SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT NĂM HỌC 2022 – 2023 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 10 (Bản hướng dẫn gồm 06 trang) Nội dung Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau Điểm x2 x 3x x 1 3,0 Cách Điều kiện: x 3x x2 x 3x 1,0 x x x x 1 x 3x Bình phương hai vế ta x3 3x 3x 1,0 Thử lại: Loại nghiệm x 0,5 Nhận nghiệm x 21 21 ;x 2 0,5 Cách Điều kiện: x 3x x2 x x x x 1 x 3x 1 x 3x x2 3x x 1 x 3x x 3x x 3x x 1 x2 3x x 3x x2 3x x 0,5 1,0 0,5 Phương trình 21 x x 3x 21 x Xét phương trình cịn lại vơ nghiệm Tập nghiệm phương trình cho 0,5 0,5 21 21 S ; Trang 1/6 Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh a b c a 2bc b 2ac c 2ab Ta có: a 2bc b c 2bc b2 c 6b 6c 18 b c nên 3 a tương tự 0,5 a 2 b c 2 a 2bc 3,0 3b b 2ac b 2 ; c 2 a 3c c 2 a b 2 c ab BĐT trở thành a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 x a 2 Đặt y b 2 , ta BĐT z c suy ra: x x z y x x z y 2x , zx y y x y z x x z y y y z x z 2 0,5 2 1,0 x y z 2 yz zx x y Ta có c 2 a 2 b 2 z x y y y z x 2y , zx y z z x y z zx y 2z zx y 0,5 2 Đẳng thức xảy x y z , điều Vậy x y z yz zx x y a a 2bc b b 2ac Trang 2/6 c c 2ab 0,5 Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) k Cho số thực, tìm tất hàm đơn điệu f x f y k y f x , x, y f : thỏa mãn 3,0 Giả sử tồn hàm f x thỏa yêu cầu đề 0,25 f x đơn điệu nên hàm số đơn ánh Xét k , x , y f x f y k y f x f x f y f x x f y x f y Hàm số f y không thỏa yêu cầu hàm số đơn điệu 0,25 0,25 Xét k Thay x y ta có f f (0) f (0) suy f (0) 0,25 f f ( y) k y, y k f y f f f y f k y Từ phương trình ban đầu thay f ( y ) k y ta f x k y f x f f y k f y f x f k y f x Suy f hàm cộng tính, f đơn điệu nên f ( x ) cx (c số) 0,5 0,5 0,25 2 Kết hợp biểu thức f f y f cy c y f f ( y) k y ta 0,25 c2 k c k Thử lại f ( x) kx, f ( x ) kx k thỏa mãn yêu cầu đề Trang 3/6 0,5 Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh số A n4 6n3 13n2 12n n * khơng phải số phương 1,0 Ta có A n 6n3 13n 12n n 9n 6n3 4n 12n n 3n n 3n 2 0,25 Với n * ta có n 2n n 3n n 4n n 1 n 3n n 0,5 Vì n 1 ; n hai số phương liên tiếp, nên chúng khơng tồn số phương 2 Vậy A n 6n3 13n 12n khơng phải số phương 0,25 b) Cho đa thức f x a2023 x 2023 a2022 x 2022 a1 x a0 với hệ số nguyên a 2023 xác định tập số thực Chứng minh phương trình f x có số nghiệm 2,0 ngun khơng lớn 2026 f x a2023x 2023 a2022x 2022 a1x a , với a2023 f x f2 x f x 2 0,25 nghiệm nguyên phân biệt phương trình f x 2 Gọi x 1, x , , x m m nghiệm nguyên phân biệt phương trình f x , y1, y2 , , yn n Khi x i y j với i {1;2; 3; ; m }, j {1;2; 3; ; n } 0,25 Do tồn nghiệm nguyên xi ; y j thỏa mãn x i y j 0,5 Giả sử m + n > 2026 Vì m 2023; n 2023 nên m 4; n Các nghiệm xi ; y j nói thỏa mãn: f x i a 2023x i 2023 a2022x i 2022 a1x i a f y j a2023y j 2023 a2022y j 2022 a1y j a 2 Suy a2023 x i2023 y j2023 a2022 x i2022 y j2022 a1 x i y j (1) Vì x i y j x k i y kj với k {1; 2; ; 2023} nên từ (1) suy x mâu thuẫn với x i y j i 0,25 y j , điều 0,5 Do m n 2026 Vậy phương trình f x có số nghiệm nguyên không lớn 0,25 2026 Trang 4/6 Câu (5,0 điểm) a) Cho ABC tam giác nhọn, D điểm cạnh BC thỏa AB AD; AC AD Trên cạnh AC , AB lấy điểm E , F cho EC ED, FB FD Gọi I , J , K tâm đường tròn nội tiếp tam giác 2,0 ABC , BDF , CDE Gọi H trực tâm tam giác JDK Chứng minh tứ giác IJHK nội tiếp A F E I K C J B D 0,25 H Do tam giác FBD , ECD cân F , E nên JD JB, KD KC 0,5 Ta có: JDK 180 JDB KDC 180 IBC ICB BIC JIK 0,5 Vì H trực tâm JDK nên JHK JDK 180 0,5 0,25 Suy ra: JHK JIK 180 Vậy tứ giác IJHK nội tiếp b) Cho tam giác nhọn ABC ( AB BC ) có đường cao AK Gọi điểm D cạnh AC AD BK thỏa mãn , điểm E di động đoạn DC Gọi F giao điểm BE KD , 3,0 DC BC I giao điểm FC KE Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định Gọi H giao điểm DI cạnh BC Ta có đường thẳng đồng quy tam giác DKC DH, KE, FC, theo định lý Ceva HK EC FD 1,0 1 1 ta HC ED FK BC FK ED 2 Ba điểm thẳng hàng B, E, F, theo định lý Menelaus ta 1,0 BK FD EC Nhân (1) (2) vế theo vế ta HK BC 1 HC BK HK BK AD DH / / AK nên DH cố định HC BC DC Vậy I thuộc đoạn thẳng cố định suy Trang 5/6 0,5 0,5 Nội dung Câu (3,0 điểm) Cho đa giác n cạnh Điểm n ; n Gọi x; y số tam giác số tứ 3,0 giác lập từ đường chéo đa giác cho Tìm n biết x 2y Gọi số đỉnh đa giác n cạnh A1, A2 , A3 , , An Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác n n 9n 20 x Cn n n n Xét tứ giác có cạnh đường chéo đa giác có đỉnh A1 : 1,0 Khi A2 , An khơng phải đỉnh tứ giác Ta cần chọn thêm đỉnh Ai , Aj , Ak thỏa mãn: i j k n (vì đỉnh tứ giác khơng phải đỉnh kề đa giác) Mỗi cách chọn đỉnh cách chọn số phân biệt n số tự nhiên từ đến n Do có C n35 tứ giác có đỉnh A1 thỏa u cầu tốn Vì đa giác có n đỉnh tứ giác đếm lặp lại lần (theo cách đếm trên) nên số tứ giác lập từ đường chéo đa giác cho nC n35 n n n n y 24 n n2 9n 20 n n 5 n n Theo giả thiết: x y 24 n n3 20n2 125n 250 n 10 Đối chiếu giả thiết chọn n = 10 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Trang 6/6