Chủ đề 3 tích phân mức độ vận dụng cao file word có lời giải

CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai  thỏa mãn f   2 f   x   x f  x  2 x với x   Giá trị tích phân xf  x  dx bằng: A B Lời giải C D Chọn C Ta có: f   x   x f  x  2 x  f   0 2 2 Lại có: f   x  dx  x f  x  dx 2 xdx x 0 4 Xét I1 f   x  dx Đặt  x t  dx  dt Với x 0  t 2 x 2  t 0 2  I1  f  t  dt f  t  dt f  x  dx 0 u  f  x  du  f  x  dx   Đặt  dv dx v x 2 2  I1  xf  x    xf  x  dx  f    xf  x  dx  xf  x  dx 0 2 Xét I x f  x  dx du 2 xdx u x   Đặt  v  f  x  dv  f  x  dx 2 2  I  x f  x    2 xf  x  dx 4 f    xf  x  dx 8  xf  x  dx 2 0 Vậy  xf  x  dx   2xf  x  dx 4  0 xf  x  dx  Trang Câu (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định bồn hoa thành bốn phần đường parabol có đỉnh O đối xứng với qua tâm O (như hình vẽ) Hai đường parabol cắt đường tròn điểm A, B, C , D tạo thành hình vng có cạnh 4m Phần diện tích S1 , S dùng để trồng hoa, phần diện tích S3 , S dùng để trồng cỏ Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng/ m , kinh phí trồng cỏ 100.000 đồng/ m Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 3.270.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.000.000 đồng D 6.060.000 đồng Lời giải Chọn A  Ta có: ABCD hình vng cạnh nên BD BC 4 2; OB2 A( 2;2), B(2;2)  Phương trình đường trịn tâm O có bán kính OB 2 (C ) : x  y 8  y   x  Parabol qua hai điểm A( 2;2), B(2;2) đỉnh gốc tọa độ nên suy ( P) : y  Từ đồ thị ta có S diện tích giới hạn hai đồ thị y   x ( P) : y  x2 x2 với hai đường thẳng x  2; x 2 2  x2  dx   x dx  ; Đặt x 2 sin t  dx 2 cos tdt Từ suy S 1   x    2  2 2 Trang  Suy S 1   8sin t 2.cos t.dt      8   cos 2t   8cos tdt   8  dt  2     3    4  4   S 1 S 2S 12  2   4  (m )    Mặt khác: S 1S 2; S S4 nên suy   S  S S   S  S  8   2   4  (m ) (C )    3  8 8   Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:  4   150000   4   100000 3274926 đồng 3 3   Câu (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hàm số f  x  liên tục, không âm đoạn      0;  , thỏa mãn f    f  x  f  x  cos x  f  x  , x   0;  Tìm giá trị nhỏ    m giá trị lớn M hàm số f  x  đoạn  ;   2 A m  B m  , M 3 ,M  C m  3, M 2 D m  21 , M 2 Lời giải Chọn D f  x  f  x  cos x  f  x    f  x  f  x   1 f  x f  x  f  x  1 f  x dx cos xdx sin x  C1 cos x  1 Đặt t   f  x   t 1  f  x   tdt  f  x  f  x  dx Suy f  x  f  x   tdt dx  dt t  C2   f  x   C2 t 1 f  x  2 Từ  1   suy  f  x  sin x  C Thay x 0 vào ta có:  C  C 2 Hay  f  x  sin x   f  x   sin x    sin x  sin x   f  x   sin x  4sin x     1  Đặt t sin x Với x   ;   t   ;1  2 2  1  Ta xét hàm số g  t   t  4t  3, t   ;1 2  g  t   t 2 1  1   0, t   ;1 g  t  đồng biến  ;1 2  2  t  4t  Trang 21 1 g  t  g    min f  x  m 1      2  ;1  6;2     max g  t   g  1 2 max f  x  M 1   ;1 Câu     ;  (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho hàm số f  x  có đạo hàm cấp liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0; f '  1 1 10 f  x   xf '  x   x f ''  x  0 với x   0;1 Khi tích phân f  x  dx A  15 B  C  10 D  17 Lời giải Chọn D Ta có: 10 f  x   xf '  x   x f ''  x  0 với x   0;1 1  10 f  x  dx  5 xf '  x  dx  x f ''  x  dx 0 0 Đặt I f  x  dx , theo phương pháp tích phân phần, ta được: 1   xf '  x  dx  xf  x  |0  f  x  dx  I 0 1  x f '' x dx x f ' x |1  xf ' x dx 1   I 1  I    0       0  10 I    I    I 0  I  17 Vậy f  x  dx  17 Câu (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0) 3 f ( x )  f (2  x) x  x  , x  R Tích phân x f '( x)dx A  10 B 5  11 Lời giải C D 7 Chọn A  Ta có: I x f '( x)dx , ta sử dụng phương pháp phần u  x  Đặt   dv  f '( x )dx du dx  I x f '( x )dx 2 f (2)   v  f ( x ) f ( x)dx f ( x )  f (2  x) x  x  x 0 vào ta có: f (0)  f (2) 2  f (2)  (1)  Từ ta tích phân vế từ đến Trang  2 f ( x)dx  f (2  x )dx  x  x   dx   0  Mặt khác ta lại có: f ( x)dx f (2  x)dx 2 Nên suy f ( x)dx  f (2  x) dx 2 f ( x) dx   0 f ( x)dx  f ( x)dx   f  x (Chuyên KHTN - 2021) Cho hàm số (2)  Từ (1) (2) suy I x f '( x)dx 2 f (2)  Câu  10  3 liên tục  thỏa mãn xf  x    x  1 f  x  e  x với x Tính f   A B  C e D e Lời giải Chọn B x x Ta có: xf  x    x  1 f  x  e  xf  x   f  x   xf  x  e  xe x f  x    x  1 e x f  x  1  xe x f  x    xe x   f  x  1   xe x f  x    1  xe x f  x  dx  x  C  * Với x 0 0 +) Thay vào biểu thức ban đầu ta có: f      1 f   e 1  f   1 +) Thay vào  * , ta có: C 0 e  x x 0 x xe f x  x  f x       Khi đó: 1 x 0 f  x   f  0 e x  e x  Suy ra: f   lim lim  lim  x x x x x x Câu (Chun Hồng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [1;3] thỏa mãn f (1) 2 f ( x )  ( x  1) f ( x ) 2 xf ( x), x  [1;3] Giá trị  f ( x)dx A  ln B  ln  ln Lời giải C D  ln Chọn C  Xét f ( x ) 0 : f ( x)  ( x  1) f ( x) 2 xf ( x) ⇔ f ( x)  ( x  1) f ( x)  x 1    x ⇔   2 x f ( x) f x     Trang x 1 x 1 2 xdx ⇔ x  C f  x f  x ⇒ f (1) 2 ⇒ C 0 ⇒ x 1  x ⇔ f  x   x  f  x x2 Xét: f ( x ) 0 ⇒ x  thỏa mãn điều kiện toán Vậy: f  x   3 x 1 x2 3 x 1 1 1 1     f  x  dx  dx  +  dx  ln x    ln     ln1  1 ln  x x x  x1  3  1 1 Câu (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn: f '( x )  f ( x )  e x cos 2021x f (0) 0 Đồ thi hàm số y  f ( x) cắt trục hoành điểm có hồnh độ thuộc đoạn   1;1 ? A C 1287 Lời giải B D 4043 Chọn C Ta có phương trình tương đương với  f '( x )  f ( x )  e x cos 2021x  f '( x)  f ( x ) e x cos 2021x  e  x f '( x)    e  x  f ( x) cos 2021x Đến ta nguyên hàm hai vế thu được: sin 2021x   e x f ( x)   cos 2021x  e  x f ( x) cos 2021xdx  C 2021 sin 2021x e x sin 2021x  f ( x)  2021 2021 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x) trục hoành Mà f (0) 0 nên C 0 suy e  x f ( x)  e x sin 2021x k 0  sin 2021x 0  2021x k , k  Z  x  , k Z  2021 2021 k  2021 2021 1  k  Vì x    1;1 nên   2021   Mà k  Z nên suy k    643;  642; ;643 ta kết luận đồ thi hàm số y  f ( x) cắt f ( x) 0  trục hồnh 1287 điểm có hồnh độ thuộc đoạn   1;1 Câu (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục  x , xf  x  e  1, x  , f  1 0 Giá trị xf  x  dx A  B C  Lời giải Chọn A  Tính xf  x  dx : Trang D u  f  x   Đặt  dv  xdx du  f  x  dx   x2 v    1 x2 xf x d x  f  x     1 x2 1 f  x  dx  f  1  f    x  e x  1 dx  2 20  1  x x x2  x x e  d x     xe  e   2 2 0    1 0  e  e    e     2  Câu 10 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho hàm số y  f ( x ) liên tục có đạo hàm  2; \  0 , thỏa mãn f (1) 0 f '( x )  x e f ( x )     A ln B ln  x e f ( x) C ln Lời giải 1 0 Giá trị f    2 D ln Chọn A f '( x )  x  x e f ( x) 0  f '( x)e f ( x )  xe f ( x ) e f ( x )   x 0   f '( x)e f ( x )  x e f ( x )     f '( x)e f ( x )  e f ( x)  1  0    f '( x)e f ( x ) e f ( x)  1 x  d  e f ( x)  x2   xdx  dx xdx      C , (1)  f ( x) f ( x) e  e 1   C  e f (1)  1 Trong (2) cho x=    f   f  2  e 1 Trong (1) cho x=1   C 0 Suy e f ( x) 1  x2 , (2) 1   ln  2 Câu 11 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Cho hàm số f  x liên tục  thỏa mãn f  x   f  x  sin  x  3x  x  , x   Tích phân I f  x  dx thuộc khoảng nào? A   3;   B   2;  1 C   1;1 D  1;2  Lời giải Chọn C 3 Cách Từ giả thiết ta có f   x   f   x  sin    x     x     x    f   x   f   x  sin   x  x  x   sin  x  3x  x   f   x   f   x    f  x   f  x     f   x   f  x     f   x   f  x   0 Trang   f   x   f  x    f   x   f   x  f  x   f  x   3 0  f   x   f  x  1 Khi I f  x  dx  f   x  dx  1 0  x 0  t 1 Đặt t 1  x  dt  dx Đổi cận   x 1  t 0  1 f   x  dx  f  t  dt f  t  dt f  x  dx I  2 Từ  1   suy I  I  I 0 Vậy I    1;1 3 Cách Do  sin  x  x  x  1 nên   f  x   f  x  1    f  x   f  x   3 + Từ f  x   f  x     f  x   f  x      f  x   1  f  x   f  x   4   f  x  1   f  x    3 + Từ f  x   f  x    f  x   f  x      f  x   1  f  x   f  x      f  x    f  x 1 Suy   f  x    1   1 dx  f  x  dx  1dx    f  x  dx  Vậy I    1;1 0 0 Câu 12 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Giả sử f ( x) hàm có đạo hàm liên tục  0;     f ( x)sin x x  f ( x)cosx, x   0;   Biết f ( ) 1, f ( )  (a  b ln  c 3) , với a, b, c 12 số nguyên Giá trị a  b  c A  B C 11 D  11 Lời giải Chọn A f ( x) sin x x  f ( x)cosx  f ( x ) sin x  f ( x)cosx  x Ta có: f ( x) sin x  f ( x)cosx x x  f ( x)      2   sin x sin x  sin x  sin x f ( x) x   dx  x cot x  cot xdx  x cot x  ln sin x  C sin x sin x f ( x)  x cot x  ln sin x  C Hay sin x      f   1   cot  ln sin  C  C 1  2 2 sin f ( x)   x cot x  ln sin x  sin x  f( )   cot   ln sin    f (  )   ln   Do   6 6 12 sin  a 6, b  6, c  a  b  c    Trang  Câu 13 (THPT Quế Võ - Bắc Ninh - 2021) Thành phố định xây cầu bắc ngang sông dài 500 m , biết người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách 40 m , biết bên đầu cầu mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng m Bề dày bề rộng nhịp cầu không đồi 20 cm (mặt cắt nhịp cầu mô hình vẽ) Hỏi lượng bê tơng để xây nhịp cầu (làm tròn đến hàng đơn vị) A 50m3 B 20m3 C 100m3 Lời giải D 40m3 Chọn D Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với gốc O(0;0) chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I  25;  , điểm A  50;0  (điểm tiếp xúc Parabol với chân đế) Gọi Parabol có phương trình  P1  : y1 ax  bx (do (P) qua O ) 20 ax  bx  100 2 2 x  x  y2  x  x Ta có  P1  qua I  25;  A  50;0    P1  : y1  625 25 625 25 Khi diện tích nhịp cầu S 2S1 với S1 phần giới hạn y1; y2 khoảng (0; 25)  Phương trình parabol  P2  : y2 ax  bx  25  0,2  2   S 2     x  x dx   dx  9,9m 0,2 25    625  Vì bề dày nhịp cầu khơng đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày V S 0, 9,9.0, 1,98m3  số lượng bê tông cần cho nhip cầu 2m3 Vậy 10 nhịp cầu bên cần 40m3 bê tông Câu 14 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f '  x  hình vẽ.Giá lớn hàm số g  x   f  3x   3x đoạn   1;1 Trang A f   3  B f  1  C f   1  D f  3  Lời giải Chọn A g '  x  3 f '  x    g '  x  0  f '  x  1  1 Số nghiệm  1 số giao điểm đồ thị hàm số y  f '  x  y 1 g ' x  x 0  x 0 f '  x  1     x 1 x    Dựa vào đồ thị ta có bảng biến thiên 1  - g  x f   3  x 13  f  1  Dựa vào đồ thị ta có  1  g '  x dx  g '  x dx   g    g   1  g    g   1 1  g   1  g    f   3   g  1   3 Giá trị lớn y  g  x    1;1 f   3  Câu 15 (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2021) Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ Hàm số y = f ¢( x ) có đồ thị hình vẽ bên Trang 10