ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỮU PHÚC NHỮNG THÀNH TỰU TRONG LỊCH SỬ GIẢI PHƯƠNG TRÌNHĐẠI SỐ Chun ngành:PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ THỊ THANHNHÀN Thái Nguyên – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Mở đầu Mét sè vÊn ®Ị lịch sử giải phương trình đa thức 1.1 Một số vấn đề nghiệm phương trình 1.2 Sơ lược tiến trình giải phương trình đại số 10 Lịch sử giải phương trình bậc hai, ba, bốn 14 2.1 Phương trình bậc hai 14 2.2 Phương trình bậc ba 18 2.3 Phương trình bậc bốn 25 Giải phương trình thức 29 3.1 Mở rộng trường, mở rộng 29 3.2 Nhóm giải 31 3.3 Nhãm Galois cđa mét ®a thøc 33 3.4 Tiêu chuẩn giải thức 36 Tài liệu tham khảo 40 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lêi cảm ơn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, người đà trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy, cô giáo đà trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập Trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, người thân, bạn bè tất người đà giúp đỡ, động viên suốt trình học tập hoàn thành luận văn 2S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết giải phương trình đại số có lịch sử từ lâu đời Từ trước công nguyên, cách giải phương trình đa thức bậc đà biết đến c¸c nỊn to¸n häc cỉ cđa ngêi Ai CËp, người Babylon, người Hy Lạp Đến kỷ 16, loài người đà đạt thành tựu lớn lịch sử giải phương trình đa thức đóng góp nhà toán học La Mà Scipione del Ferro (1465-1526), Tartaglia (1500-1557), Girolamo Cardano (1501-1576), Ludovico Ferrari (1525-1565) Những nhà toán học đà tìm lời giải phương trình đa thức bậc 3, thức, tức đưa công thức tính nghiệm theo hệ số đa thức thông qua phép toán cộng, trừ, nhân, chia, khai Đầu kỉ 19, Ruffini (1765-1822) nhà toán học,vật lí người ý, đà chứng minh tính không giải thức phương trình bậc lớn 4, lỗ hổng chứng minh Độc lập với Ruffini, nhà toán học người Nauy, Niels Henrik Abel (1802-1829), đà giải phương trình tổng quát bậc lớn thức Thừa hưởng thành tựu Abel, nhà toán học Pháp thiên tài Evariste Galois (1811-1832) đà để lại cho giới toán học lý thuyết đẹp đẽ nhất, có lời giải hoàn hảo cho toán tiếng tính giải thức phương trình đa thức Mục đích luận văn trình bày thành tựu lịch sử giải phương trình đa thức Tài liệu tham khảo chủ yếu cn s¸ch "Galois Theory" cđa J P Escofier (Springer, 2004) J Rotman (Springer, 2001) Chúng cho rằng, luận văn đà phác họa chi tiết lịch sử giải phương trình đa thức, chứa đựng thông tin quan trọng tìm thÊy ë bÊt cø tµi liƯu tiÕng ViƯt nµo Ln văn gồm chương Chương đề cập đến số vấn đề nghiệm phương trình như: xấp xỉ nghiệm, liên hệ với hình học lượng giác, khó khăn kí hiệu thuật ngữ, tồn nghiệm sơ lược tiến trình 3S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn giải phương trình đại số Chương trình bày lịch sử giải phương trình bậc 2, 3, người Babylon, người ả Rập, người ấn Độ, người Hy Lạp, nhà toán học Omar Khayyam, Ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Descartes đóng góp Raffaele Bombeli vào tính toán với số phức Chương trình bày kiến thức mở rộng trường, mở rộng căn, nhóm giải được, nhóm Galois, khái niệm đa thức giải thức chứng minh tính giải thức phương trình bậc 1, 2, 3, Phần Chương trình bày Định lý lớn Galois, cho tương đương tính giải thức đa thức, tính giải nhóm Galois nó, ®iỊu kiƯn ®Ĩ trêng ph©n r· chøa mét më rộng Đây kết hoàn hảo trọn vẹn cho toán giải phương trình đại số Phần cuối Chương áp dụng Định lí lớn Galois để chứng minh số phương trình bậc cụ thể không giải thức 4S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch¬ng Mét số vấn đề lịch sử giải phương trình đa thức 1.1 Một số vấn đề nghiệm phương trình 1.1.1 Vấn đề xấp xỉ nghiệm Khoảng năm 1600 trước công nguyên, người Babylon đà đưa giá trị xấp xỉ xác cho bậc hai Chẳng hạn, họ đà víi mét sai sè chØ lµ 10−6 Trong hƯ thống ghi số 60, số viết 1.24.51.10, nghĩa xấp xỉ giá tính giá trị xấp xỉ trị 1+ 51 10 24 + + = 1, 41421296 60 60 60 Sau đó, vào khoảng năm 200 sau công nguyên, Heron (nhà toán học Hy Lạp) đà tóm lược phương pháp xấp xỉ bậc hai việc dùng d·y 1 a un + un un+1 = Chúng ta trình bày cách đầy đủ trình xấp xỉ nghiệm đa thức phát triển nhà toán học Trung Quốc ả Rập Người Trung Quốc đà tính giá trị xấp xỉ bậc ba từ năm 50 trước công nguyên Còn phương pháp tuyến tính ho¸ ph¸t triĨn bëi Isaac Newton (1642-1727) b»ng viƯc dïng d·y un+1 = un − f (un ) f (un ) đà biết đến Sharaf ad Din (sinh năm 1201), nhà toán học người ả Rập Năm 1225, Leonard Pisa đà đưa giá trị xấp xØ cho nghiƯm d¬ng 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cña phương trình x3 + 2x2 + 10x = 20 hệ thống ghi số 60 1.22.7.42.33.40 Sai số giá trị xấp xỉ 1010 , ông lại làm điều phi thường 1.1.2 Liên hệ với hình học lượng giác Người Hy Lạp cổ đà dựng hình nghiệm dương phương trình bậc hai cách coi giao đường thẳng đường tròn, họ đà không thiết lập công thức nghiệm theo nghĩa đại số cho toán Đối với phương trình bậc ba, người ta đà dùng đường conic (chẳng hạn cách mà Omar Khayyam - nhà toán học Iran đà làm khoảng năm 1100), có lẽ phương pháp đà Archimedes biết đến (khoảng năm 287-212 trước công nguyên) Trong sách Hình học René Descartes (1596-1650) - nhà toán học Pháp, ông đà cho mối liên hệ nghiệm phương trình đại số với giao điểm đường cong đại số Phát ông xuất phát điểm quan trọng Hình học Đại số Đối với toán chia đường tròn thành lớn quan tâm nghiên cứu, người đa giác n phần - chủ đề ả Rập đà phát viƯc dùng c¹nh cã mèi quan hƯ víi viƯc giải phương trình bậc Sau Francois Viète (1540-1603) - nhà toán học Pháp đà miêu tả mối quan hệ toán chia ba góc nghiệm phương trình bậc ba Viète đưa biĨu diƠn cđa vµ sin nϕ vµ cos nϕ hàm sin cos Năm 1837, Laurent Wantzel (1814-1848) - nhà toán học Pháp đà chØ r»ng kh«ng thĨ chia mét gãc bÊt kì thước kẻ compa (bài toán đặt người Hy Lạp) Carl Friedrich Gauss (1777-1855) đà đưa lời giải đại số cho toán chia đường tròn thành với p phần p số nguyên tố Fermat Các kết ông đà trình bày Chương sách Disquisitiones arithmetiae xuất năm 1801, có chứa ý tưởng liên quan đến thành tùu sau 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn nµy cđa Niels Henrik Abel Evariste Galois 1.1.3 Những khó khăn kí hiệu thuật ngữ Trước kỷ 17, toán học thường không sử dụng ký hiệu đặc biệt nào, điều gây khó khăn cho phát triển phương pháp đại số Ký hiệu đại nhiều phát triển René Descartes, người đà dụng chúng sách Hình học Trong Zététiques Viète xuất năm 1591, từ tiếng Hy Lạp có nghĩa "nghiên cứu", biểu thức F.H + F.B =E D+F đà ông viết lµ: F in H +F in B ỉquabitur E D + F ViÌte ®· dïng kÝ hiƯu rÊt phøc t¹p cho lịy thõa cđa Èn sè: «ng viÕt " A quadratum" cho A2 , "A cubus" cho A3 , "A quadrato-quadratum" cho A4 vµ "A protestas", " A planum" cho Am , An §Ĩ chØ bËc cđa hƯ sè F , «ng viÕt "F planum" cho F lµ hƯ sè cđa lịy thõa bËc 2, "F solidum" cho F lµ hƯ sè cđa lũy thừa bậc v.v Chẳng hạn, cho phương trình bậc hai tổng quát ẩn A, giả sử biến số A hệ số B, C, D có sù ®ång nhÊt vỊ bËc, ViÌte ®· viÕt : ”B in A quadratum plus D plano in A æquari Z solido. có nghĩa BA2 + DA = Z Đóng góp lớn Viète tạo hệ thống tính toán với chữ dùng để biểu thị cho đại lượng đà biết ẩn số cần tìm ý tưởng tạo chuyển biến sâu sắc phương pháp quan niệm đại số; thay làm việc vÝ dơ b»ng sè, ngêi ta cã thĨ xem xÐt trường hợp tổng quát Chắc chắn, chữ đà sử dụng trước Viète, không biểu thị chất 7S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tÝnh to¸n: chẳng hạn, họ dùng chữ a để biểu thị cho đại lượng này, lại dùng chữ khác để biểu thị giá trị bình phương, lũy thừa lũy thừa a, lẽ họ phải sử dụng kí hiệu liên quan đến a để biểu thị chúng Các số thập phân giới thiệu Al Uqlidisi, nhà toán học ả Rập, Hình học Euclid khoảng vào năm 950 Số thập phân biết thông qua công việc Al Kashi ( khoảng 1380- 1429) năm 1427, Viète năm 1579, Simon Stevin (1548- 1620) năm 1585 Việc sử dụng dấu chấm để cách li phần nguyên với phần thập phân số thập phân ®· ®ỵc phỉ biÕn bíi John Neper (1550-1617), nhng ngêi Pháp lại dùng dấu phẩy thay cho dấu chấm Tuy vậy, thời gian dài sau đà giới thiệu cách dùng dấu chấm để viết số thập phân, người ta viết số thập phân dạng số nguyên theo sau phân số, chẳng hạn số 11, 224176 224176 viết 11 1000000 Dấu + đà sử dụng vào khoảng năm 1480, mÃi đến đầu kỷ 17 dùng phổ biến Phép nhân đà Michael Stifel (14861567) viÕt lµ nay, dÊu M (1545)vµ ViÌte (1591) viÕt in Với ký hiệu phép nhân ì giới thiệu William Oughtred (1574- 1660) năm 1637 dấu chấm giới thiệu Wilhelm Leibniz (1646- 1716) năm 1698 Đối với lũy thừa, năm 1484 Nicolas Chuquet (1445- 1500) ®· viÕt biĨu thøc 1, 225 + 148x2 1, 225 p1482 , Raffaele Bombeli (1572) đà viết biểu thức 3x2 3^2 Các kí hiệu x2 , x3 , cho c¸c luü thừa x mà dùng ngày giíi thiƯu bëi Descartes Trong thÕ kû 18, ngêi ta viết bb cho b2 , lại viết luỹ thừa cao b b3 , b4 v.v Sau kí hiệu liên quan đến luỹ thừa ẩn số phép toán hệ số hoàn thiện, việc tính toán với đa thức hình thành cách rõ ràng Descartes đa thức triệt tiêu giá trị nÕu vµ chØ nÕu nã chia hÕt cho a X − a DÊu = Michel Recorde (1510- 1558) sö dụng năm 1557 thay cho kí hiệu mà trước ®ã Descartes ®· 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dïng Albert Girard (1596-1632) ®· giíi thiƯu kÝ hiƯu √ A ChØ số Gabriel Cramer (1704 - 1752) dùng năm 1750 để viết công thức tiếng ông, chØ sè trªn ,00 ,000 ,iv ,v , · · · cịng xt hiƯn réng r·i vµo thêi gian ®ã KÝ hiƯu P ®ỵc giíi thiƯu bëi Leonhard Euler (1707-1783) v.v Các ký hiệu chấp nhận rộng rÃi toàn giới ngày 1.1.4 Sự tồn nghiệm phương trình Al Khwarizmi (780- 850) dường người đầu tiên, vào khoảng năm 830, tồn phương trình bậc hai có hai nghiệm dương Trường hợp nghiệm âm nghiên cứu vào cuối kỷ 16 Girard người khẳng định phương trình bậc n có n nghiệm Ông không đưa chứng minh cho khẳng định ý tưởng ông chất nghiệm lờ mờ Tuy nhiên, ông đà nghĩ nghiệm giống số phức số tương tự Vì không rõ ràng không gây cản trở ông đổi việc tính toán với nghiệm tính toán với số Tất nhà toán học đánh giá cao công lao ông Descartes xác số nghiệm đa thức, ông đà biết số nghiệm không vượt bậc đa thức Leibniz không cảm nhận chất nghiệm, năm 1702 ông không thấy p số phức Nhưng phương pháp lấy tích phân hàm hữu tỷ phát triển Leibniz Jean Bernuolli (1667-1748) vào khoảng thời gian đà mở đường cho Leonhard Euler (1707- 1783) chứng minh Định lí vào năm 1749: Đa thức bậc n với hệ số thực có n nghiệm phức Định lý thường gọi "Định lý đại số" Jean d'Alembert (1717- 1783) ®· ®a mét chøng minh thú vị chưa đầy đủ cho định lí vào năm 1746, người Pháp gọi "Định lý d'Alembert" Trong khóa học Trường Đại học Ecole Normale vào năm thứ Cách mạng Pháp, Pierre Simon de Laplace (1749- 1827) đà chứng minh tồn nghiệm đa thức ®©u ®ã Gauss ®· ®a 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 1 p = (−3a2 + 8b), q = (a3 + 4ab + 8c) vµ 8 r= (−3a4 + 16ab − 64ac + 256d) 256 Chän k, l, m, n tháa m·n víi x4 + px2 + qx + r = (x2 + kx + l)(x2 + mx + n) Khi ®ã x4 + px2 + qx + r = x4 + (k + m)x3 + (km + l + n)x2 + (kn + lm)x + ln Sư dơng phương pháp hệ số bất định ta được: Từ suy k+m=0 km + l + n = p kn + lm = q ln = r q l = (k − + p) k m = −k q n = (k + + p) k k + 2pk + (p2 − 4r)k − q = Khi ®ã k lµ nghiƯm phương trình bậc ba Sau tìm k, l, m, n, việc giải phương trình bậc bốn trở giải hai phương trình bậc hai Ví dụ Giải phương trình Bài giải: Thay x4 17x2 20x − = p = −17, q = 20, r = vào phương trình k + 2pk + (p2 − 4r)k − q = ta phương trình k 34k + 313k − 400 = Ta t×m k = nghiệm phương trình Suy l = 2, m = −4, n = Vì ta có phân tích x4 17x2 − 20x − = (x2 + 4x + 2)(x2 − 4x − 3) 27Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Giải phương trình bậc hai x2 + 4x + = vµ x2 − 4x − = ta tìm nghiệm phương trình ban đầu x1,2 = ± √ 7, x3,4 = −2 ± 28Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Giải phương trình thức 3.1 Mở rộng trường, mở rộng 3.1.1 Định nghĩa trường Một tập T tập hợp số phức C gọi T , phép toán cộng, trừ, nhân đóng kín T phép chia cho phần tử khác đóng kín T Rõ ràng tập số Q, R, C trường Với p số nguyên tố, tập Q[ p] = {a + b p | a, b ∈ Q} trường Trong luận văn chung ta ®Ị cËp ®Õn c¸c trêng cđa trêng sè phøc C 3.1.2 Định nghĩa Cho T trường Giả sử K trường chứa T Khi ta nãi 3.1.3 VÝ dơ (ii) Víi Khi ®ã cđa T T trường C, đặt n f (α) o T (α) = | f (x), g(x) ∈ T [x], g(α) 6= g(α) T (α) lµ trêng nhá nhÊt chøa T vµ α Ta gọi T () trường mở rộng cách ghép thêm phần tử (iii) Với từ T K mét më réng trêng √ (i) Trêng Q[ 2] lµ më réng cđa trêng Q α T lµ mét trêng vµ A ⊆ C, kÝ hiƯu T (A) lµ tập số nhận T A phép toán cộng, trừ, nhân chia cho phần tư kh¸c 29 29Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Khi ®ã T (A) lµ trêng nhá nhÊt chøa T vµ A Ta gọi T (A) rộng T cách ghép thêm tập Cho 3.1.4 Định nghĩa trúc trường më A T ⊆ K lµ mét më réng trêng Khi K có cấu T -không gian vectơ Số chiều T -không gian vectơ K gọi bËc cđa më réng trêng Chó ý r»ng nÕu T K ký hiệu [K : T ] T K L dÃy më réng trêng th× [L : T ] = [L : K][K : T ] 3.1.5 Định nghĩa Cho có đa thức số Đặt T trường C Ta nói đại sè trªn T 6= f (x) ∈ T [x] nhận làm nghiệm Nếu không đại T ta nói siêu việt T T [α] = {f (α) | f (x) ∈ T [x]} Nếu đại số T T [] trường T [] = T () Khi siêu việt T T [] không trường, 3.1.6 Định nghĩa (i) Đa thức T () trường Cho T lµ mét trêng f (x) ∈ T [x] lµ bÊt khả quy T deg f (x) > f (x) không tích hai đa thức có bậc bé (ii) Giả sử C đại số T Khi tồn nhÊt mét ®a thøc p(x) ∈ T [x] bÊt khả quy nhận làm nghiệm có hệ số cao Bậc p(x) gọi khả quy Số bậc T p(x) gọi đa thức bất đại số Q nghiệm cđa ®a thøc x3 − ∈ Q[x] Ngêi π siêu việt Q Đa thức x3 đa thức 3 bất khả quy Vì bậc Q ta đà chứng minh số 3.1.7 Định nghĩa (i) Cho T ⊆ K lµ mét më réng trêng m > số tự nhiên Ta nói K mở rộng túy kiểu m K = T () phần tử đại số T có bậc m 30S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 (ii) Mét më réng trêng trung gian T ⊂ K gọi mở rộng có d·y T = K0 ⊂ K1 ⊂ Kn = K mở rộng Ki Ki+1 mở rộng túy kiểu mi Để tính bậc mở rộng căn, cần tính bậc mở rộng túy Dưới công thức tính bậc mở rộng 3.1.8 Bổ đề Cho T trường K = T () mở rộng tóy m Khi ®ã [K : T ] = m kiểu Định lí Đại số phát biểu đa thức bậc phức có n với hệ số n nghiệm phức, nghiệm tính với số bội Điều cho phép định nghĩa khái niệm sau 3.1.9 Định nghĩa chứa Cho T lµ trêng vµ f (x) ∈ T (x) Trường số K nhỏ T tất nghiệm C f (x) gọi trường phân rà f (x) T 3.1.10 Ví dụ Trường phân rà đa thức f (x) = x3 Q Q(i 3, 2) √ Q ⊂ Q(i 3, 2) lµ më réng có dÃy Q Q(i 3) ⊂ Q(i 3, 2) √ √ √ ®ã më réng Q(i 3) ⊂ Q(i 3, 2) túy kiểu mở rộng Q Q(i 3) túy kiểu Do ta cã √ √ √ √ √ √ 3 [Q( 2, i 3) : Q] = [Q( 2, i 3) : Q(i 3)][Q(i 3) : Q] = Më rộng 3.2 Nhóm giải 3.2.1 Định nghĩa Một tập G cïng víi mét phÐp to¸n kÝ hiƯu theo lèi nhân gọi nhóm phép toán có tính chất kết hợp, có phần tử cho cho e∈G ae = ea = a víi mäi a ∈ G, với a G tồn a1 ∈ G aa−1 = a−1 a = e PhÇn tử e gọi a1 gọi phần tử nghịch đảo 31S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn phần tử đơn vị G , phần tử a Nhóm G gọi giao hoán http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 hay Abel phép toán giao hoán Nếu cấp G có n phần tử ta nói G có n Khi n có vô hạn phần tử ta nói G có cấp vô hạn Các nhóm với phép toán kí hiệu theo lối cộng định nghĩa tương tự, phần tử đơn vị thay phần tử không , kí hiệu 0, nghịch đảo a thay 3.2.2 Ví dụ (i) Các tập (ii) Giả sử đối xứng a, kí hiệu a Z, Q, R, C nhóm với phép cộng X tập hợp Kí hiệu S(X) tập song ánh từ X đến X Khi S(X) nhóm với phép hợp thành ánh xạ Phần tử đơn vị S(X) ánh xạ đồng e = 1X Nghịch đảo phần tử f S(X) ánh xạ ngược phần tử f Ta gọi S(X) nhóm đối xứng X Khi X có n S(X) kí hiệu lµ Sn Chó ý r»ng Sn cã cÊp n! Sn không giao hoán n Với a1 , , ak ∈ X, ta kÝ hiƯu (a1 a2 · · · ak ) lµ phép s Sn xác định s(a1 ) = a2 , , s(ak−1 ) = ak vµ s(ak ) = a1 PhÐp thÕ (a1 a2 à à à ak ) gọi ý phần tử vòng xích cấp k víi tËp nỊn {a1 , , ak } Chú Sn viết thành tích vòng xích với tập đôi rời 3.2.3 Định nghĩa Cho Một tập H nhóm G gọi nhóm e ∈ H vµ xy ∈ H, x−1 ∈ H víi mäi x, y ∈ H H lµ nhãm cđa G Với x G, đặt Hx = {hx | h ∈ H} vµ xH = {xh | h ∈ H} Chó ý r»ng Hx = Hy nÕu vµ chØ nÕu xy −1 ∈ H , vµ xH = yH nÕu vµ chØ nÕu x−1 y ∈ H Ta gäi Hx G với đại diện x, xH 3.2.4 Định nghĩa tắc Một nhóm lớp ghép phải lớp ghép trái của H H H G gọi nhóm chuÈn Hx = xH víi mäi x ∈ G 3.2.5 Ví dụ Nhóm có Xét nhóm đối xứng S3 = {e, (123), (132), (12), (13), (23)} nhãm con: {e}, S3 , {e, (123), (132)}, {e, (12)}, {e, (13)}, {e, (23)} Nhãm S3 cã nhãm chuÈn t¾c: {e}, S3 , {e, (123), (132)} 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 3.2.6 Bổ đề Giả sử H nhóm chn t¾c cđa nhãm G/H = {Hx | x G} tập lớp ghép trái H HxHy = Hxy tắc nhân phép toán G/H G G/H G Kí hiệu Khi quy nhóm với phép toán Nhóm G/H vừa xây dựng gọi nhóm chuẩn tắc 3.2.7 Định nghĩa dÃy nhóm thương G theo H Một nhóm G gọi nhóm giải ®ỵc nÕu G cã mét {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ ⊆ Gn = G cho Gi lµ nhóm chuẩn tắc Gi+1 Gi+1 /Gi nhãm giao ho¸n víi mäi i = 1, , n 3.2.8 Ví dụ (i) Mọi nhóm giao hoán nhóm giải (ii) Nhóm đối xứng (iii) Nhóm đối xứng S2 giao hoán cấp nên giải S3 giải có dÃy {e} = G0 ⊂ {e, (123), (132)} = G1 ⊂ S3 , G1 /G0 có cấp nên giao hoán, S3 /G1 có cấp nên giao hoán (iv) Chúng ta cã thĨ chøng minh r»ng nhãm ®èi xøng nhãm ®èi xứng 3.3 S4 giải được, Sn không giải ®ỵc víi mäi n ≥ Nhãm Galois cđa mét đa thức 3.3.1 Định nghĩa Một ánh xạ f : T K hai trường T K gọi đồng cấu trường f (1) = 1, f (a + b) = f (a) + f (b) vµ f (ab) = f (a)f (b) víi mäi a, b T Một đồng cấu trường gọi cấu (toàn cấu, đẳng cấu ) T K gọi đơn đơn ánh (toàn ánh, song ánh) Hai trường đẳng cấu với nhau, viết T = K , tồn đẳng cấu chúng Ta hai trêng Cã ®óng hai ®ång cÊu tõ cÊu đồng Q[ 5] Q[ 7] không đẳng cấu với C đến C giữ nguyên số thực, đồng 1C đồng cấu xác ®Þnh bëi ϕ(a + bi) = a − bi 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Cho 3.3.2 Định nghĩa phân rà T lµ mét trêng vµ f (x) ∈ T [x] Gọi F trường f (x) T Đặt Gal(f ) = {ϕ : F → F | ϕ đẳng cấu trường, (a) = a, a T } Khi Gal(f ) nhóm với phép hợp thành ánh xạ, gọi Galois ®a thøc 3.3.3 Bỉ ®Ị quy víi (i) f Cho nhóm f (x) T T trường f (x) T [x] đa thức bất khả deg f = n Khi n nghiệm đơn ph©n biƯt α1 , , αn ∈ C cã (ii) NÕu ϕ ∈ Gal(f ) th× ϕ(αi ) cịng lµ nghiƯm cđa f (x) víi mäi i = 1, , n Đặc biệt, Gal(f ) cã thĨ ®ång nhÊt víi mét nhãm cđa nhãm ®èi xøng Sn Chøng minh (i) Gäi chung lớn (ii) Do f (x) đạo hàm f Vì f bất khả quy nên ước f f Do f nghiệm bội f (i ) = đẳng cấu trường phân rà f nªn ta cã f (ϕ(αi )) = ϕ(f (αi )) = Kết sau cho phép ta xác định cấp nhóm Galois đa thức nghiệm bội, đặc biệt đa thức bất khả quy 3.3.4 Mệnh đề nghiệm bội Gọi Galois Cho F T lµ mét trêng vµ f (x) ∈ T [x] trường phân rà f T đa thức Khi cấp nhóm Gal(f ) chÝnh lµ bËc cđa më réng trêng T F Sử dụng mệnh đề trên, xác định nhóm Galois, điều thĨ hiƯn c¸c vÝ dơ sau 3.3.5 VÝ dơ Xác định nhóm Galois đa thức f (x) = x2 − ∈ Q[x] √ f (x) lµ x1,2 = ± Trêng ph©n r· cđa f (x) √ Q Q( 2) = {a + b | a, b ∈ Q} Chó ý r»ng f (x) đa thức bất khả quy V× thÕ √ | Gal(f )| = [Q( 2) : Q] = deg f = Bài giải Các nghiệm cđa 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Gal(f ) = {1Q(√2) , }, 1Q(2) tự đồng cấu đồng xác định (a + b 2) = a − b V× thÕ 3.3.6 Ví dụ Bài giải Xác định nhóm Galois đa thức i Đặt = + Các nghiệm f (x) 2 √ √ 3 x1 = 2, x2 = 2, x3 = 22 Vì trường phân rà cña 3.1.10, f (x) = x3 − ∈ Q[x] √ √ √ f (x) lµ F = Q( 2, ) = Q( 2, i 3) Theo VÝ dơ [F : Q] = V× f (x) bÊt khả quy nên nghiệm bội, theo MƯnh ®Ị 3.3.4, cÊp cđa nhãm Galois Gal(f ) Chú ý phần tử Gal(f ) hoàn toàn xác định biết ảnh ( 2) (i 3) Vì đa thức bất khả quy Q x3 nên theo Bổ đề 3.3.3 ta cã √ √ √ √ √ ϕ( 2) ∈ { 2, 2, 2 2} Đa thức bất khả quy i Q x2 + Đa thøc nµy cã nghiƯm lµ i vµ −i V× thÕ ϕ(i 3) ∈ {i 3, −i 3} Từ điều kiện ta tìm phần tử nhóm Galois Gal(f ) đẳng cấu sau đây: = 1F : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = vµ ϕ(i 3) = i √ √ √ √ 3 2) ϕ1 : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = vµ ϕ(i 3) = −i √ √ √ √ 3 3) ϕ2 : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = vµ ϕ(i 3) = i √ √ √ √ 3 4) ϕ3 : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = vµ ϕ(i 3) = −i √ √ √ √ 3 5) ϕ4 : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = 2 vµ ϕ(i 3) = i √ √ √ √ 3 6) ϕ5 : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = 2 vµ ϕ(i 3) = −i 1) f (x) = x4 − 5x2 + Q[x] Bài giải f (x) có nghiệm 2, Trường phân rà f (x) lµ √ √ F = Q( 2, 3) Ta cã √ √ √ √ [F : Q] = [Q( 2, 3) : Q( 2)][Q( 2) : Q] = 3.3.7 Ví dụ Vì Xác định nhóm Galois f (x) nghiệm bội nên theo Mệnh đề 3.3.4, cÊp cđa nhãm Galois Gal(f ) lµ Chó ý phần tử Gal(f ) hoàn toàn xác 35S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 √ √ √ ( 2) ( 3) Đa thức bất khả quy Q x2 Đa thøc nµy cã nghiƯm lµ ± Theo Bỉ ®Ò 3.3.3 ta cã √ √ √ √ ϕ( 2) { 2, 2} Đa thức bất khả quy Q x2 Đa √ √ √ thøc nµy cã nghiƯm lµ ± V× thÕ ϕ( 3) ∈ { 3, − 3} Từ điều định biết ảnh kiện ta tìm 1) 2) 3) 4) 3.4 phần tử Gal(f ) đẳng cấu sau đây: = 1F : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = vµ ϕ( 3) = √ √ √ √ : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = vµ ϕ( 3) = − √ √ √ √ : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = − vµ ϕ( 3) = √ √ √ √ : F −→ F cho bëi ϕ( 2) = − ( 3) = Tiêu chuẩn giải thức 3.4.1 Định nghĩa Cho T trêng vµ f (x) ∈ T [x] Ta nãi r»ng f (x) giải thức T trường phân rà f (x) T nằm mở rộng T Nói theo cách dễ hiểu hơn, đa thức thức nghiệm của f (x) T [x] giải f (x) biểu diễn theo hệ số f (x) thông qua phép toán cộng, trừ, nhân, chia khai Bây đa thức bậc 1, 2, 3, giải thức 3.4.2 VÝ dô (i) Cho f (x) = ax + b ∈ T [x] víi a 6= NghiƯm cđa f (x) x = b/a Vì T trường phân rà f (x) T Rõ ràng T T mở rộng túy kiểu 1, mở rộng Vì đa thức bậc giải thøc √ (ii) Cho f (x) = x2 + bx + c T [x] Đặt F = T (), ®ã α = b2 − 4c Khi ®ã F trường phân rà f (x) T Ta có T F mở rộng túy kiểu không Vì T F mở rộng Do f (x) giải thức T 36S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 3.4.3 VÝ dô Cho f (x) = x3 + qx + r T [x] Đặt B1 = T (), r 4q Khi T B1 mở rộng tuý kiểu không 27 r 4q 3 Đặt B2 = B1 (y), ®ã y = (−r + r + ) Khi B1 B2 mở 27 rộng tuý kiểu không Công thức nghiệm ®a thøc bËc cho √ ta i nghiệm f (x) y + z, y + 2 z, 2 y + z, ®ã = + 2 nguyên thuỷ bậc đơn vị z phần tử tho¶ m·n yz = −q/3 r2 + α= Chó ý z = q/3y B2 Đặt B3 = B2 () Khi B2 B3 mở rộng tuý kiểu Gọi E trường phân rà f (x) T Vì nghiệm f (x) chứa B3 nên E B3 Vì T B3 mở rộng nên f (x) giải thức 3.4.4 Ví dô Cho f (x) = x4 + qx2 + rx + s T [x] Trong phần bàn bạc công thức nghiệm đa thức bậc theo phương pháp Descartes cuối Chương 2, thấy cần tìm số đa thức bậc k, l, m đủ Vì k nghiƯm T [x] nªn theo vÝ dơ trªn, tồn mở rộng T B1 B2 ⊆ B3 cho k ∈ B3 Đặt B4 = B3 (k) Khi B3 B4 mở rộng tuý kiểu không Vì 2m = k + q + r/k 2l = k + q − r/k nªn l, m B4 Công thức nghiệm đa thức bËc cho ta f (x) chÝnh lµ nghiƯm cđa đa thức (x2 +kx+k)(x2 kx+m) Đặt B5 = B4 ( k − 4l) vµ B6 = B5 ( k − 4m) Khi ®ã B4 ⊆ B5 nghiệm của B5 B6 mở rộng tuý kiểu không Do T B6 mở rộng Theo công thức bậc 4, nghiệm f (x) thuộc B6 Gọi E trường phân rà đa thức f (x) T Khi E B6 Vì f (x) giải thức Kết sau đây, gọi Định lí lớn Galois , cho ta tiêu chuẩn hoàn hảo tính giải thức đa thức 3.4.5 Định lý rà (i) Cho T lµ mét trêng vµ f (x) ∈ T [x] Gäi F trường phân f (x) T Khi mệnh đề sau tương đương: f (x) giải thức 37S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 (ii) (iii) Gal(f ) nhóm giải T F mở rộng Như đà trình bày ví dụ trên, phương trình bậc 1,2,3,4 giải thức Phần cuối tiết nhằm ví dụ đa thức bậc không giải thức Để làm điều này, ta cần số kết bổ trợ sau 3.4.6 Bổ đề (Tiêu chuẩn Eisenstein) Cho f = an xn + + a1 x + a0 đa thức với hệ số nguyên Giả sử tồn số nguyên tố ước của an , c¸c hƯ sè an−1 , , a0 ®Ịu chia hÕt cho p cho p không p p2 không ước a0 Khi f (x) bất khả quy Q[x] 3.4.7 Bổ đề Cho khả quy với bậc T R mét trêng vµ f (x) ∈ T [x] lµ mét ®a thøc bÊt n ≥ NÕu n lµ sè nguyên tố f (x) có n nghiƯm thùc th× nhãm Galois Gal(f ) cđa f (x) T đẳng cấu với nhóm đối xứng Sn Bây ta đưa số ví dụ đa thức không giải thức 3.4.8 Ví dụ Bài giải: Đa thức Đặt số nguyên tố x5 4x2 + Q[x] không giải thức f (x) = x5 4x2 + Theo tiêu chuẩn Eisenstein áp dụng với p = ta suy f (x) bất khả quy trªn Q Ta cã f (−1) = −3; f (0) = 2; f (1) = −2; f (2) = 18 Vì f (x) liên tục R nên f có ba nghiệm nằm khoảng (1, 0), (0, 1), (1, 2) Ta cã f (x) = 5x4 −r 8x = x(5x3 − 8) Do ®ã f (x) cã V× thÕ f (x) có hai nghiệm thực x1 = x2 = giá trị cực đại giá trị cực tiểu R Từ biến thiên hàm f (x), ta suy f (x) có nghiệm thực Theo Bổ đề trên, nhóm Galois Gal(f ) Q đẳng cấu với nhóm đối xứng S5 Vì S5 nhóm không giải nên 38S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Gal(f ) lµ nhóm không giải Theo Định lí lớn Galois, đa thức f (x) không giải thức 3.4.9 Ví dụ Bài giải: x5 6x2 + Q[x] không giải thức Đặt f (x) = x5 − 6x2 + Khi ®ã f (x) bất khả quy theo tiêu chuẩn Eisenstein áp dụng với số nguyên tố p = Nhìn vào ®å thÞ cđa f (x) ta thÊy r»ng f (x) cã nghiÖm thùc (xÊp xØ −1, 7; 0, 5; 1, 4r ) nghiệm phức liên hợp: f tăng từ đến điểm đạt cực đại t¹i x0 = víi f (x0 ) > 0, r sau giảm đến điểm cực tiểu t¹i x1 = − víi f (x1 ) < Ta cßn cã f (−2) < 0; f (−1) > 0; f (1) < V× thÕ nhãm Galois Gal(f ) Q đẳng cấu với nhóm đối xứng Định lí lớn Galois, S5 Vì Gal(f ) nhóm không giải Theo f (x) không giải thức Bằng phương pháp tương tự, chứng minh đa thức sau không giải thức 3.4.10 Ví dụ x5 35x4 + Q[x] không giải thøc Chó ý r»ng nÕu thøc th× víi mäi f (x) T [x] đa thức bậc không giải n 5, đa thức (x 1)ndeg f f (x) T [x] đa thức bậc n không giải thức Như vậy, với thức bậc n 5, tồn đa n không giải thức 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [Tr] Ngô Việt Trung, Lý thuyết Galois, NXB ĐHQG Hà Nội (2006) [Ar] E Artin, Galois Theory, Dove Publications (1998) [Esc] J P Escofier, Galois Theory, Springer (2004), Third Edition [Rot] J Rotman, Galois Theory, Springer (2001), Second Edition [St] I Stewart, Galois Theory, Chapman and Hall (1989) 40 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Luận văn đà bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày 09 tháng năm 2011 đà chỉnh sửa với ý kiến đóng góp thầy, cô hội đồng Thái Nguyên, ngày 10 tháng năm 2011 Xác nhận cán hướng dẫn khoa học PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn 41S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn