Quy hoạch tuyến tính và ứng dụng của nó trong kỹ thuật

Tuần 12 Quy hoạch tuyến tính ứng dụng kỹ thuật V.4 Giới thiệu toán V.4.1 Cơ sở quy hoạch tuyến tính Bài toán đạo thi công công trình thuỷ lợi Một đơn vị đà thắng thầu thi công bảo dỡng 50km đê (trên tuyến đê sông Hồng) gồm mức độ cần bảo dỡng: I, II II số km cần bảo dỡng mức độ I không dới 20% tổng chiều dài cần bảo dỡng theo mức độ lại Thời gian chi phí cho bảo dỡng mức độ tơng ứng 12, 8, ngày Kinh phí phải trả cho km đê cần bảo dỡng theo mức độ tơng ứng 30, 20, 15 triệu đồng HÃy xác định số km đê cần bảo dỡng theo mức độ để số tiền chi trả không vợt số tiền đà đấu thầu 1200 triệu đồng mà thời gian hoàn thành nhanh Bài toán quy hoạch tuyến tính: Gọi x1, x2, x3 lần lợt chiều dài (theo km) quÃng đê cần bảo dỡng theo mức độ I, II III cần tìm) HÃi tìm x1, x2, x3 thoả m·n (1) x1 + x2 + x3 = 50 (km) (2) 0,2 (x3 + x2)  x1 (km) (3) 30x1 + 20x2 + 15x3 1200 (triệu đồng) Để cho Q = 12x1 + 8x2 + 6x3 cùc tiÓu Để giải toán này, ta đa thêm vào số ẩn phụ để bất phơng trình trở thành phơng trình: (1)' x1 + x2 + x3 = 50 (2)' 0,2x1 + 0,2x2 - x1 + x4 = (3)' 30x1 + 20x2 + 15x3 + x5 = 1200 Điều kiện (4)' x1, x2, x3 Thoả m·n Q = 12x1 + 8x2 + 6x3 cùc tiÓu (Phiếu hàm Q gọi hàm giá, phơng trình (1)', (2)', (3)' (4)' gọi hệ phơng trình ràng buộc Hệ phơng trình ràng buộc viết lại dạng ma trận là: Ax = b nghiệm toán quy hoạch tuyến tính trớc hết nghiệm hệ phơng trình tuyên tính Trong toán đạo thi công [1 [1 [ 0,2 A = [30 20 0,2 15 0 ]0 ] ]1 ¿ ;x= [ x1 ¿ ] x2 ¿ [ x3 ¿ ] x ¿ ¿ ¿ [50¿][0 ¿]¿¿¿ ; b= ¿ A(3 x ) x(5 x 1) = b(3 x 1)  §Þnh nghÜnh nghÜa: NghiƯm x* = ( x1*, x2* , x3*, x4* , x5*) tho¶ m·n hƯ Ax* = b nói cực tiểu hoá phiếu hàm Q: Q = 12x*1 + x*2 + 6x*3 + 0x*4 + 0x*5 đạt cực tiểu x* đợc gọi nghiệm tối u toán quy hoạch tuyến tính (các ẩn x4, x5 gọi ẩn phụ) Chú ý: Lợc đồ giải toán quy hoạch tuyến tÝnh nh sau: ThiÕt lËp hƯ rµng bc vµ tiêu chuẩn tối u (hàm giá hàm mục tiêu) để đánh giá tiêu chuẩn tối u Tìm phơng án tựa ban đầu (tất nhiên cha tối u) Tìm quy tắc hoàn thiện phơng án tựa để có phơng án tựa tốt nh lặp lại tìm đợc phơng án tối u (nghiệm tối u) Cách tìm phơng án tựa ban đầu: Giả sử hƯ rµng bc Ax = b NÕu ma trËn A có cột ma trận đơn vị cho ẩn ứng với cột nhận giá trị t¬ng øng cđa cét vÐc t¬ tù [1 −3 [0 [ VÝ dô: A = [0 0 ]0 ] ]1 ¿ ;b= [15¿][3¿]¿¿ ¿ Ta nhËn thÊy cét 1, 4, cột ma trận đơn vị nên x = 15, x4 = 3, x5 = lµ phơng án tựa ban đầu (đây ẩn tự x 2, x3, ẩn ®Ịu cho b»ng kh«ng) Chó ý: NÕu A kh«ng cã cột ma trận đơn vị ta thêm vào cột (các ẩn thêm vào gọi "ẩn giả") Hệ số ẩn giả hàm giá số dơng M tuỳ ý V.4.2 Thuật toán đơn hình để giải toán quy hoạch tuyến tính Xét toán quy hoạch tuyến tính: Tìm x1, x2, x3 (không âm) thoả mÃn hệ ràng buộc: x1 + x2 + x3 = 250 2x1 + x2 - x3  150 x1 + 2x2 + 2x3  300 Sao cho cực đại hoá hàm mục tiêu: Z = 45x1 + 30x2 - 25x3 Đạt cực đại Giải: Đa thêm ẩn phụ, hệ ràng buộc có d¹ng: x1 + x2 + x3 = 250 2x1 + x2 - x3 + x4 = 150 x1 + 2x2 + 2x3 - x5 = 300 [1 1 [2 [ −1 A = [1 2 0 ]0 ] ]−1 ¿ ;b= [250¿][150¿]¿¿ ¿ 1) Tìm phơng án tựa: bổ sung vào A cột ma trận đơn vị [1 [2 [  A* = [1 −1 0 −1 0 ]0 ] ]1 Phơng