Phương pháp điểm trong để giải bài toán quy hoạch tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ NHƢ QUỲNH PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ NHƢ QUỲNH PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:TS PHẠM QUÝ MƢỜI Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi dƣới hƣớng dẫn thầy giáo TS Phạm Quý Mƣời Các kết luận văn trung thực chƣa đƣợc cơng bố cơng trình Đà Nẵng, tháng 11 năm 2015 Tác giả Phan Thị Nhƣ Quỳnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục luận văn CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.2 TÍNH CHẤT 1.3 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 1.4 PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 11 1.5 ĐỘ PHỨC TẠP CỦA THUẬT TOÁN 13 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP ELLIPSOID VÀ PHƢƠNG PHÁP ELLIPSOID CẢI TIẾN 16 2.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 16 2.2 PHƢƠNG PHÁP ELLIPSOID 17 2.2.1 Ý tƣởng phƣơng pháp Ellipsoid 23 2.2.2 Giải thuật Ellipsoid hôi tụ 24 2.2.3 Giải thuật Ellipsoid cải tiến hội tụ 27 2.3 ỨNG DỤNG VÀO BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 29 2.4 CHƢƠNG TRÌNH MATLAB 34 2.4.1.Chƣơng trình Matlab cho Giải thuật 2.2.2 35 2.4.2 Chƣơng trình Matlab cho Ví dụ 2.3.1 35 2.4.3 Chƣơng trình Matlab cho Ví dụ 2.3.2 36 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG 38 3.1 ĐƢỜNG TÂM 38 3.1.1 Bài toán chắn đƣờng tâm 38 3.1.2 Điều kiện tối ƣu Kuhn – Tucker cho toán chắn 40 3.2 THUẬT TOÁN THEO ĐƢỜNG TÂM GỐC 47 3.2.1 Giải thuật điểm hội tụ 47 3.2.2 Phƣơng pháp chọn điểm khởi đầu 53 3.3 NGHIỆM SỐ 56 3.4 CHƢƠNG TRÌNH MATLAB 57 3.4.1 Chƣơng trình Matlab cho giải thuật Ellipsoid cải tiến 58 3.4.2 Chƣơng trình Matlab cho Giải thuật 3.3.2 59 3.4.3 Chƣơng trình Matlab cho Ví dụ 3.3.1 60 3.4.4 Chƣơng trình Matlab cho Ví dụ 3.3.2 60 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R Tập số thực Rn Không gian Euclid n chiều xD x thuộc tập D  Tập rỗng C\D Hiệu tập C tập D CD Hợp tập C tập D CD Giao tập C tập D CD Tập C tập tập D x, y Tích vô hƣớng x y x Chuẩn Euclid x x Trị tuyệt đối x f ( x) Vectơ gradient hàm f điểm x AT Ma trận chuyển vị ma trận A A1 Ma trận nghịch đảo ma trận A In Ma trận đơn vị cấp n rank ( A) Hạng ma trận A det( A) Định thức ma trận A x Với x x Tồn x DANH MỤC BẢNG Số hiệu Tên bảng Trang 2.1 Giải thuật 2.2.2 với x0  (0,0) r  10 cho Ví dụ 2.3.1 31 tốn tìm phƣơng án chấp nhận đƣợc 2.2 Giải thuật 2.2.2 với x0  (0,0) r  10 cho Ví dụ đối 32 với tốn tìm phƣơng án tối ƣu chấp nhận đƣợc 2.3 Giải thuật 2.2.2 với x0  (1,, 1) r  cho Ví dụ 33 2.3.2 tốn tìm phƣơng án chấp nhận đƣợc 2.4 Giải thuật 2.2.2 với x0  (0,,0) r  10 cho Ví dụ 34 2.3.2 tốn tìm phƣơng án tối ƣu chấp nhận đƣợc 3.1 Giải thuật 3.2.1 cho Ví dụ 3.3.1 56 3.2 Giải thuật 3.2.1 cho Ví dụ 3.3.2 57 DANH MỤC HÌNH Số hiệu Tên bảng Trang 2.1 Minh họa ellipsoid E '0 đƣợc sinh từ E ' 19 2.2 Xây dựng ellipsoid tích giảm dần 24 3.1 Đƣờng trung tâm tâm giải tích miền ràng buộc 40 đối ngẫu MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Quy hoạch tuyến tính mơn học có tính ứng dụng thực tiễn cao Khi mơ hình hóa nhiều toán thực tế lĩnh vực khác nhƣ kinh tế, tài chính, cơng nghiệp kỹ thuật,… dẫn đến toán quy hoạch tuyến tính Hơn chƣơng trình tốn cấp đại học cấp trung học phổ thơng, tốn quy hoạch tuyến tính xuất đƣợc giảng dạy nhƣ môn học bắt buộc Để giải tốn quy hoạch tuyến tính, hầu hết giáo trình tài liệu tham khảo nƣớc trình bày thuật tốn đơn hình tính đơn giản, dễ ứng dụng thuật toán Trong năm gần đây, thuật toán điểm đƣợc nghiên cứu phát triển, đánh dấu bƣớc ngoặt lịch sử phát triển quy hoạch tuyến tính tính hiệu thực tế, nhanh thuật tốn đơn hình với tốn cỡ lớn đặc biệt thuật tốn có thời gian đa thức Tuy nhiên tác giả, tài liệu, giáo trình tiếng Việt nghiên cứu đề cập đến phƣơng pháp điểm Là giảng viên giảng dạy môn „Quy hoạch tuyến tính‟ Trƣờng Cao Đẳng Cơng Nghiệp Tuy Hịa, với mong muốn đƣợc tìm hiểu sâu sắc phƣơng pháp giải toán quy hoạch tuyến tính, đặc biệt phƣơng pháp điểm trong, tơi định chọn đề tài : “Phƣơng pháp điểm để giải tốn quy hoạch tuyến tính” cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng pháp điểm để giải tốn quy hoạch tuyến tính, ứng dụng so sánh phƣơng pháp với phƣơng pháp đơn hình Đặc biệt, so sánh phƣơng pháp với phƣơng pháp đơn hình cho số tốn quy hoạch tuyến tính cỡ lớn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Các phƣơng pháp điểm trong, phần mềm Matlab để giải tốn quy hoạch tuyến tính Phƣơng pháp nghiên cứu Với đề tài “Phƣơng pháp điểm để giải tốn quy hoạch tuyến tính” tơi sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu sau: + Thu thập, tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá mô tả + Sử dụng, phát triển ứng dụng phƣơng pháp có lý thuyết tốn quy hoạch tuyến tính cho việc nghiên cứu phƣơng pháp điểm Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm có chƣơng: Chƣơng Kiến thức Chƣơng Phƣơng pháp Ellipsoid phƣơng pháp Ellipsoid cải tiến Chƣơng Phƣơng pháp điểm 49 Định lý 3.2.1 ([8], Định lý hội tụ) Giả sử nghiệm xuất phát x0 , ( y , s ), với x0  0, s  thỏa 0 Nếu tham số    X S0e  e    (3.19)   sau  n   n ( s )T x (1   )  K  log   (1   )      bước lặp, Giải thuật 3.2.1 cho cặp nghiệm chấp nhận gốc x k đối k k k T k ngẫu ( y , s ) với lỗ hổng đối ngẫu thỏa ( s ) x   Chứng minh Chứng minh phƣơng pháp quy nạp rằng, với k , x k ( y k , s k ) lần lƣợt nghiệm gốc đối ngẫu chấp nhận đƣợc với x k  0, s k  k X k Sk e  e   Thật vậy, với k  , điều theo giả thiết Định lý Giả sử với k Ta cần chứng minh cho k + Đầu tiên ta kiểm tra  k 1 Ta có X k Sk e  e   50  k 1 X k Sk e  e     k 1  k X k Sk e  e  X k Sk e  e   1 1 X S e  e k k   e    k  1  1  n     n      1   n  b       n   e     n        n n n    1 Bây ta X k d    , d  xk 1  xk Do d nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính vịng lặp Nhân phía bên trái phƣơng trình thứ hệ với d T kết hợp với phƣơng trình thứ hai, ta đƣợc  k 1d T X k2d  d T ( k 1 X k1e  c) T Do 1 k X d    d X d   X k1e  k 1 c  d    T 2 k T     X k1e  k 1 ( s k  AT y k )  d    T T       X k1e  k 1 s k  d    k 1 X k Sk e  e  X k1d      51   k 1 X k Sk e  e X k1d   X k1d Suy   X k1d  Tiếp theo, ta kiểm tra x k 1 ( y k 1, s k 1 ) nghiệm gốc nghiệm đối ngẫu tƣơng ứng, chấp nhận đƣợc Vì Ad  nên A x k 1  A x k  b 1 Hơn nữa, X k d  nên xk 1  xk  d  X k (e  X k1d )  Vậy x k 1 chấp nhận đƣợc Mặt khác, sau cập nhật nghiệm xấp xỉ AT y k 1  s k 1  c Do đó, theo phƣơng trình đầu cảu hệ phƣơng trình tuyến tính s k 1  c  AT y k 1   k 1 X k1 (e  X k1d )  Vậy ( y k 1, s k 1 ) chấp nhận đƣợc s k 1  Lƣu ý  d x kj 1  x kj 1  kj  xj   k 1  k 1  d j  , s j  k 1  k xj  xj     Do  dj k 1 k 1 k x s   x 1  j j j  k 1  k 1  x kj 1   k 1  d j  k 1  k  xj  xj   dj       k    xj   3.20  52 Đặt D  dig (d1, , dn ) ma trận đƣờng chéo (với đƣờng chéo d1, , dn ) Xác định chuẩn u   i ui Nhận xét u  u Ta đánh giá đẳng thức đầu suy từ  3.20   k 1 X k 1Sk 1e  e  X k2 D 2e  X k2 D 2e  eT X k2 D2e  eT DX k2 De  d T X k2 d  X k1d  Từ chứng minh trên, ta có    k x kj s kj    3.21 n k (1   )  ( s k )T x k  n k (1   ) Do      k      1    e   n   Mặt khác k k    n  Nếu số bƣớc lặp   n ( s )T x0 (1   )     n  n(1   )  K  log log  ,  (1   )            n (1   )  ne k  log  n (1  )   (1   )   ,  3.21 ta có ( s k )T xk   (điều phải chứng minh) 53 3.2.2 Phƣơng pháp chọn điểm khởi đầu Từ Định lí 3.2.1 thấy để Giải thuật 3.2.1 hội tụ điểm xuất phát cho giải thuật ( x0 , y , s ) phải thỏa mãn hai điều kiện: (i) x0  0, s  x0 , ( y , s ) lần lƣợt điểm chấp nhận đƣợc Bài toán  3.4  tốn đối ngẫu (ii)  thỏa mãn điều kiện: 0 X S0e  e    Trong hai điều kiện này, Điều kiện (i) quan trọng nhất, có vai trị định hội tụ Giải thuật 3.2.1 Trong đó, thực tế cho thấy, Giải thuật 3.2.1 hội tụ với dãy { k } hội k   Điều có nghĩa điểm khởi đầu thỏa mãn Điều kiện (i) Giải thuật 3.2.1 hội tụ cho bất 0 kỳ giá trị  tham số   (0,1) Tuy nhiên lựa chọn giá trị    (0,1) ảnh hƣởng đến tốc độ hội tụ giải thuật Điều kiện (ii) với giá trị cụ thể  Định lí 3.2.1 điều kiện đủ để Giải thuật 3.2.1 hội tụ sau K bƣớc lặp Do vai trò quan trọng việc chọn giá trị khởi tạo thỏa mãn Điều kiện (i), trình bày phƣơng pháp để chọn điểm xuất phát ( x0 , y , s ) thỏa mãn Điều kiện (i) Trƣớc hết, ý đến Bài tốn (3.2) Do đó, x0 , ( y , s ) lần lƣợt điểm chấp nhận đƣợc Bài toán (3.1) tốn đối ngẫu  A x0  b  T 0 A y  s  c  x  0, s   54 0 Để thỏa mãn điều kiện x  0, s  xét toán:  A x0  b  T 0 A y  s  c  x   s0     A  A   AT  T  A  In    b      x   b   0  c   y   ,  I n     c  s          In    0 In (3.22) 10 chọn   số dƣơng bé, ví dụ   10 Dễ thấy Bài toán (3.22) trƣờng hợp cụ thể Bài tốn (2.1) nghiệm tìm đƣợc Phƣơng pháp Ellipsoid (Giải thuật 2.2.1, Mục 2.2.2) phƣơng pháp Ellipsoid cải tiến (Giải thuật 2.2.2, Mục 2.2.3) Cuối chọn xem xét cách chọn  Chú ý rằng,  X S0 e  e  0 X S0  I ‖ e‖  max i 1, Do đó, điều kiện đủ cho 0 ,n  xi0 si0  ∣  1∣  n    X S0e  e   55 max i 1, ,n  xi0 si0  ∣  1∣  n   ,    hay (ta giả sử   1)  xi0 si0 n xi0 si0 n   a n b n    ,  ,   , n   n   n   n       với i  1,, n Ở đây, ta ký hiệu a  i 1,,n{xi0 si0 } b  max i 1,,n{xi0 si0} Điều suy  b n a n  ,  n   n     0   Do đó, Điều kiện (ii) thỏa mãn    tồn tại, tức  b n a n   n  n   1  Điều tƣơng đƣơng với ba n    ab Bất đẳng thức thỏa mãn n bé a  b bé (gần 0 không) Việc chọn điểm khởi đầu x s để thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (i) đồng thời b  a bé thƣờng khó Tuy nhiên, nhƣ đề cập trên, Giải thuật 3.2.1 hội tụ với   tham số   (0,1) Vì thế, có 56 thể chọn   b n ,   0.5   0.5 Các ví dụ số phần sau xác nhận n với giá trị tham số Giải thuật 3.2.1 hội tụ nhanh 3.3 NGHIỆM SỐ Trong phần này, trình bày kết nghiệm số áp dụng Giải thuật 3.2.1 với điểm khởi tạo đƣa Mục 3.2.2 Ở chọn   102 10 cho giải thuật Ellipsoid cải tiến, chọn   10 cho Giải thuật 3.2.1   1010 Bài toán (3.22) Các Giải thuật chƣơng trình giải hai ví dụ đƣợc viết ngơn ngữ lập trình Matlab đƣợc trình bày phần Ví dụ 3.3.1: Xét tốn : Tìm ( x , x )R2 x1  3x2 với điều kiện ( x1 , x2 ) thỏa mãn : x1  x2  x1 , x2  Bài tốn có nghiệm tối ƣu (1,0) Áp dụng phƣơng pháp Ellipsoid cải tiến tìm đƣợc điểm khởi đầu cho Giải thuật 3.2.1: x0  (0.500,0.500) , y  1.667, s  (0.333,1.333)   2.030 Giải thuật 3.2.1 cho ví dụ dừng sau vịng lặp Kết đƣợc trình bày Bảng 3.3.1 Chú ý rằng, giá trị đƣợc làm tròn đến ba chữ số thập phân sau dấu phẩy Bảng 3.1 Giải thuật 3.2.1 cho Ví dụ 3.3.1 t xt cT xt (0.500,0.500) 2.500 (1.000,2.092e-12) 2.000 57 n Ví dụ 3.3.2 : Xét tốn : Tìm xRn   xi với điều kiện  xi  i 1 với i  1,, n Phƣơng án tối ƣu chấp nhận đƣợc toán x  (1,,1) Trƣớc hết viết lại toán dƣới dạng (3.1) Đặt xi n   xi , i  1,, n , n tốn cho tƣơng đƣơng với tốn: Tìm xR2 n   xi với điều kiện i 1 xi  xi n  1, i  1,, n xi  0, i  1,,2n Chọn n  15 áp dụng Giải thuật 3.2.1 với điểm khởi đầu nhận đƣợc nhƣ Mục 3.2.2, thu đƣợc kết Bảng 3.3.2 Một lần nữa, thấy với điểm khởi tạo nhận đƣợc từ phƣơng pháp đƣợc đề xuất Mục 3.2.2, Giải thuật 3.2.1 hội tụ sau vòng lặp Bảng 3.2 Giải thuật 3.2.1 cho Ví dụ 3.3.2 t xt cT xt (0.500,…, 0.500) -7.500 (1.000,…,1.000) -15.000 3.4 CHƢƠNG TRÌNH MATLAB Phần chúng tơi đƣa chƣơng trình Matlab Giải thuật Ellipsoid cải tiến, Giải thuật 3.3.1 hai ví dụ trình bày phần trƣớc 58 3.4.1 Chƣơng trình Matlab cho giải thuật Ellipsoid cải tiến function [x0 i Ax0 Amin]=modified_ellipsoid_method(A,b,x0,R,Nmax) % Giải thuật với Chú ý if nargin==3 R=1e2; Nmax=100; end [m n]=size(A); D0=R^2*eye(n,n); m_min=min(A*x0-b); Ax0=[x0]; Amin=[m_min]; for i=0:Nmax check=find(A*x0-b=epsilon nu0=alpha*nu0; tg=1./(x0.^2); tg1=1./x0; BB=[nu0*diag(tg) -A';A zeros(m,m)]; R=nu0*diag(tg1)*e-c; R=[R;zeros(m,1)]; 60 u=BB\R; d=u(1:n); y=u(n+1:end); % Update x0=x0+d; y0=y; s0=c-A'*y; end fmin=c'*x0; Ax0=[Ax0 x0]; Amin=[Amin fmin]; End 3.4.3 Chƣơng trình Matlab cho Ví dụ 3.3.1 clear all %Ví dụ A=[1 1]; b=[1]; c=[2 3]'; %Giai thuat (PP diem trong) epsilon=1e-10; [u0 fmin Au0 Aumin]=interior_point_method(A,b,c,epsilon); 3.4.4 Chƣơng trình Matlab cho Ví dụ 3.3.2 %Ví dụ n=15; X=eye(n); A=[X X]; b=ones(n,1); c=[-ones(n,1);zeros(n,1)]; %Giai thuat (PP diem trong) epsilon=1e-10; [u0 fmin Au0 Aumin]=interior_point_method(A,b,c,epsilon); 61 Rõ ràng, phƣơng pháp điểm có tốc độ hội tụ nhanh với giá trị khởi tạo nhận đƣợc từ phƣơng pháp nêu Vì thế, nói phƣơng pháp chọn điểm khởi đầu chƣơng có tính ứng dụng thực tế cao dùng kết hợp với phƣơng pháp điểm cho tốn quy hoạch tuyến tính có kích thƣớc lớn 62 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày tổng qt tốn quy hoạch tuyến tính phƣơng pháp điểm để giải tốn quy hoạch tuyến tính Cụ thể luận văn trình bày đƣợc vấn đề sau: Thứ nhất, hệ thống đƣợc số kiến thức quy hoạch tuyến tính, phƣơng pháp đơn hình để giải tốn quy hoạch tuyến tính nhận thấy mặt lý thuyết, thuật tốn đơn hình khơng phải thuật toán với thời gian đa thức Thứ hai, sở lý thuyết phƣơng pháp Ellipsoid, đề xuất phƣơng pháp Ellipsoid cải tiến Từ đƣa giải thuật Ellipsoid cải tiến chứng minh đƣợc hội tụ giải thuật Vận dụng đƣợc phƣơng pháp để giải toán tìm phƣơng án chấp nhận đƣợc phƣơng án tối ƣu chấp nhận đƣợc toán quy hoạch tuyến tính Thứ ba, giới thiệu thuật tốn thời gian đa thức thực có hiệu triển khai thực tiễn để giải toán quy hoạch tuyến tính kích thƣớc lớn Ở đây, chúng tơi trình bày đƣợc phƣơng pháp điểm để nhận đƣợc dãy nghiệm số xấp xỉ đƣờng tâm hội tụ đến nghiệm tối ƣu toán quy hoạch tuyến tính tƣơng ứng Điểm bật luận văn đề xuất phƣơng pháp chọn điểm khởi đầu để đảm bảo tính hội tụ giải thuật Thứ tư, ứng dụng đƣợc giải thuật vào toán quy hoạch tuyến tính nhƣ chƣơng trình đƣợc viết mơi trƣờng Matlab Từ đó, giải số ví dụ số cụ thể để minh họa cho tính hiệu thuật tốn đƣợc đề xuất luận văn Hƣớng phát triển đề tài nghiên cứu mở rộng phƣơng pháp điểm khác cho toán quy hoạch toàn phƣơng quy hoạch lồi tổng quát 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nƣơng (1999), Quy hoạch tuyến tính, NXB Giáo dục [2] Phạm Quý Mƣời, Phan Thị Nhƣ Quỳnh (2015), “Một số phương pháp chọn điểm khởi đầu giải thuật điểm cho toán quy hoạch tuyến tính”, Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ ĐH Đà Nẵng (Đã nhận đăng báo) [3] Phạm Quý Mƣời, Phan Thị Nhƣ Quỳnh (2015), “Phương pháp Ellipsoid cải tiến ứng dụng giải tốn quy hoạch tuyến tính”, Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ ĐH Đà Nẵng, số 9(94), trang 104 [4] Nguyễn Ngọc Thắng , Nguyễn Đình Hóa (2004), Quy hoạch tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [5] Lê Trọng Vinh, Trần Minh Tồn (2013), Giáo trình phương pháp tính Matlab, NXB Bách khoa Hà Nội [6] Trần Thiệu Vũ (2004), Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [7] J.J.Strodion (2002), Numerical Methods in Optimization, Namur – Belgium [8] Luenberger, D G., & Ye, Y (2008), Linear and nonlinear programming (Vol 116) Springer Science & Business Media [9] M.S Bazaraa & C Msheety (1990), Nonlinear programming – Theory and Algorithm, John Wiley and Sons, New York ... phƣơng pháp điểm trong, định chọn đề tài : “Phƣơng pháp điểm để giải tốn quy hoạch tuyến tính? ?? cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu phƣơng pháp điểm để giải tốn quy hoạch tuyến tính, ... điểm trong, phần mềm Matlab để giải toán quy hoạch tuyến tính Phƣơng pháp nghiên cứu Với đề tài “Phƣơng pháp điểm để giải toán quy hoạch tuyến tính? ?? tơi sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu sau: + Thu... hai quy hoạch tuyến tính khơng có phương án ii) Cả hai quy hoạch tuyến tính có phương án Khi đó, hai quy hoạch tuyến tính có phương án tối ưu giá trị tối ưu hàm mục tiêu iii) Một quy hoạch có phương