Chủ đề 6 vecto phần 1

Định nghĩa Hai vectơ gọi phương giá chúng song song trùng Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai vectơ uuur uuu r AB AC phương Hai vectơ Mỗi vectơ có độ dài, khoảng cách điểm đầu điểm cuối uuu r uuu r uuu r vectơ Độ dài AB kí hiệu AB , AB = AB Vectơ có độ dài gọi vectơ đơn vị r r Hai vectơ a b gọi chúng hướng có r r độ dài, kí hiệu a =b r Chú ý Khi cho trước vectơ a điểm O, ta ln tìm điểm A uur r cho OA = a Vectơ – không Ta biết vectơ có điểm đầu điểm cuối hoàn toàn xác định biết điểm đầu điểm cuối Bây với điểm A ta quy ước có vectơ đặc biệt mà điểm uuu r đầu điểm cuối A Vectơ kí hiệu AA gọi vectơ – không CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu Vectơ có điểm đầu D , điểm cuối E kí hiệu uuur uuu r uuur A DE B DE C ED D DE Câu Cho tam giác ABC Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? A B C D Câu Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu cuối đỉnh tứ giác? A B C D 12 Vấn đề HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Câu Mệnh đề sau đúng? A Có vectơ phương với vectơ B Có hai vectơ có phương với vectơ C Có vơ số vectơ phương với vectơ D Khơng có vectơ phương với vectơ Câu Cho ba điểm A, B, C phân biệt Khi đó: uuur uuu r A Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng AB phương với AC uuur B Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng với M , MA phương với uuu r AB 155 uuur C Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng với M , MA phương với uuu r AB uuu r uuur D Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng AB = AC Câu Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏi cặp vectơ sau hướng? uuuu r uur uuur uuur uuur uur uuu r uuur A MN CB B AB MB C MA MB D AN CA Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ - không, uuu r phương với OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác A B C D Vấn đề HAI VECTƠ BẰNG NHAU uuur Câu Với DE (khác vectơ - khơng) độ dài đoạn ED gọi uuu r uuu r A Phương ED B Hướng ED uuu r uuu r C Giá ED D Độ dài ED Câu Mệnh đề sau sai? uuu r r A AA = uuu r C AB > r B hướng với vectơ r D phương với vectơ Câu 10 Hai vectơ gọi A Giá chúng trùng độ dài chúng B Chúng trùng với cặp cạnh đối hình bình hành C Chúng trùng với cặp cạnh đối tam giác D Chúng hướng độ dài chúng Câu 12 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Điều kiện đáp án A, uuu r uuu r B, C, D sau điều kiện cần đủ để AB = CD ? A ABCD hình bình hành C AC = BD B ABDC hình bình hành D AB = CD uuu r uuu r Câu 13 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn AB = CD Khẳng định sau sai? uuu r uuu r uuu r uuu r A AB hướng CD B AB phương CD uuu r uuu r C AB = CD D ABCD hình bình hành Câu 14 Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai? uuu r uuur uur uuur uur uuu r uur uuur A AB = DC B OB = DO C OA = OC D CB = DA Câu 15 Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Khẳng định sau sai? uuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuu r uuur uuu r A MN = QP B QP = MN C MQ = NP D MN = AC 156 Câu 16 Cho hình vng ABCD Khẳng định sau đúng? uuur uuu r uuu r uuu r A AC = BD B AB = CD uuu r uuu r uuu r uuur C AB = BC D Hai vectơ AB, AC hướng Câu 17 Gọi O giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD Mệnh đề sau đúng? uur uuu r uur uuu r A OA = OC B OB OD hướng uuur uuu r uuur uuu r C AC BD hướng D AC = BD Câu 18 Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Đẳng thức sau đúng? uuu r uuuu r uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuu r A MA = MB B AB = AC C MN = BC D BC = MN Câu 19 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi M trung điểm BC Khẳng định sau đúng? uuuu r a uuuu r a uuur uuur uuuu r A MB = MC B AM = C AM = a D AM = 2 · Câu 20 Cho hình thoi ABCD cạnh a BAD = 60° Đẳng thức sau đúng? uuu r uuur A AB = AD uuu r B BD = a uuu r uuur C BD = AC uuu r uuur D BC = DA Câu 21 Cho lục giác ABCDEF có tâm O Đẳng thức sau sai? uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uur uuu r A AB = ED B AB = AF C OD = BC D OB = OE uuu r Câu 22 Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác A B C D Câu 23 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định sau đúng? uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur A HA = CD AD = CH B HA = CD AD = HC uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur uur uuu r C HA = CD AC = CH D HA = CD AD = HC OB = OD uuu r r Câu 24 Cho AB ¹ điểm C Có điểm D thỏa mãn uuu r uuu r AB = CD ? A B C D Vơ số uuu r r Câu 25 Cho AB ¹ điểm C Có điểm D thỏa mãn uuu r uuu r AB = CD ? A B C D Vô số 157 BÀI TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ Tổng hai vectơ r uuu r r r Định nghĩa Cho hai vectơ a b Lấy điểm A tùy ý, vẽ AB = a uuu r r uuur r r BC = b Vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b Ta kí hiệu tổng r r r r Vậy uuur r r hai vectơ a b a + b AC = a + b Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ B C A Quy tắc hình bình hành uuu r uuur uuur Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC B C A D Tính chất phép cộng vectơ r r r Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có r r r r (tính chất giao hốn);  a +b = b +a r r r r r r  a + b + c = a + b + c (tính chất kết hợp); r r r r r (tính chất vectơ – khơng)  a + = 0+ a = a ( ) ( ) Hiệu hai vectơ a) Vectơ đối r r Cho vectơ a Vectơ có độ dài ngược hướng với a gọi vectơ r r đối vectơ a, kí hiệu - a uuu r uuu r Mỗi vectơ có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối AB BA, nghĩa uuu r uuu r - AB = BA r r Đặc biệt, vectơ đối vectơ vectơ 158 b) Định nghĩa hiệu hai vectơ r r r r Định nghĩa Cho hai vectơ a b Ta gọi hiệu hai vectơ a b r r r r r r r r Như a - b = a+ - b vectơ a + - b , kí hiệu a - b ( ) ( ) Từ định nghĩa hiệu hai vectơ, suy với ba điểm O, A, B tùy ý ta có uuu r uur uur AB = OB - OA A O B Chú ý 1) Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ 2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta ln có uuu r uuu r uuur AB + BC = AC (quy tắc ba điểm); uuu r uuur uur AB - AC = CB (quy tắc trừ) Thực chất hai quy tắc suy từ phép cộng vectơ Áp dụng uur uur r a) Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA + IB = uuu r uuu r uuu r r b) Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA +GB + GC = CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu Cho ba điểm A, B, C phân biệt Khẳng định sau đúng? uuu r uuur uuu r uuur uuuu r uuu r uur uuu r uur A AB + AC = BC B MP + NM = NP C CA + BA = CB D uuu r uur uuu r AA + BB = AB r r r r r Câu Cho a b vectơ khác với a vectơ đối b Khẳng định sau sai? r r r r A Hai vectơ a, b phương B Hai vectơ a, b ngược hướng r r r r C Hai vectơ a, b độ dài D Hai vectơ a, b chung điểm đầu Câu Cho ba điểm phân biệt A, B, C Đẳng thức sau đúng? uur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r A CA - BA = BC B AB + AC = BC uuu r uur uur uuu r uuu r uur C AB +CA = CB D AB - BC = CA uuu r uuu r Câu Cho AB = - CD Khẳng định sau đúng? uuu r uuu r uuu r uuu r A AB CD hướng B AB CD độ dài uuu r uuur r C ABCD hình bình hành D AB + DC = 159 uuuu r uuu r uuur uuu r uuu r Câu Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR uuur uuuu r uuu r uuur A MR B MN C PR D MP Câu Cho hai điểm A B phân biệt Điều kiện để I trung điểm AB là: uur uur uur uur uur uur A IA = IB B IA = IB C IA = - IB D AI = BI Câu Điều kiện điều kiện cần đủ để I trung điểm đoạn thẳng AB ? uur uur r uur uur r uur uur A IA = IB B IA + IB = C IA - IB = D IA = IB Câu Cho tam giác ABC cân A , đường cao AH Khẳng định sau sai? uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur A AB = AC B HC = - HB C AB = AC D BC = 2HC Câu Cho hình vng ABCD Khẳng định sau đúng? uuur uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r A AB = BC B AB = CD C AC = BD D AD = CB Câu 10 Mệnh đề sau sai? uuur uuur r A Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = uuu r uuu r uuu r r B Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA +GB + GC = uur uuu r uur C Nếu ABCD hình bình hành CB +CD = CA D Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý đường thẳng uuu r uuu r uuur AB + BC = AC Câu 11 Gọi O tâm hình bình hành ABCD Đẳng thức sau sai? uur uur uuu r uur uuu r uuu r uur A OA - OB = CD B OB - OC = OD - OA uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuur C AB - AD = DB D BC - BA = DC - DA Câu 12 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau đúng? uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A AB - BC = DB B AB - BC = BD uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuur C AB - BC = CA D AB - BC = AC uur uuu r Câu 13 Gọi O tâm hình vng ABCD Tính OB - OC uur uuu r uuu r uur uuu r uuur A OB - OC = BC B OB - OC = DA uur uuu r uuu r uur uur uuu r uuu r C OB - OC = OD - OA D OB - OC = AB Câu 14 Cho tam giác ABC cạnh a Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uur uur uuu r A AB = BC = CA B CA = - AB uuu r uuu r uur uur uuu r C AB = BC = CA = a D CA = - BC Câu 15 Cho tam giác ABC với M trung điểm BC Mệnh đề sau đúng? uuuu r uuur uuu r r uuur uuur uuu r A AM + MB + BA = B MA + MB = AB uuur uuur uuur uuu r uuur uuuu r C MA + MB = MC D AB + AC = AM 160 Câu 16 Cho tam giác ABC với M , N , P trung điểm BC, CA, AB Khẳng định sau sai? uuu r uuu r uur r uuu r uuur uuu r r A AB + BC +CA = B AP + BM +CN = uuuu r uuu r uuur r uur uuur uuur C MN + NP + PM = D PB + MC = MP Câu 17 Cho ba điểm phân biệt A, B, C Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uur r A AB + BC = AC B AB + BC +CA = uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r C AB = BC Û CA = BC D AB - CA = BC Câu 18 Cho tam giác ABC có AB = AC đường cao AH Đẳng thức sau đúng? uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur r A AB + AC = AH B HA + HB + HC = uuu r uuur r uuu r uuur C HB + HC = D AB = AC Câu 19 Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH Khẳng định sau sai? uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur A AH + HB = AH + HC B AH - AB = AH - AC uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r C BC - BA = HC - HA D AH = AB - AH Câu 20 Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, BC, CA tam giác uuur uuur ABC Hỏi vectơ MP + NP vectơ vectơ sau? uuu r uuu r uuuu r A AP B BP C MN D uuur uuu r MB + NB Câu 21 Cho đường tròn O hai tiếp tuyến song song với tiếp xúc với ( O) hai điểm A B Mệnh đề sau đúng? uur uur uuu r uur A OA =- OB B AB = - OB C OA = - OB D AB = - BA Câu 22 Cho đường tròn O hai tiếp tuyến MT , MT ¢ ( T T ¢ hai tiếp điểm) Khẳng định sau đúng? uuuu r uuuu r uuuur uuu r A MT = MT ¢ B MT + MT ¢= TT ¢ C MT = MT ¢ D OT = - OT ¢ Câu 23 Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uuur uur uuu r uuu r uuu r uuur A AB +CD = AD +CB B AB + BC +CD = DA uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uur C AB + BC = CD + DA D AB + AD = CD +CB Câu 24 Gọi O tâm hình vng ABCD Vectơ vectơ uur CA ? uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuur uuur uur A BC + AB B - OA +OC C BA + DA D DC - CB Câu 25 Cho lục giác ABCDEF có tâm O Đẳng thức sau sai? uur uuu r uuu r r uur uuu r uur uuu r A OA +OC +OE = B OA +OC +OB = EB uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r uuur C AB +CD + EF = D BC + EF = AD Câu 26 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Hỏi 161 uuur uuur vectơ AO - DO vectơ vectơ sau? uuu r uuu r uuur uuur A BA B BC C DC D AC Câu 27 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Đẳng thức sau sai? uur uur uuu r uuu r r uuur uuu r uuur A OA +OB +OC +OD = B AC = AB + AD uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uur C BA + BC = DA + DC D AB +CD = AB +CB ( ) Câu 28 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Gọi E , F trung điểm AB, BC Đẳng thức sau sai? uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A DO = EB - EO B OC = EB + EO uur uuu r uuu r uuu r uuu r r uuu r uuu r uuur r C OA +OC +OD +OE +OF = D BE + BF - DO = Câu 29 Cho hình bình hành ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ABC Mệnh đề sau đúng? uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r A GA +GC +GD = BD B GA +GC +GD = CD uuu r uuu r uuur ur uuu r uuur uuu r uuu r C GA +GC +GD = O D GA +GD +GC = CD Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD Khẳng định sau đúng? uuur uuu r uuu r uuur uuur r A AC = BD B AB + AC + AD = uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r C AB - AD = AB + AD D BC + BD = AC - AB Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uuu r uuur Câu 31 Cho tam giác ABC cạnh a Tính AB + AC uuu r uuur A AB + AC = a uuu r uuur C AB + AC = 2a r uuur a B uuu AB + AC = uuu r uuur D AB + AC = 2a uuu r uuur Câu 32 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = a Tính AB + AC uuu r uuur A AB + AC = a uuu r uuur C AB + AC = 2a uuu r uuur a B AB + AC = uuu r uuur D AB + AC = a Câu 33 Cho tam giác ABC vng cân C AB = Tính độ dài uuu r uuur AB + AC uuu r uuur uuu r uuur A AB + AC = B AB + AC = uuu r uuur uuu r uuur AB + AC = AB + AC = C D uur uuu r AB = 3, AC = CA + AB ABC A Câu 34 Cho tam giác vng có Tính uur uuu r uur uuu r uur uuu r uur uuu r A CA + AB = B CA + AB = 13 C CA + AB = D CA + AB = 13 162 uuu r uuur · AB + AC ABC AB = AC = a BAC = 120 ° Câu 35 Tam giác có Tính uuur uuur uuu r uuur AB + AC = a AB + AC = a A B uuu r uuur uuu r uuur a AB + AC = 2a AB + AC = C D Câu 36 Cho tam giác ABC cạnh a, H trung điểm BC Tính uur uuur CA - HC uur uuur a uur uuur 3a uur uuur 3a uur uuur a CA - HC = CA - HC = CA - HC = D CA - HC = A B C 2 Câu 37 Gọi G trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 r uuu r uuu r Tính độ dài vectơ v = GB + GC r r r r A v = B v = C v = D v = uuur uuu r Câu 38 Cho hình thoi ABCD có AC = 2a BD = a Tính AC + BD uuur uuu r uuur uuu r AC + BD = a AC + BD = a A B uuur uuu r uuur uuu r C AC + BD = a D AC + BD = 5a uuu r uuur Câu 39 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB - DA uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur A AB - DA = B AB - DA = a C AB - DA = a D AB - DA = 2a uur uuu r Câu 40 Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O Tính OB +OC uur uuu r uur uuu r uur uuu r a uur uuu r a OB +OC = a OB +OC = a OB +OC = OB + OC = A B C D 2 Vấn đề XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ uuur uuur uuur r Câu 41 Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = Xác định vị trí điểm M A M điểm thứ tư hình bình hành ACBM B M trung điểm đoạn thẳng AB C M trùng với C D M trọng tâm tam giác ABC Câu 42 Cho tam giác ABC Tập hợp tất điểm M thỏa mãn đẳng thức uuur uuur uuur uuu r MB - MC = BM - BA A đường thẳng AB B trung trực đoạn BC C đường trịn tâm A, bán kính BC D đường thẳng qua A song song với BC Câu 43 Cho hình bình hành ABCD Tập hợp tất điểm M thỏa mãn 163 uuur uuur uuur uuuu r đẳng thức MA + MB - MC = MD A đường tròn C tập rỗng B đường thẳng D đoạn thẳng uuur uuur uuu r Câu 44 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MB + MC = AB Tìm vị trí điểm M A M trung điểm AC B M trung điểm AB C M trung điểm BC D M điểm thứ tư hình bình hành ABCM uuur uuur uuur r Câu 45 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn điều kiện MA - MB + MC = Mệnh đề sau sai? uuuu r uuu r uuur A MABC hình bình hành B AM + AB = AC uuu r uuu r uuur uuur uuu r C BA + BC = BM D MA = BC BÀI TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ Định nghĩa r r r Cho số k ¹ vectơ a ¹ Tích vectơ a với số k vectơ, kí hiệu r r r ka, hướng với a k > 0, ngược hướng với a k < có độ dài r k a Tính chất r r Với hai vectơ a b bất kì, với số h k, ta có r r r r  k a + b = ka + kb ; r r r  ( h+ k) a = + ka ; r r  h( ka) = ( hk) a ; r r r r  1.a = a, ( - 1) a = - a ( ) Trung điểm đoạn thẳng trọng tâm tam giác a) Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có uuur uuur uuu r MA + MB = MI b) Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có uuu r uuu r uuu r uuur GA +GB +GC = 3MG Điều kiện để hai vectơ phương r r Điều kiện cần đủ để hai vectơ a b k để 164 r r ( b ¹ 0) phương có số r r a = kb Nhận xét Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số k khác để uuu r uuur AB = k AC Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương r r r Cho hai vectơ a b không phương Khi vectơ x phân r r tích cách theo hai vectơ a b, nghĩa có cặp r r r số h, k cho x = + kb CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uur uur Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA = a Tính 2OA - OB ( A a ) B 1+ a C a D 2a Câu Cho tam giác OAB vuông cân O, cạnh OA = a Khẳng định sau sai ? uur uur uur uur A 3OA + 4OB = 5a B 2OA + 3OB = 5a uur uur uur uur C 7OA - 2OB = 5a D 11OA - 6OB = 5a Vấn đề PHÂN TÍCH VECTƠ Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, I trung điểm AM Khẳng định sau ? uur uur uur r uur uur uur r A IB + 2IC + IA = B IB + IC + 2IA = uur uur uur r uur uur uur r C 2IB + IC + IA = D IB + IC + IA = Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, I trung điểm AM Khẳng định sau ? uur uuu r uuur uur uuu r uuur A AI = AB + AC B AI = AB - AC 4 uur uuu r uuur uur uuu r uuur C AI = AB + AC D AI = AB - AC 4 Câu Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau ? uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A AG = AB + AC B AG = AB + AC 3 uuur uuu r uuur uur uuu r uuur C AG = AB + AC D AI = AB + 3AC 3 AB , CD Câu Cho tứ giác ABCD Trên cạnh lấy điểm M , N ( ) ( ( ) ( của ) ) 165 uuuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuuu r cho AM = AB 3DN = DC Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r A MN = AD + BC B MN = AD - BC 3 3 uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r C MN = AD + BC D MN = AD + BC 3 3 Câu Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Gọi M N trung điểm AD BC Khẳng định sau sai ? uuuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur A MN = MD +CN + DC B MN = AB - MD + BN uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r C MN = AB + DC D MN = AD + BC 2 Câu Cho hình bình hành ABCD có M trung điểm AB Khẳng định sau ? uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r A DM = CD + BC B DM = CD - BC 2 uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r C DM = DC - BC D DM = DC + BC 2 ABC , Câu Cho tam giác điểm M thuộc cạnh AB cho 3AM = AB N uuuu r uuur uuu r trung điểm AC Tính MN theo AB AC uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur uuu r A MN = AC + AB B MN = AC - AB 3 uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuu r C MN = AB + AC D MN = AC - AB 3 Câu 10 Cho tam giác ABC Hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần uuur uuuu r uuu r BM = MN = NC Tính AM theo AB AC uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur A AM = AB + AC B AM = AB + AC 3 3 uuuu r uuu r uuur uuuu r uuu r uuur C AM = AB - AC D AM = AB - AC 3 3 uuu r uuuu r Câu 11 Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Tính AB theo AM uuu r BC uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r A AB = AM + BC B AB = BC + AM 2 uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r C AB = AM - BC D AB = BC - AM 2 Câu 12 Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm AB N điểm cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K trung điểm MN Khi uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur A AK = AB + AC B AK = AB - AC 4 uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur C AK = AB + AC D AK = AB - AC 6 uuur uuu r uuu r Câu 13 Cho hình bình hành ABCD Tính AB theo AC BD ( 166 ) ( ) uuu r uuur uuu r A AB = AC + BD 2 uuu r uuuu r uuu r C AB = AM - BC uuu r uuur uuu r B AB = AC - BD 2 uuu r uuur uuu r D AB = AC - BD r r uuur r uuu ABC Câu 14 Cho tam giác đặt a = BC, b = AC Cặp vectơ sau phương? r r r r r r r r r r r r r r r r A 2a + b, a + 2b B 2a - b, a - 2b C 5a + b, - 10a - 2b D a + b, a - b uuur uuur uuur Câu 15 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn MA = MB + MC Khẳng định sau ? A Ba điểm C, M , B thẳng hàng B AM phân giác góc ·BAC C A, M trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng uuuu r uuu r r D AM + BC = Vấn đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 16 Cho tam giác ABC có G trọng tâm I trung điểm BC Đẳng thức sau ? uur uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r uur A GA = 2GI B IG = - IA C GB + GC = 2GI D GB + GC = GA Câu 17 Cho tam giác ABC có G trọng tâm M trung điểm BC Khẳng định sau sai ? uuu r r uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu A GA = - AM B AB + AC = 3AG C GA = BG +CG D GB + GC = GM Câu 18 Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm BC Khẳng định sau ? uuuu r uuur uuur uuur uuur A AM = MB = MC B MB = MC uuu r uuur uuur uuuu r BC C MB = - MC D AM = Câu 19 Cho tam giác ABC Gọi M N trung điểm AB AC Khẳng định sau sai ? uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuur uuur A AB = 2AM B AC = 2NC C BC = - 2MN D CN = - AC Câu 20 Cho tam giác ABC có G trọng tâm Mệnh đề sau ? uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r A AB + AC = AG B BA + BC = 3BG uur uur uuu r uuu r uuur uuu r r C CA +CB = CG D AB + AC + BC = uur uur Câu 21 Cho tam giác ABC điểm I thỏa mãn IA = 2IB Mệnh đề sau ? uur uur uur uur uur CA - 2CB uur CA + 2CB A CI = B CI = 3 167 uur uur uur C CI = - CA + 2CB uur uur uur CA + 2CB D CI = - Câu 22 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Mệnh đề sau ? uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r A 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC B 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC uuur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur uur uur C 2MA + MB - 3MC = 2CA +CB D 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA Câu 23 Cho hình vng ABCD có tâm O Mệnh đề sau sai ? uuur uuur uuu r uuur uuur uur A AB + AD = 2AO B AD + DO = - CA uur uur uur uuur uuu r uuu r C OA +OB = CB D AC + DB = AB Câu 24 Cho hình bình hành ABCD Đẳng thức sau ? uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r A AC + BD = 2BC B AC + BC = AB uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu r C AC - BD = 2CD D AC - AD = CD Câu 25 Cho hình bình hành ABCD có M giao điểm hai đường chéo Mệnh đề sau sai ? uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur A AB + BC = AC B AB + AD = AC uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r C BA + BC = BM D MA + MB = MC + MD Vấn đề XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ uuur uuur uur Câu 26 Cho tam giác ABC điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA Khẳng định sau ? A M trùng A B M trùng B C M trùng C D M trọng tâm tam giác ABC uuu r r uuu r r Câu 27 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Đặt GA = a, GB = b Hãy tìm m, n uuu r r r để có BC = ma + nb A m= 1, n = B m= - 1, n = - C m= 2, n = D m= - 2, n = - Câu 28 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng điểm M thỏa mãn đẳng uuur uuur uuur thức vectơ MA = x MB + yMC Tính giá trị biểu thức P = x + y A P = B P = C P = - D P = Câu 29 Cho hình chữ nhật ABCD số thực k > Tập hợp điểm M thỏa uuur uuur uuur uuuu r mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k A đoạn thẳng B đường thẳng C đường tròn D điểm Câu 30 Cho hình chữ nhật ABCD I giao điểm hai đường chéo Tập uuur uuur uuur uuuu r hợp điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD A trung trực đoạn thẳng AB 168 B trung trực đoạn thẳng AD C đường tròn tâm I , bán kính AC D đường trịn tâm I, bán kính AB + BC Câu 31 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA - MB A đường tròn tâm I , đường kính AB B đường trịn đường kính AB C đường trung trực đoạn thẳng AB D đường trung trực đoạn thẳng IA Câu 32 Cho hai điểm A, B phân biệt cố định, với I trung điểm AB uuur uuur uuur uuur Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB A đường trung trực đoạn thẳng AB B đường tròn đường kính AB C đường trung trực đoạn thẳng IA D đường trịn tâm A, bán kính AB Câu 33 Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Ttập hợp điểm M thỏa uuur uuur uuur uuur mãn MA + MB = MA + MC A đường trung trực đoạn BC B đường tròn đường kính BC a C đường trịn tâm G, bán kính D đường trung trực đoạn thẳng AG Câu 34 Cho tam giác ABC cạnh a Biết tập hợp điểm M thỏa uuur uuur uuur uuur uuur mãn đẳng thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA đường trịn cố định có bán kính R Tính bán kính R theo a a a A R = B R = Câu 35 Cho tam giác ABC uuur uuur uuur MA + MB + MC = ? A BAØI B a C R = Có C a D R = điểm M thỏa mãn D Vơ số HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Trục độ dài đại số trục a) Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác định r điểm O gọi điểm gốc vectơ đơn vị e r Ta kí hiệu trục ( O;e) 169 r Cho M điểmOtùy ý trục ( O;e) MKhi có số k uuur r cho OM = ke Ta gọi số k tọa độ điểm M trục cho r c) Cho hai điểm A B trục ( O;e) Khi có số a cho uuu r uuu r r AB = ae Ta gọi số a độ dài đại số vectơ AB trục cho kí hiệu b) a = AB Nhận xét uuu r uuu r r r · Nếu AB hướng với e AB = AB, cịn AB ngược hướng với e AB = - AB r · Nếu hai điểm A B trục ( O;e) có tọa độ a b AB = b- a Hệ trục tọa độ r r a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ O;i , j ( ) r gồm hai trục O;i ( ) r O; j ( ) vuông r góc với Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục O;i r gọi trục hồnh kí hiệu Ox, trục O; j gọi trục tung kí r r r r hiệu Oy Các vectơ i j vectơ đơn vị Ox Oy i = j = r r Hệ trục tọa độ O;i , j cịn kí hiệu Oxy y ( ( ( ) ) ) O O x Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt mặt phẳng Oxy b) Tọa độ vectơ uur r r Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ u tùy ý Vẽ OA = u gọi A1, A2 lần uur uuur uuur lượt hình chiếu vng góc A lên Ox Oy Ta có OA = OA1 +OA2 uuur r r r uuur r r cặp số ( x; y) để OA1 = xi , OA2 = y j Như u = xi + y j r Cặp số ( x; y) gọi tọa độ vectơ u hệ tọa độ r r Oxy viết u = ( x; y) u( x; y) Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y r gọi tung độ vectơ u Như r r r r u = ( x; y) Û u = xi + y j A Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ 170 O vectơ, ta thấy hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ ur r Nếu u = ( x; y) u¢= ( x¢; y¢) r ur u = u ỡù x = x ùớ ùùợ y = y¢ Như vậy, vectơ hồn tồn xác định biết tọa độ c) Tọa độ điểm uuur Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M tùy ý Tọa độ vectơ OM hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục uuur Như vậy, cặp số ( x; y) tọa độ điểm M OM = ( x; y) Khi ta viết M ( x; y) M = ( x; y) Số x gọi hồnh độ, cịn số y gọi tung độ điểm M Hoành độ điểm M cịn kí hiệu xM , tung độ điểm M cịn kí hiệu yM uuur r r M = ( x; y) Û OM = xi + y j Chú ý rằng, MM ^ Ox, MM ^ Oy x = OM 1, y = OM d) Liên hệ tọa độ điểm tọa độ vectơ mặt phẳng Cho hai điểm A ( xA ; yA ) B ( xB ; yB ) Ta có uuu r AB = ( xB - xA ; yB - yAO ) r r r r r Tọa độ vectơ u+ v, u- v, ku Ta có cơng thức sau: r r Cho u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 ) Khi đó: r r  u + v = ( u1 + u2 ;v1 + v2 ) ; r r  u - v = ( u1 - u2 ;v1 - v2 ) ; r  ku = ( ku1; ku2 ) , k Ỵ ¡ r r r Nhận xét Hai vectơ u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 ) với vr ¹ phương có số k cho u1 = kv1 u2 = kv2 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) Ta dễ dàng chứng minh tọa độ trung điểm I ( xI ; yI ) đoạn thẳng AB 171 xA + xB y + yB , yI = A 2 b) Cho tam giác ABC có A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) Khi tọa độ trọng tâm G ( xG ; yG ) tam giác ABC tính theo cơng thức xI = xG = xA + xB + xC y + yB + yC , yG = A 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM C HIỆM Vấn đề TỌA ĐỘ VECTƠ Câu Khẳng định sau đúng? r r r u r A a = ( - 5;0) , b = ( - 4;0) hướng B c= ( 7;3) vectơ đối d = ( - 7;3) r r r r C u = ( 4;2) , v = ( 8;3) phương D a = ( 6;3) , b = ( 2;1) ngược hướng r r r r r Câu Cho a = ( 2;- 4) , b = ( - 5;3) Tìm tọa độ u = 2a- b r r r r A u= ( 7;- 7) B u= ( 9;- 11) C u= ( 9;- 5) D u= ( - 1;5) r r r r Câu Cho a = ( 3;- 4) , b = ( - 1;2) Tìm tọa độ vectơ a + b A ( - 4;6) B ( 2;- 2) C ( 4;- 6) D ( - 3;- 8) r r r r Câu Cho a = ( - 1;2) , b = ( 5;- 7) Tìm tọa độ vectơ a- b A ( 6;- 9) B ( 4;- 5) C ( - 6;9) D ( - 5;- 14) rr r r Câu Trong hệ trục tọa độ O;i ; j , tọa độ vectơ i + j ( ) A ( 0;1) B ( 1;- 1) C ( - 1;1) D ( 1;1) r r Câu Cho u = ( 3;- 2) , v = ( 1;6) Khẳng định sau đúng? r r r r r A u + v a= ( - 4;4) ngược hướng B u, v phương r r r r r r C u- v b= ( 6;- 24) hướng D 2u + v, v phương r r r r r r r r Câu Cho u = 2i - j v = i + xj Xác định x cho u v phương A x = - B x = - C x = D x = r r r r Câu Cho a = ( - 5;0) , b = ( 4; x) Tìm x để hai vectơ a, b phương A x = - B x = C x = D x = - r r r r r r Câu Cho a = ( x;2) , b = ( - 5;1) , c = ( x;7) Tìm x biết c = 2a+ 3b A x = - 15 B x = Câu 10 Cho ba vectơ r r r c = k.a + hb 172 C x = 15 D x = r r r a = ( 2;1) , b = ( 3;4) , c = ( 7;2) Giá trị k, h để A k = 2,5; h = - 1,3 B k = 4,6; h = - 5,1 C k = 4,4; h = - 0,6 D k = 3,4; h = - 0,2 Vấn đề TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM uuu r Câu 11 Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 5;2) , B( 10;8) Tìm tọa độ vectơ AB ? uuu r uuu r uuu r uuu r A AB = ( 15;10) B AB = ( 2;4) C AB = ( 5;6) D AB = ( 50;16) Câu 12 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1;3) , B( - 1;2) , C ( - 2;1) Tìm tọa độ uuu r uuur vectơ AB - AC A ( - 5;- 3) B ( 1;1) C ( - 1;2) D ( - 1;1) Câu 13 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2;- 3) , B( 4;7) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I ( 6;4) B I ( 2;10) C I ( 3;2) D I ( 8;- 21) Câu 14 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 3;5) , B ( 1;2) , C ( 5;2) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ? ỉ 9ư ÷ A G ( - 3;- 3) B G ỗ C G ( 9;9) D G ( 3;3) ç ; ÷ ÷ ç è2 2ø Câu 15 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 6;1) , B ( - 3;5) trọng tâm G ( - 1;1) Tìm tọa độ đỉnh C ? A C ( 6;- 3) B C ( - 6;3) C C ( - 6;- 3) D C ( - 3;6) Câu 16 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( - 2;2) , B ( 3;5) trọng tâm gốc tọa độ O( 0;0) Tìm tọa độ đỉnh C ? A C ( - 1;- 7) B C ( 2;- 2) C C ( - 3;- 5) D C ( 1;7) Câu 17 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 1;- 1) , N ( 5;- 3) C thuộc trục Oy , trọng tâm G tam giác thuộc trục Ox Tìm tọa độ điểm C A C ( 0;4.) B C ( 2;4.) C C ( 0;2.) D C ( 0;- 4.) Câu 18 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C ( - 2;- 4) , trọng tâm G ( 0;4) trung điểm cạnh BC M ( 2;0) Tổng hoành độ điểm A B A - B C D Câu 19 Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( - 1;1) , B ( 1;3) , C ( - 2;0) Khẳng định sau sai? uuu r uuur A AB = 2AC B A, B, C thẳng hàng uuu r uuu r uuu r uur r C BA = BC D BA + 2CA = Câu 20 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 3;- 2) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( - 8;- 5) 173 Khẳng định sau đúng? uuu r uuu r A AB, CD hai vectơ đối uuu r uuu r C AB, CD hướng uuu r uuu r B AB, CD ngược hướng D A, B, C, D thẳng hàng Câu 21 Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( - 1;5) , B ( 5;5) , C ( - 1;11) Khẳng định sau đúng? uuu r uuur A A, B, C thẳng hàng B AB, AC phương uuu r uuur uuu r uuur C AB, AC không phương D AB, AC hướng Câu 22 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 1;1) , B ( 2;- 1) , C ( 4;3) , D ( 3;5) Khẳng định sau đúng? A Tứ giác ABCD hình bình hành B G ( 9;7) trọng tâm tam giác BCD uuur uuur uuu r uuu r C AB = CD D AC, AD phương Câu 23 Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 1;1) , B( - 2;- 2) , C ( 7;7) Khẳng định sau đúng? A G ( 2;2) trọng tâm tam giác ABC B B hai điểm A C uuu r uuur C A hai điểm B C D AB, AC hướng Câu 24 Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M ( 3;- 4) Gọi M 1, M hình chiếu vng góc M Ox,Oy Khẳng định đúng? A OM =- uuuur uuuur C OM - OM = ( - 3;- 4) B OM = uuuur uuuur D OM +OM = ( 3;- 4) Câu 25 Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC , điểm C thuộc trục hoành Khẳng định sau đúng? uuu r A AB có tung độ khác B Hai điểm A, B có tung độ khác C C có hồnh độ D xA + xC - xB = Câu 26 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( - 5;- 2) , B( - 5;3) , C ( 3;3) , D ( 3;- 2) Khẳng định sau đúng? uuu r uuu r A AB, CD hướng B ABCD hình chữ nhật uur uur uuu r C I ( - 1;1) trung điểm AC D OA +OB = OC Câu 27 Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn A ( 2;1) , B ( 2;- 1) , C ( - 2;- 3) , D ( - 2;- 1) Xét hai mệnh đề: ( I ) ABCD hình bình hành ( II ) AC cắt BD M ( 0;- 1) Khẳng định sau đúng? A Chỉ ( I ) 174 B Chỉ ( II ) điểm