Bài 4 nhị thức newron đáp án

Bài NHỊ THỨC NEWTON |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A LÝ THUYẾT ( a  b) C40 a  C41a 3b  C42 a 2b  C43ab3  C44b 4 a  4a3b  6a 2b  4ab3  b ( a  b)5 C50 a  C51a 4b  C52 a 3b  C53a 2b3  C54 ab  C55b5 a  5a 4b  10a3b  10a 2b3  5ab  b5 n Những công thức khai triển nói cơng thức nhị thức Newton ( a  b) ứng với n 4; n 5 n Bằng cách thế, ta khai triển ( a  b) với n số nguyên dương lớn Công thức khai triển cụ thể trình bày Chuyên đề học tập Tốn 10 Ví dụ Khai triển ( x  1) Giải 4 2 Ta có: ( x  1)  x  x 1  x 1  x 1   x  x  x  x  Ví dụ Khai triển ( x  1) Giải 4 2 4 Ta có: ( x  1) [ x  (  1)]  x  x (  1)  x (  1)  x ( 1)  ( 1)  x  x  x  x  Ví dụ Khai triển biểu thức sau: a) ( x  y) b) (3 x  y ) Giải a) Ta có: ( x  y ) [ x  (  y)]4  x  x (  y )  x (  y )  x(  y )  (  y )  x  x y  24 x y  32 xy  16 y b) Ta có: (3 x  y )5 [3 x  ( y)]5 (3 x)5  5(3 x) (  y ) 10(3 x)3 (  y ) 10(3 x) (  y )3  5(3 x)( y )  (  y )5 243 x5  405 x y  270 x y  90 x y 15 xy  y PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu Khai triển nhị thức Newton sau STT Cho khai triển nhị thức sau  x  5   5x  2  6x  y   x1 18 ĐA Yêu cầu Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ Số hạng tổng quát Thứ  k=3  T4 Tk 1 C7k 37 k 5k x 7 k Các ý lại tương tự k Tk 1 C9k   1 5k x k k 18 Tk 1 C   1 k 18  k Số hạng thứ k x 18 k k Tk 1 C6k   1 66 k x 6 k y k Trang 1    x x   2x  y  2 10 28 x  4y  30  x 3     x Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ 25 Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ 16 Tìm số hạng tổng quát số hạng thứ k Tk 1 C10k   1 x k  10 k Tk 1 C28 28 k x 28 k y k k Tk 1 C30k   1 230 k x k Tk 1 C9k   1 29 k x 30  k k  36 Lời giải Khai triển nhị thức Newton sau  x  5 Theo công thức nhị thức Newton ta có  x  5  C7k 37 k 5k x 7 k k 0 k 7 k k  k Số hạng tổng quát Tk 1 C7 x  3 7 Số hạng thứ 4(k=3) T4 C7 x 35375 x   5x  Theo công thức nhị thức Newton ta có   5x  k  C9k   1 5k x k k 0 Số hạng tổng quát Tk 1 C9k  1 9 k   5 k k C9k   1 5k x k Số hạng thứ 5(k=4)   T5 C94   1 54 x 78750 x 18 x1 Theo công thức nhị thức Newton ta có 18 2  x1 18 18    k   x  1  C18k   1  x  k 0     Số hạng tổng quát k 18 Tk 1 C 18 k 18 18 k k 0   1 k 18  k Số hạng thứ k  C18k   1 218 k x T9 C188   1 218 x x 18 18 k 210.C188 x  6x  y  Theo công thức nhị thức Newton ta có  6x  y  k  C6k   1 66 k x  k y k k 0 k Số hạng tổng quát Tk 1 C6k   1 66 k x 6 k y k k Số hạng thứ (k=2) Trang T3 C6k   1 66 k x 6 k y k C62 64 x y yk 10 1    x   x Theo công thức nhị thức Newton ta có 10 10 1  k  x  C10k   1 x k  10    x  k 0 k Số hạng tổng quát Tk 1 C10k   1 x k  10 Số hạng thứ (k=6) T7 C106   1 x 2.6 10 C106 x 2 28  2x  y  Theo công thức nhị thức Newton ta có 28 28  2x  y  k  C28 228 k x 28 k y k k 0 k 28  k 28 k 2k Số hạng tổng quát Tk 1 C28 x y 24 28 24 28 24 24 48 x y 224 2 C28 x y Số hạng thứ 25(k=24) T24 C28 2 x  4y  30 Theo công thức nhị thức Newton ta có 30  30    k  30 x  y  C x     30  x  4y  k 0    30  k 30 k  Tk 1 C30k   1 230 k x 30  k yk yk 15 Số hạng thứ 16(k=15) 30  k k 0 k Số hạng tổng quát k   y   C30k   1 30 k x T16 C15   1 23015 x 30 15 15 15 15 y15  45 C30 x y  x 3    x  Theo cơng thức nhị thức Newton ta có k 9 k 1   k  36    x2  9 2 x   Ck       C k   1 k 29 k x  x      9 3         k 0 k 0 x x   x       Số hạng tổng quát Tk 1 C Số hạng thứ 8(k=7) Câu k   1 k T8 C k 9 k x   1 1  1  x Tìm hệ số x khai triển  7 k  36 9 x 7.7  36 136  C9 x 12 Lời giải Số hạng thứ k  khai triển là: k k 12  k   ak C12 x   C12k x12 k   x 12   x 12  2k 8  k 2 Ta chọn Vậy số hạng thứ khai triển chứa x có hệ số là: C12 66 Câu 21   3x  Tìm hệ số x khai triển 25 Trang Lời giải Số hạng thứ 21 khai triển 20 25 C   3x  20 20 25 20 C x 20 Câu Viết số hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức sau x  1  2 a)  10 3 b) 2x  Lời giải a)  5x  45 x b)  C8 x  C8 x a  2x 20 theo lũy thừa tăng dần x Lời giải 3 17 Áp dụng công thức nhị thức Newton số hạng thứ khai triển  C20 a x Câu Tìm số hạng thứ tư khai triển Câu Viết số hạng theo lũy thừa tăng dần x đa thức sau a) 1 3x  12 b) 1  2x  x  1  3 c)  20 Lời giải a)  36 x  594 x  5940 x 3 b)  18 x  144 x  8C9 x 1  18 x  144 x  672 x c) 1 20 190 1140 x x  x 27 Câu Tìm 1  a) Số hạng thứ khai triển 2x  12 x  2  2 b) Số hạng thứ khai triển  15   x c) Số hạng thứ 12 khai triển Lời giải a)  C127 27 x Câu b)  5 C9 x 11 11 c)  16C15 x x Tìm số hạng đứng khai triển  xy  15 Lời giải x Số hạng tổng quát khai triển  xy  15 Tk 1 C15k  x  15 k   xy  k n  15 Trong khai triển có nên có 16 số hạng nên số hạng đứng số hạng thứ thứ T8 T71 C157  x  15   xy   6435 x 31 y T9 T81 C158  x  15   xy  6435x 29 y Câu Tìm hệ số của: 12 x  1 Số hạng chứa x khai triển:  10 11 Số hạng chứa x Trang  1 x   x khai triển:  14 x2  x   Số hạng chứa x khai triển: 15 25 10 x  xy   Số hạng chứa x y khai triển: Lời giải 12 12 k 0 k 0  x  1 12   C12k  x 12 k   1 k   C12k 212 k   1 k x12 k Tại số hạng chứa x tương ứng với 12  k 5  k 7 C 25   25344 Vậy hệ số x là: 12   10  1 x   x  10  k 0 10 k k C10 x  k 10 10  1 k 2 10 k   k   1 k   C10k   1 k x 20 3k      C10 x  x k 0 k 0 11 Tại số hạng chứa x tương ứng với 20  3k 11  k 3 11 C   120 Vậy hệ số x là: 10   x2  x   14  x14  x  1 14  Không tồn số hạng chứa x Vậy hệ số x là:  x3  xy  15 15 k   C15 x3   k 0 25 10 Tại số hạng chứa x y 15 k 15 15 k 0 k 0  xy  k   C15k x3 15 k  k y k   C15k x 45 2k y k  45  2k 25  k 10  k   tương ứng với 10 11 Vậy hệ số x là: C15 3003 Câu 10 Tìm hệ số số hạng khơng chứa x khai triển sau: 12   x  4 x    1 x   x   3  x4  x  Lời giải 12   x  4 x   12 12 k 2 12 k  k 24 k   C12 x k   C12 x x k 0 k 0 Tại số hạng khơng chứa x tương ứng với 24  6k 0  k 4 Trang Vậy số hạng tự là: C12 495 k 6  1 k 2  k   k k k 2 6 k    k x   C x   C  x  C6k   1 x12 3k      6     x  x k 0 k 0 k 0  Tại số hạng khơng chứa x tương ứng với 12  3k 0  k 4 Vậy số hạng tự là: C6 15  1  3   x    x  x   x4  7  1 k 7k k 7 7 k  7 k     k 3 k 3 k 12    C x x C x C x    7  k 0 k 0 k 0   7k  0  k 4 Tại số hạng khơng chứa x tương ứng với 12 Vậy số hạng tự là: C7 35    2x   x  Câu 11 Trong khai triển  10 tìm số hạng khơng phụ thuộc vào x Lời giải    2x   x   10 Số hạng tổng quát khai triển Tk 1 không phụ thuộc vào x 30  5k 0  k 6 Tk 1 C10k  x  10 k k   k 10  k 30  k   C10 x x  Số hạng không phụ thuộc vào x số hạng thứ ứng với k=6: T7 C10  Tìm số hạng hữu tỷ khai triển Câu 12 3 15  Lời giải Số hạng thứ k  khai triển Tk 1 C6k 6 k  3   15  k  3 15 k k   1 C6k  là:  k 6  k Tk 1 số hạng hữ tỉ số tự nhiên  k chia hết cho  k  {0;2;4;6} (vì k 6 ) Vậy khai triển số hạng hữu tỉ x số hạng thứ 1; 3; 5;  0 4 2 T1   1 C 27 T2   1 C 2025 6 6 T5   1 C 10125 T7   1 C 3375 Câu 13 Tìm hệ số số hạng khai triển sau: 11 Tìm hệ số x khai triển biểu thức: A  x  1  x  10   A  x  1   x  1 Tìm hệ số x khai triển biểu thức: n P  x P x a0  a1x  a2 x   an x Khai triển dạng:   P x  1 x  1 x a) Tìm hệ số a9 :    Trang 10  1 x 11     x  14 P x   x     x     x    20   x  b) Tìm hệ số a15 :    Lời giải 11 A  x  1  x   11  11 k   C11  2x  11 k k 0   1 k   C7k  x  20 7 k 1k  k 0 k k   C11   1 211 k x11 k   C7k x14 k k 0 k 0 x  1 Ta có hệ số x  Ta có hệ số x x  1  11 5  26.C11 tương ứng với 11  k 6  k 5   tương ứng với 14  2k 6  k 4 C7 5  26.C11  C74 Vậy hệ số x là:   A  x  1 10 10 k 0 k 0 k k 10 k k   x  1   C10 x   C5k x5 k   1  10 k 0 k 0 k k 10 k   C10 x   C5k   1 x5 k x  1 Ta có hệ số x  10 tương ứng với 10  k 3  k 7 C10 x  1  C52 C52 Ta có hệ số x  tương ứng với  k 3  k 2   Vậy hệ số x là: C10  C5 130 a) P  x    x     x  10  1 x 10 14 k 0 k 0 k 0 11     x  14  k k k k   C9k x k   C10 x    C14 x 9 9 Hệ số a9 hệ số x tương ứng với k 9 : C9  C10   C14 3003 15 15 15 15 b) Tương tự câu a ta có hệ số a15 hệ số x : 15C15  16C16   20C20 400995 10 1    x Câu 14 Cho khai triển:  3  10 1    x 3   1    3 a0  a1x   a10 x10 Hãy tìm số hạng ak lớn Lời giải 10 10  C10k 2k xk k 0 k k Như số hạng ak lớn C10 lớn  k 5 Với k 5, 6, 7,8,9,10 ta có: Trang 25 C10 8064   26 C10 13440   k k 27 C10 15360   C10  28 C10 11520    lớn k 7 , số hạng ak lớn 10  1 k 7  ak   15360  3 1  x2   x    Câu 15 Tìm hệ số x khai triển đa thức của:  Lời giải f  x  C80   C83  x   x    C84  x   x     C88  x   x         8 Nhận thấy: x có số hạng: C83  x   x      Số hạng thứ Số hạng thứ : C84  x   x      Số hạng thứ Số hạng thứ : 4 Vậy hệ số tương đương với: A8 C8 C3  C8 C4 238 Câu 16 Khai triển đa thức P  x    x  12 a0  a1x  a2 x   a12 x12 Tìm max  a0 , a1, a2 , , a12  Lời giải Gọi ak hệ số lớn khai triển suy ak  ak  Từ ta có hệ phương trình: 2  k k k  2k C12  2 C12  k 12  k    k k k 1 k 1  C12 2 C12   12  k k  8  max  a0 , a1 , a2 , , a12  a8 C12 126720 Câu 17 Tìm số hạng đứng khai triển sau: x3  xy   a) 21   x4 x   xy   b)  20     Lời giải 21 x3  xy   a) Khai triển có 21  22 số hạng nên có hai số hạng đứng số thứ 11 12 10 11 10 43 10 C10 21  x   xy  C21 x y 11  Số hạng thứ Số hạng thứ là: 11 10 41 11 C11 x xy  C10    21 21 x y  Số hạng thứ Số hạng thứ 12 là: Trang   x4 x   xy    b) Khai triển     20 có 20  21 số hạng nên có hai số hạng đứng số thứ 10 65  20  7   10 10    10 C x 21   xy   C20 x y 11 20       :   f  x   x   x  với x   Câu 18 Tìm hệ số số hạng không chứa x khai triển Lời giải Số hạng tổng quát khai triển: Tk 1 C7k  x 7 k 7 k  k   k 12  C x 4   x với k  ¥ , k 7 7  k 0  k  12 Ứng với số hạng không chứa x ta có: f  x Vậy số hạng khơng chứa x khai triển là: C7 35 10 1    x Câu 19 Cho khai triển đa thức  3  a0  a1 x  a2 x   a10 x10 Hãy tìm số hạng ak lớn Lời giải 10 1    x Ta có:  3  ak ak 1    ak ak   10  2x   10  10 10  C10k  x  k k 0  ak  k k C10 k k k 1 k 1 C10 C10  k k k k C10 C10  2k 10! 2k 1.10!    k !  10  k  !  k  1 !   k  ! max    k 2k  1.10!  10!  k !  10  k  !   k  1 !  11  k  !  Ta có ak đạt  k 7  k  ¥ , k   0;10 , Vậy 10 max ak a7  27 10 C10  10  k  k  19 22  k   3 2   k 11  k n Câu 20 Cho n số nguyên dương thỏa mãn 5Cn Cn Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức 14  nx    , x 0  14 x   niu tơn Lời giải 5Cnn Cn3  5n  n  n  1  n     n  1  n   30  n 7 (do n  ) Gọi a hệ số x ta có: C77 k  x2      7 k k k  1 1    ax5    1 C77 k    x  2 7 k x14 3k ax5 Trang 1   2   C77 k  7 k a  a   14  3k 5  k 3  35 x Vậy số hạng chứa x 16 PHẦN C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu  x  2 Số số hạng khai triển A 49 B 50  35 16 50 C 52 Lời giải D 51 Số số hạng khai triển là: n  50  51 Câu Có số hạng khai triển nhị thức A 2019 B 2017 Trong khai triển nhị thức 2019 số hạng n  a  b  x  3 2018 C 2018 Lời giải D 2020  x  3 số số hạng n  nên khai triển 2018 có Câu  x  y Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn 2 5 2 A x  x y  10 x y  10 x y  xy  y B x  x y  10 x y  10 x y  xy  y 2 5 2 C x  x y  10 x y  10 x y  xy  y D x  x y  10 x y  10 x y  xy  y Lời giải Ta có:  x  y  x  y Hay Câu  x    y   C50 x  C51 x   y   C52 x   y   C53 x   y   C54 x1   y   C55   y  x  x y  10 x y  10 x y  5xy  y 2019 Trong khai triển nhị thức Niu-tơn (3  x ) có số hạng? A 2019 B 2018 C 2020 D 2021 Lời giải Chọn C n Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn (a  b) có n  số hạng 2019 Vậy khai triển nhị thức Niu-tơn (3  x) có 2020 số hạng Câu x  1 Từ khai triển biểu thức  10 thành đa thức Tổng hệ số đa thức A 1023 B 512 C 1024 Lời giải D 2048 Chọn C 10 Xét khai triển 10 f ( x)  x  1  C10k x k k 0 10 S  f (1)   1 210 1024 Gọi S tổng hệ số khai triển ta có Trang 10