Thông tin tài liệu
PHẦN A LÝ THUYẾT I Tổng hai vectơ Định nghĩa A , B , C AC Với , vectơ gọi tổng hai vecto AB BC , ki hiệu ba điểm AC AB BC a , b AB a , BC b A Cho hai vectơ điểm tuỳ ý, vẽ Vectơ AC gọi tổng hai vectơ Lấy a b , kí hiệu AC a b Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Chứng minh AB MC AM Giải Vì MC BM AB MC AB BM AM Quy tắc hình bình hành ABCD Nếu hình bình hành AB AD AC | AB AD || BA BC | ABCD Ví dụ Cho hình chữ nhật Chứng minh Giải AB AD AC , BA BC BD Theo quy tắc hình bình hành, ta có: ,| BA BC || BD |BD Suy | AB AD || AC | AC Do AC BD nên | AB AD || BA BC | Tính chất a Với ba vectở tuỳ ý , b , c ta có: a - b b a (tính chất giao hốn); Trang ( a - b ) c a (b c ) (tính chất kết hợp); a - 0 a a (tính chất vectơ-không) a Chú ý: Tổng ba vectơ b c xác định theo hai cách: (a b ) c a (b c ) Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C , D Chứng minh AB CD BC AD Giải Ta có: AB CD BC AB BC CD ( AB BC ) CD AC CD AD II Hiệu hai vec tơ Định nghĩa Vectơ có độ dài ngược hướng với vecto a gọi vecto đối vectơ a , kí hiệu a Hai vectơ a a gọi hai vectơ đối 0 Quy ước: Vectơ đối vectơ vectơ a a a a 0 Nhận xét a , b a -Hai vectơ hai vectơ đối b 0 A , B -Với hai điểm ta có: AB BA 0 A , B , C AB BC CA - Với ba điểm bất kì, ta có: Cho hai điểm A, B Khi đó, hai vectơ AB, BA hai vectơ đối nhau, tức BA AB Ví dụ Cho I trung điểm đoạn thẳng AB Chứng tỏ IA IB hai vectơ đối Viết đẳng thức liên hệ hai vectơ Giải IA , IB IA IB IA IB Hai vectơ hai vecto đối chúng ngược hướng , cùng độ dài, Chú ý: I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB 0 Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M trung điểm BC D điểm đối xứng vơi G qua M Chứng minh: a) GB GC GD b) GA GB GC 0 Trang Giải BGCD hình bình a) Vì tứ giác BGCD có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên tứ giác hành Suy GB GC GD b) Vì hai điểm A, D thuộc đường thẳng GM nên điểm A, G, M , D thẳng hàng Ta có: GA GD Suy G trung điểm AD GA GD GA GB GC 0 Vì Vậy GA GB GC 0 G ABC Chú ý: trọng tâm tam giác Hiệu hai vectơ b b a a a Hiệu vectơ vectơ tổng vectơ vectở đối vectơ , kí hiệu b Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Ví dụ Cho ba điểm A, B, O Vectơ OB OA vectơ nào? Giải OB OA OB ( OA ) OB AO AO OB AB Ta có: A , B , O Nhận xét: Vối ba điểm ta có: AB OB OA A, B, C , D Chứng minh Ví dụ 7. Cho bốn điểm bất kì AB AD CD CB 0 Giải AB AD CD CB ( AB AD ) ( CD CB ) DB BD DD Tacó: PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG CỘNG TRỪ VÉC TƠ r r r r r a b a Câu Cho hai véc-tơ cho b 0 uur r uuu r r OA a OB b Chứng minh O trung điểm AB a) Dựng , uur r uuu r r b) Dựng OA a , AB b Chứng minh B O Lời giải uur uuu r r uuu r uur a) OA OB 0 OB OA O trung điểm AB uur uuu r r r r uuu r r OA AB a b OB 0 B O b) Câu Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Xác uuu r uuur uuur uuu r uuu uuu r uuur uuu r r NC MC CD NC AN AM AD AM định tổng hai véc-tơ , , , Lời giải uuur uuu r M C Vì MC AN nên B E uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r NC MC NC AN AN NC AC uuu r uur Vì CD BA nên uuur uuu r uuur uur uur uuur uuur AM CD AM BA BA AM BM uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r A D N NC AM AD NC AD AM AE Vì nên , Trang với E đỉnh hình bình hành DAME uuur uuu r uuu r Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên AM AN AC Câu Câu Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm AB , AC BC Xác uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uur uur định hiệu AM AN ; MN NC ; MN PN ; BP CP Lời giải uuur uuur uuur A Ta có AM AN NM uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r Vì NC MP nên MN NC MN MP PN uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r N M PN NP MN PN MN NP MP Vì nên uur uuu r uur uur uur uuu r uuu r CP PC BP CP BP PC BC Vì nên C B P Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng uu r uu r AB IA IB Lời giải uu r uur Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB hai véc-tơ IA , IB ngược hướng Vậy uu r uu r IA IB uu r uu r uu r uur Ngược lại, IA IB IA IB hai véc-tơ IA , IB ngược hướng Do A , I , B thẳng hàng Vậy I trung điểm đoạn thẳng AB Câu Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm AB , AC BC Chứng uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r O OA OB OC OM ON OP minh với điểm ta có Lời giải Ta có uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uur uuu r uuu r A OA OB OC OM MA OP PB ON NC uuur uuur uuu r uuu r uur uuu r OM ON OP MA PB NC N M uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r OM ON OP MA NM AN uuur uuu r uuu r uuur uuur OM ON OP MN NM C uuur uuu r uuu r r uuur uuur uuu r B P OM ON OP OM ON OP Câu Gọi O tâm tam giác ABC Chứng minh uur uuu r uuu r r OA OB OC 0 B M Lời giải O Vẽ lục giác AMBNCP nội tiếp đường tròn uuu r uuu r uuur Vì BOCN hình bình hành nên OB OC ON uur uuu r uuu r uur uuur r OA OB OC OA ON 0 Do Câu Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB Chứng minh uuur uuu r uuu r r BM CN AP 0 a) uuu r uuu r uuu r uuur r b) AP AN AC BM 0 uur uuu r uuu r uuur uuur uuu r c) OA OB OC OM ON OP với O điểm Lời giải Trang N A C P a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên A PN // BM , MN // BP suy tứ giác BMNP hình bình uuur uuu r BM PN hành uuu r uur Vì N trung điểm AC CN NA Do theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur uuu r r BM CN AP PN NA AP PA AP 0 N M B P C uuu r uuu r uuur b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có AP AN AM , uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur kết hợp với quy tắc trừ AP AN AC BM AM AC BM CM BM uuur uuur r uuu r uuu r uuu r uuur r BC CM BM AP AN AC BM 0 Mà M trung điểm Vậy c) Theo quy tắc ba điểm ta có uur uuu r uuu r uuu r uur uuur uuur uuur uuu r OA OB OC OP PA OM MB ON NC uuur uuur uuu r uur uuur uuu r OM ON OP PA MB NC uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r OM ON OP BM CN AP uuur uuu r uuu r r uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r BM CN AP OA OB OC OM ON OP Theo câu a) ta có suy Câu Cho hình bình hành ABCD tâm O , M điểm mặt phẳng Chứng minh uur uuu r uuu r r BA DA AC 0 a) uur uuu r uuu r uuu r r b) OA OB OC OD 0 uuu r uuur uuur uuur c) MA MC MB MD Lời giải a) Ta có uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r BA DA AC AB AD AC AB AD AC uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r r BA AD AC BA DA AC AC AC 0 Theo quy tắc hình bình hành ta có , suy uur uuu r uur uuu r uur uuu r r b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có OA CO OA OC OA AO 0 uuu r uuu r r uur uuu r uuu r uuu r r OB OD OA OB OC OD 0 Tương tự: uuu r uuur uur uuur uur uuu r r c) Vì ABCD hình bình hành nên ta có AB DC BA DC BA AB 0 uuu r uuur uuur uur uuur uuur MA MC MB BA MD DC Suy uuur uuur uur uuur uuur uuur MB MD BA DC MB MD Câu Cho hình bình hành ABCD Gọi O điểm đường chéo AC Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh hình bình hành Các đường thẳng cắt AB DC M N , cắt AD BC E F Chứng minh a) OA OC OB OD BD ME FN b) Lời giải a) Ta có AB OB OA , DC OC OD Vì AB DC nên OB OA OC OD Trang OA OC OB OD Vậy b) Tứ giác AMOE tứ giác OFCN hình bình hành nên MA FO MO FC MA BM BF FC ME FN MA MO FO FC BA BC BD Câu 10 Cho năm điểm A, B, C , D, E Chứng minh a) AB CD EA CB ED b) AC CD EC AE DB CB Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có VT AC CB CD ED DA CB ED AC CD DA CB ED AD DA CB ED VP (đpcm) AC AE CD CB EC DB 0 b) Đẳng thức tương đương với EC BD EC DB 0 BD DB 0 (đúng) Câu 11 Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh OA OB OC OD OE 0 Lời giải Ta chứng minh v OA OB OC OD OE có hai giá khác Gọi d đường thẳng chứa OD d trục đối xứng ngũ giác OA OB OM , M đỉnh hình thoi OAMB Ta có thuộc d Tương tự OC OE ON , N thuộc d v OA OB OC OE OD OM ON OD có Do giá d v OB OC OD OA OE Ta ghép v có giá đường thẳng OE v v IA IB Vì có giá khác nên 0 A , B , C , D , E , F AD BE CF AE BF CD Câu 12 Cho điểm Chứng minh Lời giải Cách Đẳng thức cần chứng minh tương đương với AD AE BE BF CF CD 0 ED FE DF 0 EF FE 0 (đúng) VT AD BE CF AE ED BF FE CD DF Cách AE BF CD ED FE DF AE BF CD VP Câu 13 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O , M điểm Chứng minh OA OC OB OD OE OF a) b) MA MC ME MB MD MF Trang Lời giải O OA OD OB OE 0 , a) Tâm lục giác tâm đối xứng lục giác nên , OC OF 0 OA OC OB OD OE OF OA OD OB OE OC OF 0 Do MA MC ME MB BA MD DC MF FE b) MB MD MF BA DC FE MB MD MF BA OB AO MB MD MF BA AO OB MB MD MF MB MD MF DẠNG XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN Câu 14 Cho hai điểm phân biệt A, B Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện sau đây: MB BA a) MA b) MA MB AB c) MA MB 0 d) MA AM Lời giải a) MA MB BA BA BA Vậy điểm M thỏa mãn AB BA AB A B Vậy khơng có điểm M thỏa mãn b) MA MB c) MA MB 0 MA MB Vậy M trung điểm đoạn thẳng AB d) MA AM M A Câu 15 Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện MA MB MC 0 Lời giải MA MB MC BA MC AB MC Ta có Vậy M điểm xác định hệ thức CM BA hay M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM Câu 16 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm m cho MA MB MC a) MA MC b) Lời giải MA MB MC MA CB MA BC a)Ta có Vậy M cách điểm A đoạn BC không đổi nên tập hợp điểm M đường tròn tâm A , bán kính R BC MA MC MA MC b)Ta có Vậy M cách điểm A C nên tập hợp điểm M đường trung trực đoạn AC MA MB MA MB Câu 17 Cho điểm A B Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Lời giải Vẽ hình bình hành AMBN Gọi O giao điểm đường chéo, ta có Trang MA MB MN MA MB MN 2MO MA MB BA MA MB AB 2MO AB MO AB Điều kiện tương đương MA MB MA MB Tập hợp điểm M có tính chất đường trịn đường kính AB DẠNG TÍNH ĐỘ DÀI VÉC TƠ AB AC AB AC Câu 18 Cho tam giác ABC cạnh a Tính Lời giải Từ tam giác ABC cạnh a , vẽ hình thoi BACD a 2 AB AC AD AB AC AD nên a 2 AH AB AC CB CB a Ta có AB AC CB nên Câu 19 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC b lấy hai điểm E F cho AE EF FC , BE cắt trung tuyến AM N Tính độ dài vectơ u AE AF AN MN Lời giải Ta có AC FC Vì MF // BE nên N trung điểm AM Suy AN MN 0 u AE AF AN MN AF FC AC nên Do u AC b Câu 20 Cho tam giác ABC vng A có ABC 30 BC a Tính độ dài vectơ AB BC , AC BC AB AC Lời giải Theo quy tắc ba điểm ta có AB BC AC AC a AC BC.sin ABC a sin 30 BC Mà a 5 AB BC AC AC ; AC BC AC CB AB Do sin ABC 5a a 15 AC AB BC AB BC AC 5a Ta có: a 15 AC BC AB AB Vì Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành AB AC AD Khi theo quy tắc hình bình hành ta có 2 2 2 Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD BC a AB AC AD AD a Vậy Trang Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh b Tính DA AB , DA DC , DB DC Lời giải Ta có DA AB DA DC CA nên DA AB CA CA b DA DC DB DB b Ta có DA DC DB nên Vẽ hình bình hành CDBM DM cắt BC trung điểm I đường DB DC DM DM 2 DI Ta có DB DC DM nên b DI b b DB DC b 2 Mà Câu 22 Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Hãy tính OA CB , AB DC CD DA Lời giải Ta có AC BD a , OA C B CO CB BO Do a OA CB BO AB DC AB DC 2a Vì AB, DC hướng nên CD DA BD a Ta có CD DA CD CB BD Do Câu 23 Cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài vec tơ sau MD, MN Lời giải Áp dụng đinh lý Pitago tam giác vuông MAD ta có 5a a a a DM AM AD a DM MD MD 2 Suy Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Khi tứ giác ADNP hình vng 2 PM PA AM a a 3a 2 Áp dụng định lý Piatgo tam giác vng NPM ta có 2 3a 13a a 13 a 13 MN NP PM a DM MN MN Suy 2 2 Câu 24 Cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O M trung điểm AB Tính độ dài vecto AB, AC , OA, OM OA OB Lời giải Trang Ta có AB AB a AC AC AB BC a a 2 a OA OA AC , OM OM 2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành Khi hình vng OA OB OE OA OB OE OE AB a Ta có Câu 25 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm AB OD AB OC OD a)Tính , b)Tính độ dài vectơ MA MB MC MD Lời giải a) Ta có OD BO AB OD AB BO AO AC a AB OD AO 2 Ta có: OC AO Suy AB OC OD AB AO OD OB OD 0 AB OC OD 0 MA MB MC MD MA MB MC MD BA DC b) Áp dụng quy tắc trừ ta có Lấy B điểm đối xứng B qua A Khi DC AB BA DC BA AB BB MA MB MC MD BB BB 2a Suy Câu 26 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm Tính AB AD a)Tính OA CB b)Tính CD DA c)Tính Lời giải a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB AD AC Suy AB AD AC AC 2 2 Áp dụng định lý Pitago ta có AC AB BC 2a AC a AB AD a Vậy b) Vì O tâm hình vng nên OA CO Suy OA CB BC a OA CB CO CB BC Vậy c) Do ABCD hình vng nên CD BA Suy CD DA BA AD BD Trang 10
Ngày đăng: 16/10/2023, 21:15
Xem thêm:
