Quy hoạch tuyến tính

Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính CHƯƠNG I BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990152876551000000 I.1 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính I MỞ ĐẦU Trong thực tế sản xuất kinh doanh người ta thường phải giải vấn đề : phương án khả thi, chọn phương án tốt theo mục tiêu Ví dụ cần lập phương án sản xuất kinh doanh cho đạt yêu cầu sau : - Tổng giá trị sản lượng lớn - Tổng chi phí nhỏ - Thời gian thực nhanh - Ơ nhiễm mơi trường - Những yêu cầu (hoặc mục tiêu) nói biểu diễn hàm số, gọi hàm mục tiêu, ta cần tìm phương án cho hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhỏ Những toán gọi chung toán tối ưu Các toán tối ưu thường gặp thực tế toán tối ưu có ràng buộc, tức điều kiện định áp đặt lên biến hàm mục tiêu Các điều kiện ràng buộc thường gặp : - Số lượng chủng loại vật tư bị hạn chế - Nhân công, thiết bị, tiền vốn… bị hạn chế - Số lượng sản phẩm bị hạn chế - Thời gian thực bị hạn chế - … Những điều kiện ràng buộc biểu diễn hàm, phương trình, bất phương trình biến, chúng lập thành hệ điều kiện hệ ràng buộc Như phương pháp mơ hình hố tốn học ta lập mơ hình tốn tối ưu Mơ hình gồm hai phần: - Hàm mục tiêu - Hệ ràng buộc Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.2 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính Quy hoạch tuyến tính nghiên cứu tốn tối ưu mà mơ hình chúng quan hệ biến quan hệ tuyến tính Nếu mối quan hệ khơng tuyến tính tốn tối ưu thuộc lĩnh vực quy hoạch phi tuyến Bài tốn quy hoạch tuyến tính xuất từ lâu đến năm 1939 nhà toán học Nga, Kantorovich đề xuất phương pháp giải tổng quát (ông tặng giải thưởng Nobel kinh tế năm 1975 nhờ cơng trình này) Sau đó, năm 1947, nhà toán học Mỹ Dantzig đưa phương pháp gần với phương pháp Kantorovich, gọi phương pháp đơn hình (simplex method) Phương pháp đơn hình, có độ phức tạp phi đa thức, coi phương pháp vạn phổ biến Năm 1975, nhà toán học Mỹ gốc Ấn Độ Karmakar đưa phương pháp gọi phương pháp Karmakar có độ phức tạp đa thức đánh giá phát minh toán học quan trọng Về lý thuyết phương pháp Karmakar tốt phưong pháp đơn hình, thực tế hai phương pháp hiệu ngang Trong giáo trình nghiên cứu phương pháp đơn hình tính đơn giản dễ sử dụng Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.3 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính II CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ Bài toán lập phương án sản xuất với tài nguyên hạn chế Khái niệm tài nguyên dùng để nguyên vật liệu, thiết bị, nhân công tiền vốn Số lượng tài nguyên bị hạn chế số lượng sẵn có có thời sản xuất Để dễ dàng thấy cách thức lập mơ hình tốn học tốn, ta xét ví dụ sau  Ví dụ Một xí nghiệp cần sản xuất loại sản phẩm I, II, III, IV Để sản xuất loại sản phẩm cần sử dụng loại tài nguyên A, B, C Số lượng hạn chế loại tài nguyên, định mức tiêu hao tài nguyên cho đơn vị sản phẩm tiền lời chúng cho bảng sau: Sản phẩm I II III IV A 12 15 300 B 14 500 C 17 13 12 200 Tài nguyên Hạn chế Lời Các số liệu hiểu sau Cột sản phẩm I: Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại I cần 12 đơn vị tài nguyên loại A, 14 đơn vị tài nguyên loại B 17 đơn vị tài nguyên loại C Mỗi đơn vị sản phẩm loại I cho đơn vị tiền lời Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.4 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính Cột sản phẩm II: Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại II cần đơn vị tài nguyên loại A, đơn vị tài nguyên loại B 13 đơn vị tài nguyên loại C Mỗi đơn vị sản phẩm loại II cho đơn vị tiền lời Cột sản phẩm III: Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại III cần 15 đơn vị tài nguyên loại A, đơn vị tài nguyên loại B đơn vị tài nguyên loại C Mỗi đơn vị sản phẩm loại III cho đơn vị tiền lời Cột sản phẩm IV: Để sản xuất đơn vị sản phẩm loại IV cần đơn vị tài nguyên loại A, đơn vị tài nguyên loại B 12 đơn vị tài nguyên loại C Mỗi đơn vị sản phẩm loại IV cho đơn vị tiền lời Cột cuối cùng: Số lượng hạn chế tài nguyên loại A 300 đơn vị, tài nguyên loại B 500 đơn vị, tài nguyên loại C 200 đơn vị Xác định số liệu để ghi vào bảng công việc nhà kinh tế, chuyên môn, không thuộc phạm vi quy hoạch tuyến tính Nhiệm vụ đặt xây dựng phương án sản xuất, tức số lượng sản phẩm, cho tổng tiền lời lớn đồng thời khơng sử dụng q số tài ngun có Trước tiên cần thiết lập mơ hình toán Gọi x1, x2, x3, x4 số lượng sản phẩm loại I, II, III, IV cần sản xuất Đây số cần tìm Hàm mục tiêu f = 5x1 + 8x2 + 4x3 + 6x4  max (1) Hệ ràng buộc 12x1 + 5x2 + 15x3 + 6x4 ≤ 300 14x1 + 8x2 + 7x3 + 9x4 ≤ 500 (2) 17x1 + 13x2 + 9x3 + 12x4 ≤ 200 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ (3) Điều kiện (3) có số lượng sản phẩm khơng thể âm Nhiệm vụ tốn tìm giá trị (x1, x2, x3, x4) thoả mãn ràng buộc (2) (3) cho hàm mục tiêu f đạt giá trị lớn  Mơ hình tổng qt Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.5 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính Ký hiệu : n số loại sản phẩm (j = 1, …, n) m số loại tài nguyên cần dùng (i = 1, …, m) aij định mức tiêu hao tài nguyên i để sản xuất đơn vị sản phẩm j (i = 1, …, m ; j = 1, …, n) bi số lượng tài nguyên i (i = 1, …, m) cj giá trị đơn vị sản phẩm j (j = 1, …, n) xj số lượng sản phẩm j (j = 1, …, n) Hàm mục tiêu : f = c1 x1 + … + c n xn Bài tốn phát biểu sau : Xác định giá trị x1, …, xn cho hàm mục tiêu f đạt giá trị lớn đồng thời tài nguyên sử dụng không vượt khả Mô hình tốn học tốn : f = c1 x1 + … + cnxn a11 x1 + … + a1n xn  max ≤ b1 ………………… am1 x1 + … + amn xn x1 ≥ 0, … , xn ≥ (1) (2) ≤ bm (3) Bài toán phần thức ăn Giả sử ta biết nhu cầu tối thiểu hàng ngày chất dinh dưỡng (đường, đạm, béo, khoáng, …) cần cho loại đối tượng (trẻ con, người lớn, heo, gà, …) Để cung cấp chất dinh dưỡng có số thức ăn mua thị trường biết tỉ lệ chất dinh dưỡng loại thức ăn giá chúng Vấn đề đặt cần xác định số lượng thức ăn loại phần thức ăn hàng ngày cho vừa đảm bảo cung cấp đủ chất dinh dưỡng đồng thời giá thành rẻ Bài toán phần thức ăn tốn cụ thể mơ hình dùng cho toán khác Thực chất toán xác định hỗn hợp nhiều Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.6 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính thành phần để đạt yêu cầu chất lượng sản phẩm, đồng thời có giá thành rẻ Có thể áp dụng mơ hình cho ngành luyện kim, hoá chất, …  Ví dụ Có ba loại thức ăn I, II, III dùng chăn nuôi Các chất dinh dưỡng chất đạm, chất béo Albumin Mức độ yêu cầu chất dinh dưỡng ngày, hàm lượng chất dinh dưỡng có loại thức ăn giá chúng cho bảng sau Thức ăn I II III Đạm 0,5 10 0,4 20 Béo 0,5 0,7 10 Albumin 0,3 0,8 15 0,8 1,5 Dinh dưỡng Yêu cầu Đơn giá Các số liệu hiểu sau Cột thức ăn I: Một đơn vị thức ăn loại I chứa 0,5 đơn vị chất đạm, đơn vị chât béo 0,3 đơn vị Albumin Mỗi đơn vị thức ăn loại I có giá 0,8 đơn vị tiền tệ Cột thức ăn II: Một đơn vị thức ăn loại I chứa 10 đơn vị chất đạm, 0,5 đơn vị chât béo 0,8 đơn vị Albumin Mỗi đơn vị thức ăn loại I có giá 1,5 đơn vị tiền tệ Cột thức ăn III: Một đơn vị thức ăn loại I chứa 0,4 đơn vị chất đạm, 0,7 đơn vị chât béo đơn vị Albumin Mỗi đơn vị thức ăn loại I có giá đơn vị tiền tệ Cột cuối cùng: Yêu cầu tối thiểu chất đạm 20 đơn vị, chất béo 10 đơn vị Albumin 15 đơn vị Xác định số liệu để ghi vào bảng công việc nhà kinh tế, chuyên môn, không thuộc phạm vi quy hoạch tuyến tính Nhiệm vụ đặt : cần xác định số lượng thức ăn loại cho đảm bảo yêu cầu dinh dưỡng, đồng thời giá thành phần thức ăn rẻ Ta cần thành lập mơ hình tốn này: Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.7 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính Gọi x1, x2, x3 số lượng thức ăn loại I, II, III cần mua Đây số cần tìm Hàm mục tiêu :  f = 0,8x1 + 1,5x2 + 3x3 (1) Hệ ràng buộc 0,5x1 + 10x2 + 0,4x3  20 3x1  10 + 0,5x2 + 0,7x3 (2)  15 0,3x1 + 0,8x2 + 2x3 x1  0, x2  0, x3  (3) Điều kiện (3) có số lượng thức ăn âm Nhiệm vụ tốn tìm giá trị (x1, x2, x3) thỏa mãn ràng buộc (2) (3) cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ  Mơ hình tổng qt Ký hiệu : n số loại thức ăn (j = 1, …, n) m số loại dinh dưỡng cần cho phần (i = 1, …, m) aij hàm lượng chất dinh dưỡng i có đơn vị thức ăn j (i = 1, …, m, j = 1, …, n) bi số đơn vị chất dinh dưỡng i cần cho phần thức ăn (i = 1, …, m) c j đơn giá đơn vị thức ăn j ( j = 1, …, n) x j số lượng thức ăn j cần mua cho phần thức ăn ( j = 1, …, n) Hàm mục tiêu là: f = c1x1 + … + cnxn Bài tốn phát biểu sau: Xác định giá trị x1, … , xn cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ đồng thời đảm bảo yêu cầu dinh dưỡng cho phần thức ăn Mơ hình tốn học tốn là: Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.8 Trần Quốc Chiến f = c1x1 Quy hoạch tuyến tính + … + cnxn  a11x1 + … + a1nxn  b1 …………… am1x1 + … + amn xn  bm    x1  0, …, xn  (1) (2) (3) Bài toán cắt kim loại Bài toán cắt kim loại toán vừa có ý nghĩa thực tế vừa có ý nghĩa lịch sử tốn mơn quy hoạch tuyến tính Kantorovich giải năm 1939 Nếu toán phần thức ăn đại diện cho lớp toán tổng hợp từ nhiều yếu tố khác để tạo thành sản phẩm tốn cắt kim loại đại diện cho lớp toán ngược lại : từ sản phẩm cần phân nhỏ thành phận khác cho hợp lý nhất, tiết kiệm Bài toán cắt kim loại ứng dụng nhiều cắt tôn, sắt cây, kính, gỗ, giấy, vải, …  Ví dụ Giả sử có tơn chiều dài giống 221cm Cần cắt chúng thành loại phôi nhỏ để sản xuất vật phẩm khác Chiều dài loại phôi, số lượng phôi yêu cầu loại cho bảng sau Có nhiều cách ướm phôi lên tôn để cắt cho hợp lý Ta có cách cắt tơn cho bảng sau Chương I Bài toán quy hoạch tuyến tính I.9 Trần Quốc Chiến Số Chiều Các lượng dài loại phôi phôi phôi cần (cm) cắt 57 100 82 200 101 300 131 400 Phế liệu Quy hoạch tuyến tính Phương pháp cắt phơi 3 2 1 1 50 25 8 38 19 33 Các số liệu hiểu sau: Phôi loại chiều dài 57cm yêu cầu 100 cái, phôi loại chiều dài 82cm yêu cầu 200 cái, phôi loại chiều dài 101cm yêu cầu 300 phôi loại chiều dài 131cm yêu cầu 400 Theo cách cắt 1, tôn đươc cắt thành phôi loại hết  57 = 171 cm dư 221 – 171 = 50cm Tương tự cách cắt khác Xác định số liệu để ghi vào bảng công việc nhà kinh tế, chuyên môn, không thuộc phạm vi quy hoạch tuyến tính Nhiệm vụ đặt cần xác định số lượng tôn cắt theo phương pháp cho đảm bảo yêu cầu phôi đồng thời tổng phế liệu nhỏ Ta cần thành lập mô hình tốn Gọi x1, x2, …, x8 số lượng tôn cắt theo cách 1, 2, …, Đây số cần tìm Hàm mục tiêu là: f = 50x1 + 25x2 + 6x3 + 8x4 + 0.x5 + 38x6 + 19x7 + 33x8  (1) Hệ ràng buộc là: Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.10 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính 3x1 + 2x2 + 2x3 + x5 x2 + x4 + 2x5 + x6 x3 + x8 = 100 = 200 + x6 + 2x7 + x4 (2) = 300 + x8 = 400 xj  (j = 1, …, 8) (3) Điều kiện (3) có số lượng tơn khơng thể âm Nhiệm vụ tốn tìm giá trị (x1, x2, …, x8) thoả mãn ràng buộc (2) (3) cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ  Mơ hình tổng qt Ký hiệu : n số phương pháp cắt vật liệu (j = 1, … , n) m số loại phôi (i = 1, … , m) aij số phơi loại i cắt từ vật liệu theo phương pháp j (i = 1, …, m ; j = 1, …, n) bi số lượng phôi loại i cần cắt (i = 1, …, m) cj phế liệu từ vật liệu cắt theo phương pháp j (j = 1, …, n) xj số vật liệu cắt theo phương pháp j (j = 1, …, n) Hàm mục tiêu là: f = c1 x1 + … + c n xn Bài tốn phát biểu sau : Xác định giá trị x1, …, xn cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ đồng thời đảm bảo yêu cầu loại phôi Mô hình tốn học tốn : f = … + c n xn  a11x1 + … + a1nxn = b1 c x1 + ……………… am1x1 + … + amnxn x1  0, …, xn  Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính = bm (1)      (2) (3) I.11 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính III CÁC DẠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt Từ tốn ta biểu diễn tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát sau:  c1 x1 + … + c n xn f = (max) (1) với điều kiện ai1x1 + … + ainxn [  | = |  ] bi (i = 1, …, m) (2) [  |  ] tuỳ ý (j = 1, …, n) xj (3) (kí hiệu [  | = |  ] nghĩa lấy phép toán so sánh ngoặc, [  |  ] nghĩa lấy phép toán so sánh ngoặc) Hàm f gọi hàm mục tiêu toán Phương án toán vectơ x = (x1, …, xn) thoả mãn điều kiện ràng buộc (2) (3) Ký hiệu S tập tất phương án toán Phương án tối ưu toán phương án x* = (x1*, …, xn*) làm cho hàm mục tiêu f đạt giá trị nhỏ toán lớn toán max, tức phương án thoả mãn điều kiện (1) Ký hiệu S* tập tất phương án tối ưu toán Trị tối ưu toán trị f* = c1x1* + … + cnxn* x* = ( x1*, …, xn*) phương án tối ưu Hai tốn quy hoạch tuyến tính gọi tương đương, chúng có tập phương án tập phương án tối ưu  Ví dụ Bài tốn quy hoạch tuyến tính tổng quát f = 3x1 + 2x2 – x3  max 2x1 + 3x2 + x3  x1 + x2 + x3  x1 + 4x2 + x3 = x1  0, x2  (1) (2) (3)  Kỹ thuật biến đổi tương đương (i) Biến đổi toán max toán tương đương Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.12 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính Bài tốn max: f = c1 x1 + … + c n xn  max (1) với điều kiện (2) (3), tương đương với toán sau: g =  f = c1x1  …  cnxn  (1’) với điều kiện (2) (3), trị tối ưu f * = g* Như ta cần phát triển thuật toán giải toán đủ (ii) Biến đổi biến khơng có ràng buộc  biến có ràng buộc  Với biến xj có ràng buộc xj  0, ta thay biến xj’ = xj có ràng buộc tương đương xj’  Với biến xj khơng có ràng buộc dấu ta đặt: xj = xj’  xj” xj’  xj”  Như hệ ràng buộc dấu (3) quy trường hợp xj  0,  j = 1, …, n (iii) Biến đổi tương đương ràng buộc   Trong hệ ràng buộc (2), ràng buộc dạng ai1x1 + … + ainxn  bi tương đương với ràng buộc ai1x1  …  ainxn  bi Như ràng buộc hệ (2) dạng  quy dạng  ngược lại (iv) Biến đổi tương đương ràng buộc bất đẳng thức ràng buộc đẳng thức Trong hệ ràng buộc (2), ràng buộc dạng ai1x1 + … + ainxn  bi tương đương với ràng buộc ai1x1 + … + ainxn  zi = bi zi biến phụ (biến bù) với ràng buộc zi  Những ràng buộc dạng ai1x1 + … + ainxn  bi tương đương với ràng buộc Chương I Bài toán quy hoạch tuyến tính I.13 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính ai1x1 + … + ainxn + zi = bi zi biến phụ (biến bù) với ràng buộc zi  Ngược lại ràng buộc dạng ai1x1 + … + ainxn = bi tương đương với ràng buộc ai1x1 + … + ainxn  bi ai1x1  …  ainxn  bi Như ràng buộc hệ (2) dạng   quy dạng = ngược lại Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn định nghĩa sau: f = + c n xn  ai1x1 + … + ainxn  bi c1x1 + … (1) với điều kiện (i = 1, …., m) (2) xj  (j = 1, …., n) (3) Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn max định nghĩa sau: f = + c n xn  max ai1x1 + … + ainxn  bi c1x1 + … (1) với điều kiện (i = 1, …., m) (2) xj  (j = 1, …., n) (3) Rõ ràng tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trường hợp riêng toán tổng quát Bằng kỹ thuật biến đổi tương đương ta dễ dàng suy ra:  Mệnh đề Mọi toán quy hoạch tuyến tổng qt đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tương đương  Ví dụ Xét tốn quy hoạch tuyến tính (P) f = 3x1 + 2x2 – x3 2x1 + 3x2 + x3  max  x1 + x2 + x3  x1 + 4x2 + x3 (1) (2) = Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.14 Trần Quốc Chiến x1  0, Quy hoạch tuyến tính x2  (3) Ta chuyển toán (P) tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn (P’) tương đương - Biến x2 thay biến x2’ = x2 với điều kiện x2’  - Biến x3 thay biến x3’ x3’’ với điều kiện x3’ ≥ 0, x3” ≥ x3 = x3’  x3’’ - Hàm mục tiêu f chuyển thành g = f = 3x1  2x2 + x3 = 3x1 + 2x2’ + x3’  x3”  (1’) - Ràng buộc thứ chuyển thành 2x1  3x2’ + x3’ – x3”  - Ràng buộc thứ chuyển thành x1 + x2’ – x3’ + x3”  1 - Ràng buộc thứ chuyển thành hai ràng buộc x1 – 4x2’ + x3’  x3’’  x1 + 4x2’ – x3’ + x3”  1 Cuối toán tương đương dạng chuẩn (P’) có dạng : g = 3x1 + 2x2’ + x3’  x3”  2x1  3x2’ + x3’ – x3”  x1 + x2’ – x3’ + x3”  1 x1 – 4x2’ + x3’  x3’’  x1 + 4x2’ – x3’ + x3”  1 (1’) (2’) x1  0, x2’  0, x3’  0, x3”  (3’) Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc (max) định nghĩa sau: f = c1x1 + … + c n xn  (max) (1) với điều kiện ai1x1 + … + ainxn = bi xj  ( j =1, …., n) Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính (i = 1, …., m) (2) (3) I.15 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính Rõ ràng tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc trường hợp riêng toán tổng quát Bằng kỹ thuật biến đổi tương đương ta dễ dàng suy ra:  Mệnh đề Mọi toán quy hoạch tuyến tổng qt đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc tương đương  Ví dụ Xét tốn quy hoạch tuyến tính (P) f = 3x1 + 2x2 – x3 2x1 + 3x2 + x3  max (1)  x1 + x2 + x3  x1 + 4x2 + x3 x1  0, (2) = x2  (3) Ta chuyển tốn (P) tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc (P”) tương đương - Biến x2 thay biến x2’ = x2 với điều kiện x2’  0, x2 = x2’ - Biến x3 thay biến x3’ x3’’ với điều kiện x3’ ≥ 0, x3” ≥ x3 = x3’  x3’’ - Hàm mục tiêu f chuyển thành g = f = 3x1  2x2 + x3 = 3x1 + 2x2’ + x3’  x3”  (1’’) - Ràng buộc thứ chuyển thành 2x1 – 3x2’ + x3’ – x3” – z1 = z1 biến phụ với ràng buộc z1  - Ràng buộc thứ chuyến thành x1  x2’ + x3’ – x3” + z2 = z2 biến phụ với ràng buộc z2  - Ràng buộc thứ chuyển thành x1 – 4x2’ + x3’  x3’’ = Cuối tốn tắc tương đương (P”) có dạng : Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.16 Trần Quốc Chiến g Quy hoạch tuyến tính = 3x1 + 2x2’ + x3’  x3” 2x1 – 3x2’ + x3’ – x3” – z1 x1  x2’ + x3’ – x3” x1 – 4x2’ + x3’  x3’’  =2 + z2 = (2”) =1 x1  0, x2’  0, x3’  0, x3”  0, z1  0, z2  Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính (1”) (3”) I.17 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính BÀI TẬP Một trại chăn ni định ni loại bị: bò sữa, bò cày bò thịt Số liệu điều tra cho bảng sau: Loại bò Vốn / Chi phí ni / Lãi / Bị sữa 123 12 59 Bò cày 127 15 49 Bò thịt 162 15 57 Cộng ≤ 7020 ≤ 800 Max? Lập tốn tìm số bị loại cần ni để đạt số tiền lãi lớn nhất, biết số bò sữa khơng q 18 Đưa tốn dạng tắc tương đương Một đội sản xuất dành 31 sào trồng bắp cải, cà chua, đậu, khoai tây, hành Số liệu điều tra, chi phí kể phân giống, cho bảng sau: Loại Công /sào Chi phí /sào Lãi /sào Bắp cải 79 38 376 Cà chua 55 22 128 Đậu 23 31 104 Khoai tây 26 63 177 Hành 35 50 310 Cộng ≤ 1892 ≤ 1828 Max? Lập tốn tìm phương án phân phối đất trồng loại để lời nhiều Đưa tốn dạng tắc tương đương Để sản xuất loại sản phẩm I, II, III cần dùng loại nguyên liệu N1, N2, N3, N4 Bảng sau cho lượng dự trữ loại nguyên liệu, định mức nguyên liệu cần dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm loại thu nhập xí nghiệp từ đơn vị sản phẩm loại: Loại Nguyên liệu Dự trữ nguyên liệu Định mức nguyên liệu cho sản phẩm Loại I Loại II Loại III N1 22 N2 16 Chương I Bài toán quy hoạch tuyến tính I.18 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính N3 18 0 N4 21 3 Thu nhập Lập tốn tìm phương án sản xuất loại sản phẩm cho tổng thu nhập xí nghiệp nhiều Đưa tốn dạng tắc tương đương Một xí nghiệp có loại máy A, B, C, D sản xuất loại sản phẩm 1, 2, 3, 4, 5, Định mức thời gian (h/cái) loại máy sản xuất loại sản phẩm cho bảng sau: Sản phẩm Định mức (h/cái) Máy A 0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03 B 0.02 - - 0.05 - - C - 0.02 - - 0.05 - D - - 0.03 - - 0.08 2.8 3.2 7.2 6.4 6.0 Giá sản phẩm (1.000đ) Số làm việc nhiều loại máy A, B, C, D tuần tương ứng 85, 70, 10 90 Hãy lập toán tính xem tuần phải sản xuất sản phẩm loại tổng giá trị sản phẩm lớn Đưa tốn dạng tắc tương đương Một xí nghiệp sản xuất tủ lạnh dùng tơn có diện tích 1420  710 mm để làm nguyên liệu Những tôn cắt thành bé Cần cắt tôn để tổng phế liệu nhỏ Kích thước số lượng yêu cầu bé cho bảng sau: Loại bé Kích thước Số lượng 749  608 2520 186  170 1260 Chương I Bài toán quy hoạch tuyến tính I.19 Trần Quốc Chiến Quy hoạch tuyến tính 270  48 5047 142  77 1520 Xác định phương pháp cắt tôn Lập tốn tìm phương án cắt tơn để tổng phế liệu nhỏ Đưa toán dạng tắc tương đương Chương I Bài tốn quy hoạch tuyến tính I.20