Hdc toan 10 hsg 2223 ct

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT NĂM HỌC 2022 – 2023 HDC CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN 10 (Bản hướng dẫn gồm 06 trang) Nội dung Điểm x Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau Cách Điều kiện: x  3x  0 x  x  3x 1 2  x  3x  x  3,0 1,0  x   x  x   x  1 x  3x  Bình phương hai vế ta x  x  x 0 1,0 Thử lại: Loại nghiệm x 0 0,5 x 3 21 Nhận nghiệm Cách Điều kiện: x  3x  0 x2 ;x   x  3x   x  x   x  1  0,5  x   x  x   x  1 x  3x    21 x  3x     x  3x   0,5   x  3x    x  1  x  3x    x  x  2   x  x   x   1,0 0,5 Phương trình   21 x  x  x  2     21 x   Xét phương trình cịn lại vơ nghiệm Tập nghiệm phương trình cho 0,5 0,5   21  21  S  ;    Trang 1/6 Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh 3 a 3 b 3 c   2 2 a   2bc b   2ac c   2ab Ta có: 3 a nên a   2bc   b  c    2bc b  c  6b  6c  18   b     c  3 b b   2ac  tương tự BĐT trở thành   b   c    a ;   a   b    c  Ta có x z  y x suy ra: x z  y  0,5 2x zxy y x y  z  x x  z  y y y  z  x , z   c   2ab  3   c 2 a    b   c   a2    b2  2 0,5 2 1,0 x y z   2 yz zx x y   3 c   b   c    a  x   a      y   b     z   c   Đặt , ta BĐT x   a   b    c  a   2bc 3,0 z  x  y  y  y  z  x 2y zxy z  z  x  y z , z  x  y  2z zxy 0,5 2 Đẳng thức xảy x  y  z 0 , điều Vậy x y z   2 yz zx x y hay 3 a a2   2bc  0,5 3 b b2   2ac  Trang 2/6 3 c c2   2ab 2 Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) Cho k số thực, tìm tất hàm đơn điệu f :    thỏa mãn 3,0 f  x  f  y   k y  f  x  , x, y     f x Giả sử tồn hàm thỏa yêu cầu đề bài, f x đơn điệu  nên hàm số đơn ánh Xét k 0 , x, y   f  x  f  y   k y  f  x   f  x  f  y    f  x  0,25   0,25  x  f  y   x  f  y  0 Hàm số   f y 0 0,25 không thỏa yêu cầu hàm số đơn điệu Xét k 0 f f (0)   f (0) Thay x  y 0 ta có  suy f (0) 0 f  f ( y )  k y , y   0,25 k2 f  y  f f  f  y   f k2 y     Từ phương trình ban đầu thay f ( y ) k y ta f x  k y  f x  f  f  y   k f  y   f  x   f k y  f  x        0,5 Suy f hàm cộng tính, f đơn điệu nên f ( x ) cx (c số) Kết hợp biểu thức f  f  y    f  cy  c y f  f ( y )  k y ta c k  c k f ( x ) kx, f ( x )  kx  k 0  Thử lại thỏa mãn yêu cầu đề Trang 3/6 0,5 0,25 0,25 0,5 Câu (3,0 điểm) A  n  6n3  13n  12n   n  *  a) Chứng minh số phương khơng phải số 1,0 4 Ta có A  n  6n  13n  12n   n  9n   6n  4n  12n n   3n   n  3n  2 0,25 * Với n   ta có n  2n   n  3n   n  4n    n  1  n  3n    n    n  1 ;  n   0,5 2 Vì hai số phương liên tiếp, nên chúng khơng tồn số phương 0,25 Vậy A  n  6n  13n  12n  khơng phải số phương b) Cho đa thức f  x  a2023 x 2023  a2022 x 2022   a1 x  a0 với hệ số nguyên xác định tập số thực  Chứng minh phương trình ngun khơng lớn 2026 f x a2023x2023  a2022x2022   a1x  a0, a  với 2023  f x 2 f x 4    f x  f  x  4 a2023  có số nghiệm 2,0         0,25     f x 2 m nghiệm nguyên phân biệt phương trình , f x  y , y , , yn n nghiệm nguyên phân biệt phương trình x  yj Khi i với i  {1;2;3; ;m}, j  {1;2;3; ; n} m  2023; n  2023 m  4; n  Giả sử m + n > 2026 Vì nên x; y x  yj  Do tồn nghiệm nguyên i j thỏa mãn i Gọi x1, x2, , xm 0,25 0,5 x; y Các nghiệm i j nói thỏa mãn: f xi a2023xi 2023  a2022xi 2022   a1xi  a0      f yj a2023yj 2023  a2022yj 2022   a1yj  a0  Suy      0,25  a2023 xi2023  y2023  a2022 xi2022  yj2022   a1 xi  yj  (1) j x  y  x Vì k i  ykj    x  yj với k  {1;2; ;2023} nên từ (1) suy i , điều 0,5 xi  yj  mâu thuẫn với 0,25 f x 4 m  n  2026 Do Vậy phương trình có số nghiệm ngun khơng lớn 2026 i j   Trang 4/6 Câu (5,0 điểm) a) Cho ABC tam giác nhọn, D điểm cạnh BC thỏa AB  AD; AC , AB E, F AC  AD Trên cạnh lấy điểm cho EC  ED, FB FD I, J , K Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác 2,0 ABC , BDF , CDE Gọi H trực tâm tam giác J DK Chứng minh tứ giác IJ HK nội tiếp A F E I K C J B D 0,25 H J D J B, K D K C Do tam giác FBD , ECD cân F , E nên        Ta có: J DK 180  J DB  K DC 180  I BC  I CB BIC J IK   Vì H trực tâm J DK nên J HK  J DK 180 0,5 0,5 0,5   0,25 Suy ra: J HK  J IK 180 Vậy tứ giác IJ HK nội tiếp b) Cho tam giác nhọn ABC ( AB  BC ) có đường cao AK Gọi điểm D cạnh AC AD BK  3,0 thỏa mãn DC BC , điểm E di động đoạn DC Gọi F giao điểm BE KD , I giao điểm FC KE Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng cố định Gọi H giao điểm DI cạnh BC Ta có đường thẳng đồng quy tam giác DKC DH, KE, FC, theo định lý Ceva HK EC FD   1 ta HC ED FK BC FK ED 1 Ba điểm thẳng hàng B, E, F, theo định lý Menelaus ta BK FD EC HK BC  HC BK Nhân (1) với (2) vế theo vế ta Trang 5/6  2 1,0 1,0 0,5 HK BK AD   suy HC BC DC  DH / / AK nên DH cố định Vậy I thuộc đoạn thẳng cố định Nội dung Câu (3,0 điểm) Cho đa giác n cạnh 0,5 Điểm  n  ;n  8 Gọi x; y số tam giác số tứ giác lập từ đường chéo đa giác cho Tìm n biết x  2y A , A , A , , An Gọi số đỉnh đa giác n cạnh Số tam giác có cạnh đường chéo đa giác n n  9n  20 x Cn  n  n  n    A Xét tứ giác có cạnh đường chéo đa giác có đỉnh : A ,A ,A A ,A Khi n khơng phải đỉnh tứ giác Ta cần chọn thêm đỉnh i j k thỏa mãn: i   j   k n  (vì đỉnh tứ giác đỉnh kề   đa giác) Mỗi cách chọn đỉnh cách chọn số phân biệt n  số tự nhiên từ đến n  Do có Cn  tứ giác có đỉnh A1 thỏa u cầu tốn Vì đa giác có n đỉnh tứ giác đếm lặp lại lần (theo cách đếm trên) nên số tứ giác lập từ đường chéo đa giác cho nC n3 n n  n  n  y  24 n n  9n  20 n  n  5  n    n   x 2 y  2 24 Theo giả thiết:  n 5   n 10  n3  20n  125n  250 0 Đối chiếu giả thiết chọn n = 10      3,0 1,0 0,5 0,25 0,5  0,5 0,25 * Lưu ý: Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định Trang 6/6