Phép chia đa thức nhiều biến và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN NGỌC BIÊN PHÉP CHIA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Phép chia với dư đa thức biến trường 1.1 PhÐp chia víi d­ 1.2 ThuËt toán tìm ước chung lớn 12 1.3 Vành đa thức biến 17 PhÐp chia với dư vành đa thức nhiều biến 21 2.1 Iđêan đơn thức 21 2.2 Mét sè toán iđêan đơn thức 25 2.3 Thuật toán chia đa thức nhiều biến 27 2.4 Cơ sở Groebner số ứng dông 30 33 40 2.5 Thuật toán Buchberger Tài liệu tham khảo S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Sau thời gian nghiên cứu, luận văn thạc sĩ đà hoàn thành với tên đề tài `` Phép chia đa thức nhiều biến số ứng dụng" Những kết ban đầu mà thu nhờ hướng dẫn tận tình nghiêm khắc PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo khoa Toán Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đà tạo điều kiện cho hoàn thành đề tài thời gian qua Đội ngũ cán thuộc phòng Đào tạo Khoa Toán đà hết lòng ủng hộ, giúp đỡ lớp cao học K3 với thái độ nhiệt tình, thân thiện Điều mÃi ấn tượng tốt đẹp lòng nhà trường Tôi xin cảm ơn Sở Nội vụ, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bắc Giang, trường THPT Bố Hạ, tổ Toán-Tin trường THPT Bố Hạ đà tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè người đà quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Chúng ta biết thuật toán Euclid đà có từ lâu có nhiều ứng dụng quan trọng toán học Đặc biệt, thuật toán Euclid công cụ mạnh hữu hiệu việc nghiên cứu đa thức iđêan vành đa thức biến trường Tuy nhiên, trường hợp nhiều biến, thuật toán Euclid vành đa thức nhiều biến không vành Euclid nữa, chí không vành chính, chưa có ``phép chia với dư'' Vì thế, tự nhiên, người ta cần tìm công cụ để nghiên cứu đa thức vành đa thức nhiều biến hữu hiệu thuật toán Euclid trường hợp biến Lý thuyết sở Groebner đời phần nhằm đáp ứng nhu cầu cần thiết Khái niệm sở Groebner giới thiệu lần H Hironaka vào năm 1960 với tên ``cơ sở chuẩn", sau thời gian ngắn, độc lập với Hironaka, khái niệm trình bày luận án tiến sĩ B Buchberger Buchberger đà đặt tên sở Groebner để tỏ lòng kính trọng W Groebner, thầy hướng dẫn luận án Cơ sở Groebner có ứng dụng rộng rÃi nhiều ngành khác toán học Đặc biệt, sở Groebner công cụ mạnh việc giải toán đa thức iđêan vành đa thức nhiều biến trường Mục đích luận văn trình bày phép chia với dư đa thức biến trường, từ xây dựng thuật toán chia với dư vành đa thức nhiều biến giới thiệu phần lí thuyết sở Groebner Luận văn gồm chương Chương trình bày phép chia với dư đa thức biến ¸p dơng nh­: tht to¸n t×m ­íc chung lín nhÊt hai đa thức, thuật toán biểu diễn ước chúng lớn thành tổ hợp tuyến S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tính đa thức đà cho, toán trục thức mẫu số, toán tìm phần tử sinh tổng giao iđêan vành đa thức biến Chương giới thiệu thuật toán chia với dư vành đa thức nhiều biến Phần đầu Chương xét iđêan đơn thức vành đa thức nhiều biến, từ xây dựng thuật toán chia vành đa thức nhiều biến Phần trình bày iđêan dấu, sở Groebner thuật toán Buchberger để tìm sở Groebner Từ ứng dụng để trả lời câu hỏi đa thức dư nhất, giải toán thành viên Hầu hết kết quan trọng luận văn tham khảo hai sách Ideals, Varieties and Algorithms, an introduction to computative Algelra ba tác giả D Cox, J Little vµ D O' Shea [CLO] vµ Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry cña E Kunz [Ku] Mét số kiến thức sở luận văn tham khảo từ giáo trình tiếng Việt Đại số đại cương [C], [HT] S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng PhÐp chia với dư đa thức biến trường Chương trình bày kết quan trọng phép chia với dư đa thức biến trường thuật toán tìm ước chung lớn nhất, biểu diễn ước chung lớn thành tổ hợp tuyến tính đa thức, toán trục thức mẫu, toán thành viên, thuật toán tìm phần tử sinh tổng iđêan giao iđêan vành đa thức Các kết chương hoàn toàn cho đa thức với số trường bất kì, thuận tiện trình bày trường hợp hệ số đa thức số phức 1.1 Phép chia với dư 1.1.1 Định nghĩa Cho K C Ta gäi K lµ mét tr­êng nÕu ∈ K vµ K đóng kín với phép toán cộng, trừ, nhân, chia cho phần tử khác Chẳng hạn, Q, R, C trường Tập Q[ p] = {a + b p | a, b ∈ Q} lµ trường p số nguyên tố Từ sau, giả thiết K C tr­êng Mét biĨu thøc d¹ng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a0 , ∈ K, an 6= gọi đa thức cđa Èn x (hay biÕn x) víi hƯ sè K Hệ số an gọi hệ số Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn cao nhÊt cña f (x), số tự nhiên n gọi bậc f (x) kí hiệu deg f (x) Khi an = f (x) gọi đa thức dạng chuẩn Ta định nghĩa bậc cho đa thức khác quy ước đa thức bậc Kí hiệu K[x] tập ®a thøc Èn x víi hƯ sè K Gi¶ sư f (x) = P i P xi g(x) = bi x , ta định nghĩa f (x) + g(x) = (ai + bi )xi vµ X P k bj f (x)g(x) = ck x , ®ã ck = P i+j=k 1.1.2 Chó ý Víi f (x), g(x) ∈ K[x] ta lu«n cã deg(f (x) + g(x)) max{deg f (x), deg g(x)} deg(f (x).g(x)) = deg f (x) + deg g(x) TiÕp theo định lí phép chia với dư cho đa thức biến 1.1.3 Định lý Cho f (x), g(x) K[x] với g(x) 6= Khi tồn cặp đa thức q(x), r(x) K[x] cho f (x) = g(x)q(x) + r(x), víi r(x) = hc deg r(x) < deg g(x) Chøng minh Chøng minh tÝnh nhÊt Gi¶ sư f (x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q1 (x) + r1 (x), ®ã r(x), r1 (x) có bậc nhỏ bËc cđa g(x) Khi ®ã g(x)(q(x) − q1 (x)) = r1 (x) − r(x) NÕu r1 (x) nªn = r(x) th× g(x)(q(x) − q1 (x)) = V× g(x) 6= vµ K lµ tr­êng q(x) − q1 (x) = 0, tøc lµ q(x) = q1 (x) NÕu r(x) 6= r1 (x) th×
deg(r − r1 ) = deg g(q − q1 ) = deg g + deg(q − q1 ) Chó ý r»ng deg(r − r1 ) max{deg r, deg r1 } < deg g deg g + deg(q − q1 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Điều mâu thuẫn với đẳng thức Sự tồn cặp đa thức đây: Nếu sử q(x) r(x) đựơc suy từ thuật toán deg f (x) < deg g(x) th× ta chän q(x) = r(x) = f (x) Giả deg f (x) deg g(x) NhËn xÐt r»ng nÕu cã ®a thøc h(x) ∈ K[x] cho f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) có bậc bé bậc f (x) toán quy toán đơn giản hơn, tìm thương dư phép chia f1 (x) cho g(x) Tõ nhËn xÐt nµy, ta cã thuËt toán tìm q r sau: f (x) = am xm + + a0 vµ g(x) = bn xn + + b0 víi am , bn 6= am mn x Đặt f1 (x) = f (x) g(x)h(x) Khi n m Chän h(x) = bn f1 (x) = f1 (x) có bậc thực bé bËc cđa f (x) Trong tr­êng Cho hỵp f1 (x) = 0, ta tìm dư phép chia f (x) cho g(x) r(x) = thương q(x) = h(x) NÕu f1 (x) 6= th× ta tiếp tục làm tương tự với f1 (x) ta đa thức f2 (x) Cứ tiếp tục trình ta dÃy đa thức f1 (x), f2 (x), , chúng khác chúng có bậc giảm dần Vì sau hữu hạn bước ta đa thức có bậc bé bậc đa thức dư g(x) r(x) Nếu đa thức dÃy dư r(x) = Để nhận thấy rõ ta viết c¸c b­íc: f1 (x) = f (x) − g(x)h(x) f2 (x) = f1 (x) − g(x)h1 (x) fk (x) = fk−1 (x) − g(x)hk−1 (x) víi fk (x) = hc deg fk (x) < deg g(x) Cộng vế với vế đẳng thức lại, ta ®­ỵc f (x) = g(x)(h(x) + h1 (x) + + hk−1 (x)) + fk (x) Tõ ®ã ta cã q(x) = h(x) + h1 (x) + + hk−1 (x) vµ r(x) = fk (x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong định lý trên, phép chia q(x) gọi thương r(x) gọi dư f (x) cho g(x) 1.1.4 VÝ dơ Trªn tr­êng Q, ta xÐt f (x) = −2x3 − 14x2 + 4x − vµ g(x) = −2x2 + 2x − Chia f (x) cho g(x) ta x3 7x2 + 2x − = (−2x2 + 2x − 1)(x + 8) − 11x + Ta cã th­¬ng q(x) = x + vµ d­ r(x) = −11x + NÕu d­ cña phÐp chia cho f (x) cho g(x) tồn q(x) K[x] f (x) = g(x)q(x) Trong trường hợp ta nói r»ng f (x) chia hÕt cho g(x) hay g(x) lµ ước f (x) 1.1.5 Hệ Cho K trường a K Khi dư cña phÐp chia f (x) ∈ K[x] cho x − a lµ f (a) Chøng minh Chia f (x) cho x a, dư ®a thøc bËc v× bËc cđa (x − a) Vì vậy, dư phần tử r ∈ K Ta cã f (x) = (x − a)q(x) + r Thay x = a vào đẳng thức ta r = f (a) Lược đồ Hoocne (Horner scheme) Giả sử K trường f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K[x] Víi a ∈ K, chia f (x) cho x a ta f (x) = (x−a)g(x)+r, d­ r ∈ K vµ g(x) = bn−1 xn1 + .+b1 x+b0 Đồng hệ sè, ta cã thĨ t×m nhanh sè d­ cđa g sau: r hệ số bn1 , , b1 , b0   bn−1 = an         b = a + ab i−1 i i       b0 = a1 + ab1    r = a + b Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lược đồ sau đây, gọi lược đồ Hoocne: an an1 ÃÃà a bn1 = an bn−2 = abn−1 + an−1 · · · Chẳng hạn, để thực phép chia a1 a0 b0 = ab1 + a1 r = b0 + a0 x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − cho x + 1, ta lập lược đồ Hoocne −8 −1 −3 −12 VËy x5 − 2x4 + 5x2 + 6x − = (x + 1)(x4 − 3x3 + 3x2 + 2x 4) 12 1.1.6 Định nghĩa Cho K trường Phần tử C gọi mét nghiƯm cđa ®a thøc f (x) = an xn + + a1 x + a0 ∈ K[x] nÕu f (α) = an αn + + a1 α + a0 = Tõ HÖ qu¶ 1.1.5 ta cã kÕt qu¶ sau 1.1.7 HƯ Cho K trường a K Khi a nghiệm đa thức f (x) K[x] tồn đa thøc g(x) ∈ K[x] cho f (x) = (x a)g(x) Cho k > số nguyên Một phần tử a K gọi nghiƯm béi k cđa ®a thøc f (x) ∈ K[x] nÕu f (x) chia hÕt cho (x − a)k nh­ng kh«ng chia hÕt cho (x − a)k+1 NÕu k = a gọi nghiệm đơn Nếu k = a gọi nghiệm kép 1.1.8 Hệ Phần tử a K nghiệm béi k cđa f (x) ∈ K[x] nÕu vµ chØ nÕu f (x) = (x − a)k g(x) víi g(x) K[x] g(a) 6= Chứng minh Giả sử a nghiệm bội k f (x) Vì f (x) chia hÕt cho (x − a)k nªn f (x) = (x − a)k g(x) víi g(x) ∈ K[x] NÕu g(a) = theo Hệ 1.1.7 ta có ®ã g(x) = (x − a)h(x) víi h(x) ∈ K[x] vµ f (x) chia hÕt cho (x − a)k+1 , vô lí Vậy g(a) 6= Ngược lại, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Chøng minh Râ rµng I ∩J ⊇ (lcm(mi , uj ) | i = 1, · · · , t, j = 1, · · · , r) Mệnh đề chứng minh ta đơn thức bội ®¬n thøc I ∩ J ®Ịu lcm(mi , uj ) Giả sử u đơn thức I J Khi u I u J Vì I iđêan đơn thức nên u bội mi Tương tự, J iđêan đơn thức nên u bội uj Vì u bội lcm(mi , uj ) 2.2.4 VÝ dô Cho I = (xy, x2 z, yz ) vµ J = (x2 z , yz) Khi ®ã ta cã I ∩ J = (x2 yz , x2 z , x2 yz , xyz, x2 yz, yz ) = (x2 z , xyz, yz ) 2.2.5 Định nghĩa Cho I = (f1 , , fs )R vµ J = (g1 , , gt )R hai iđêan R Đặt (I : J) = {h ∈ R | Jh ⊆ I} Khi (I : J) iđêan R ta gọi thương I J Cho I J hai iđêan R, J = (g1 , · · · , gr ) Râ rµng I : J = (I : g1 ) ∩ (I : g2 ) ∩ · · · ∩ (I : gr ) Vì thế, ta cần giải toán tìm thương sau 2.2.6 Mệnh đề (Bài toán tìm thương cho iđêan đơn thức) Cho I iđêan đơn thức sinh đơn thức m1 , · · · , mt Cho u lµ mét đơn thức Với i = 1, à à à , t, đặt di = gcd(mi , u) Giả sử mi = di vi Khi ®ã ta cã (I : u) iđêan sinh đơn thức v1 , à à à , vt Đặc biệt, thương hai iđêan đơn thức iđêan đơn thức Chøng minh Râ rµng (v1 , · · · , vt ) (I : u) Giả sử f mét ®a thøc cđa (I : u) Khi ®ã f u ∈ I Gäi m lµ mét tõ tuú ý f Do I iđêan đơn thức nên Do mu bội đơn thức mi m bội vi (I : u) ⊆ (v1 , · · · , vt ) 2.2.7 VÝ dô Cho I = (xyz, x3 yz, yz ) vµ J = (x2 z , yz) Tìm thương I J S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Lời giải Đặt u1 = x2 z , u2 = yz, m1 = xyz, m2 = x3 yz, m3 = yz , d1 = gcd(m1 , u1 ) = xz, d2 = gcd(m2 , u1 ) = x2 z, d3 = gcd(m3 , u1 ) = z Đặt mi = di vi Khi ®ã ta cã v1 = y, v2 = xy, v3 = yz Theo MƯnh ®Ị 2.2.6 ta cã (I : u1 ) = (y, xy, yz) T­¬ng tù ta cã (I : u2 ) = (x, yz, z ) Do ®ã I : J = (I : u1 ) ∩ (I : u2 ) = (xy, yz, xyz, yz , xyz ) = (xy, yz) 2.3 ThuËt toán chia đa thức nhiều biến Như đà nhắc phần mở đầu, thuật toán Euclid vành đa thức biến trường mở rộng cho trường hợp nhiều biến Lý chia hai đa thức nhiều biến đa thức cđa mét biÕn th× hƯ tư cao nhÊt cđa f cho g, coi g g đa thức n biến lại, nói chung hệ tử cao không khả nghịch Vì thế, cách tự nhiên, ta phải tìm cách xây dựng thuật toán chia hữu hiệu vành đa thức nhiều biến Tuy thuật toán Euclid không mở rộng cách trực tiếp lên trường hợp nhiều biến chứa mầm mống cho việc giải trường hợp nhiều biến Đó việc hạ bậc sau bước Cần ý ta dùng bậc tổng thể bậc theo biến để hạ có nhiều từ mét ®a thøc cã cïng bËc nh­ thÕ Do ®ã ta cần xếp đơn thức theo thứ toàn phần nguyên tắc đó, mà ta gọi thứ tự từ, để thuận tiện cho công việc Trong suốt chương này, kí hiệu biến với hƯ sè trªn R = K[x1 , , xn ] vành đa thức n K Kí hiệu Nn tập n số tự nhiªn Víi α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn ta viÕt xα = xα1 · · · xαnn Víi α = (α1 , , αn ), β = (β1 , , βn ) ∈ Nn , ta ®Þnh nghÜa α + β = (α1 + β1 , , n + n ) 2.3.1 Định nghĩa Kí hiệu M tập đơn thức R Một thứ tự từ (hay thứ tự đơn thức ) quan hệ thứ tự toàn phần S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn M thoả mÃn http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 tính chÊt (i) NÕu (ii) xα < xβ th× xα+γ < xβ+γ , víi mäi α, β, γ ∈ Nn thứ tự tốt, tức phận khác rỗng M có phần tử nhỏ Nhận xét phần tử thức = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn xác định đơn x = x1 à à à xnn Vì tiện ta coi thứ tự từ quan hệ thứ tự toàn phần với phần tử Nn thoả m·n α < β kÐo theo α + γ < β + γ, α, β, γ ∈ Nn , vµ phận khác rỗng Nn có phần tử nhỏ Khi < chØ xα < xβ víi mäi α, β ∈ Nn Ta nói từ ax bé từ bxβ , viÕt lµ axα < bxβ , nÕu xα < xβ 2.3.2 VÝ dô Hai thø tù tõ sau hay sử dụng Thứ tự từ ®iÓn Cho α = (α1 , · · · , αn ), β = (β1 , · · · , βn ) ∈ Nn , ®ã α 6= Ta nói bé , viết m2 > · · · > mk > · · · {m1 , m2 , , mk , } tập đơn thức R phần tử nhỏ Điều vô lý Do trình phải kết thúc sau số hữu hạn bước Định lý chứng minh 2.3.4 Định nghĩa Biểu diễn f qua hÖ f1 , · · · , fs nh­ định lý gọi biểu diễn chuẩn cđa 2.3.5 VÝ dơ Cho f ®èi víi f1 , · · · , fs R = K[x, y] Xét thứ tự từ điển với x > y Để chia f = x2 y +xy +y cho f1 = xy −1 vµ f2 = y −1 ta tiÕn hµnh nh­ sau Ta cã in(f1 ) = xy vµ in(f2 ) = y DƠ thÊy x2 y từ cao từ f chia hÕt cho in (f1 ) hc in(f2 ) Vì ta đặt F1 = f xf1 = xy +y +x Vì xy từ cao nhÊt nh÷ng tõ cđa F1 chia hÕt cho in (f1 ) in(f2 ) nên ta đặt F2 = F1 − yf1 = y + x + y Ta lại có y từ cao nh÷ng tõ cđa F2 chia hÕt cho in (f1 ) in(f2 ) Vì ta đặt F3 = F2 − f2 = x + y + Kh«ng cã tõ nµo cđa F3 chia hÕt cho in (f1 ) hc in(f2 ) VËy ta cã biĨu diƠn chn 2.4 f = (x + y)f1 + f2 + (x + y + 1) Cơ sở Groebner số ứng dụng 2.4.1 Chú ý Một khó khăn xuất thuật toán chia vành đa thức nhiều biến phần dư không thiết xác định Chẳng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 h¹n, xÐt phÐp chia víi thø tù tõ ®iĨn f = x2 y + xy + y cho f1 = xy − vµ f2 = y − x > y Theo tht to¸n chia, ta cã hai biĨu diƠn chn f = (x + y)f1 + f2 + (x + y + 1) vµ f = (x + 1)f2 + xf1 + 2x + với hai phần dư khác Một khó khăn phép chia đa thức đa thức f1 , à à à f cho , fs , phần dư khác f có phần tử iđêan sinh f1 , à à à , fs hay không Chẳng hạn, xét phép chia f = xy cho f1 = x2 vµ f2 = xy + y víi thø tù tõ ®iĨn x > y Ta cã biĨu diƠn chn ta l¹i cã f = yf2 y Như vậy, phần dư y 6= nh­ng f = xf2 − yf1 (f1 , f2 ) Để khắc phục khó khăn trên, cần xét hệ f1 , à à à , fs có tính chất ``đặc biệt" mà gọi sở Groebner Trước hết cần khái niệm sau 2.4.2 Định nghĩa đa thức Cho iđêan Cho I iđêan R Iđêan sinh từ dấu I, ký hiệu in (I), gọi iđêan dấu I I = (f1 , à à · , fs ) Ta lu«n cã (in(f1 ), · · · , in(fs ))R ⊆ in(I) Tuy nhiªn, in (I) vµ (in(f1 ), · · · , in(fs )) khác Chẳng hạn, cho I iđêan sinh bëi f1 , f2 víi f1 = x3 − 2xy vµ f2 = x2 y − 2y + x đa thức trường số thực Xét thứ tự từ điển phân bậc với Khi x > y x2 = xf2 − yf1 Do x2 I x2 in(I) Tuy nhiªn ta cã x2 ∈ / (x3 , x2 y)R = (in(f1 ), in(f2 )) Điều dẫn tới khái niệm sau 2.4.3 Định nghĩa Cho trước thứ tự từ I iđêan R Mét hÖ f1 , · · · , fs đa thức I gọi sở Groebner I in(I) sinh tõ dÊu in (f1 ), · · · , in(fs ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 2.4.4 MƯnh ®Ị Cho tr­íc thứ tự từ Khi iđêan I có sở Groebner Chứng minh Vì in(I) iđêan đơn thức nên tồn hữu hạn đơn thức m1 , · · · , ms sinh in(I) Mỗi đơn thức mi từ dấu đa thức fi I Vì f1 , à à à , fs sở Groebner I 2.4.5 Bổ đề Cho I iđêan R Khi sở Groebner I lµ hƯ sinh cđa I Chøng minh Cho f1 , à à à , ft sở Groebner I Khi hiển nhiên ta có (f1 , à à à , ft )R I Ngược lại, cho f ∈ I Chia f cho f1 , · · à , ft ta f = h1 f1 + · · · + ht ft + r, ®ã từ r không chia hết cho in(fi ) víi mäi thÕ, nÕu i = 1, · · · , t Ta cã r = f − h1 f1 − · · · − ht ft ∈ I Vì r 6= ta phải có in (r) in(I) in(r) phải chia hết cho từ dấu in (fi ) đa thức fi Điều vô lí Suy r = f ∈ (f1 , · à à , ft ) Định lý quan trọng sau khẳng định iđêan vành đa thức hữu hạn sinh 2.4.6 Định lý (Định lý sở Hilbert) Mọi iđêan R có hệ sinh hữu hạn Chứng minh Giả sử I iđêan R Nếu I = hiển nhiên Cho I 6= Gäi f1 , · · · , ft sở Groebner I Khi I sinh bëi f1 , · · · , ft Định lý sau toán thành viên giải cho iđêan I nÕu chóng ta biÕt mét c¬ së Groener cđa I 2.4.7 Định lý (Giải toán thành viên) Cho I iđêan R f1 , à à à , ft sở Groebner I Khi đó, với đa thức f S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 R, d­ cña phÐp chia f cho f1 , à à à , ft xác định Trong trường hợp f I chØ d­ phÐp chia f cho f1 , · · · , ft lµ Chøng minh Cho f ∈ R Râ rµng r»ng nÕu d­ cđa phÐp chia f cho f1 , · · · , ft f I Ngược lại, cho f ∈ I Gi¶ sư ta cã mét biĨu diƠn chn f = f1 h1 + · · · + ft ht + r Khi ®ã r ∈ I NÕu r 6= th× v× f1 , · · · , ft sở Groebner I nên in(r) phải bội từ dấu in(fi ) đa thức fi Điều vô lý Vậy sử đa thức r = Tiếp theo, giả f ∈ R cã hai biĨu diƠn chn f = h1 f1 + · · · + ht ft + r1 vµ f = g1 f1 + · · · + gt ft + r2 Khi ®ã r2 − r1 I Vì theo chứng minh trên, dư phÐp chia r2 − r1 cho f1 , · · à , ft Lại ý r2 − r1 cịng chÝnh lµ d­ cđa phÐp chia r2 − r1 cho f1 , · · · 2.5 , ft Vì r1 = r2 Thuật toán Buchberger Như đà trình bày Định lý 2.4.7, để giải toán thành viên cho iđêan I, cần biết sở Groebner I Nhà toán học người áo B Buchberger đà dùng thuật toán chia để đưa tiêu chuẩn cho hệ sinh iđêan sở Groebner Từ ông xây dựng thuật toán tìm sở Groebner Với cặp đa thức f, g R, ta đặt v = lcm(in(f ), in(g)) vµ S(f, g) = v v f g in(f ) in(g) S(f, g) gọi Sđa thức f g 2.5.1 Định lý (Tiêu chuẩn Buchberger) Cho I iđêan R vµ f1 , · · · , ft lµ mét hƯ sinh cđa I Khi ®ã f1 , · · à , ft sở Groebner I với i 6= j, phần dư cña phÐp chia S(fi , fj ) cho f1 , · · · , ft lµ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chøng minh Gi¶ sư f1 , · · · , ft sở Groebner I Vì S(fi , fj ) I nên theo Định lý 2.4.7, d­ phÐp chia S(fi , fj ) cho f1 , à à à , ft đa thức Ngược lại, giả sử dư phép chia S(fi , fj ) cho f1 , · · · , ft đa thức với i 6= j Ta cÇn chøng minh f1 , · · · , ft sở Groebner I Cho 6= f ∈ I Ta ph¶i chØ in (f ) ∈ (in(f1 ), · · · , in(ft )) V× f I nên tồn hi R, i = 1, · · · , t, cho f = h1 f1 + · · · + ht ft Gọi m(i) đơn thức từ in (hi fi ) M đơn thức cao ®¬n thøc m(1), · · · , m(t) Khi ®ã rõ ràng in (f ) M Xét tất biểu diễn f thành tổ hợp f1 , à à à , ft Với biểu diễn ta nhận đơn thức M (phụ thuộc vào biểu diễn) Vì thứ tự từ thứ tự toàn phần dÃy giảm phải dừng nên ta chọn biểu diễn cđa f cho M lµ bÐ nhÊt Víi M vừa chọn, ta khẳng định M đơn thức cđa tõ in (f ) Chó ý r»ng nÕu kh¼ng định chứng minh ta có in(f ) ∈ (in(f1 ), · · · , in(ft )), vµ định lý chứng minh Giả sử trái lại, tức in (f ) < M Viết f d­íi d¹ng X X X X f= hi fi + hi fi = in(hi )fi + (hi − in(hi ))fi m(i)=M m(i) z th× hƯ y − x2 , z x3 không sở Groebner iđêan (y x2 , z x3 ) Bucberger đà thuật toán để thu sở Groebner I xuất phát từ hệ sinh I Thuật toán thể định lí sau 2.5.5 Định lý Cho I = (f1 , à à à , ft )R iđêan khác vành đa thức R Khi ta tìm sở Groebner I theo tht to¸n sau Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Bước Đặt G1 = {f1 , · · · , ft } T×m d­ ri,j phÐp chia S(fi , fj ) cho f1 , · · · , ft NÕu tất ri,j G1 sở Groebner I Quá trình kết thúc Trường hợp ngược lại, gọi ft+1 đa thức dư khác xuÊt hiÖn phÐp chia S(fi , fj ) cho f1 , à à à , ft Thay hÖ sinh f1 , f2 , · · · , ft cđa I bëi hƯ sinh míi f1 , f2 , · · · , ft , ft+1 Bước 2: Đặt G2 = {f1 , à à · , ft , ft+1 } Quay l¹i B­íc ®èi víi hƯ sinh G2 Cø tiÕp tơc qu¸ trình Đến trình kết thúc, hệ sinh cuối thu sở Groener I Chứng minh Nếu trình kết thúc sau số hữu hạn bước theo tiêu chuẩn Buchberger, hệ sinh cuối thu sở Groener I Như vậy, cần trình phải kết thúc sau số hữu hạn bước Giả sử trình kết thúc sau số hữu hạn bước Với hệ sinh G1 I ta thu iđêan đơn thức tương ứng I1 = (in(f1 ), · · · , in(ft ))R Với hệ sinh G2 I, ta có iđêan đơn thøc I2 = (in(f1 ), · · · , in(ft ), in(ft+1 ))R Cø tiÕp tôc nh­ vËy, ta thu dÃy iđêan đơn thức I1 , I2 , · · · lµ béi cđa bÊt cø in (fi ), i Râ rµng I1 ⊆ I2 Vì in(ft+1 ) không = 1, à à à , t, nên in(ft+1 ) / I1 Do I1 6= I2 Cø lËp luËn t­¬ng tù, ta có dÃy vô hạn iđêan tăng thực I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ Im ⊂ · à à Gọi J hợp tất Ii , i = 1, 2, · · · DÔ kiểm tra J iđêan R Vì vậy, theo định lý sở Hilbert, tồn hệ hữu hạn đa thức h1 , à à à , hk sinh J Mỗi đa thức hj , j = 1, · · · , k, ph¶i n»m iđêan dÃy Vì ta chọn số tất s để Is chøa hj , j = 1, , k Do ®ã ta cã J = Is = Is+1 = Is+2 = à à à Điều vô lý S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 2.5.6 Ví dụ Trên vành đa thức cđa hai biÕn x, y trªn tr­êng thùc, cho I = (f1 , f2 ), ®ã f1 = x3 − 2xy vµ f2 = x2 y − 2y + x Xét thứ tự từ điển phân bậc cho x > y Ta cã S(f1 , f2 ) = −x2 Do ®ã d­ cđa phÐp chia S(f1 , f2 ) f1 , f2 lµ f3 = −x2 6= XÐt hÖ sinh tiÕp theo f1 , f2 , f3 cña I Ta cã S(f1 , f2 ) = f3 Do ®ã d­ cđa phÐp chia S(f1 , f2 ) cho f1 , f2 , f3 lµ Ta cã S(f1 , f3 ) = f1 − (−x)f3 2xy Do dư tương ứng f4 = −2xy 6= XÐt hÖ sinh chia f1 , f2 , f3 , f4 Ta cã S(f1 , f2 ) = f3 , S(f1 , f3 ) = f4 Vì dư S(f1 , f2 ) S(f1 , f3 ) cho f1 , f2 , f3 , f4 Ta có S(f1 , f4 ) = yf1 − (−1/2)x2 f4 Do ®ã d­ cña phÐp chia S(f1 , f4 ) cho f1 , f2 , f3 , f4 lµ Ta cã S(f2 , f3 ) = f2 −(−y)f3 Do ®ã d­ tương ứng với S(f2 , f3 ) Chia S(f2 , f4 ) cho hÖ f1 , f2 , f3 , f4 ta dư f5 = 2y + x XÐt hƯ sinh míi f1 , f2 , f3 , f4 , f5 Ta dƠ kiĨm tra dư phép chia S(fi , fj ) cho f1 , f2 , f3 , f4 , f5 sở Groebner với i, j = 1, 2, 3, 4, VËy f1 , f2 , f3 , f4 , f5 lµ I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [CLO] D Cox, J Little, D O' Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, an introduction to computative Algelra , Springer-Verlag, 1991 [C] NguyÔn Tù C­êng, Đại số đại, tập , NXB ĐHQGHN, 2001 [HT] Bùi Huy Hiền Phan DoÃn Thoại, Bài tập Đại số số học, Tập 2, Nhà xuất GD, 1986 [H] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương , NXB ĐHQGHN, 2000 [K] E Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geom- etry, Birkhauser, 1990 [L] Ng« Thúc Lanh, Đại số số học, Tập 2, Nhà xt b¶n GD, 1986 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn