Hàm biến đổi chậm và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRẦN QUYỀN HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033669201000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRẦN QUYỀN HÀM BIẾN ĐỔI CHẬM VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn TS LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - 2021 MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu Chương Một số tính chất hàm biến đổi chậm 1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm 1.1.1 Định lí biểu diễn hàm biến đổi chậm 1.1.2 Giới hạn hàm biến đổi chậm 1.1.3 Tích phân hàm biến đổi chậm 1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm 1.1.5 Hàm ngược hàm biến đổi chậm 1.2 Định lí Tauberian 1.2.1 Phép biến đổi Laplace - Stieltjes 1.2.2 Chuỗi luỹ thừa 1.2.3 Chuỗi Fourier 1.2.4 Phép biến dổi fourier 1.2.5 Biến đổi Fourier - Stieltjes Chương Ứng dụng hàm biến đổi chậm 2.1 Biến ngẫu nhiên với đuôi biến đổi chậm 2.1.1 Hàm momen điểm vi phân 2.1.2 Tổng hữu hạn 2.1.3 Tổng có trọng số 2.1.4 Tổng ngẫu nhiên 2.1.5 Tích hai biến ngẫu nhiên 2.2 Ứng dụng lí thuyết rủi ro 2.3 Ước lượng mô hình hồi quy phi tham số 2.3.1 Giới thiệu đánh giá 2.3.2 Kết 8 10 14 15 16 16 18 19 28 30 32 32 32 35 37 39 41 42 43 44 45 2.3.3 Ví dụ mô số 51 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 55 Quyết định giao đề tài (bản sao) 59 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Trần Quyền LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giảng viên - TS Lê Văn Dũng, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán tồn thể thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Viện Toán học truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho ý kiến đóng góp q báu suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng,ngày 08 tháng 08 năm 2021 Người viết luận văn Nguyễn Trần Quyền MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm biến đổi chậm trường hợp riêng hàm phân quy có nhiều ứng dụng xác suất thống kê Một ứng dụng lý thuyết giá trị cực trị Sự liên hệ chúng đề cập nhà toán học Feller (1971), Sidney (1987), Bingham et al (1989), De Haan Ferreira (2006), Hơn nữa, việc nghiên cứu nhớ dài (hay phụ thuộc tầm xa) q trình ngẫu nhiên thơng qua mơ hình hố hàm biến đổi chậm lĩnh vực quan trọng xác suất thống kê Ngoài chúng cịn có ứng dụng định thuỷ học, tài hay mơ hình viễn thơng Hàm biến đổi chậm khơng có liên hệ với lý thuyết cực trị nhớ dài mà nhiều ứng dụng lý thuyết rủi ro hay định lí giới hạn Vì thế, luận văn đề cập đến khái niệm bản, tính chất hàm biến đổi chậm số ứng dụng giải tích ngẫu nhiên Với lí trên, tơi chọn đề tài "Hàm biến đổi chậm số ứng dụng" để thực luận văn Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu vấn đề liên quan đến hàm biến đổi chậm ứng dụng xác suất thống kê • Tổng hợp nêu số ứng dụng tiêu biểu hàm biến đổi chậm lĩnh vực xác suất thống kê Đối tượng nghiên cứu • Định nghĩa số tính chất liên quan đến vấn đề giới hạn, tích phân hay mật độ hàm biến đổi chậm • Các định lí Tauberian phép biến đổi Laplace, Fourier chuỗi hàm phép biến đổi chậm • Các ứng dụng hàm biến đổi chậm ngành giải tích ngẫu nhiên Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tìm hiểu tài liệu liên quan đến hàm biến đổi chậm, hàm biến đổi quy • Phân tích, hệ thống tài liệu để từ tổng hợp, chọn lọc nội dung cần thiết đưa vào luận văn • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo giành cho giảng viên đại học, sinh viên ngành toán nhân viên việc lĩnh vực xác suất thống kê, liệu lớn tìm hiểu nội dung Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn dự kiến chia thành hai chương Chương Một số tính chất hàm biến đổi chậm 1.1 Lý thuyết hàm biến đổi chậm 1.1.1 Định lý biểu diễn hàm biến đổi chậm 1.1.2 Giới hạn hàm biến đổi chậm 1.1.3 Tích phân hàm biến đổi chậm 1.1.4 Hàm phân phối xác suất biến đổi chậm 1.1.5 Hàm ngược hàm biến đổi chậm 1.2 Định lý Tauberian −α ∑ j sin( jx) ≤ 2πx−1 n−α j=n Do chuỗi hội tụ Khi m → ∞, với α ∈ (0; π], ∞ −α j sin( jx) ∑ ≤ πn−α x−1 j=n