj < 0} Jc+ := {j ∈ {1, 2, , n} : cj ≥ 0}, : n Jc− = ∅ tức cj ≥ 0, ∀j = 1, 2, , n có nón M0 := R+ nón-min tốn tốn (E+ ) đỉnh D0 = E = (0, 0, , 0), với véc Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 tơ phương z0i = zRi +n = E i , i = 1, 2, , n Jc− 6= ∅.Chọn M = Ms , Ms nón-min toán (E+ ) xây dựng phần tập số sở I0 = {j : j = 1, 2, , n, n + N + 1, j 6= s} đỉnh ∗ xMs = (0, , 0, Mcs , 0, , 0) (là điểm mà tọa độ thứ s nhận giá trị M∗ cs toạ độ lại nhận giá trị 0), véc tơ phương cạnh j n+N +1 M0 z0n+N +1 = zM = (0, , 0, c1s , 0, , 0) z0j = zM = (0, , 0, − ccsj , 0, , 0), ∀j = s s 1, 2, , n; j 6= s; z0j véc tơ mà toạ độ thứ j nhận giá trị 1, toạ độ thứ s nhận giá trị − ccsj , toạ độ khác nhận giá trị 0) Bước k (k = 0,1,2 ) Giả sử Mk nón-min tốn (E+ ) (đã xây dựng ) với tập số sở, đỉnh véc tơ phương cạnh nón i Mk tương ứng Ik = {ik1 , ik2 , , ikn }; xk = xMk zki = zM k Xác định tập J + (xk ) theo (2.9) : J + (xk ) = {j ∈ {1, 2, , m} :< aj , xk > +bj > 0} a) Nếu J + (xk ) = ∅ dừng lại xk lời giải toán (E+ ) b) Nếu J + (xk ) =6 ∅ ta chọn số đưa vào sở sau: chọn cách, sk số tuỳ ý thuộc J + (xk ) sk = min{j : j ∈ J ∗ (xk )} (quy tắc min) sk = max{j : j ∈ J ∗ (xk )} (quy tắc max ) xác định : I Sk := {i ∈ Ik :< ASk , zki >6= 0}; Sk I+ := {i ∈ Ik :< ASk , zki >< 0} = {iksk , iksk , , iksk qk }, ∀i ∈ I Sk b.1) Nếu I+Sk = ∅ dừng lại, suy tốn (E+ ) khơng có phương án b.2) Nếu I+Sk 6= ∅ : Gọi V sk := {v ∈ I+sk : − < C, zkv > < C, zkv > = {− } chọn số đưa khỏi < Ask , zkv > i∈I+sk < Ask , zkv > sở số tùy ý thuộc V sk rk = min{v : v ∈ V sk } (gọi quy tắc min) rk = max{v : v ∈ V sk } (gọi quy tắc max ) Và ta xây dựng Mk+1 = Mk (rk , sk ) , Ik+1 = Ik (rk , sk ) = (Ik ∪ {sk })\{rk } véctơ i phương zk+1 (sử dụng (2.21)) i zk+1 =  i zk     (zki −    − < Ask , zki > rk z ) < Ask , zkrk > k < Ask , zkrk > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i ∈ Ik0 i ∈ Iksk , i 6= rk i = rk http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.2) 47 xk+1 = xMk (rk sk ) = xk − X < Ask , xk > +bsk i rk = bi zk+1 z k s k r < A , zk k > (3.3) i∈Ik+1 quay trở lại bước k với k ← k + Sự hữu hạn bước lặp thuật toán suy từ định lý 2.10 3.2 Bảng lặp nón xoay giải tốn qui hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn thuật tốn MTBC ví dụ minh hoạ Để dễ tính tốn giải tốn (E) dạng tốn (E+ ) thuật tốn nón xoay MTBC, bước lặp k ta thiết lập bảng lặp nón xoay thu gọn tương tự bảng lặp nón xoay thu gọn A chương gồm bảng ma trận ràng buộc đổi sơ sở Sau số ví dụ số minh hoạ Ví dụ 3.1 Cho biết tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau [14]:  x1 − 2x2 →     −3x1 + x2 − ≤    −x1 − x2 − ≤ −x1 − 2x2 + ≤   x1 + 3x2 − 36 ≤    x + x2 − 20 ≤   xj ≥ 0, j = 1, Chúng ta đưa toán dạng toán dạng chuẩn tương đương sau:  x1 − 2x2 →    −x1 ≤      −x2 ≤         −3x1 + x2 − ≤ −x1 + x2 − ≤ −x1 − 2x2 + ≤ x1 + 3x2 − 36 ≤ x1 + x2 − 20 ≤ Dễ dàng thấy toán có hàm mục tiêu bị chặn suy từ ràng buộc toán sau: từ ràng buộc toán x1 + x2 − 20 ≤ suy x1 ≤ 20 x2 ≤ 20 , dễ dàng có: f (x) = x1 − 2x2 ≥ −2x2 ≥ −40 ⇒ f (x) ≥ −40 Vậy hàm mục tiêu toán bị chặn dưới, ta giải thuật tốn nón xoay MTBC với ràng buộc bổ sung vào tốn là: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 x1 − 2x2 ≥ −40 ⇔ −x1 + 2x2 − 40 ≤ Vậy toán ban đầu tương đương với toán dạng (E+ ) sau:                      x1 − 2x2 → −x1 ≤ −x2 ≤ −3x1 + x2 − ≤ −x1 + x2 − ≤ −x1 − 2x2 + ≤ x1 + 3x2 − 36 ≤ x1 + x2 − 20 ≤ −x1 + 2x2 − 40 ≤ Theo thuật toán nón xoay MTBC theo cách xây dựng nón – ban đầu ta nhận nón – tốn bước chuẩn bị có tập số sở {1, 8}, đỉnh x0 = (0, 20) tính tốn có lời giải tốn cho bảng lặp nón xoay thu gọn sau: Đưa số liệu vào bảng lặp nón xoay tương ứng tiến hành tính tốn với quy tắc chọn số đưa vào sở quy tắc max , kết sau: Chỉ số sở (8) Bước (1) Bước Bước bj 0 -3 -5 -36 -20 -40 -40 x0 -36 x1 -5 -36 x2 -2 < Aj , x0 > +bi < Aj , x1 > +bi < Aj , x2 > +bi -1 0 -21/4 -1 -20 -12 -41/4 -3 17 -34/4 -1 15 (7) -1 -2 -38 -22 -95/4 (24) 0 1 -8 -18/4 -1 -16 -99/4 1/2 5/2 -1/2 [-3/2] (2/3) 20 -1/3 [-4/3] (5/4) -1/3 -1/3 12 3/4 -1/4 -1/4 -1/4 21/4 41/4 Vậy ta nhận phương án tối ưu toán xopt = (21/4, 41/4) sau bước lặp Rõ ràng lời giải tìm theo thuật tốn MTBC ngắn gọn phương pháp co tiệm cận ngồi trình bày [14], cịn tốn giải phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 pháp đơn hình số chiều tăng lên số bước lặp số phép tính tốn bước lặp nhiều Ví dụ 3.2 Giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau [11]:  −x1 − 4x2 + 3x3 →    2x   + x2 + 3x3 − ≤      −4x1 + 3x2 + 2x3 + ≤ x1 + x2 − x3 − ≤ −x1 − x2 + x3 + ≤ xj ≥ 0, j = 1, 2, Dễ dàng thấy toán có hàm mục tiêu bị chặn suy từ ràng buộc toán sau: từ ràng buộc thứ toán 2x1 +x2 +3x3 −7 ≤ suy ra: ≤ x1 ≤ 7/2 ≤ x2 ≤ ≤ x3 ≤ 7/3 từ dễ dàng suy ra: f (x) = −x1 − 4x2 + 3x3 ≥ −x1 − 4x2 ≥ −35 Vậy hàm mục tiêu toán bị chặn dưới, ta giải thuật tốn nón xoay MTBC với ràng buộc bổ sung vào toán là: x1 + 4x2 − 3x3 − 35 ≤ Vậy toán ban đầu tương đương với toán dạng (E+ ) sau:                      −x1 − 4x2 + 3x3 → −x1 ≤ −x2 ≤ −x3 ≤ 2x1 + x2 + 3x3 − ≤ −4x1 + 3x2 + 2x3 + ≤ x1 + x2 − x3 − ≤ −x1 − x2 + x3 + ≤ x1 + 4x2 − 3x3 − 35 ≤ Theo thuật tốn nón xoay MTBC theo cách xây dựng nón – ban đầu ta nhận nón – tốn bước chuẩn bị có tập số sở Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 chọn {2, 3, 8}, đỉnh x0 = (35, 0, 0) tính tốn có lời giải tốn cho bảng lặp nón xoay thu gọn sau: Đưa số liệu vào bảng lặp nón xoay tương ứng tiến hành tính tốn với quy tắc chọn số đưa vào sở quy tắc chọn số max, kết sau: Chỉ số sở bj -1 -1 0 -0 -7 -4 -2 -1 -35 (2) -4 3 -35 -1 Bước x0 35 -2 -4/3 1/3 (8) -35 1/3 Bước x1 -9 -2 -3/7 (3) 5/7 1/7 Bước x 15/7 -2 5/2 1/2 Bước x 5/2 -4 Aj (x0 ) Aj (x1 ) Aj (x2 ) Aj (x3 ) 0 -35 -15/7 -5/2 -1 0 -11 (1/7) 0 -1 0 -1/2 63 -14 -20/7 -1/2 -131 (78) 0 -1 (33) 0 -1 -33 0 -3 0 -234/7 -34 [-3] (0) 0 -1 0 1/3 19/3 2/3 8/3 -1/3 [-7/3] (3/7) 11 -4/7 4/7 2/7 [-2/7] (4) -1/7 1/7 -1/7 0 7/2 1/2 1/2 Vậy ta nhận phương án tối ưu toán xopt = (5/2, 0, 1/2) sau bước lặp, cịn tốn giải phương pháp đơn hình số chiều phải tăng lên số bước lặp số phép tính tốn bước lặp nhiều Ví dụ 3.3 Giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau [11]:  −3x1 + 8x2 + 2x3 →    −x1 + 5x2 − 3x3 ≥ 10 −x1 − x2 + 2x3 ≥ −3    −x1 + 4x3 ≥ −2 xj ≥ 0, j = 1, 2, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Dễ dàng thấy tốn có hàm mục tiêu bị chặn suy từ ràng buộc toán sau: từ ràng buộc thứ toán −2x1 − 2x2 + 4x3 ≥ −6 từ ràng buộc thứ toán dễ dàng suy ra: −3x1 + 3x2 + x3 ≥ ⇔ f (x) = −3x1 + 8x2 + 2x3 ≥ −3x1 + 3x2 + x3 ≥ ≥ −6 Vậy hàm mục tiêu tốn bị chặn dưới, ta giải thuật tốn nón xoay MTBC với ràng buộc bổ sung vào toán : −3x1 + 8x2 + 2x3 ≥ −6 Vậy toán ban đầu tương đương với toán dạng (E+ ) sau:  −3x1 + 8x2 + 2x3 →    −x ≤0      −x2 ≤         −x3 ≤ x1 − 5x2 + 3x3 + 10 ≤ x1 + x2 − 2x3 − ≤ x1 − 4x3 − ≤ 3x1 − 8x2 − 2x3 − ≤ Theo thuật tốn nón xoay MTBC theo cách xây dựng nón – ban đầu ta nhận nón – tốn bước chuẩn bị có tập số sở {2, 3, 7}, đỉnh x0 = (2, 0, 0)các tính tốn có lời giải tốn cho bảng lặp nón xoay thu gọn sau: Đưa số liệu vào bảng lặp nón xoay tương ứng tiến hành tính tốn với quy tắc chọn số đưa vào sở quy tắc max , kết sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Chỉ số sở 7 Bước (7) Bước Bước -3 -1 0 -1 0 10 -5 -3 1 -2 -6 -8 8/3 2/3 -6 -1/3 x0 10 8/7 3/7 34/7 11/7 -6 -5/7 -1/7 x1 110/7 36/7 10 -1/6 1/6 7/6 5/6 -3 -5/6 -1/6 x2 5/6 13/6 bj < Aj , x0 > +bi < Aj , x1 > +bi < Aj , x2 > +bi -2 -110/7 5/6 0 - 36/7 -13/6 -1 0 (12) 0 -2 -1 (125/7) -4 