Đang tải... (xem toàn văn)
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2023 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi g[.]
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2023 ĐỀ ĐỀ NGHỊ ĐỀ THI MƠN: TỐN LỚP 10 Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn P(3x x) P(3x 4) P( x 1), x Câu (4 điểm) Cho số thực dương x,y,z Chứng minh yz x x y zx y y z xy z z x 2 Câu (4 điểm) Cho điểm D nằm ngồi đường trịn (O), kẻ tiếp tuyến DB, DC tới (O) Gọi A điểm nằm cung nhỏ BC đường tròn (O), tiếp tuyến (O) A cắt DC, DB E F Gọi M trung điểm AB Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt AC N Gọi P giao điểm hai đường thẳng MN BO Chứng minh PF vng góc với DO Câu (4 điểm) Tìm hai số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: x 2+ y 2−7 xy−x− y +7=0 Câu (4 điểm) Có 4030 người xếp hàng mua vé xem bóng chuyền, có 2007 người mang theo tờ tiền mệnh giá 100.000đ 2023 người mang theo tờ tiền mệnh giá 50.000đ Biết vé giá 50.000đ trước lúc bán vé hịm tiền người bán vé khơng có tờ tiền Hỏi có cách xếp hang cho 4030 người mà chờ trả lại tiền? ……………………Hết…………………… HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Hướng dẫn chấm Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn Điểm P(3x x) P (3x 4) P ( x 1), x deg P x 0 P x C Trường hợp Xét tức thay vào (1) ta C 0 P x 0, P x 1 C 1 , hay hai đa thức thỏa mãn 1,0 deg P x n * Trường hợp Xét , tức n n P x an x an x a1 x a0 , an 0 Khi đó, so sánh hệ số lũy thừa cao (1) ta có an2 an an 1 n Q x suy đặt P( x) ( x 2) Q( x), x , với đa thức hệ số thực deg Q x m, m n , thay vào (1) ta có n (3 x x 2) Q(3 x x) ((3 x 2) n Q(3 x 4))(( x 1) n Q( x 1)) 1,0 1,0 Q(3 x x) (3 x 2) n Q( x 1) Q (3x 4).( x 1) n Q(3x 4).Q( x 1) Nếu Q x khác đa thức từ 3 so sánh bậc cao hai vế ta có 2m n m n m vơ lí, suy Q x đa thức Suy P ( x) ( x 2) n , x Thử lại ta thấy thỏa mãn 1,0 n Vậy đa thức cần tìm P(x)=0, P(x)=1; P ( x) ( x 2) , x Cho số thực dương x,y,z Chứng minh yz x x y zx y y z xy z z x 2 Khơng làm tính tổng qt ta cho xyz =1 a b c x ;y ,z c a Đặt b 1.0 Khi bđt cần chứng minh trở thành b2 ab a bc a2 ac c ab c2 cb b ac Sử dụng bdt Cauchy Schwarz, ta có 1,0 2,0 b2 ab a bc a2 ac c ab c2 cb b ac 2(a b c) 2(ab ac cb)(a bc c ab b ac ) (a b c)2 ab a bc ac c ab cb b ac 2( a b c) 2(ab ac cb) (a bc c ab b ac ) 2( a b c) (a b c)2 Cho điểm D nằm đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến DB, DC tới (O) Gọi A điểm nằm cung nhỏ BC đường tròn (O), tiếp tuyến (O) A cắt DB, DC E F Gọi M trung điểm AB Đường thẳng qua O vng góc với OM cắt AC N Gọi P giao điểm hai đường thẳng MN BO Chứng minh PF vng góc với DO Xét hình sau: Gọi T giao điểm OF AC ^ ^ 1^ ^ OD=^ POD−T^ OP= ( B OC −BOA ) = AOC= TCD Ta có T^ 2 ^ Suy tứ giác TOCD nội tiếp, suy OTD=90 o o ^ Gọi G giao điểm DO AC, ta có OGF=90 Xét tam giác OBD tam giác NMT có ON ∥ BM ∥ DT (cùng vng góc với OT) và: P giao điểm OB NM F giao điểm BD MT G giao điểm OD NT Theo định lý Desargue ta có P, F, G thẳng hàng, từ ta suy điều phải chứng minh Tìm hai số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: x 2+ y 2−7 xy−x− y +7=0 Xét dãy số (un )xác định bởi: u 0=u1=1 (*) un+2 =7 un+1 −un +1 { Ta chứng minh (x; y) nghiệm phương trình cho (x; y) = (u ¿ ¿ n+ 1; un )¿ (x; y) = (u ¿ ¿ n ; u n+1)¿, với n số tự nhiên Thật vậy, dễ dàng chứng minh được: un +12+u n2−7 un+ un−un+1−u n+ 7=0 với số tự nhiên n Ngược lại, với cặp số nguyên dương (x; y) với x ≤y nghiệm phương trình cho, ta chứng minh tồn số tự nhiên n cho (x; y) = (u ¿ ¿ n ; u n+1)¿ Thật vậy, x = y, giải phương trình ta x= y =1=u0 =u1 Xét nghiệm ( x ¿ ¿ 1; x )¿ phương trình cho thỏa mãn ≤ x < x + Nếu x 1+ 1=x 0, thay vào phương trình ban đầu, khơng thỏa mãn, x 1+ 2≤ x + Đặt x 2=7 x 1−x 0+ 1, ta có: x x 0−x 20+ x0 x 21−x 1+7 x 21+ x +4 x 20 x 2= = < ≤ =x 0(1) x0 x0 x0 x0 Do x 2+ x1 < x 1+ x Hơn nữa, ( x ¿ ¿ 1; x )¿ nghiệm nguyên dương phương trình cho + Nếu chưa đạt trạng thái dừng x 2=x 1=1 ta xây dựng nghiệm phương trình cho thỏa mãn x 2+ x1 < x 1+ x ≤ x < x Thật vậy, giả sử ngược lại x 2> x1, theo chứng minh ta có x 1+ 2≤ x 2 Suy x x ≥ ( x 1+ ) > x 1−x 1+7=x x (do ( ) ), mâu thuẫn Khi đó, ta xây dựng dãy nghiệm nguyên dương ( x ¿ ¿ n ; x n+1) ¿ phương trình cho thỏa mãn: …< x n + x n+1 < …< x2 + x < x 1+ x Và ≤…< x n< …< x 2< x Do trình giảm không diễn vô hạn nên tồn số nguyên dương k cho: x k =1 ¿ u1 ; x k +1=1 ¿u Khi ta có: x k−1=7 x k −x k+ 1+1 ¿ u1−u 0+1=u2 … x 1=7 x 2−x 3+ 1¿ uk−1−u k−2+ 1=uk x 0=7 x 1−x 2+ 1¿ u k −uk−1 +1=u k+1 Vậy với cặp số nguyên dương ( x ¿ ¿ 1; x )¿ nghiệm phương trình cho, tồn số tự nhiên k cho ( x ¿ ