Chủ đề 6 vecto phần 2

2 Tính chất · Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM =a · y = y = y , x = x = x xON = 180 - a Ta có M N M N Do sin a = sin( 1800 - a ) cosa = - cos( 1800 - a ) tan a = - tan( 1800 - a ) M N cot a = - cot( 1800 - a ) Giá trị lượng giác góc đặc biệt O Giá trị a lượng giác 00 300 450 600 900 1800 sina 2 cosa 2 2 - tana P cota P P 1 3 1 3 Trong bảng kí hiệu " P" để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 = cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = - Góc hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA = a uur r r · OB = b Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 gọi góc hai vectơ a r r r r r r r b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b a, b Nếu a, b = 90 ta nói r r r r r r a b vng góc với nhau, kí hiệu a ^ b b ^ a ( ) ( ) 177 A B r r r r b) Chú ý Từ định nghĩa ta có a, b = b, a O ( ) ( ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu Giá trị cos450 + sin450 bao nhiêu? A B C D Câu Giá trị tan30 + cot30 bao nhiêu? 1+ C D 3 Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? A B O C tan150 = A sin150O = - B cos150O = D cot150O = Câu Tính giá trị biểu thức P = cos30o cos60o - sin30o sin60o C P = D P = Câu Tính giá trị biểu thức P = sin30o cos60o + sin60o cos30o A P = B P = A P = B P = C P = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A sin45O + cos45O = D P = - B sin30O + cos60O = C sin60O + cos150O = D sin120O + cos30O = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? A sin0O + cos0O = B sin90O + cos90O = C sin180O + cos180O = - D sin60O + cos60O = +1 Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A cos45O = sin45O B cos45O = sin135O C cos30O = sin120O D sin60O = cos120O µ = 300 Khẳng định sau Câu Tam giác ABC vng A có góc B sai? 178 1 C cosC = D sin B = 2 Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? 1 3 · · · A sin BAH C sin ABC D sin ·AHC = = B cosBAH = = 2 A cosB = B sinC = Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A sin( 180°- a ) = - cosa B sin( 180°- a ) = - sin a C sin( 180°- a ) = sin a D sin( 180°- a ) = cosa Câu 12 Cho a b hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin a = sin b B cosa = - cosb C tan a = - tan b D cot a = cot b Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin30°cos15°+ sin150°cos165° B P = C P = D P = Câu 14 Cho hai góc a b với a + b = 180° Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = - A P = B P = C P = - D P = Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C ) A P = B P = C P = - D P = Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C ) A P = B P = C P = - D P = a b Câu 17 Cho hai góc nhọn phụ Hệ thức sau sai? sin a = cos b cos a = sin b A B C tan a = cot b D cot a = tan b Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin2 15°+ cos2 20°+ sin2 75°+ cos2 110° A S = B S = C S = D S = Câu 19 Cho hai góc a b với a + b = 90° Tính giá trị biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa A P = B P = C P = - D P = a b a + b = 90 ° Câu 20 Cho hai góc với Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = B P = C P = - D P = Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho a góc tù Khẳng định sau đúng? A sin a < B cosa > C tan a < D cot a > Câu 22 Cho hai góc nhọn a b a < b Khẳng định sau sai? 179 A cosa < cosb B sin a < sin b C Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos75°> cos50° B C tan45°< tan60° D Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin100° B C tan85°< tan125° D Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin90°< sin150° B C cos90°30¢> cos100° cot a > cot b D tan a + tan b > sin80°> sin50° cos30°= sin60° cos95°> cos100° cos145°> cos125° sin90°15¢< sin90°30¢ D cos150°> cos120° Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos2 a + sin2 a = 1? a a a a A cos2 + sin2 = B cos2 + sin2 = 2 3 ỉ 2a a a cos + sin2 ÷ ÷ C cos2 + sin2 = D 5ỗ ỗ ữ= ỗ ố 5ứ 4 a a a = Giá trị P = 3sin2 + 5cos2 ? 3 107 109 111 B P = C P = D P = 25 25 25 Câu 27 Cho biết sin A P = 105 25 Câu 28 Cho biết tan a = - Giá trị P = A P = B P = Câu 29 Cho biết cosa = A P = - 19 13 B P = 6sin a - 7cosa ? 6cosa + 7sin a C P = - D P = - cot a + 3tan a Giá trị P = ? 2cot a + tan a 19 13 C P = 25 13 D P = - 25 13 Câu 30 Cho biết cot a = Giá trị P = 2cos2 a + 5sin a cosa +1 ? 10 100 50 101 A P = B P = C P = D P = 26 26 26 26 Câu 31 Cho biết 3cosa - sin a = , 00 < a < 900 Giá trị tana A tan a = C tan a = 5 D tan a = Câu 32 Cho biết 2cosa + 2sin a = , 00 < a < 900 Tính giá trị cot a A cot a = 180 B tan a = B cot a = C cot a = D cot a = Câu 33 Cho biết sin a + cosa = a Tính giá trị sin a cosa A sin a cosa = a2 C sin a cosa = B sin a cosa = 2a a - D sin a cosa = a2 - 11 Câu 34 Cho biết cosa + sin a = Giá trị P = tan2 a + cot2 a ? 11 A P = B P = C P = D P = 4 4 Giá trị P = sin4 a + cos4 a bao Câu 35 Cho biết sin a - cosa = nhiêu ? 15 A P = B P = 17 19 C P = D P = 21 Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120O ? uuuu r uuu r uuur uuur uuuu r uur uuuu r uuur A MN , NP B MO,ON C MN ,OP D MN , MP uuu r uuu r uuu r uur uur uuu r Câu 37 Cho tam giác ABC Tính P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB ( ) ( ) ( ( A P = B P = 3 ( ) ) C P = - ( ) ) ( D P = - uuur uuu r Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính AH , BA ( 0 A 30 3 ) C 1200 B 60 ) D 1500 µ = 500 Hệ thức sau Câu 39 Tam giác ABC vng A có góc B sai? uuu r uuu r uuu r uuur 0 A AB, BC = 130 B BC, AC = 40 uuu r uur uuur uur 0 C AB, CB = 50 D AC, CB = 40 ( ( ) ) ( ) ( ) uuur uur Câu 40 Tam giác ABC vng A có BC = 2AC Tính cos AC,CB ( uuur uur A cos AC,CB = uuur uur C cos AC,CB = ) uuur uur B cos AC,CB = - uuur uur D cos AC,CB = uuu r uuu r uuu r uur uur uuu r Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng AB, BC + BC,CA + CA, AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( A 180o B 360o ) ( C 270o ) ( ) D 120o 181 uuu r uuu r uuu r uur µ = 60o Tính tổng AB, BC + BC,CA Câu 42 Cho tam giác ABC với A ( ) ( ) A 120o B 360o C 270o D 240o Câu 43 Tam giác ABC có góc A 100o có trực tâm H Tính tổng uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r HA, HB + HB, HC + HC, HA ( ) ( ) ( A 360o ) B 180o C 80o uuur uuu r Câu 44 Cho hình vng ABCD Tính cos AC, BA ( uuur uuu r A cos AC, BA = uuur uuu r C cos AC, BA = ( ( D 160o ) uuur uuu r B cos AC, BA = - ) ) Câu 45 Cho hình vng ABCD ( ) 22 uuur uuu r D cos( AC, BA) = - uuu r uuur uuur uur uuu r uuur tâm O Tính tổng ( AB, DC ) +( AD,CB) +( CO, DC ) A 450 B 4050 BÀI C 3150 D 2250 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr số, kí hiệu ab , xác định công thức sau: rr r r r r ab = a b cos a, b ( ) r r r Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta quy ước rr ab= Chú ý r r r rr r r · Với a b khác vectơ ta có ab = Û a ^ b uu r r r rr · Khi a = b tích vơ hướng aa kí hiệu a2 số gọi bình r phương vơ hướng vectơ a Ta có: r2 r r r2 a = a a cos00 = a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c số k ta có: rr rr · ab = ba (tính chất giao hoán); 182 r r r rr rr rr r + ac (tính chất phân phối); · a( b+ c) = ab · r r r ( ka) b = k( ab ) = a.( kb) ; r r r · a2 ³ 0, a2 = Û a = Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: r r r2 r r r2 · a+ b = a + 2ab +b ; ( · · ) r r r2 rr r2 2 +b ; ( a- b) = a - 2ab r r r r r r ( a+ b)( a- b) = a - b Biểu thức tọa độ tích vơ hướng rr r ur Trên mặt phẳng tọa độ O;i ; j , cho hai vectơ a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) Khi rr tích vơ hướng ab là: ( ) rr ab = ab 1 + a2b2 r r r Nhận xét Hai vectơ a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) khác vectơ vng góc với ab 1 + a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r Độ dài vectơ a = ( a1;a2 ) tính theo cơng thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ r Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy a = ( a1;a2 ) r r b = ( b1;b2 ) khác ta có rr r r ab ab 1 + a2b2 cos a;b = r r = a1 + a22 b12 + b22 a b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B ( xB ; yB ) tính theo cơng thức: 2 AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 183 Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? rr r r rr r r rr rr = a b =- a b A ab B ab= C ab= D ab - r r r r r Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc a hai vectơ a b rr r r =- a b ab A a = 1800 B a = 00 C a = 900 D a = 450 r r r r rr Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a = 3, b = a b = - Xác định góc r r a hai vectơ a b A a = 300 B a = 450 C a = 600 D a = 1200 r r r r r 2r r Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a = b = hai vectơ u = a- 3b r r r vng góc với Xác định góc a hai vectơ r r v = a+ b a b A a = 900 B a = 1800 C a = 600 D a = 450 r r Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? r r 1ær r r r r r 1ỉr r r r ÷ a +b - a - b ữ A a.b = ỗ B a.b = ç ÷ ÷ ç ça + b - a - b ø ÷ ÷ è ø 2è r r 1ỉr r r r r r ær r r r ö a +b - a- b ÷ a +b - a- b ÷ C a.b = ỗ D a.b = ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ứ ố ứ 2ố 4ỗ uuu r uuur Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.AC uuu r uuur uuu r uuur a2 uuu r uuur uuu r uuur a2 a2 A AB.AC = 2a2 B AB.AC = D AB.AC = C AB.AC = 2 uuu r uuu r a Câu Cho tam giác ABC có cạnh Tính tích vô hướng AB.BC uuu r uuu r uuu r uuu r a2 uuu r uuu r a2 a2 B AB.BC = D AB.BC = C AB.BC = 2 Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai? uuu r uuur uuur uur uuu r uuu r a2 uuu r uuur 1 A AB.AC = a2 B AC.CB = - a2 C GA.GB = D AB.AG = a2 2 a ABC Câu Cho tam giác có cạnh chiều cao AH Mệnh đề sau sai? uuu r uuu r uuu r uuur a2 uuur uur a2 uuur uuu r A AH BC = B AB, HA = 150 C AB.AC = D AC.CB = 2 uuu r uuu r Câu 10 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính AB.BC uuu r uuu r uuu r uuu r a2 uuu r uuu r uuu r uuu r a2 A AB.BC = - a2 B AB.BC = a2 C AB.BC = D AB.BC = 2 uuu r uuu r A AB.BC = a2 ( 184 ) uuu r uuu r Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Tính BA.BC uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A BA.BC = b2 B BA.BC = c2 C BA.BC = b2 + c2 D BA.BC = b2 - c2 uur uur Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Tính CA.CB uur uur uur uur uur uur uur uur A CA.CB = 13 B CA.CB = 15 C CA.CB = 17 D CA.CB = 19 uuu r uuur uuu r Câu 13 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Tính P = AB + AC BC ( ) c2 + b2 + a2 c2 + b2 c2 + b2 - a2 C P = D P = 2 Câu 14 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh uuuu r uuu r BC Tính AM BC uuuu r uuu r b2 - c2 uuuu r uuu r c2 + b2 A AM BC = B AM BC = 2 uuuu r uuu r c2 + b2 + a2 uuuu r uuu r c2 + b2 - a2 C AM BC = D AM BC = Câu 15 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích uur uur uuu r vơ hướng OA +OB AB = A P = b2 - c2 B P = ( ) A tam giác OAB C tam giác OAB vuông O Câu 16 Cho M , N , P , Q bốn điểm sai? uuuu r uuur uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r A MN NP + PQ = MN NP + MN PQ B tam giác OAB cân O D tam giác OAB vuông cân O tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức uuur uuuu r uuuu r uuur B MP.MN = - MN MP uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r 2 C MN PQ = PQ.MN D MN - PQ MN + PQ = MN - PQ uuu r uuur Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB.AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur 2 A AB.AC = a2 B AB.AC = a2 C AB.AC = a D AB.AC = a 2 uuur uuu r uur Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính P = AC CD +CA ( ) ( )( ) ( ) C P = - 3a2 D P = 2a2 uuu r uuur uuu r uuu r uuu r Câu 19 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính P = AB + AC BC + BD + BA A P = - B P = 3a2 ( 2 )( ) A P = 2a B P = 2a C P = a D P = - 2a Câu 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua C uuur uuu r Tính AE AB uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r A AE AB = 2a2 B AE AB = 3a2 C AE AB = 5a2 D AE AB = 5a2 Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng AC AC cho AM = Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Tính 185 uuur uuuu r MB.MN uuur uuuu r uuur uuuu r A MB.MN = - B MB.MN = uuur uuuu r C MB.MN = uuur uuuu r D MB.MN = 16 uuu r uuu r Câu 22 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = Tích AB.BD uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r A AB.BD = 62 B AB.BD = 64 C AB.BD = - 62 D AB.BD = - 64 uuu r uuur Câu 23 Cho hình thoi ABCD có AC = BD = Tính AB.AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur A AB.AC = 24 B AB.AC = 26 C AB.AC = 28 D AB.AC = 32 · Câu 24 Cho hình bình hành ABCD có AB = cm, AD = 12 cm , góc ABC nhọn uuu r uuu r diện tích 54 cm Tính cos AB, BC ( uuu r uuu r A cos AB, BC = 16 uuu r uuu r C cos AB, BC = 16 ) uuu r uuu r B cos AB, BC = 16 uuu r uuu r D cos AB, BC = 16 Câu 25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a AD = a Gọi K trung uuur uuur điểm cạnh AD Tính BK AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A BK AC = B BK AC = - a2 C BK AC = a2 D BK AC = 2a2 ( ) ( ) ( ) ( ) Vấn đề QUỸ TÍCH uuur uuur uuur Câu 26 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB + MC = ( là: A điểm ) B đường thẳng C đoạn thẳng D đường trịn uuur uuur uuur uuur Câu 27 Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MB MA + MB + MC = với ( A, B, C ba đỉnh tam giác A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng A điểm C đoạn thẳng ) D đường tròn uuur uuu r Câu 28 Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MA.BC = là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 29* Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách a Tập hợp uuur uuu r điểm N thỏa mãn AN AB = 2a2 là: A điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường tròn Câu 30* Cho hai điểm A, B cố định AB = Tập hợp điểm M thỏa uuur uuur mãn MA.MB = - 16 là: B đường thẳng D đường trịn Vấn đề BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A ( xA ; yA ) , B( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) 186 ỉxA + xB yA + yB ữ đI ỗ ; ữ Trung im I ca on AB ắắ ỗ ữ ỗ è 2 ø æxA + xB + xC yA + yB + yC ữ đGỗ ; ữ Trng tõm G ắắ ỗ ữ ỗ ố ứ 3 uuu r uuu r ìï HA.BC = ï ® í uuu  Trực tâm H ¾¾ r uur ïï HB.CA = ïỵ ìï AE = BE ® EA = EB = EC Û ïí Tõm ng trũn ngoi tip E ắắ ùùợ AE = CE uuur uuu r ïìï AK BC = ® í uuur  Chân đường cao K hạ từ đỉnh A ¾¾ uuu r ïï BK = kBC ùợ uuu r AB uuur đ DB =.DC  Chân đường phân giác góc A điểm D ¾¾ AC  Chu vi: P = AB + BC +CA 1 AB.AC.sin A = AB.AC 1- cos2 A 2 uuu r uuur  Góc A : cos A = cos AB, AC uuu r uuur ỡù AB.AC = ù A ắắ đ  Tam giác ABC vng cân í ïï AB = AC ỵ  Diện tích: S = ( ) Câu 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 3;- 1) , B ( 2;10) , C ( - 4;2) uuu r uuur Tính tích vơ hướng AB.AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur A AB.AC = 40 B AB.AC = - 40 C AB.AC = 26 D AB.AC = - 26 Câu 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 3;- 1) B ( 2;10) Tính uuur uur tích vơ hướng AO.OB uuur uur uuur uur uuur uur uuur uur A AO.OB = - B AO.OB = C AO.OB = D AO.OB = 16 r r r r r r Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + j b = 3i - j rr Tính tích vơ hướng ab rr rr rr rr A ab= B ab= C ab= D ab= - 30 30 43 r r Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= ( - 3;2) b= ( - 1;- 7) r rr rr Tìm tọa độ vectơ c biết ca= cb= - 20 r r r r A c= ( - 1;- 3) B c= ( - 1;3) C c= ( 1;- 3) D c= ( 1;3) r r Câu 35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = ( 1;2) , b = ( 4;3) r c= ( 2;3) 187 r r r Tính P = a b+ c ( ) A P = B P = 18 C P = 20 D P = 28 r r Câu 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= ( - 1;1) b= ( 2;0) r r Tính cosin góc hai vectơ a b r r r r A cos a, b = B cos a, b = 2 r r r r 1 C cos a, b = D cos a, b = 2 r r Câu 37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= ( - 2;- 1) b= ( 4;- 3) r r Tính cosin góc hai vectơ a b r r r r 5 A cos a, b = B cos a, b = 5 r r r r C cos a, b = D cos a, b = 2 r r Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= ( 4;3) b= ( 1;7) Tính r r góc a hai vectơ a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A a = 90O B a = 60O C a = 45O D a = 30O u r u r Câu 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = ( 1;2) y = ( - 3;- 1) u r u r Tính góc a hai vectơ x y A a = 45O B a = 60O C a = 90O A a = 30O B a = 45O C a = 60O D a = 135O r r Câu 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= ( 2;5) b= ( 3;- 7) r r Tính góc a hai vectơ a b D a = 135O r Câu 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a= ( 9;3) Vectơ sau r khơng vng góc với vectơ a ? ur ur ur uu r A v1 = ( 1;- 3) B v2 = ( 2;- 6) C v3 = ( 1;3) D v4 = ( - 1;3) Câu 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1;2) , B ( - 1;1) C ( 5;- 1) uuur uuu r Tính cosin góc hai vectơ AB AC uuu r uuur uuu r uuur A cos AB, AC = - B cos AB, AC = 2 uuu r uuur uuu r uuur C cos AB, AC = - D cos AB, AC = 5 Câu 43 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 6;0) , B ( 3;1) 188 ( ) ( ) ( ) ( ) C ( - 1;- 1) Tính số đo góc B tam giác cho A 15O B 60O C 120O D 135O Câu 44 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( - 8;0) , B ( 0;4) , C ( 2;0) D ( - 3;- 5) Khẳng định sau đúng? · · · A Hai góc BAD BCD phụ B Góc BCD góc nhọn uuu r uuur uur uuu r · · C cos AB, AD = cos CB,CD D Hai góc BAD BCD bù ( ) ( ) r 1r r r r r Câu 45 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - j v = ki - j r r Tìm k để vectơ u vng góc với v A k = 20 B k = - 20 C k = - 40 D k = 40 r 1r r r r r Câu 46 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i - j v = ki - j r r Tìm k để vectơ u vectơ v có độ dài D k = r r Câu 47 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = ( - 2;3) , b = ( 4;1) r r r r r r c = ka+ mb với k, mỴ ¡ Biết vectơ c vng góc với vectơ a + b A k = 37 37 B k = C k = ± 37 ( Khẳng định sau đúng? A 2k = 2m B 3k = 2m C 2k + 3m= A m= B m= - C m= - A m= B m= - ) D 3k + 2m= r r Câu 48 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= ( - 2;3) b= ( 4;1) u r ru r ru r Tìm vectơ d biết ad = bd =- u r æ u r æ 6ö u r æ u r æ 6ư 6ư 6ư ; ÷ - ; ÷ ;- ÷ - ;- ÷ ÷ ÷ ữ ữ A d = ỗ B d = ỗ C d = ỗ D d = ỗ ỗ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è7 7ø è 7ø è7 7ø è 7ø r r Câu 49 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = ( 4;1) , v = ( 1;4) r r r r a = u + mv với mỴ ¡ Tìm m để a vng góc với trục hồnh D m= r r Câu 50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u= ( 4;1) v= ( 1;4) Tìm r r r r r r m để vectơ a = mu + v tạo với vectơ b = i + j góc 45 1 C m= - D m= Vấn đề CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI Câu 51 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách hai điểm M ( 1;- 2) N ( - 3;4) A MN = Câu 52 Trong B MN = mặt phẳng C MN = tọa độ Oxy, cho D MN = 13 tam giác ABC có 189 A ( 1;4) , B ( 3;2) , C ( 5;4) Tính chu vi P tam giác cho A P = + 2 B P = + C P = 8+ D P = 2+ 2 r r r r r r j Độ dài vectơ a Câu 53 Trong hệ tọa độ O;i ; j , cho vectơ a = - i 5 A B C D 5 r r Câu 54 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = ( 3;4) v = ( - 8;6) ( ) Khẳng định sau đúng? r r A u = v r r C u vng góc với v r B u r D u = - r v phương r v Câu 55 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 1;2) , B( - 2;- 4) , C ( 0;1) ỉ 3ư ÷ Mệnh đề sau ? - 1; ữ v D ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ uuu r uuu r uuu r uuu r A AB phương với CD B AB = CD uuu r uuu r uuu r uuu r C AB ^ CD D AB = CD Câu 56 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 7;- 3) , B( 8;4) , C ( 1;5) D ( 0;- 2) Khẳng định sau đúng? uuur uur A AC ^ CB B Tam giác ABC C Tứ giác ABCD hình vng D Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường trịn Câu 57 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( - 1;1) , B ( 0;2) , C ( 3;1) D ( 0;- 2) Khẳng định sau đúng? A Tứ giác B Tứ giác C Tứ giác D Tứ giác ABCD ABCD ABCD ABCD hình bình hành hình thoi hình thang cân khơng nội tiếp đường tròn Câu 58 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( - 1;1) , B ( 1;3) C ( 1;- 1) Khẳng định sau ? A Tam giác ABC C Tam giác ABC cân B B Tam giác ABC có ba góc nhọn D Tam giác ABC vuông cân A Câu 59 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 10;5) , B ( 3;2) C ( 6;- 5) Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông cân A C Tam giác ABC vuông cân B D Tam giác ABC có góc A tù 190 Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( - 2;- 1) , B ( 1;- 1) C ( - 2;2) Khẳng định sau đúng? A Tam giác ABC C Tam giác ABC vuông B B Tam giác ABC vuông cân A D Tam giác ABC vuông cân C Vấn đề TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( - 2;4) B ( 8;4) Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hồnh cho tam giác ABC vng C A C ( 6;0) B C ( 0;0) , C ( 6;0) C C ( 0;0) D C ( - 1;0) Câu 62 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1;2) B ( - 3;1) Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung cho tam giác ABC vuông A A C ( 0;6) B C ( 5;0) C C ( 3;1) D C ( 0;- 6) Câu 63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( –4;0) , B ( –5;0) C ( 3;0) uuur uuur uuur r Tìm điểm M thuộc trục hoành cho MA + MB + MC = A M ( –2;0) B M ( 2;0) C M ( –4;0) D M ( –5;0) Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M ( –2;2) N ( 1;1) Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hồnh cho ba điểm M , N , P thẳng hàng A P ( 0;4) B P ( 0;–4) C P ( –4;0) D P ( 4;0) Câu 65 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hồnh để khoảng cách từ đến điểm N ( - 1;4) A M ( 1;0) B M ( 1;0) , M ( - 3;0) C M ( 3;0) D M ( 1;0) , M ( 3;0) Câu 66 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1;3) B ( 4;2) Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành cho C cách hai điểm A B ỉ5 ỉ ỉ3 ỉ ư - ;0÷ ;0÷ - ;0÷ ;0÷ ÷ ÷ ÷ ÷ A C ç B C ç C C ç D C ç ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è3 ø è ø è5 ø Câu 67 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2;2) , B ( 5;- 2) Tìm điểm · M thuộc trục hồng cho AMB = 900 ? A M ( 0;1) B M ( 6;0) C M ( 1;6) D M ( 0;6) Câu 68 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 1;- 1) B ( 3;2) Tìm M thuộc trục tung cho MA2 + MB2 nhỏ ỉ 1ư 0; ÷ ÷ A M ( 0;1) B M ( 0;- 1) C M ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ ổ 1ử 0;- ữ ữ D M ỗ ỗ ữ ỗ ố 2ứ Cõu 69 Trong mt phng ta độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A ( - 2;0) , B ( 2;5) , C ( 6;2) Tìm tọa độ điểm D A D ( 2;- 3) Câu 70 Trong B D ( 2;3) mặt phẳng C D ( - 2;- 3) tọa độ Oxy, cho D D ( - 2;3) tam giác ABC có 191 A ( 1;3) , B ( - 2;4) , C ( 5;3) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác cho ỉ 10ư 2; ữ ữ A G ỗ ỗ ữ ỗ ố 3ứ ổ 10ử ữ ;ữ B G ỗ ỗ ữ ỗ ố3 ứ C G ( 2;5) ổ4 10ử ; ữ ữ D G ỗ ỗ ữ ç è3 ø Câu 71 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( - 4;1) , B( 2;4) , C ( 2;- 2) Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác cho ỉ1 ;1÷ ÷ A I ç ç ÷ ç è4 ø ỉ1 ÷ - ;1ữ B I ỗ ỗ ữ ỗ ố ứ ổ 1ử 1; ữ ữ C I ỗ ỗ ữ ỗ ố 4ứ ổ 1ử 1;- ữ ữ D I ỗ ỗ ữ ỗ ố 4ứ Cõu 72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( - 3;0) , B ( 3;0) C ( 2;6) Gọi H ( a;b) tọa độ trực tâm tam giác cho Tính a + 6b A a + 6b = B a + 6b = C a + 6b = D a + 6b = Câu 73 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 4;3) , B ( 2;7) C ( - 3;- 8) Tìm toạ độ chân đường cao A ' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC A A '( 1;- 4) B A '( - 1;4) C A '( 1;4) D A '( 4;1) Câu 74 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 2;4) , B ( - 3;1) , C ( 3;- 1) Tìm tọa độ chân đường cao A ' vẽ từ đỉnh A tam giác cho ỉ 1ư ; ÷ ÷ A A 'ỗ ỗ ữ ỗ ố5 5ứ ổ 1ử - ;- ữ ữ B A 'ỗ ỗ ữ ỗ è 5ø ỉ 1ư - ; ÷ ÷ C A 'ỗ ỗ ữ ỗ ố 5ứ ổ 1ử ;- ữ ữ D A 'ỗ ỗ ữ ç è5 5ø Câu 75 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A ( - 3;- 2) , B ( 3;6) C ( 11;0) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình vuông A D ( 5;- 8) B D ( 8;5) C D ( - 5;8) D D ( - 8;5) Câu 76 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( 2;4) B ( 1;1) Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân B A C ( 4;0) B C ( - 2;2) C C ( 4;0) , C ( - 2;2) D C ( 2;0) Câu 77 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A ( 1;- 1) B ( 3;0) Tìm tọa độ điểm D , biết D có tung độ âm A D ( 0;- 1) B D ( 2;- 3) C D ( 2;- 3) , D ( 0;1) D D ( - 2;- 3) Câu 78 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 1;2) , B ( - 1;3) , C ( - 2;- 1) D ( 0;- 2) Mệnh đề sau ? A ABCD hình vng C ABCD hình thoi B ABCD hình chữ nhật D ABCD hình bình hành Câu 79 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A ( 1;3) B ( 4;2) Tìm tọa độ điểm E chân đường phân giác góc O tam giác OAB ỉ ỉ 5ư 1ư ; ÷ ;- ÷ ÷ ÷ A E = ç B E = ç ç ç ÷ ÷ ç ç è2 2ø è2 2ø 192 ( ) ( C E = - 2+ 2;4 + D E = - 2+ 2;4- ) Câu 80 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 2;0) , B ( 0;2) C ( 0;7) Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D hình thang cân ABCD A D ( 7;0) B D ( 7;0) , D ( 2;9) BAØI C D ( 0;7) , D ( 9;2) D D ( 9;2) CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c A Ta có a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A; 2 b c b = c + a - 2ca.cosB; c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC Hệ cos A = 2 a B 2 2 C b +c - a c +a - b a +b - c ; cos B = ; cosC = 2bc 2ca 2ab Định lí sin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c R bán kính đường trịn ngoại tiếp Ta có a b c = = = 2R sin A sin B sinC A b c B I a C Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma, mb, mc trung tuyến kẻ từ A, B, C Ta có A b2 + c2 a2 ma = ; b 2 c a + c b mb2 = ; a2 + b2 c2 mc2 = a B C 4 Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● ha, hb, hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB ; ● R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác; ● r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác; a+ b+ c ● p= nửa chu vi tam giác; 193 ● S diện tích tam giác Khi ta có: 1 S = aha = bhb = chc 2 1 = bcsin A = casin B = absinC 2 abc = 4R = pr = p( p- a) ( p- b) ( p- c) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIẢI TAM GIÁC µ bằng: Câu Tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = Số đo góc A A 30° B 45° C 60° D 90° µ = 60° Tính độ dài cạnh BC Câu Tam giác ABC có AB = 2, AC = A A BC = B BC = C BC = D BC = ABC Câu Tam giác có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC , · cạnh AB = ACB = 60° Tính độ dài cạnh cạnh BC A BC = 3+ B BC = - C BC = D BC = 3+ 33 µ = 45° Tính độ dài cạnh BC Câu Tam giác ABC có AB = 2, AC = C 6+ 6- C BC = D BC = 2 µ = 60°, C µ = 45° AB = Tính độ dài cạnh AC Câu Tam giác ABC có B A BC = A AC = B BC = B AC = C AC = D AC = 10 · Câu Cho hình thoi ABCD cạnh 1cm có BAD = 60° Tính độ dài cạnh AC A AC = B AC = C AC = D AC = Câu Tam giác ABC có AB = 4, BC = 6, AC = Điểm M thuộc đoạn BC cho MC = 2MB Tính độ dài cạnh AM A AM = B AM = C AM = D AM = 6- Câu Tam giác ABC có AB = , BC = 3, CA = Gọi D chân đường µ Khi góc ADB · phân giác góc A độ? A 45° B 60° C 75° D 90° Câu Tam giác ABC vuông A , đường cao AH = 32 cm Hai cạnh AB 194 AC tỉ lệ với Cạnh nhỏ tam giác có độ dài bao nhiêu? A 38 cm B 40 cm C 42 cm D 45 cm Câu 10 Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E , F · · · cho góc MPE Đặt MP = q, PQ = m, PE = x, PF = y , EPF , FPQ Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? A ME = EF = FQ B ME = q2 + x2 - xq C MF = q2 + y2 - yq D MQ2 = q2 + m2 - 2qm · Câu 11 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Độ dài lớn đoạn OB bằng: A B C 2 D · Câu 12 Cho góc xOy = 30° Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho AB = Khi OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA bằng: A B C 2 D 2 Câu 13 Tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với 2 2 · đẳng thức b( b - a ) = c( a - c ) Khi góc BAC độ? A 30° B 45° C 60° D 90° Câu 14 Tam giác ABC vng A , có AB = c, AC = b Gọi l a độ dài đoạn · phân giác góc BAC Tính l a theo b c 2( b+ c) 2bc 2( b+ c) 2bc B l a = C l a = D l a = b + c bc b+ c bc Câu 15 Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A , thẳng theo hai hướng tạo với góc 600 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí? Kết gần với số sau đây? A 61 hải lí B 36 hải lí C 21 hải lí D 18 hải lí A l a = Câu 16 Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A · B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB = 40m , CAB = 450 195 · CBA = 700 Vậy sau đo đạc tính tốn khoảng cách AC gần với giá trị sau đây? A 53 m B 30 m C 41,5 m D 41 m Câu 17 Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) · Biết AH = 4m, HB = 20m, BAC = 450 Chiều cao gần với giá trị sau đây? A 17,5m B 17m C 16,5m D 16m Câu 18 Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A, B C thẳng hàng Ta đo · · AB = 24 m , CAD = 630, CBD = 480 Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây? A 18m B 18,5m C 60m D 60,5m Câu 19 Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăngten góc 500 400 so với phương nằm ngang Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây? A 12m B 19m C 24m A D 29m Câu 20 Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD = 60m , giả sử chiều cao giác kế OC = 1m Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc 60° B 196 O 1m D 60m C