96/7 -7/6 -2 0 -125/6 [-7/3] (0) 11/3 -1/3 0 11/7 31/7 [-6/7] (7/6) 0 0 Vậy ta nhận phương án tối ưu toán xopt = (5/6, 13/6, 0) sau bước lặp, tốn giải phương pháp đơn hình số chiều tăng lên số bước lặp số phép tính tốn bước lặp nhiều Ví dụ 3.4 Giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn sau [6]:                                    −20x1 − 30x2 → −x1 ≤ −x2 ≤ −3x1 + x2 − ≤ −x1 + x2 − ≤ −x1 + 2x3 − ≤ x2 − ≤ x1 + 2x2 − 18 ≤ x1 − ≤ x1 − x2 − ≤ x1 − 2x2 − ≤ x1 − 3x2 − ≤ x1 + x2 − 40/3 ≤ Ví dụ giải phương pháp điểm KARMARKAR(xem [6]) sau đưa tốn dạng tắc có số chiều tốn tăng lên 12 với điểm ban đầu tìm x0 (1, 1, 3, 3, 7, 5, 15, 10.2, 8, 6, 5, 5) từ điểm di Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 chuyển theo hướng giảm hàm mục tiêu để đến điểm đứng cách khơng q khoảng định trước, bước lặp lặp lại giá trị hàm mục tiêu gần với giá trị tối ưu dừng Từ bỏ 10 biến bù ta tìm lời giải toán ban đầu xo pt(26/3, 14/3) Nếu ta giải ví dụ phương pháp đơn hình tốn phải đưa dạng tắc thêm vào 10 biến bù sau:                                −20x1 − 30x2 → −3x1 + x2 + x3 = −x1 + x2 + x4 = −x1 + 2x2 + x5 = x2 + x6 = x1 + 2x2 + x7 = 18 x1 + x8 = x1 − x2 + x9 = x1 − 2x2 + x10 = x1 − 3x2 + x11 = x1 + x2 + x12 = 40/3 xj ≥ 0, j = 1, 2, , 12 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 xj cj x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 0 0 0 0 0 -30 0 0 0 0 -30 -20 0 0 0 0 -30 -20 0 0 0 0 Bước x2 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 Bước x2 x1 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 Bước x2 x1 x3 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 Bước P/ án 18 40/3 16 6 37/3 1 9 11 14 25/3 2 12 16 19/3 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 -20 -30 0 -3 [1] 0 -1 1 -1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -2 0 -3 0 1 0 20 30 0 -3 1 0 [2] -1 -2 -1 0 -2 0 0 0 -2 0 -5 0 -8 0 -1 0 110 -30 0 -1/2 3/2 -1/2 1/2 0 [1/2] -5/2 0 1/2 -3/2 0 3/2 -7/2 0 1/2 -1/2 0 0 0 -1/2 5/2 0 -1 0 -2 0 25 -55 0 -1 1 0 -2 0 -5 0 [1] -1 0 -3 0 -1 0 0 0 0 -1 0 -2 0 70 -50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 -30 -20 12 17 10/3 Bước x2 -30 x1 -20 x3 13 x4 x5 x8 x9 x10 10 x11 15 x12 4/3 Bước x2 -30 14/3 x1 -20 26/3 x3 67/3 x4 x5 22/3 x8 1/3 x9 x10 14/3 x11 25/3 x6 4/3 Bước x2 x1 x3 x4 x7 x8 x9 x10 x11 x12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -3 -1 [1] 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4 -2 -1 0 -3 -70 -2 -7 -3 -4 -1 -1 -1 -1 [1] -1 10 -20 0 -4 -2 -3 -1 -30 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 Vậy xopt =(26/3, 14/3, 67/3, 7, 22/3 4/3, 0, 1/3, 2, 14/3, 25/3, 0).Suy lời giải toán ban đầu xopt = (26/3; 14/3).Bây ta giải lại ví dụ thuật tốn nón xoay MTBC, dễ dàng thấy tốn có hàm mục tiêu bị chặn suy từ ràng buộc toán sau: từ ràng buộc toán x1 + x2 − 40/3 ≤ suy ≤ x1 ≤ 40/3 ≤ x2 ≤ 40/3 Từ dễ dàng :f (x) = 20x1 − 30x2 ≥ −900 Vậy hàm mục tiêu toán bị chặn dưới, ta giải thuật tốn nón xoay MTBC với ràng buộc bổ sung vào toán là: 2x1 + 3x2 − 90 ≤ theo thuật tốn, nón – ban đầu tốn có tập số sở {2,13}, có bảng nón xoay lặp thu gọn sau với quy tắc chọn số đưa vào Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 sở max : Chỉ số sở bj -20 -30 Aj (x0 ) Aj (x1 ) Aj (x2 ) -1 -45 50 -26/3 0 -1 -190/3 -14/3 -1 -3 -136 637/3 -67/3 -3 -1 -48 331/3 -7 -8 -1 -53 506/3 -22/3 -6 -6 127/3 -4/3 -18 27 (176/3) -9 -1 36 -59 -1/3 -6 -1 39 -358/3 -2 10 -4 -2 41 -542/3 -14/3 11 -3 -3 42 -729/3 -25/3 12 -40/3 1 (95/3) 0 13 -90 0 -167/3 (2) -3/2 [-1/2] (0) 13 -90 -1/2 -1/2 20 Bước x 45 12 -40/3 -3 (13) -90 -1 [-1] (10) Bước x -50 190/3 12 -40/3 -2 -18 -1 Bước x2 26/3 14/3 Lời giải toán nhận sau bước lặp xopt = (26/3, 14/3) Qua nhiều ví dụ minh hoạ trên, thấy giải toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu bị chặn thuật tốn nón xoay MTBC số bước lặp đến lời giải tốn nói chung số bước lặp giải thuật tốn đơn hình đối ngẫu tương ứng Và rõ ràng bảng lặp rút gọn ma trận ràng buộc A véc tơ cột B cần khai báo lần sở liệu đầu vào bước lặp đầu tiên, bước lặp sau ngun giá trị Cịn giải tốn phương pháp đơn hình đối ngẫu tất phần tử ma trận ràng buộc A véc tơ cột B phải tính lại sau bước lặp (vì cột véc tơ sở bị thay đổi vị trí bảng sau bước lặp biết) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 3.3 Thuật tốn nón xoay MTBC giải ví dụ KLEE – MINTY Xét tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Rn sau:  n P   G(X) = 10n−j xj → max    j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n  i−1 P i−j    10 xj + xi ≤ 100i−1 , i = 1, 2, , n 2 j=1 Chúng Ta đưa tốn dạng tốn tìm sau:  n P   F (X) = −G(X) = − 10n−j xj →    j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n  i−1 P i−j    10 xj + xi ≤ 100i−1 , i = 1, 2, , n  j=1 Chúng ta biết ví dụ giải thuật tốn đơn hình cổ điển sau 2n − bước lặp đến nghiệm tối ưu toán Sau giải toán trường hợp cụ thể với n=3:  G(X) = 100.x1 + 10.x2 + x3 → max    xj ≥ 0, j = 1, 2, x1 ≤ 1,    20.x1 + x2 ≤ 100 200.x1 + 20.x2 + x3 ≤ 10000 Để giải tốn thuật tốn đơn hình, đưa dạng tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc R6 sau:  F (X) = −G(X) = −100.x1 − 10.x2 − x3 →    x1 + x4 = 1, 20.x1 + x2 + x5 = 100    200.x1 + 20.x2 + x3 + x6 = 10000 xj ≥ 0, j = 1, 2, , Ở phải thêm vào biến bù x4 , x5 , x6 dễ dàng thấy chúng biến sở ban đầu để tiến hành tính tốn, kết cho bảng sau qua bước lặp: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 cj Aj P/án -100 -10 A1 0 A4 A5 A6 Bc0 -100 A1 A5 A6 Bc1 -100 A1 -10 A2 A6 Bc2 -10 A4 A2 A6 Bc3 -10 -1 A4 A2 A3 Bc4 -100 A1 -10 A2 -1 A3 Bc5 -100 A1 A5 -1 A3 Bc6 0 -1 Bc7 A4 A5 A3 A2 100 10000 -1 0 A3 A4 A5 A6 0 0 -20 -10 -20 -10 -20 10 [1] -20 10 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 [1] 0 20 0 200 20 100 10 1 0 80 [1] -20 9800 20 -200 10 -100 1 0 [1] 80 -20 8200 0 200 0 100 1 0 100 20 0 8000 -200 [1] -100 1 [1] 0 100 20 0 8000 -200 100 0 1 0 80 -20 8200 0 200 0 0 1 0 80 -20 9800 20 -200 -10 200 1 0 100 20 0 10000 200 20 -200 -20 0 Vậy sau bước lặp ta nhận nghiệm tối ưu là: xopt =(0, 0, 10 000, 1, 100, 0) Suy phương án tối ưu toán ban đầu xopt =(0, 0, 10 000) Bây ta giải tốn theo thuật tốn nón xoay MTBC, trước hết dễ thấy từ ràng buộc cuối tốn, ta có x3 ≤ 1002 ⇒ 2.102 x1 + 2.10x2 + 2x3 ≤ 2.1002 ⇔ 102 x1 + 10x2 + x3 ≤ 1002 ⇔ −102 x1 − 10x2 − x3 ≥ −1002 ⇔ f (x) ≥ −1002 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Suy hàm mục tiêu bị chặn dưới, giải toán theo thuật tốn nón xoay MTBC, trước hết bổ sung ràng buộc : 102 x1 + 10x2 + x3 − 1002 ≥ Vậy toán ban đầu tương đương với toán dạng (E+) sau:  G(X) = −100.x1 − 10.x2 − x3 →      −xj ≤ 0, j = 1, 2, (G)      x1 ≤ 1, 20.x1 + x2 ≤ 100 200.x1 + 20.x2 + x3 ≤ 1002 100.x1 + 10.x2 + x3 − 1002 ≤ Miền ràng buộc tốn với nón – xuất phát ban đầu có tập số sở {2, 3, 7} xác định hệ bất phương trình tuyến tính:  xj ≥ 0, j = 2, 100.x1 + 10.x2 + x3 − 1002 ≤ đỉnh nón – x0 (100, 0, 0).Chúng ta có bảng lặp nón xoay thu gọn với quy tắc chọn số đưa vào sở số max sau: Chỉ số Cs (3) Bước Bước bj −102 -1 0 0 -1 -100 2.102 -1002 2.102 -1002 102 -1/10 -1/102 -100 -1/102 x0 102 -1/10 -1002 -1/102 -1002 1/102 x1 -10 -1 Aj (x0 ) Aj (x1 ) 0 -10 -1 0 0 -1 -1002 0 10 − -1 2.10 − 100 -100 2.10 (2.104 − 1002 ) 10 0 0 [-1] (0) 0 -2 1/2 0 0 -2 1002 Vậy sau bước lặp nhận lời giải tối ưu toán Trong trường hợp với n bất kỳ, giải tương tự Trước hết ta thêm vào ràng buộc bổ sung toán, dễ thấy từ ràng buộc cuối ta có: xn ≤ 100n−1 ⇒ 2.10n−1 x1 + 2.10n−2 x2 + + 2xn ≤ 2.100n−1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn