Bài 4 tổng và hiệu của hai vectơ đáp án

PHẦN A LÝ THUYẾT I Tổng hai vectơ Định nghĩa    A , B , C AC Với , vectơ gọi tổng hai vecto AB BC , ki hiệu  ba điểm  AC  AB  BC       a , b AB  a , BC  b A Cho hai vectơ điểm tuỳ ý, vẽ Vectơ AC gọi tổng hai vectơ  Lấy    a b , kí hiệu AC a  b Phép lấy tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM    Chứng minh AB  MC  AM Giải       Vì MC BM  AB  MC  AB  BM  AM Quy tắc hình bình hành    ABCD Nếu hình bình hành AB  AD  AC     | AB  AD || BA  BC | ABCD Ví dụ Cho hình chữ nhật Chứng minh Giải      AB  AD  AC , BA  BC BD Theo quy  tắc  hình  bình hành,   ta có:  ,| BA  BC || BD |BD Suy | AB  AD || AC | AC   Do AC BD nên | AB  AD || BA  BC | Tính chất   a Với ba vectở tuỳ ý , b , c ta có:     a -  b b  a (tính chất giao hốn); Trang       ( a -  b )  c a  (b  c ) (tính chất kết hợp);      a -  0  a a (tính chất vectơ-không)    a Chú ý: Tổng ba vectơ   b  c xác định theo hai cách:      (a  b )  c a  (b  c ) Ví dụ Cho bốn điểm A, B, C , D Chứng minh     AB  CD  BC  AD Giải Ta   có:            AB  CD  BC  AB  BC  CD ( AB  BC )  CD  AC  CD  AD II Hiệu hai vec tơ Định nghĩa    Vectơ có độ dài ngược hướng với vecto a gọi vecto đối vectơ a , kí hiệu  a Hai   vectơ a  a gọi hai vectơ đối   0 Quy ước: Vectơ đối vectơ vectơ      a   a   a  a 0 Nhận xét      a , b a -Hai vectơ hai vectơ đối  b 0    A , B -Với hai điểm ta có: AB  BA 0     A , B , C AB  BC  CA  - Với ba điểm bất kì, ta có:     Cho hai điểm A, B Khi đó, hai vectơ AB, BA hai vectơ đối nhau, tức BA  AB Ví dụ Cho I trung điểm đoạn thẳng AB Chứng tỏ IA IB hai vectơ đối Viết đẳng thức liên hệ hai vectơ Giải        IA , IB IA  IB  IA  IB Hai vectơ hai vecto đối chúng ngược hướng ,   cùng độ dài, Chú ý: I trung điểm đoạn thẳng AB IA  IB 0 Ví dụ Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M trung điểm BC D điểm đối xứng vơi G qua M Chứng minh:        a) GB  GC GD     b) GA  GB  GC 0 Trang Giải BGCD hình bình a) Vì tứ giác BGCD   có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên tứ giác hành Suy GB  GC GD b) Vì hai điểm A, D thuộc đường thẳng GM nên điểm A, G, M , D thẳng hàng Ta có: GA GD Suy G trung điểm AD        GA  GD  GA  GB  GC 0 Vì Vậy     GA  GB  GC 0 G ABC Chú ý: trọng tâm tam giác Hiệu hai vectơ       b b a a a Hiệu vectơ vectơ tổng vectơ vectở đối vectơ , kí hiệu  b Phép lấy hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ Ví dụ Cho ba điểm A, B, O   Vectơ OB  OA vectơ nào? Giải          OB  OA  OB  (  OA )  OB  AO  AO  OB  AB Ta có:    A , B , O Nhận xét: Vối ba điểm ta có: AB OB  OA A, B, C , D Chứng minh Ví  dụ  7. Cho  bốn điểm bất kì AB  AD  CD  CB 0 Giải             AB  AD  CD  CB  ( AB  AD )  ( CD  CB )  DB  BD  DD  Tacó: PHẦN B BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG CỘNG TRỪ VÉC TƠ r r r r r a b a Câu Cho hai véc-tơ cho  b 0 uur r uuu r r OA  a OB b Chứng minh O trung điểm AB a) Dựng , uur r uuu r r b) Dựng OA a , AB b Chứng minh B O Lời giải uur uuu r r uuu r uur a) OA  OB 0  OB  OA  O trung điểm AB uur uuu r r r r uuu r r OA  AB  a  b   OB 0  B O b) Câu Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Xác uuu r uuur uuur uuu r uuu uuu r uuur uuu r r NC MC CD NC AN AM AD AM định tổng hai véc-tơ , , , Lời giải uuur uuu r M C Vì MC  AN nên B E uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r NC  MC  NC  AN  AN  NC  AC uuu r uur Vì CD  BA nên uuur uuu r uuur uur uur uuur uuur AM  CD  AM  BA BA  AM BM uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r A D N NC  AM AD  NC  AD  AM  AE Vì nên , Trang với E đỉnh hình bình hành DAME uuur uuu r uuu r Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên AM  AN  AC Câu Câu Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm AB , AC BC Xác uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uur uur định hiệu AM  AN ; MN  NC ; MN  PN ; BP  CP Lời giải uuur uuur uuur A Ta có AM  AN  NM uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r Vì NC MP nên MN  NC MN  MP PN uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r N M  PN  NP MN  PN  MN  NP  MP Vì nên uur uuu r uur uur uur uuu r uuu r  CP  PC BP  CP  BP  PC  BC Vì nên C B P Chứng minh điểm I trung điểm đoạn thẳng uu r uu r AB  IA IB Lời giải uu r uur Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB hai véc-tơ IA , IB ngược hướng Vậy uu r uu r IA  IB uu r uu r uu r uur Ngược lại, IA  IB IA IB hai véc-tơ IA , IB ngược hướng Do A , I , B thẳng hàng Vậy I trung điểm đoạn thẳng AB Câu Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm AB , AC BC Chứng uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r O OA  OB  OC  OM  ON  OP minh với điểm ta có Lời giải Ta có uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uur uuu r uuu r A OA  OB  OC OM  MA  OP  PB  ON  NC uuur uuur uuu r uuu r uur uuu r OM  ON  OP  MA  PB  NC N M uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r OM  ON  OP  MA  NM  AN uuur uuu r uuu r uuur uuur OM  ON  OP  MN  NM C uuur uuu r uuu r r uuur uuur uuu r B P OM  ON  OP  OM  ON  OP Câu Gọi O tâm tam giác ABC Chứng minh uur uuu r uuu r r OA  OB  OC 0 B M Lời giải O Vẽ lục giác AMBNCP nội tiếp đường tròn   uuu r uuu r uuur Vì BOCN hình bình hành nên OB  OC ON uur uuu r uuu r uur uuur r OA  OB  OC OA  ON 0 Do Câu Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA , AB Chứng minh uuur uuu r uuu r r BM  CN  AP 0 a) uuu r uuu r uuu r uuur r b) AP  AN  AC  BM 0 uur uuu r uuu r uuur uuur uuu r c) OA  OB  OC OM  ON  OP với O điểm Lời giải Trang N A C P a) Vì PN , MN đường trung bình tam giác ABC nên A PN // BM , MN // BP suy tứ giác BMNP hình bình uuur uuu r  BM  PN hành uuu r uur Vì N trung điểm AC  CN  NA Do theo quy tắc ba điểm ta có uuur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur uuu r r BM  CN  AP  PN  NA  AP PA  AP 0   N M B P C uuu r uuu r uuur b) Vì tứ giác APMN hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có AP  AN  AM , uuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur kết hợp với quy tắc trừ  AP  AN  AC  BM  AM  AC  BM CM  BM uuur uuur r uuu r uuu r uuu r uuur r BC CM  BM  AP  AN  AC  BM 0 Mà M trung điểm Vậy c) Theo quy tắc ba điểm ta có uur uuu r uuu r uuu r uur uuur uuur uuur uuu r OA  OB  OC  OP  PA  OM  MB  ON  NC uuur uuur uuu r uur uuur uuu r  OM  ON  OP  PA  MB  NC uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r  OM  ON  OP  BM  CN  AP uuur uuu r uuu r r uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r BM  CN  AP  OA  OB  OC  OM  ON  OP Theo câu a) ta có suy    Câu          Cho hình bình hành ABCD tâm O , M điểm mặt phẳng Chứng minh uur uuu r uuu r r BA  DA  AC 0 a) uur uuu r uuu r uuu r r b) OA  OB  OC  OD 0 uuu r uuur uuur uuur c) MA  MC MB  MD Lời giải a) Ta có uur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r BA  DA  AC  AB  AD  AC  AB  AD  AC   uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuu r uuu r r BA  AD  AC BA  DA  AC  AC  AC 0 Theo quy tắc hình bình hành ta có , suy uur uuu r uur uuu r uur uuu r r b) Vì ABCD hình bình hành nên ta có OA CO  OA  OC OA  AO 0 uuu r uuu r r uur uuu r uuu r uuu r r OB  OD   OA  OB  OC  OD 0 Tương tự: uuu r uuur uur uuur uur uuu r r c) Vì ABCD hình bình hành nên ta có AB DC  BA  DC BA  AB 0 uuu r uuur uuur uur uuur uuur MA  MC MB  BA  MD  DC Suy uuur uuur uur uuur uuur uuur MB  MD  BA  DC MB  MD Câu Cho hình bình hành ABCD Gọi O điểm đường chéo AC Qua O kẻ đường thẳng song song với cạnh hình bình hành Các đường thẳng cắt AB DC M N , cắt AD BC E F Chứng minh     a) OA  OC OB  OD    BD  ME  FN b) Lời giải       a) Ta có AB OB  OA , DC OC  OD       Vì AB  DC nên OB  OA OC  OD Trang     OA  OC OB  OD Vậy b) Tứ giác AMOE tứ giác OFCN hình bình hành nên                MA  FO  MO  FC  MA  BM  BF  FC ME  FN  MA  MO  FO  FC     BA  BC  BD         Câu 10 Cho năm điểm A, B, C , D, E Chứng minh      a) AB  CD  EA CB  ED       b) AC  CD  EC  AE  DB  CB Lời giải a) Biến đổi vế trái ta có           VT  AC  CB  CD  ED  DA  CB  ED  AC  CD  DA      CB  ED  AD  DA   CB  ED VP (đpcm)        AC  AE  CD  CB  EC  DB 0 b) Đẳng thức tương đương với          EC  BD  EC  DB 0  BD  DB 0 (đúng)       Câu 11 Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh OA  OB  OC  OD  OE 0 Lời giải       Ta chứng minh v OA  OB  OC  OD  OE có hai giá khác Gọi d đường thẳng chứa OD d trục đối xứng ngũ giác    OA  OB OM , M đỉnh hình thoi OAMB Ta có thuộc d    Tương tự OC  OE ON , N thuộc d          v  OA  OB  OC  OE  OD    OM  ON  OD có Do giá d        v  OB  OC  OD  OA  OE Ta ghép v có giá đường                       thẳng OE      v v IA  IB Vì có giá khác nên 0       A , B , C , D , E , F AD  BE  CF  AE  BF  CD Câu 12 Cho điểm Chứng minh Lời giải Cách Đẳng thức cần chứng minh tương đương với        AD  AE  BE  BF  CF  CD 0         ED  FE  DF 0  EF  FE 0 (đúng)          VT  AD  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF Cách           AE  BF  CD  ED  FE  DF  AE  BF  CD VP             Câu 13 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O , M điểm Chứng minh              OA  OC  OB  OD  OE  OF  a) b) MA  MC  ME  MB  MD  MF Trang Lời giải       O OA  OD  OB  OE 0 , a) Tâm lục giác tâm đối xứng lục giác nên ,    OC  OF 0              OA  OC  OB  OD  OE  OF  OA  OD  OB  OE  OC  OF 0 Do          MA  MC  ME  MB  BA  MD  DC  MF  FE b)        MB  MD  MF  BA  DC  FE              MB  MD  MF  BA  OB  AO  MB  MD  MF  BA  AO  OB         MB  MD  MF   MB  MD  MF DẠNG XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN                   Câu 14 Cho hai điểm phân biệt A, B Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện sau đây:        MB BA a) MA b) MA  MB  AB      c) MA  MB 0 d) MA  AM Lời giải      a) MA  MB BA  BA BA Vậy điểm M thỏa mãn       AB  BA  AB  A B Vậy khơng có điểm M thỏa mãn b) MA  MB      c) MA  MB 0  MA  MB Vậy M trung điểm đoạn thẳng AB   d) MA  AM  M  A     Câu 15 Cho tam giác ABC Tìm điểm M thỏa mãn điều kiện MA  MB  MC 0 Lời giải         MA  MB  MC   BA  MC   AB  MC Ta có   Vậy M điểm xác định hệ thức CM BA hay M đỉnh thứ tư hình bình hành ABCM Câu 16 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm m cho    MA  MB  MC a)   MA  MC b) Lời giải      MA  MB  MC  MA  CB  MA BC a)Ta có Vậy M cách điểm A đoạn BC không đổi nên tập hợp điểm M đường tròn tâm A , bán kính R BC   MA  MC  MA MC b)Ta có Vậy M cách điểm A C nên tập hợp điểm M đường trung trực đoạn AC     MA  MB  MA  MB Câu 17 Cho điểm A B Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện Lời giải Vẽ hình bình hành AMBN Gọi O giao điểm đường chéo, ta có Trang      MA  MB MN  MA  MB MN 2MO      MA  MB BA  MA  MB  AB 2MO  AB  MO  AB Điều kiện tương đương     MA  MB  MA  MB Tập hợp điểm M có tính chất đường trịn đường kính AB DẠNG TÍNH ĐỘ DÀI VÉC TƠ     AB  AC AB  AC Câu 18 Cho tam giác ABC cạnh a Tính Lời giải Từ tam giác ABC cạnh a , vẽ hình thoi BACD   a  2 AB  AC  AD AB  AC  AD nên a 2 AH       AB  AC  CB CB a Ta có AB  AC CB nên   Câu 19 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AC b lấy hai điểm E F cho         AE  EF  FC , BE cắt trung tuyến AM N Tính độ dài vectơ u  AE  AF  AN  MN Lời giải   Ta có AC  FC Vì MF // BE nên N trung điểm AM    Suy AN  MN 0            u  AE  AF  AN  MN  AF  FC  AC nên Do  u  AC b  Câu 20 Cho tam giác ABC vng A có ABC 30 BC a Tính độ dài vectơ       AB  BC , AC  BC AB  AC Lời giải    Theo quy tắc ba điểm ta có AB  BC  AC AC a  AC BC.sin ABC a sin 30  BC Mà    a 5    AB  BC  AC  AC  ; AC  BC  AC  CB  AB Do sin ABC  5a a 15 AC  AB BC  AB  BC  AC  5a   Ta có:    a 15 AC  BC  AB  AB  Vì Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành    AB  AC  AD Khi theo quy tắc hình bình hành ta có 2 2 2 Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ nhật suy AD BC a    AB  AC  AD  AD a Vậy Trang  Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh b Tính      DA  AB , DA  DC , DB  DC Lời giải     Ta có DA  AB DA  DC CA nên    DA  AB  CA CA b       DA  DC  DB  DB b Ta có DA  DC DB nên Vẽ hình bình hành CDBM DM cắt BC trung điểm I đường       DB  DC  DM DM 2 DI Ta có DB  DC DM nên   b DI b     b  DB  DC b  2 Mà  Câu 22 Cho hình vng ABCD cạnh a có O giao điểm hai đường chéo Hãy tính       OA  CB , AB  DC CD  DA Lời giải      Ta có AC BD a , OA  C B CO  CB BO Do   a OA  CB BO        AB  DC  AB  DC 2a Vì AB, DC hướng nên        CD  DA BD a Ta có CD  DA CD  CB BD Do Câu 23 Cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng   với C qua D Hãy tính độ dài vec tơ sau MD, MN Lời giải Áp dụng đinh lý Pitago tam giác vuông MAD ta có  5a a a a DM  AM  AD    a   DM  MD MD   2 Suy Qua N kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB P Khi tứ giác ADNP hình vng 2 PM PA  AM a  a 3a  2 Áp dụng định lý Piatgo tam giác vng NPM ta có 2   3a  13a a 13 a 13 MN  NP  PM a      DM  MN  MN    Suy 2 2 Câu 24 Cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O M trung điểm AB Tính độ dài       vecto AB, AC , OA, OM OA  OB Lời giải Trang  Ta có AB  AB a  AC  AC  AB  BC a  a 2 a OA OA  AC  , OM OM  2 Gọi E điểm cho tứ giác OBEA hình bình hành Khi hình vng       OA  OB OE  OA  OB  OE OE  AB a Ta có Câu 25 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm      AB  OD AB  OC  OD a)Tính ,     b)Tính độ dài vectơ MA  MB  MC  MD Lời giải        a) Ta có OD  BO  AB  OD  AB  BO  AO   AC a AB  OD  AO   2   Ta có: OC  AO Suy          AB  OC  OD  AB  AO  OD OB  OD 0     AB  OC  OD 0           MA  MB  MC  MD  MA  MB  MC  MD BA  DC b) Áp dụng quy tắc trừ ta có        Lấy B điểm đối xứng B qua A Khi  DC  AB  BA  DC BA  AB BB      MA  MB  MC  MD  BB BB 2a Suy    Câu 26 Cho hình vng ABCD có tâm O cạnh a M điểm Tính   AB  AD a)Tính   OA  CB b)Tính   CD  DA c)Tính Lời giải    a) Theo quy tắc hình bình hành ta có AB  AD  AC Suy    AB  AD  AC  AC 2 2 Áp dụng định lý Pitago ta có AC  AB  BC 2a  AC a   AB  AD a Vậy   b) Vì O tâm hình vng nên OA CO Suy         OA  CB  BC a OA  CB CO  CB BC Vậy   c) Do ABCD hình vng nên CD BA Suy      CD  DA BA  AD BD Trang 10 