án tựa ban đầu là: x6 = 250, x4 = 150, x7 = 300, x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x5 = Hàm mục tiêu chuyển thành hàm giá là: Q = -45x1 - 30x2 + 25x3 + 0x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7 Cực tiểu 2) Lập bảng đơn hình Cấu trúc bảng đơn hình Hệ số Giá Chỉ B- số ẩn tơng ứng trị cột tự ớc tơng hàm gia ứng e1 G1 T1 T2 e2 G2 Tm em Gm x1 x2 … C1 C2 … a11 a21 a 12 a22 am2 … … … am1 x n C n a1 n a2 n a mn Ví dụ: Giải toán quy hoạch tuyÕn tÝnh - x1 + (xi  i) x2 + x7 = 2x1 + x3 + x4 + x6 = 3x2 + 4x3 + 2x4 + x5 = 48 Cực tiểu hoá hàm giá: Q = 22x1 + 60x2 - 10x3 + 6x4 + 0x5 + Mx6 + Mx7 Bớc 1: Chọn phơng án tựa ban đầu với x6 = 7, x7 = 5, x5 = 48 (Các ẩn lại 0) Bảng đơn h×nh Bíc ei Gi Ti x1 22 x2 60 x3 - x4 x5 x6 M x7 M 0 0 1 1 0 0 10 M -1 M 48 2/ 3 Q = 12 M j = M 2M M + 10 - M - 22 - 60 Chó ý: Gi¶i thÝch sè cách tính bảng đơn hình: Ký hiệu: e1: số ẩn Gi: hệ số hàm mục tiêu tơng ứng ẩn Ti: Giá trị t¬ng øng cđa cét tù Q = GiTi C¸ch tÝnh sè kiĨm tra j m j = ∑ Gi a ij−C j i =1 (j = 1, 2…m)m) VÝ dô: [M ¿][M ¿]¿¿ [−4¿][2¿]¿¿ 1 = ¿ ¿ [M ¿][M ¿]¿¿¿ [2/3¿][0 ¿]¿¿¿ 2 = ¿ ¿ - 22 = M - 22 2M - 60 = - 60 [M ¿][M ¿]¿¿¿ [0¿][0¿]¿¿ 3 = -0=0 m) Cách tìm nghiệm bị loại nghiệm đợc chọn * ẩn hàng k loại gọi "ẩn ra" sau chọn đợc ẩn đợc chọn xs ta kiểm tra , ví dụ: * ẩn đợc chọn s = max vµo") Tk Ti =min i a ais j (j = 1, n) (còn gọi "ẩn Ví dụ : An đợc chọn x3 = M + 10 lµ max (Èn vµo lµ x3) KiĨm T1 tra ë cét s=3, a13 = (bá qua) T3 T2 = =5 a23 ; a33 =48 /4=12  BÐ nhÊt lµ T2/ a23  Èn bị loại nằm hàng ứng với x6 (ẩn lµ x6 ) Chó ý : ë bíc tiÕp theo , phần tử aij ma trận A ®Ịu bÞ thay ®ỉi nh sau : Ngêi ta gäi phần tử nằm tên cột ẩn đợc chọn hàng ẩn bị loại phần tử Nó trở thành a,kj = akj / aks ,còn phần tử khác aij = aij - ais.akj ( i#k, j = 0,1.n ) 3) áp dụng lập bảng đơn hình B- ei Gi Ti x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 M 250 -45 150 Q M 55 300 j 2M + 45 íc Bíc = 0M = -30 25 0 0 M M -1 0 0 -1 -M 0 3M + 30 3M - 25 (chän (lo ¹i) ) Bíc M 100 -1 -1 - 150 -1 0 0 -3 -2 -1 - 45 6M - - 0 Q = 30 M 10 j 0M - = 4500 - 15 +5 3M (ch än) M - 30 (lo ¹i) Bíc M 100 0,5 0 - 150 1,25 0,5 - 30 25 0,75 0,5 0,5 0,25 0,5 0,2 0,25 0,2 Q = Bíc 10 j 0M - = 4500 0,5 0 27,5 M 11,25 0,5 M + (lo 1,5M 1,25 ¹i) (chän) 1,25 -1 200 0 - 200 1,5 0,5 0,5 50 -0,5 - 0,5 - - -M Q 30 25 47 0,5 j - 0 = 50 = 12,5 27,5 12,5 -M Phơng án tèi u ( v× j  0) KÕt ln: NghiƯm tèi u: x1 = 0, x2 = 200, x3 = 50 Giá trị cực tiểu hàm giá 4750 Chú ý: Bằng thuật toán đơn hình này, ta tìm đợc kết toán đạo thi công bảo dỡng 50km đê sông Hồng nh sau: x1* = số km đê cần bảo dỡng mức độ là: 8,33 km x2* = số km đê cần bảo dỡng mức đọ là: 41,67 km x3* = số km đê cần bảo dỡng mức độ là:Không có bảo dỡng loại Thời gian thực nhanh : 350 ngày Dễ dàng kiểm tra kết thoả mÃn yêu cầu toán quy hoạch tuyến tính đà đặt Tóm tắt ý Thiết kế toán quy hoạch tuyến tính Cách chuyển hệ bất phơng trình ràng buộc hệ phơng trình tuyến tính Thế phơng án tựa ban đầu Cấu trúc bảng đơn hình, giải thích ký hiệu Cách tính số kiểm tra j Cách tìm "ẩn ra", "ẩn vào" Khi thuật toán đơn hình đa đến nghiệm tối u toán quy hoạch tuyến tính