Chuyên đề iii đáp án

CHUYÊN ĐỀ III BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG Trong chuyên đề này, tìm hiểu nội dung sau: xác định yếu tố đặc trưng ba đường conic (elip, hypebol, parabol) giải số vấn đề thực tiễn gắn với ba đường conic BÀI ELIP TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ELIP x y2  E  có phương trình tắc a2  b2 1, a  b  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét elip 2 Chú ý: Khoảng cách F1F2 2c (với c  a  b ) gọi tiêu cự elip ( E ) Đoạn A1 A2 trục lớn, đoạn B1 B2 trục bé elip Độ dài trục lớn 2a , độ dài trục bé 2b Các độ dài OA2 a , OB2 b gọi độ dài bán trục lớn, độ dài bán trục bé Elip ( E ) nhận hai trục toạ độ làm hai trục đối xứng gốc toạ độ O làm tâm đối xứng Gốc O gọi tâm elip ( E ) II HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ x2 y  1 b Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , ta xét elip ( E ) có phương trình tắc a , a  b  ( E ) cắt trục Ox điểm A1 ( a; 0), A2 ( a;0) cắt trục Oy điểm B1 (0;  b), B2 (0; b) Bốn điểm gọi đỉnh elip Vẽ qua A1 , A2 hai đường thẳng song song với trục tung; vẽ qua B1 , B2 hai đường thẳng song song với trục hoành Bốn đường thẳng tạo thành hình chữ nhật PQRS Ta gọi hình chữ nhật hình chũ nhật sở elip (E) (Hình 4) x2 y  1(a  b  0) b Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho elip ( E ) có phương trình tắc a Khi đó, ta có: - Hình chữ nhật sở có bốn đỉnh P( a; b), Q(a; b), R(a;  b) , S ( a;  b ) ; - Bốn đỉnh elip trung điểm cạnh hình chữ nhật sở; - Nếu điểm M ( x; y ) thuộc ( E )  a x a,  b  y b Do đó, điểm elip khơng phải đỉnh nằm hình chữ nhật sở Ví dụ Cho elip (E) : x2 y  1 25 a) Tìm toạ độ đỉnh elip b) Tìm toạ độ đỉnh hình chữ nhật sở elip Giải 2 a) Ta có: a 25 , suy a 5; b 9 , suy b 3 Vậy elip có đỉnh A1 ( 5;0), A2 (5;0), B1 (0;  3), B2 (0;3) b) Toạ độ đỉnh hình chữ nhật sở P ( 5;3), Q(5;3), R(5;  3), S (  5;  3) Luyện tập Viết phương trình tắc elip, biết A1 ( 4;0) B2 (0; 2) hai đỉnh Lời giải: x2 y  1(a  b  0) b Gọi phương trình tắc elip cho a Elip cho có hai đỉnh A1 ( 4;0) B2 (0; 2) nên a 4, b 2 a 2, b 4 Mà a  b nên a 4, b 2 x2 y x2 y  1  1 2 Vậy phương trình tắc elip cho hay 16 b - Nếu tỉ số a bé hình chữ nhật sở "dẹt", ( E ) "gầy" b - Nếu tỉ số a lớn b gần a hình chữ nhật sở gần với hình vng, ( E ) "béo" III TÂM SAI CỦA ELIP Trong mặt phẳng, cho hai điểm F1 , F2 với F1F2 2c Như biết, elip tập hợp điểm M mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai điểm F1 , F2 số 2a cho trước ( a  c  0) Vì thế, người ta thường mơ tả yếu tố đặc trưng cho elip thông qua số a c Chẳng hạn, thay sử dụng b c c tỉ số a , người ta sử dụng tỉ số a Hơn nữa, tỉ số a đóng vai trị quan trọng việc tìm hiểu tính chất elip nói riêng ba đường conic nói chung Tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn elip gọi tâm sai elip kí hiệu e , tức e c a Nhận xét: •0  e  a  b2 b •e   1   a a Từ mối liên hệ hình dạng hình chữ nhật sở với hình dạng elip, ta có: Nếu e lớn (tức gần 1) elip "gầy"; e bé (tức gần ) elip "béo" (Hình 6) x2 y2  1 Ví dụ Tìm toạ độ tiêu điểm, tiêu cự tâm sai elip có phương trình tắc 25 Giải 2 2 Ta có: a 5, b 3 Suy c a  b 5  16, tức c 4 Suy 2c 8 Vậy elip có hai tiêu điểm F1   4;  , F2  4;  c e   0,8 a có tiêu cự Tâm sai elip Luyện tập Viết phương trình tắc elip (E), biết tiêu cự 12 tâm sai Lời giải: x2 y  1(a  b  0) b Gọi phương trình tắc elip cho a Theo đề elip có tiêu cự 12  2c 12  c 6 3 c      a 10  b  a  c  102  62 8 a a Elip có tâm sai x2 y x2 y2    1 82 Vậy phương trình tắc elip cho 10 hay 100 64 Ví dụ Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng 20 m , mặt cắt đứng đường hầm có dạng nửa elip mô tả hệ trục toạ độ với đơn vị trục mét Hình Giả sử tâm sai đường elip e 0, a) Tìm chiều cao đường hầm b) Tìm độ cao đường hầm điểm mặt đường cách chân hầm bên phải m Làm tròn kết đến hàng phần mười theo đơn vị mét Giải Gọi chiều cao đường hầm b( m) Khi elip có bán trục lớn a 10( m) , bán trục bé b( m) Elip có nửa tiêu cự c a e 10 0,5 5( m) 2 2 a) Chiều cao đường hầm b  a  c  10  8, 7( m) x2 y2  1 b) Phương trình tắc elip 100 75 Một điểm mặt đường cách chân hầm bên phải m có 72 y  1 hồnh độ x 7 Do độ cao đường hầm điểm y  thoả mãn 100 75 Suy  72  y  75    6, 100   Vậy độ cao đường hầm điểm mặt đường cách chân hầm bên phải m khoảng 6, m IV BÁN KÍNH QUA TIÊU CỦA MỘT ĐIỂM THUỘC ELIP Với điểm M thuộc đường elip, đoạn thẳng MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu điểm M Độ dài bán kính qua tiêu MF1 a  ex, MF2 a  ex Nhận xét: Ta sử dụng cơng thức tính độ dài bán kính qua tiêu để lập phương trình tắc elip x2 y  1(1) 2 b Cụ thể, ta chứng minh rằng: Nếu điểm M ( x; y )  ( E ) a , b  a  c ; ngược lại, cx cx MF1 a  , MF2 a  a a Do MF1  MF2 2a , tức M điểm M có toạ độ ( x; y ) thoả mãn (1) thuộc elip ( E ) Vậy phương trình (1) phương trình tắc elip cho x2 y2  1 Ví dụ Cho elip có phương trình tắc 25 Giả sử M điểm thuộc elip có hồnh độ Tìm độ dài bán kính qua tiêu điểm M c e   0,8 a Giải Ta có: c  a  b  25  4 Do Vậy độ dài bán kính qua tiêu điểm M là: MF1 a  ex 5  0,8.2 6,6; MF2 a  ex 5  0,8.2 3, 2 x2 y  1 b Ví dụ Cho elip có phương trình tắc a Giả sử M ( x; y ) điểm thuộc elip Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ bán kính qua tiêu MF1 MF2 MF1 a  c x a Vì  a  x a nên Giải Theo cơng thức độ dài bán kính qua tiêu, ta có: c c c a  ( a ) a  x a  a  a  c MF1 a  c a a a Vậy MF1 có giá trị nhỏ a  c x  a có giá trị lớn a  c x a Bằng lập luận tương tự, ta thấy MF2 có giá trị nhỏ a  c x a có giá trị lớn a  c x  a Ví dụ Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo elip (E) mà Trái Đất tiêu điểm ( E ) có độ dài trục lớn độ dài trục bé (khoảng) 768800 km 767619 km (Nguồn: Ron Larson (2014), Precalculus: Real Mathematics, Real People, Cengage) Tính khoảng cách ngắn khoảng cách dài từ Trái Đất đến Mặt Trăng (làm tròn kết đến hàng phần trăm theo đơn vị ki-lô-mét) x2 y  1 b Giải Giả sử ( E ) có phương trình tắc a đó: a 768800 : 384400( km), b 767619 : 383809,5( km) 2 2 Ta có: c  a  b  384400  383809,5  453627709,8 21298,54( km) Khoảng cách ngắn từ Trái Đất đến Mặt Trăng là: a  c 384400  21298, 54 363101, 46( km) Khoảng cách dài từ Trái Đất đến Mặt Trăng là: a  c 384400  21298,54 405698,54( km) x2 y  1 Luyện tập Cho elip (E): với tiêu điểm F2 ( 5;0) Tìm tọa độ điểm M  ( E ) cho độ dài F2 M nhỏ Lời giải: Có a 9 , suy a 3  x; y  Gọi toạ độ M Theo cơng thức độ dài bán kính qua tiêu ta có F2 M 3  x Mặt khác, M thuộc (E) nên x 3  5 5 x  3 x 5  x   F2 M 3  x 3  3 3 Đẳng thức xảy x 3 Vậy độ dài F2 M nhỏ M có hồnh độ , tức M trùng với đỉnh (3;0) elip V ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP Tương tự parabol, elip xác định thơng qua tiêu điểm đường thẳng đóng vai trị đường chuẩn x2 y  1(a  b  0) b Cho elip (E) có phương trình tắc a Đường thẳng 1 : x  a e gọi đương chuẩn ứng với tiêu điểm F1 ( c;0) Đường thẳng  : x  a e gọi đuờng chuẩn ứng với tiêu điểm F2 (c; 0) Chú ý: Tỉ số khoảng cách từ điểm M thuộc đường elip đến tiêu điểm khoảng cách từ điểm đến đường chuẩn tương ứng tâm sai elip: MF1 d  M , 1   MF2 d  M ,   e x2 y2  1 Ví dụ Tìm tiêu điểm đường chuẩn elip 25 16 Giải 2 Ta có: a 5, b 4 , nên c  a  b  25  16 3 Do đó, hai tiêu điểm F1 ( 3; 0) F2 (3;0) c e   0, a Mặt khác, ta có: 25 1 : x  F (  3; 0) Đường chuẩn ứng với tiêu điểm Đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 (3;0)  : x  25 Luyện tập Viết phương trình tắc elip, biết tiêu điểm x F2  5;  đường chuẩn ứng với tiêu điểm 36 Lời giải: Elip có tiêu điểm F2 (5;0) nên c 5 Theo đề ta có, đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 (5;0) x 36 Suy a 36 a 36 a 36 a 36         a 36 c e 5 c 5 a 2 2 Suy b a  c 36  36  25 11 x2 y2  1 Vậy phương trình tắc elip cho 36 11 VI LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG ELIP x2 y  1(a  b  0) b Cho elip ( E ) có phương trình tắc a 2 Xét đường trịn (C ) tâm O bán kính a có phương trình x  y a M  x; y1   (C ) Xét điểm M ( x; y )  ( E ) điểm cho y y1 dấu (khi M khác với hai đỉnh A1 , A2 ( E ) ) (Hình 10) Nhận xét b đường tròn (C ) qua "phép co" theo trục tung với hệ số a biến thành điểm M  x; y1  - Mỗi điểm M ( x; y ) elip ( E ) a M  x; y1  - Mỗi điểm M ( x; y ) elip ( E ) qua "phép giãn" theo trục tung với hệ số b biến thành điểm đường tròn (C ) VII CÁCH VẼ ĐƯỜNG ELIP x2 y  1(a  b  0) b Nhận xét: Để vẽ elip a , ta làm sau: - Vẽ hình chữ nhật sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x  a, x a, y  b, y b - Xác định bốn đỉnh số điểm cụ thể thuộc elip - Vẽ đường elip phía hình chữ nhật sở cho elip tiếp xúc với cạnh hình chữ nhật sở bốn đỉnh qua điểm cụ thể chọn BÀI TẬP Viết phương trình tắc elip ( E ) trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn tiêu điểm F1 ( 2;0) ; b) Tiêu cự 12 tâm sai ; c) Tâm sai chu vi hình chữ nhật sở ( E ) 20 Lời giải: x2 y  1(a  b  0) b a) Gọi phương trình tắc elip cho a Theo đề ta có: - Độ dài trục lớn , suy 2a 6 , suy a 3 , suy a 9 2 2 - Elip có tiêu điểm F1 ( 2;0) , suy c 2 , suy b a  c 3  5 x2 y  1 Vậy phương trình tắc elip cho x2 y  1(a  b  0) b b) Gọi phương trình tắc elip cho a Theo đề ta có: - Elip có tiêu cự 12 , suy 2c 12 , suy c 6 , suy c 36 - Elip có tâm sai suy c     a 10 a a  b  a  c  102  62 8 x2 y2  1 Vậy phương trình tắc elip cho 100 64 x2 y  1(a  b  0) b c) Gọi phương trình tắc elip cho a Theo đề ta có: - Elip có tâm sai , suy c c2 a2  b2 b2   2      a 9 a a2 a2 b2 b 2      b  a(1) a 3 a - Chu vi hình chữ nhật sở elip 20  2(2a  2b) 20  a  b 5(2) Thế (1) vào (2) ta 2 a  a 5  a 5  a 3  b  a  2 3 3 x2 y x2 y    1 22 Vậy phương trình tắc elip cho hay Tìm tâm sai elip ( E ) trường hợp sau: a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé; b) Khoảng cách từ đỉnh trục lớn đến đỉnh trục bé tiêu cự Lời giải: a) Gọi độ dài bán trục lớn bán trục bé a b , ta có a 2 b 3a a c  a  b2  a     a   2 Suy a c e   a a Vậy tâm sai elip b) Giả sử elip có đỉnh trục lớn A(a;0)(a  ) đỉnh trục bé B(0; b)(b  0) 2 Khi theo đề ta có AB 2c 2 a  b  (0  a)2  (b  0)2 2 a  b  a  b 4 a2  b   3  3a 5b  b  a  c a  a  a 5 c2 c 10      a 5 a Vậy elip có tâm sai 10 Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo đường elip mà Mặt Trời tiêu điểm Biết elip có bán trục lớn a 149598261 km tâm sai e 0, 017 Tìm khoảng cách nhỏ lớn Trái Đất Mặt Trời (làm tròn kết đến hàng đơn vị theo đơn vị ki-lô-mét) Lời giải: 10