Thông tin tài liệu
CHƯƠNG IV HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VECTƠ Bài Giá trị lượng giác góc từ đến 180 Định lí cosin định lí sin tam giác ˆ Câu Cho tam giác ABC có AB 3,5; AC 7, 5; A 135 Tính độ dài cạnh BC bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết đến hàng phần mười) Lời giải Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC AC AB AC AB cos A BC 7,52 3,52 2.7,5.3,5 cos135 BC 105,6 BC 10,3 BC 2 R Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: sin A BC 10,3 7,3 sin A sin135 ˆ ˆ Câu Cho tam giác ABC có B 75 , C 45 BC 50 Tính độ dài cạnh AB Lời giải Bˆ 75 , Cˆ 45 Aˆ 180 75 45 60 Ta có: Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: AB BC BC 50 AB sin C sin 45 40,8 sin C sin A sin A sin 60 Vậy độ dài cạnh AB 40,8 Câu Cho tam giác ABC có AB 6, AC 7, BC 8 Tính cos A, sin A bán kính R đường ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC AC AB AC AB cos A AC AB BC 62 82 cos A AB AC 2.7.6 R 2 Lại có: sin A cos A 1 sin A cos A (do A 90 ) 15 1 sin A 4 R BC sin A 16 15 15 15 2 BC 2 R Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: sin A 15 16 15 cos A ;sin A ;R 4 15 Vậy Câu Tính giá trị biểu thức sau (khơng dùng máy tính cầm tay): a) A cos cos 40 cos120 cos140 b) B sin sin150 sin175 sin180 c) C cos15 cos 35 sin 75 sin 55 d) D tan 25 tan 45 tan115 e) E cot10 cot 30 cot100 Lời giải a) A cos cos 40 cos120 cos140 Trang Tra bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt, ta có: cos 0 1;cos120 1 A cos 40 cos 40 A cos140 cos 180 40 cos 40 2 Lại có: b) B sin sin150 sin175 sin180 sin150 ;sin180 0 Tra bảng giá trị lượng giác số góc đặc biệt, ta có: 1 o o sin175 sin 180 175 sin 5 B sin sin B Lại có: c) C cos15 cos 35 sin 75 sin 55 sin 75 sin 90 75 cos15 sin 55 sin 90 55 cos 35 Ta có: ; C cos15 cos35 cos15 cos35 C 0 d) D tan 25 tan 45 tan115 tan115 tan 180 115 tan 65 Ta có: tan 65 cot 90 65 cot 25 D tan 25 tan 45 cot 25 D tan 45 1 Mà: e) E cot10 cot 30 cot100 cot100 cot 180 100 cot 80 Ta có: cot 80 tan 90 80 tan10 E cot10 cot 30 tan10 E cot 30 Mà: Câu Cho tam giác ABC Chứng minh: A B C sin cos 2 a) B C A tan cot 2 b) Lời giải Xét tam giác ABC , ta có: Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ 180 90 2 Aˆ Bˆ Cˆ Do hai góc phụ A A B C sin cos 90 cos 2 a) Ta có: B C B C A tan cot 90 cot 2 b) Ta có: Câu Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B hai bên bờ ao, bạn An dọc bờ ao từ vị trí A đến vị trí C tiến hành đo góc BAC , BCA Biết AC 25 m, BAC 59,95 ; BCA 82,15 Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B mét (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Trang Lời giải Xét tam giác ABC , ta có: BAC 59,95 ; BCA 82,15 ABC 180 59,95 82,15 37,9 AB AC Áp dụng định lí sin tam giác BAC ta có: sin C sin B AC 25 AB sin C sin 82,15 28,6 sin B sin 59,95 Vậy khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B 28, m Câu Hai tàu đánh cá xuất phát từ bến A thẳng hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với góc 75 Tàu thứ chạy với tốc độ hải lí tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí Sau 2,5 khoảng cách hai tàu hải lí (làm trịn kết đến hàng phần mười)? Lời giải Gọi B, C vị trí tàu thứ tàu thứ hai sau 2,5 Sau 2,5 giờ: Quãng đường tàu thứ là: AB 8.2,5 20 (hải lí) Quãng đường tàu thứ hai là: AC 12 2,5 30 (hải lí) Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: BC AC AB AC AB cos A BC 302 202 2.30 20 cos 75o BC 989,4 BC 31,5 Vậy hai tàu cách 31,5 hải lí Câu Bạn A đứng đỉnh tòa nhà quan sát diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng phương từ mắt bạn A tới diều phương nằm ngang) 35 ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt bạn A 1,5 m Cùng lúc chân tòa nhà, bạn B quan sát diều thấy góc nâng 75 ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn B 1,5 m Biết chiều cao tòa nhà h 20 m (Hình) Chiếc diều bay cao mét so mặt đất (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Trang Lời giải Gọi điểm: O vị trí diều H hình chiếu vng góc diều mặt đất C, D hình chiếu vng góc A, B OH Đặt OC x , suy OH x 20 1,5 x 21,5 OC OC x AC AC tan tan 35 Xét tam giác OBD, ta có: Xét tam giác OAC , ta có: OD OD x 20 x x 20 tan BD AC BD BD tan tan 75 Mà: tan 35 tan 75 tan x tan 75 ( x 20) tan 35 Suy OH 26,1 x 20 tan 35 4, tan 75 tan 35 Vậy diều bay cao 26,1 m so với mặt đất Bài Giải tam giác ˆ Câu Cho tam giác ABC có BC 12, CA 15, C 120 Tính: a) Độ dài cạnh AB b) Số đo góc A, B c) Diện tích tam giác ABC Trang Lời giải a) Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: AB AC BC AC BC cos C AB 152 122 15 12 cos120 AB 549 AB 23, 43 b) Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: BC AB BC 12 sin A sin C sin120 0, 44 Aˆ 26 o hoaëc Aˆ 154 o (Loaïi) sin A sin C AB 23, 43 o Bˆ 180 26 120 34 Khi đó: c) Diện tích tam giác ABC là: 1 S CA.CB.sin C 15 12.sin120 45 2 ˆ Câu Cho tam giác ABC có AB 5, BC 7, A 120 Tính độ dài cạnh AC Lời giải Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: AB BC AB 5 sin C sin A sin120 sin C sin A BC 14 o ˆ ˆ C 38,2 ho?c C 141,8 (Loại) Ta có: Aˆ 120 , Cˆ 38,2 Bˆ 180 120 38,2 21,8 Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: AC AB BC AB BC cos B AC 52 72 2.5 7 cos 21,8o AC 9 AC 3 Vậy độ dài cạnh AC ˆ ˆ Câu Cho tam giác ABC có AB 100, B 100 , C 45 Tính: a) Độ dài cạnh AC , BC b) Diện tích tam giác ABC Lời giải a) Ta có: Aˆ 180 ( Bˆ Cˆ ) Aˆ 180 100 45 35 Trang Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: 100 AB AC sin100 139,3 AC s i n B AB AC BC s i n C sin 45 sin C sin B sin A AB BC s i n A BC sin 35 100 81,1 sinC sin 45 b) Diện tích tam giác ABC là: 1 S BC AC sin C 81,1.139,3.sin 45 3994,2 2 Câu Cho tam giác ABC có AB 12, AC 15, BC 20 Tính: a) Số đo góc A, B, C b) Diện tích tam giác ABC Lời giải a) Áp dụng định lí cosin tam giác ABC , ta có: b2 c2 a a2 c2 b2 cos A ;cos B 2bc 2ac a BC 20; b AC 15; c AB 12 Thay 31 319 ;cos B 360 480 o ˆ o ˆ A 94,9 ; B 48, Cˆ 180 94,9 48,3o 36,8o cos A b) Diện tích tam giác ABC là: 1 S bc.sin A 15 12 sin 94,9 89, 2 Câu Tính độ dài cạnh AB trường hợp sau: Lời giải Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: Bˆ 68,2 BC AC AC sin A 5,2 sin 40 sin B 0,93 sin A sin B BC 3,6 Bˆ 111,8 o ˆ Trường hợp 1: B 68, Cˆ 180 ( Aˆ Bˆ ) 180 40 68, 2 71,8 Ta có: Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: BC AB sin A sin C BC 3, AB sin C sin 71,8 5,32 sin A sin 40 Trang ˆ Trường hợp : B 111,8 Ta có: Cˆ 180 ( Aˆ Bˆ ) 180 40 111,8 28, o Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có: BC AB sin A sin C BC 3, AB sin C sin 28, 2 2, 65 sin A sin 40 Vậy AB 5,32 AB 2, 65 Câu Để tính khoảng cách giữra hai địa điểm A B mà ta trực tiếp từ A đến B (hai địa điểm nằm hai bên bờ hồ nước, đầm lầy, ), người ta tiến hành sau: Chọn địa điểm C cho ta đo khoảng cách AC , CB góc ACB Sau đo, ta nhận được: AC 1 km, CB 800 m ACB 105 (Hình 31) Tính khoảng cách AB (làm tròn kết đến hàng phần mười đơn vị mét) Lời giải Đổi: km = 1000 m Do AC 1000 m Áp dụng định lí cosin tam giác ABC ta có: AB AC BC AC BC cos C AB 10002 8002 1000 800 cos105 AB 2054110,5 AB 1433,2 Vậy khoảng cách AB 1433,2 m Câu Một người dọc bờ biển từ vị trí A đến vị trí B quan sát hải đăng Góc nghiêng phương quan sát từ vị trí A, B tới hải đăng với đường người quan sát 45 75 Biết khoảng cách hai vị trí A, B 30 m (Hình) Ngọn hải đăng cách bờ biển mét (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Lời giải Gọi C vị trí hải đăng H hình chiếu C AB Khi CH khoảng cách từ hải đăng tới bờ biển Trang ˆ ACB) 180 45 115 20 ACB 180 ( A Ta có: ABC 180 CBH 180 75 115 Áp AB AC AB 30 AC sin B sin115 79, sin C sin 20 dụng định lí sin tam giác ABC ta có: sin C sin B Tam giác ACH vng H nên ta có: CH sin A AC sin 45 79,5 56 Vậy hải đăng cách bờ biển 56 m Bài Khái niệm vectơ Câu Cho A, B, C ba điểm thẳng hàng, B nằm A C Viết cặp vectơ hướng, ngược hướng vectơ sau: AB, AC , BA, BC , CA, CB Lời giải Do vectơ nằm đường thẳng AB nên vectơ phương với Dễ thấy: Các vectơ AB , AC , BC hướng (từ trái sang phải.) Các vectơ BA, CA, CB hướng (từ phải sang trái.) Do đó, hướng là: cặp vectơcùng AC ; AC BC ; AB BC ; BA CA ; BA CB CB AB và và ; BA Các cặp vectơ ngược hướng là: AB BA; AB CA; AB CB BA ; AC CA ; AC CB ; AC và BA ; BC CA ; BC BC CB và MN Câu Cho đoạn thẳng có trung điểm I a) Viết vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối ba điểm M , N , I b) vectơ MI ? Bằng NI ? Lời giải a) Các vectơ là: MI , IM , IN , NI , MN , NM Trang b) Dể thấy: MI Hơn nữa: +) vectơ IN hướng với vectơ | IN |IN MI | MI | IN MI NI Hơn nữa: IM +) vectơ hướng với vectơ | IM |IM NI | NI | IM NI IN MI Vậy MM NI ABCD có hai đáy AB CD Tìm vectơ: Câu Cho hình thang a) Cùng hướng với AB b) Ngược hướng với AB Lời giải Giá vectơ AB đường thẳng AB CD AB Các vectơ phương với vectơ là: DC a) vectơ DC hướng với vectơ AB b) vectơ CD ngược hướng với vectơ AB ABCD cm Câu Cho hình vng có độ dài cạnh Tính độ dài vectơ AB, AC Lời giải | AB | AB | Ta có: AC | AC 3 Mà AB 3, AC | AB |3; | AC |3 Câu Quan sát ròng rọc hoạt động dùng lực để kéo đầu ròng rọc Chuyển động đoạn dây mô tả vectoo a , b , c (hình) Trang a) Hãy cặp vectơ phương b) Trong cặp vectơ đó, cho biết chúng hướng hay ngược hướng Lời giải a Gọi a, b, c đường thẳng chứa vectơ , b , c Khi đó: a, b, c giá vectơ a, b , c a) Dễ thấy: a / /b / / c Ba vectơ a , b , c phương với b , a c Vậy cặp vectơ phương là: a và , b c b) Quan sát ba vectơ, ta thấy: vectơ a c hướng xuống vectơ b hướng lên Vậy vectơ a c hướng, vectơ a c ngược hướng, vecto b c ngược hướng Bài Tổng, hiệu hai vectơ Câu Cho ba điểm M , N , P Vectơ u NP MN vectơ sau đây? A PN ; B PM C MP ; D NM Lời giải Ta có u NP MN MN NP MP Chọn C D , E , G v DE ( DG ) vectơ sau đây? Câu Cho ba điểm Vectơ A EG B GE ; Trang 10 O AB Do đó, để hai vectơ OA OB đối đường kính đường trịn tâm Câu Cho ABCD hình bình hành Chứng minh MB MA MC MD với điểm M mặt phẳng Lời giải MA AB MB MC MD DC Ta có Mà AB DC nên điều phải chứng minh ABCD có cạnh a Tính độ dài vectơ sau: Câu 7. Cho hình vng DC ; a) DA b) AB AD c) OA OB với O giao điểm AC BD Lời giải DA DC DB a a) AB AD DB a b) c) Vẽ hình bình hành OAEB góc AOB 90 OAEB hình vng nên ta có OA OB OE a F OA , F OB Câu Cho ba lực F3 OC tác động vào vật điểm O vật đứng yên Cho biết cường độ F1 , F2 120 N AOB 120 Tìm cường độ hướng lực F3 Lời giải Trang 12 OADB OA OB OD OA OB nên OADB hình thoi Suy tam giác Vẽ hình bình hành ta dễ có OBD , nên OD OA OB OA OB OC OD OC 0 Suy OC OD 120 N Vì vật đứng yên, nên ta có F 120 N OD Vậy cường độ lực Có hướng ngược (là hợp lực F1 , F2 ) Câu Một dịng sơng chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc 10 km / h Một ca nơ chuyển động từ phía đơng sang phía tây với vận tốc 40 km / h so với mặt nước Tìm vận tốc ca nơ so với bờ sông Lời giải Ca nô chuyển từ đông sang tây, giả sử ca nô theo hướng A sang C , vận tốc so với mặt nước v1 40 km / h v AC v ca nô biểu thị có độ lớn , vận tốc dịng chảy biểu thị AB v2 10 km / h có độ lớn v v1 v2 Khi vận tốc ca nô so với bờ sông biểu thị v v Ta cần tính độ lớn vectơ v , Dựng hình bình hành ACDB hình vẽ Do hướng nam bắc vng góc với hướng đơng tây nên AB AC vng góc với Trang 13 Suy ACDB hình chữ nhật Nên AB CD 10, AC BD 40 Sử dụng định lí Pythagore tam giác vng ACD, ta có: AD AC CD 402 102 1700 AD 1700 10 17 Lại có ACDB hình bình hành nên: AD AC AB v1 v2 Do đó: v AD | v || AD | AD 10 17 Vậy vận tốc ca nô so với bờ sông 10 17 km / h Bài Tích số với vectơ Câu Cho hình thang MNPQ, MN / / PQ, MN 2 PQ Phát biểu sau đúng? PQ A MN B MQ NP PQ C MN MQ NP D Lời giải MN MI QP 2PQ Chọn C Ta có Câu Cho đoạn thẳng AB 6 cm 1 AC AB a) Xác định điểm C thoả mãn 1 AD AB b) Xác định điểm D thoả mãn Lời giải a) C trung điểm đoạn AB b) D điểm đoạn AB (nằm đường thẳng AB ) cho DA AB 9 (cm) Câu Cho tam giác ABC có M , N , P lẩn lượt trung điểm BC , CA, AB Chứng minh: 1 AP BC AN a) b) BC 2MP BA Lời giải Trang 14 1 AP BC PB BM PM AN a) (đpcm) b) BC 2MP BC CA BA (đpcm) ABC Các điểm D, E thuộc cạnh BC thoả mãn BD DE EC Giả sử AB a , Câu Cho tam giác AC b Biểu diễn vectơ BC , BD, BE , AD, AE theo a , b Lời giải BC BA AC ab BC a b BD 3 2.BC BE ab 3 a b 2a b AD AB BD a 3 a 2b AE AB BE a a b 3 M , N Câu Cho tứ giác ABCD có trung điểm hai cạnh AB CD Gọi G trung điểm MN , E trọng tâm tam giác BCD Chứng minh: của đoạn thẳng EB EC ED 4EG a) EA b) EA 4 EG 3 AG AE c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE Lời giải Trang 15 a) EA EB EC ED EG GA EG GB EG GC EG GD 4 EG GA GB GC GD 4 EG 2GM 2GN 4 EG 4EG EA 4 EG b) Vì E trọng tâm tam giác BCD nên EB EC ED , theo câu a) ta E , A, G thẳng hàng EA 4 EG nên G thuộc đoạn EA c) Theo câu b) ta suy ba điểm Ta có EA 4 EG AE EG 4GE EG AG 3GE (1) AE AE 4GE GE (2) Lấy (2) thay vào (1) ta điều phải chứng minh Từ câu b) ta có AB a , AD b ABCD Câu Cho bình hành Đặt Gọi G trọng tâm tam giác ABC Biểu thị hình vectơ AG, CG theo hai vectơ a , b Lời giải 2 1 2 1 AG AM AB AC AB AB BC 2a b 3 3 Ta có 2 1 CG CN CA CB CB BA CB 2b a 3 3 Ta có Câu Cho tam giác ABC Các điểm D, E , H thoả mãn 1 DB BC , AE AC , AH AB 3 AD , DH , HE a) Biểu thị vectơ theo hai vectơ AB, AC b) Chứng minh D, E , H thẳng hàng Lời giải 4 AB AC AD AC CD AC CB BD AC CB CB AC CA AB 3 a) Ta có 1 DH DB BH BC BA BA AC BA AC AB AB AC 3 3 3 Ta có HE HA AE AB AC 3 Ta có Trang 16 DH HE AB AC 3 b) Ta thấy , nên điểm D, E , H thẳng hàng Bài Tích vơ hướng hai vectơ Câu Nếu hai điểm M , N thoả mãn MN NM độ dài đoạn thẳng MN bao nhiêu? A MN 4 B MN 2 C MN 16 ; D MN 256 Lời giải MN NM MN NM cos180 MN 4 MN 2 Chọn A Câu Phát biểu sau đúng? a , b ( a A Nếu khác , b ) 90 a b ; a , b ( a , b ) 90 a B Nếu khác b ; a , b ( a , b ) 90 a C Nếu khác b ; D Nếu a , b khác ( a , b ) 90 a b Lời giải Chọn C Câu Tính a b trường hợp sau: a) | a |3,| b |4, (a , b ) 30 ; | a | 5,| b | 6, ( a , b ) 120 ; b) | a | 2,| b |3, a b hướng; c) d) | a |2,| b |3, a b ngược hướng Lời giải a b a b cos a b Ta có từ suy a b 12.cos 30 12 6 a) a b) b 30.cos120 15 a c) b 6.cos 0 6 a d) b 6.cos180 ABCD cạnh a Tính tích vơ hướng sau: Câu Cho hình vng a) AB AC b) AC BD Lời giải Trang 17 AB AC AB AC cos 45 a.a a 2 a) AC BD AC BD cos 90 0 b) ABC Chứng minh: Câu 5. Cho tam giác AB AB BC AB CA 0 Lời giải AB AB BC AB CA AB AB BC CA AB AB.BA AB AB 0 Ta có ABC , kẻ đường cao AH Chứng minh rằng: Câu Cho tam giác nhọn AC AH a) AB AH b) AB BC HB BC Lời giải (đpcm) AB AH AC AH AH AB AC AH CB 0 a) (đpcm) AB BC HB BC BC AB HB BC AH 0 b) (đpcm) Câu Một máy bay bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km / h gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km / h (Hình) Máy bay bị thay đổi vận tốc sau gặp gió thổi Tìm tốc độ máy bay (làm tròn kết đến hàng phần trăm theo đơn vị km/h) Lời giải Trang 18 Khi ta có: ABCD hình bình hành có ABC 45 DAB 180 45 135 ; AD v2 40, AB v1 700 Suy ra: Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD , độ dài vectơ v Áp dụng định lí sin tam giác ABD , ta có: BD AD AB AD AB cos A 402 700 40 700 cos135 531197,98 Suy BD 728,83( km / h) Vậy tốc độ máy bay sau gặp gió thổi 728,83km/h Câu Cho tam giác ABC có AB 2, AC 3, BAC 60 Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Điểm 7 AD AC 12 D thoả mãn a) Tính AB, AC AM , BD b) Biểu diễn theo AB, AC c) Chứng minh AM BD Lời giải AB AC | AB | | AC | cos( AB, AC ) AB AC cos BAC 2 3 cos 60 3 a) Ta có: b) + Do M trung điểm BC nên với điểm A ta có: 1 1 1 AM ( AB AC ) AB AC AB AC 2 AM 2 1 AM AB AC 2 Do đó: 7 AD AC 12 + Ta có: BD BA AD ( AB ) AD Mà Trang 19 7 7 BD ( AB ) AC AB AC 12 12 Nên 7 BD AB AC 12 Vậy c) Ta có: 1 AM BD AB AC AB AC AB AB AC AC AB AC 12 24 24 2 1 7 1 7 AB AB AC AB AC AC 22 3 3 32 0 24 24 24 24 Suy ra: AM BD 0 Vậy AM BD Ôn tập chương IV Câu Cho tam giác ABC có AB 3, AC 4, BAC 120 Tính (làm trịn kết đến hàng đơn vị): a) Độ dài cạnh BC độ lớn góc B ; b) Bán kính đường trịn ngoại tiếp; c) Diện tích tam giác; A d) Độ dài đường cao xuất phát từ ; e) AB AC , AM BC vối M trung điểm BC Lời giải a) + Áp dụng định lí cơsin tam giác ABC ta có: BC AB AC AB AC cos BAC 32 3 4 cos120 9 16 ( 12) 37 Suy ra: BC 37 6 AB BC AC 32 62 42 29 cos B AB BC 2.3.6 36 Suy Bˆ 36 + Ta có: BC 2 R b) Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: sin A BC R 2 3 2sin A sin120 Suy ra: Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R 3 1 S AB AC sin A 3 4 sin120 3 5 2 c) Diện tích tam giác ABC là: d) Kẻ đường cao AH S 2.5 S AH BC AH 2 BC Ta có diện tích tam giác ABC là: Suy ra: e) Trang 20
Ngày đăng: 16/10/2023, 21:16
Xem thêm:
