Hdc toan 10 hsg 2223 ct

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT NĂM HỌC 2022 – 2023 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 10 (Bản hướng dẫn gồm 06 trang) Nội dung Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau Điểm x2  x  3x   x 1 3,0 Cách Điều kiện: x  3x   x2  x  3x  1,0  x   x  x    x  1 x  3x  Bình phương hai vế ta x3  3x  3x  1,0 Thử lại: Loại nghiệm x  0,5 Nhận nghiệm x   21  21 ;x  2 0,5 Cách Điều kiện: x  3x   x2  x   x  x    x  1 x  3x  1  x  3x   x2  3x    x  1   x  3x     x  3x     x  3x     x  1  x2  3x    x  3x     x2  3x   x  0,5  1,0 0,5 Phương trình   21 x  x  3x       21 x   Xét phương trình cịn lại vơ nghiệm Tập nghiệm phương trình cho 0,5 0,5   21  21  S ;    Trang 1/6 Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c    a   2bc b   2ac c   2ab Ta có: a   2bc    b  c    2bc  b2  c  6b  6c  18    b     c  nên 3 a tương tự 0,5   a 2   b     c 2  a   2bc 3,0 3b b   2ac    b 2 ;   c 2    a  3c   c 2   a     b 2  c   ab BĐT trở thành   a 2   b 2    c 2    b 2   c 2    a 2  x    a 2   Đặt  y    b 2  , ta BĐT   z    c   suy ra: x x z  y x x  z  y   2x , zx y y x y  z  x x  z  y y y  z  x z   2 0,5 2 1,0 x y z   2 yz zx x y  Ta có   c 2   a 2    b 2 z  x  y  y  y  z  x 2y , zx y z  z  x  y z zx  y  2z zx y 0,5 2 Đẳng thức xảy x  y  z  , điều Vậy x y z    yz zx x y a a   2bc  b b   2ac  Trang 2/6 c c   2ab 0,5  Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) k Cho số thực, tìm tất hàm đơn điệu f  x  f  y    k y  f  x  , x, y   f :   thỏa mãn 3,0   Giả sử tồn hàm f x thỏa yêu cầu đề   0,25 f x đơn điệu  nên hàm số đơn ánh Xét k  , x , y   f  x  f  y   k y  f  x   f  x  f  y   f  x    x  f  y  x  f  y  Hàm số f y  không thỏa yêu cầu hàm số đơn điệu 0,25 0,25 Xét k  Thay x  y  ta có f  f (0)   f (0) suy f (0)   0,25    f  f ( y)   k y, y   k f  y   f f  f  y    f k y Từ phương trình ban đầu thay f ( y ) k y ta       f x  k y  f x  f  f  y   k f  y   f  x   f k y  f  x  Suy f hàm cộng tính, f đơn điệu nên f ( x )  cx (c số) 0,5 0,5 0,25 2 Kết hợp biểu thức f  f  y    f  cy   c y f  f ( y)   k y ta 0,25 c2  k  c  k Thử lại f ( x)  kx, f ( x )   kx  k   thỏa mãn yêu cầu đề Trang 3/6 0,5 Câu (3,0 điểm)  a) Chứng minh số A  n4  6n3  13n2  12n  n  *  khơng phải số phương 1,0 Ta có A  n  6n3  13n  12n   n  9n   6n3  4n  12n n   3n    n  3n  2 0,25 Với n  * ta có n  2n   n  3n   n  4n    n  1  n  3n    n   0,5 Vì  n  1 ;  n   hai số phương liên tiếp, nên chúng khơng tồn số phương 2 Vậy A  n  6n3  13n  12n  khơng phải số phương 0,25 b) Cho đa thức f  x   a2023 x 2023  a2022 x 2022   a1 x  a0 với hệ số nguyên a 2023  xác định tập số thực  Chứng minh phương trình f  x   có số nghiệm 2,0 ngun khơng lớn 2026  f x  a2023x 2023  a2022x 2022   a1x  a , với a2023     f x  f2 x     f x  2   0,25   nghiệm nguyên phân biệt phương trình f  x   2 Gọi x 1, x , , x m m nghiệm nguyên phân biệt phương trình f x  , y1, y2 , , yn n Khi x i  y j với i  {1;2; 3; ; m }, j  {1;2; 3; ; n } 0,25 Do tồn nghiệm nguyên xi ; y j thỏa mãn x i  y j  0,5 Giả sử m + n > 2026 Vì m  2023; n  2023 nên m  4; n  Các nghiệm xi ; y j nói thỏa mãn:   f x i  a 2023x i 2023  a2022x i 2022   a1x i  a    f y j  a2023y j 2023  a2022y j 2022   a1y j  a  2       Suy a2023 x i2023  y j2023  a2022 x i2022  y j2022   a1 x i  y j  (1)  Vì x i  y j  x k i  y kj  với k  {1; 2; ; 2023} nên từ (1) suy x mâu thuẫn với x i  y j  i 0,25   y j , điều 0,5  Do m  n  2026 Vậy phương trình f x  có số nghiệm nguyên không lớn 0,25 2026 Trang 4/6 Câu (5,0 điểm) a) Cho ABC tam giác nhọn, D điểm cạnh BC thỏa AB  AD; AC  AD Trên cạnh AC , AB lấy điểm E , F cho EC  ED, FB  FD Gọi I , J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác 2,0 ABC , BDF , CDE Gọi H trực tâm tam giác JDK Chứng minh tứ giác IJHK nội tiếp A F E I K C J B D 0,25 H Do tam giác FBD , ECD cân F , E nên JD  JB, KD  KC 0,5        Ta có: JDK  180  JDB  KDC  180  IBC  ICB  BIC  JIK 0,5   Vì H trực tâm JDK nên JHK  JDK  180 0,5   0,25 Suy ra: JHK  JIK  180 Vậy tứ giác IJHK nội tiếp b) Cho tam giác nhọn ABC ( AB  BC ) có đường cao AK Gọi điểm D cạnh AC AD BK  thỏa mãn , điểm E di động đoạn DC Gọi F giao điểm BE KD , 3,0 DC BC I giao điểm FC KE Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định Gọi H giao điểm DI cạnh BC Ta có đường thẳng đồng quy tam giác DKC DH, KE, FC, theo định lý Ceva HK EC FD 1,0  1 1 ta HC ED FK BC FK ED   2 Ba điểm thẳng hàng B, E, F, theo định lý Menelaus ta 1,0 BK FD EC Nhân (1) (2) vế theo vế ta HK BC  1 HC BK HK BK AD    DH / / AK nên DH cố định HC BC DC Vậy I thuộc đoạn thẳng cố định suy Trang 5/6 0,5 0,5 Nội dung Câu (3,0 điểm) Cho đa giác n cạnh Điểm n  ; n   Gọi x; y số tam giác số tứ 3,0 giác lập từ đường chéo đa giác cho Tìm n biết x  2y Gọi số đỉnh đa giác n cạnh A1, A2 , A3 , , An Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác n n  9n  20 x  Cn  n  n  n    Xét tứ giác có cạnh đường chéo đa giác có đỉnh A1 :   1,0 Khi A2 , An khơng phải đỉnh tứ giác Ta cần chọn thêm đỉnh Ai , Aj , Ak thỏa mãn:  i   j   k  n  (vì đỉnh tứ giác khơng phải đỉnh kề đa giác) Mỗi cách chọn đỉnh cách chọn số phân biệt n  số tự nhiên từ đến n  Do có C n35 tứ giác có đỉnh A1 thỏa u cầu tốn Vì đa giác có n đỉnh tứ giác đếm lặp lại lần (theo cách đếm trên) nên số tứ giác lập từ đường chéo đa giác cho nC n35 n n  n  n  y  24 n n2  9n  20 n  n  5 n   n    Theo giả thiết: x  y  24 n   n3  20n2  125n  250     n  10 Đối chiếu giả thiết chọn n = 10      0,5 0,25 0,5  0,5 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Trang 6/6