Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
31
Dung lượng
1,29 MB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Trong chuyên đề này, tìm hiểu hệ phương trình bậc ba ẩn ứng dụng vào giải tốn Vật lí, Hoá học, Sinh học, Kinh tế, BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN I CÁC ĐỊNH NGHĨA Phương trình bậc ba ẩn Nhận xét - Phương trình bậc ba ẩn phương trình có dạng: ax by cz d , x, y, z ba ẩn; hệ số a, b, c không đồng thời - Nếu phương trình bậc ba ẩn ax by cz d trở thành mệnh đề x x0 ; y y0 ; z z0 x ;y ;z số 0 gọi nghiệm phương trình Hệ phương trình bậc ba ẩn - Hệ phuơng trình bậc ba ẩn hệ phương trình mà phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn x ;y ;z - Bộ số 0 đồng thời nghiệm tất phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn gọi nghiệm hệ phương trình Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát là: a1 x b1 y c1z d1 a2 x b2 y c2 z d2 a x b y c z d 3 Trong x, y, z ba ẩn; chữ lại hệ số; hệ số ba ẩn x, y, z phương trình khơng đồng thời Cho hai hệ phương trình bậc ba ẩn: a1 x b1y c1z d1 m1 x n1y p1z q1 a2 x b2 y c2 z d (I) ; m2 x n2 y p2 z q2 (II) a x b y c z d m x n y p z q 3 3 3 Nhận xét - Nếu tập nghiệm hệ phương trình (I) tập nghiệm hệ phương trình (II) hệ phương trình (I) gọi tương đương với hệ phương trình (II) - Phép biến đổi hệ phương trình bậc ba ẩn hệ phương trình tương đương với gọi phép biến đổi tương đương hệ phương trình bậc ba ẩn Chú ý: Để giải hệ phương trình (I), ta thường thực số phép biến đổi tương đương nhằm dẫn đến hệ phương trình tìm nghiệm cách dễ dàng II GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS 5 x y z 3 2 y z 6 3z 12 Ví dụ Giải hệ phương trình: Giải Ta có: 5 x y z 3 2 y z 6 3z 12 5 x y z 3 2 y z 6 z 5 x y z 3 y 5 z 5 x y z 3 2 y ( 4) 6 z 5 x ( 4) 3 y 5 z x y 5 z Nhận xét: Phương pháp giải hệ phương trình bậc ba ẩn cách biến đổi hệ hệ có dạng tam giác gọi phương pháp khử dần ẩn số hay phuơng pháp Gauss Ví dụ Giải hệ phương trình: x 3y z 1 5 x y 3z 10 x y z 7 Giải Ta có: x 3y z 1 x 3y z 1 x 3y z 1 16 y 7z 5 x y 3z 10 16 y 7z x y z 7 x y z 7 16 y z 10 x 3y z 1 x 3y 2z 1 x 3y z 1 16 y 7z 16 y ( 3) y 1 5z 15 z z x 3.1 ( 3) 1 x 4 y 1 y 1 z z Luyện tập Giải hệ phương trình 4 x y 3z 11 2 x 3y z 9 x y z Lời giải: x y 3z 11 4 x y 3z 11 2 x 3y z 9 7 y 7z x y z x y z x y 3z 11 y z 10 z 20 4 x y 3z 11 y ( 2) z 4 x y 3z 11 y z 3y 7z 23 4 x ( 3) ( 2) 11 y z x 2 y z Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (4;1; 2) Ví dụ Giải hệ phương trình: x 3y z 1 2 x y z 2 x y 3z Giải Ta có: x 3y z 1 2 x y 2z 2 x y 3z x 3y z 1 5y z 0 x y 3z x 3y z 1 5y z 0 5y z 2 x 3y z 1 5y z 0 0 2 Phương trình thứ ba hệ vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Luyện tập Giải hệ phương trình: x y z 5 x y z 3 x y z 13 Lời giải: x y z 5 x y z 5 x y z 3 3y 4z 8 x y z 13 x y z 13 x y z 5 x y z 5 3y z 8 3y z 8 3y z 0 12 x y 6z 5 3y z 8 6 y 8z Phương trình thứ ba hệ vô nghiệm Vậy hệ cho vơ nghiệm Ví dụ Giải hệ phương trình: 3 x y 3z 3 x y 5z 1 x y Giải 3 x y 3z 3 x y 5z 1 x y 3 x y 3z 3 y 12z 0 x y 3 x y 3z 3(1) y 12 z 0(2) y 3z 0 Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: 3 x y 3z 3 y 3z 0 3 x z 3 y 3z x z 1 y 3z x 2 z y 3z Đặt z t với t số thực bất kì, ta có: x 2t 1, y 3t Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm x; y; z 2t 1;3t; t với t số thực Luyện tập Giải hệ phương trình x y 3z y z 0 x y 1 Lời giải: x y 3z y z 0 x y 1 x y 3z 1(1) y z 0(2) 3y 3z 0(3) Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: x y 3z y z 0 x y 3z y z x z y z Đặt z t với t số thực bất kì, ta có: x 2t , y t Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm ( x; y; z ) ( 2t; t; t ) với t số thực III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Ta tìm nghiệm hệ ba phương trình bậc ba ẩn cách sử dụng máy tính cầm tay Mỗi máy tính khác có phím khác Tuy nhiên, có quy tắc chung phải mở chương trình giải hệ ba phương trình bậc ba ẩn nhập liệu Ví dụ Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hệ phương trình: 3 x y z 2 x y 5z 6 x 3y z 1 Giải Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: Ta thấy hình x 29 60 Ấn tiếp phím ta thấy hình y 15 13 z 12 Ấn tiếp phím ta thấy hình 29 13 ( x; y; z ) ; ; 60 15 12 Vậy nghiệm hệ phương trình Chú ý: MODE để vào chế độ giải hệ phương trình bậc ba ẩn Luyện tập Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hệ phương trình: 2 x y z x 5y z 6 3 x y 3z 7 Lời giải: Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: 22 x 101 Ta thấy hình 131 y 101 Ấn tiếp phím ta thấy hình Ấn tiếp phím ta thấy hình z 39 101 22 131 39 ( x; y; z ) ; ; 101 101 101 Vậy nghiệm hệ phương trình BÀI TẬP Kiểm tra xem số ( x; y; z ) cho có nghiệm hệ phương trình tương ứng hay khơng 1 x y 2z 16 (0;3; 2), (12;5; 13), (1; 2;3) 5x y 3z x y z 14 a) b) 3x y z 10 6 ( 2; 4;0), (0; 3;10), (1; 1;5) x y z 2x y z x y z 100 (4;18;78), (8;11;81), (12; 4;84) 5 x y z 100 c) Lời giải: a) +) Thay số (0;3; 2) vào phương trình thứ hệ ta được: 3 ( 2) 1 1 (sai) Vậy số (0;3; 2) nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (12; 5; -13) vào phương trình thứ hệ ta được: 12 5 2.( 13) 1 1 (đúng) Vậy số (12;5; 13) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (12; 5; -13) vào phương trình thứ hai hệ ta được: 12 ( 13) 16 16 16 (đúng) Vậy số (12;5; 13) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số (12;5; 13) vào phương trình thứ ba hệ ta được: 12 5 ( 13) 14 14 14 (đúng) Vậy số (12;5; 13) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số (12;5; 13) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (1; 2;3) vào phương trình thứ hệ ta được: ( 2) 3 1 1 (đúng) Vậy số (1; 2;3) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (1; 2;3) vào phương trình thứ hai hệ ta được: ( 2) 3 16 16 16 (đúng) Vậy số (1; 2;3) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số (1; 2;3) vào phương trình thứ ba hệ ta được: 1 ( 2) 14 14 14 (đúng) Vậy số (1; 2;3) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số (1; 2;3) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho b) +) Thay số ( 2; 4;0) vào phương trình thứ hệ ta được: ( 2) 0 10 10 10 (đúng) Vậy số ( 2; 4;0) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số ( 2; 4;0) vào phương trình thứ hai hệ ta được: ( 2) 0 6 6 (đúng) Vậy số ( 2; 4;0) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số ( 2; 4;0) vào phương trình thứ ba hệ ta được: ( 2) (đúng) Vậy số ( 2; 4;0) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số ( 2; 4;0) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (0; 3;10) vào phương trình thứ hệ ta được: 3.0 ( 3) 10 10 43 10 (sai) Vậy số (0; 3;10) khơng phải nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (1; 1;5) vào phương trình thứ hệ ta được: ( 1) 5 10 24 10 (sai) Vậy số (1; 1;5) nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho c) +) Thay số ( 4;18; 78) vào phương trình thứ hệ ta được: 18 78 100 100 100 (đúng) Vậy số (4;18;78) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số ( ; 18; 78) vào phương trình thứ hai hệ ta được: + 18 78 100 100 100 (đúng) Vậy số (4;18;78) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (4;18;78) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số ( 8;11;81) vào phương trình thứ hệ ta được: 11 81 100 100 100 (đúng) Vậy số (8;11;81) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (8;11;81) vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3.11 81 100 100 100 (đúng) Vậy số (8;11;81) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (8;11;81) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (12; 4;84) vào phương trình thứ hệ ta được: 12 84 100 100 100 (đúng) Vậy số (12; 4;84) nghiệm với phương trình thứ' hệ cho Thay số (12; 4;84) vào phương trình thứ hai hệ ta được: 12 4 84 100 100 100 (đúng) Vậy số (12; 4;84) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (12; 4;84) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho Giải hệ phương trình: a) x y z 4 2 3 y z 2 z 10; b) 4 x y z 4 2 y y z 3; c) x y z 0 2 3x y x Lời giải: a) x y z 4 3y z 2 2 z 10 x y z 4 3y z 2 z x ( 1) ( 5) 4 y z x y z 4 3y 2 z x y z 4 y z x 22 y z Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (22; 1; 5) 4 x y z 4 x y z 4 y 2 2 y y z 3 y z 3 b) 4 x y z y 2 2 z 3 4 x y z y 2 z 1 x y 2 z 1 4 x 3.2 5.1 y 2 z 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) ( 2; 2;1) c) x y z 0 2 3 x y x 10 x y z 0 3.10 y 2 x 10 10 ( 14) z 0 y 14 x 10 x y z 0 y 14 x 10 z 2 y 14 x 10 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (2; 14;10) Giải hệ phương trình: a) 3 x y z 5 2 x y z 6 6 x y z 9; b) x y z 5 3 x y z 4 7 x y z c) x y z x y z 3 x y z 4 Lời giải: 3 x y z 5 x y z 6 6 x y z 9 a) 3 x y z 5 y 13 z 6 x y z 9 3 x y z 5 5.( 1) 13z y 3 x y z 5 y 13 z y 3 x y z 5 5.( 1) 13 z y 3 x ( 1) 2.1 x 2 z 1 z 1 y y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (2; 1;1) x y z 5 x y z 3 x y z 1 b) x y z 5 y z 8 y z 6 x y z 5 y z 8 y z 3 x y z 5 y z 8 5 Phương trình thứ ba hệ vô nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm x y z 2 x y z x y z 6 c) x y z 2 13 y z 4 5 x y z 6 x y z 2 13 y z 4(2) 13 y z 4 3 Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: x y 2z 2 13y 5z 4 x y 2 z 5z y 13 z 10 x 13 y 5z 13 Đặt z = t với t số thự’c bất kì, ta có: x 6t 10 5t ,y 13 13 6t 10 5t ( x; y; z ) ; ;t 13 13 với t số thực Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm Tìm số đo ba góc tam giác, biết tổng số đo góc thứ góc thứ hai hai lần số đo góc thứ ba, số đo góc thứ lớn số đo góc thứ ba 20 Lời giải: Gọi số đo góc thứ nhất, thứ hai, thứ ba tam giác x, y, z (độ) Tổng góc tam giác 180 nên x y z 180 (1) Theo đề ta có: x y 2 z (2) x z 20 (3) Từ (1), (2) (3) ta có hệ phương trình: x y z 180 x y 2 z x z 20 x y z 180 x y z 180 x y z 180 x y z 0 3z 180 x y 2 z x z 20 x z 20 y z 200 x y z 180 x 80 60 180 x 40 z 60 z 60 z 60 y 2.60 200 y 80 y 80 Vậy số đo ba góc tam giác cho 40 ,80 , 60 Bác Thanh chia số tiền tỉ đồng cho ba khoản đầu tư Sau năm, tổng số tiền lãi thu 84 triệu đồng Lãi suất cho ba khoản đầu tư 6%, 8%, 15% số tiền đầu tư cho khoản thứ tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai thứ ba Tính số tiền bác Thanh đầu tư cho khoản Lời giải: Gọi số tiền đầu tư' cho khoản thứ nhất, thứ hai, thứ ba x, y, z (triệu đồng) Theo đề ta có: x y z 1000 (1) Số tiền đầu tư cho khoản thứ tổng số tiền đầu tư cho khoản thứ hai thứ ba, đó: x y z hay x - y - z = ( ) 10 Bước Coi x1 , x2 , x3 , x4 ẩn, lập hệ phương trình bậc bốn ẩn dựa theo định luật bảo toàn nguyên tố phản ứng hoá học Bước Chọn bốn ẩn x1 , x2 , x3 , x4 cho ẩn giá trị cụ thể Thông thường, ta chọn ẩn ứng với phân tử có cấu trúc phức tạp bốn phân tử A1 , A2 , A3 , A4 Giải hệ phương trình bậc theo ba ẩn cịn lại t Bài tốn Tìm hệ số x, y, z để cân phương trình: xFe3O4 yO2 zFe2O3 Giải Theo định luật bảo toàn nguyên tố Fe O , ta có: 3x 2 z hay 3x z 0 x y 3z hay x y 3z 0 3 x z 0 I x y z Ta có hệ phương trình sau: x 4 2z 12 y z 16 Chọn x 4 Khi đó, hệ (1) trở thành x 4 z 6 y 1 Vậy ta có phương trình sau cân bằng: Fe3O4 O2 t Fe2O3 Bài tốn Hồ tan hoàn toàn 13, g hỗn hợp X gồm Mg , Al , Fe , vào dung dịch H SO4 đặc nóng dư thu 0,55 mol khí SO2 theo phương trình phản ứng hố học (1), (2), (3) Mặt khác, cho 13, g hỗn hợp tác dụng với dung dịch HCl dư thu 0,5 mol khí H theo phương trình phản ứng hố học (4), (5), (6) : t Mg H SO4 MgSO4 2H 2O SO2 (1) Soá mol a a t a a Al H SO4 Al2 SO4 6H 2O 3SO2 (2) Soá mol b 1,5b t Fe H SO4 Fe2 SO4 6H 2O 3SO2 (3) Soá mol c Mg 2HCl MgCl2 H (4) 1,5c Al 6HCl AlCl3 3H (5) b 1,5b Fe HCl FeCl2 H (6) c c Ở đó, a, b, c(a, b, c lớn ) số mol Mg , Al Fe hỗn hợp X Tính khối lượng Mg , Al , Fe hỗn hợp X Giải 17 Do khối lượng hỗn hợp X 13,4 g; nguyên tử khối (khối lượng mol) Mg , Al , Fe 24, 27,56 nên ta có: 24a 27b 56c 13, Số mol SO2 0,55 (mol) Từ phương trình (1), (2), (3), ta có: a 1,5b 1,5c 0,55 Số mol H 0,5( mol ) Từ phương trình (4), (5), (6), ta có: a 1,5b c 0,5 Ta có hệ phương trình: 24a 27b 56c 13, a 1,5b 1,5c 0,55 a 1,5b c 0,5 Giải hệ phương trình, ta được: a 0,1( mol ); b 0, 2( mol ); c 0,1( mol ) Vậy ta có: Khối lượng Mg hỗn hợp X là: 24.0,1 2, 4( g ) Khối lượng Al hỗn hợp X là: 27.0, 5, 4( g ) Khối lượng Fe hỗn hợp X là: 56 0,1 5, 6( g ) Tìm cấu tạo nguyên tử xác định công thức phân tử hợp chất Ta biết nguyên tố có ba loại hạt là: p (proton), n (neutron), e (electron) Ta gọi Z số lượng hạt p Khi đó, theo ngun lí cân điện tích, ta có Z số lượng hạt e Ta gọi N số lượng hạt n Đặt A Z N , A gọi số khối Bài toán Tổng số hạt ( p, n, e) nguyên tử X 26 Số hạt mang điện nhiều số hạt không mang điện Xác định số hạt p, n, e nguyên tử X Giải Có hai loại hạt mang điện X p e Vì tổng số hạt mang điện X 2Z 2Z N 26 Ta có hệ phương trình sau: 2Z N 6 Giải hệ phương trình ta Z 8, N 10 Vậy nguyên tử X có hạt p,10 hạt n hạt e Bài toán Trong phân tử M X có tổng số hạt ( p, n, e) 140 hạt, số hạt mang điện nhiều số hạt không mang điện 44 hạt Số khối nguyên tử M lớn số khối nguyên tử X 23 Tổng số 18 hạt ( p, n, e) nguyên tử M nhiều nguyên tử X 34 hạt Xác định công thức phân tử hợp chất M X Giải Gọi Z M , N M số lượng hạt p, n nguyên tử M ; Z X , N X số lượng hạt p, n nguyên tử X - Theo giả thiết, tổng số hạt ( p, n, e) phân tử M X 140 hạt nên ta có: Z M N M Z X N X 140 hay Z M 2 N M Z X N X 140 - Do phân tử M X số hạt mang điện nhiều số hạt khơng mang điện 44 hạt nên ta có: 4Z M 2Z x 2 N M N X 44 hay 4Z M 2 N M Z x N X 44 - Số khối nguyên tử M lớn số khối nguyên tử X 23 nên ta có: Z M N M Z X N X 23 hay Z M N M Z X N X 23 - Tổng số hạt ( p, n, e) nguyên tử M nhiều nguyên tử X 34 hạt nên ta có: 2Z M N M Z X N X 34 hay Z M N M Z X N X 34 Ta có hệ phương trình: Z M N M Z X N X 140 1 Z M N M Z X N X 44 Z M N M Z X N X 23 3 2 Z M N M Z X N X 34 Cộng theo vế phương trình (1) với phương trình (2), (3), (4), ta có hệ phương trình: 8Z M Z X 184 5Z M 3 N M Z X 163 6 Z 3 N 174 M M Giải hệ phương trình, ta Z M 19, N M 20, Z X 8 Do đó, N X 8 Vì Z M 19 nên M K (kalium); Z X 8 nên X O (oxygen) Vậy phân tử K 2O III ỨNG DỤNG TRONG SINH HỌC Bài toán Một phân tử DNA có tổng số nucleotide (nu) loại G với loại nucleotide khác 60% tổng số nucleotide phân tử DNA Tổng số liên kết hydrogen phân tử DNA 120 Trong mạch có số nu 19 1 loại A số nu loại G số nu loại T Xác định số nucleotide loại mạch phân tử DNA Giải Kí hiệu: A, G, T , X tổng số nu loại A, G, T , X phân tử DNA ; N tổng số nu phân tử DNA ; A1 , G1 ,T1 , X tổng số nu loại A, G, T , X mạch 1; A2 , G2 ,T2 , X tổng số nu loại A, G, T , X mạch - Ta có: G A 50% N ; A T ; G X Mà đề cho tổng số nu loại G với loại nu khác 60% N nên G X 60% N Suy G X 30% N A T 40% N Vì A T nên từ A T 40% N ta có: A T 20% N Do đó, G 1,5 A - Ta có số liên kết hydrogen A 3G 3120 mà G 1,5 A nên A T 480; G X 720 Vậy N 2( A G ) 2400 Do đó, tổng số nucleotide phân tử DNA mạch 2400 : 1200 - Ta có: A1 T2 , A2 T1 nên A1 T1 A1 A2 480 1 A1 G1 T1 hay G1 2 A1 ,T1 4 A1 Theo giả thiết mạch có Ta có hệ phương trình: A1 T1 480 A1 T1 0 2 A G1 0 A1 96 T1 384 G 192 Vậy số nucleotide loại X mạch là: X 1200 96 384 192 528 - Ở mạch 2, ta có: A2 T1 384; T2 A1 96; G2 X1 528; X G1 192 18 IV ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Mơ hình cân thị trường hàng hố có liên quan Giả sử thị trường có n loại hàng hoá mua bán, đánh số hàng hoá 1, 2, , n Ta nói n loại hàng hố có liên quan giá mặt hàng thay đổi khơng ảnh hưởng tới Q lượng cung (kí hiệu QS ) lượng cầu (kí hiệu Di ) thân mặt hàng đó, mà ảnh hưởng tới giá lượng cung, lượng cầu mặt hàng lại 20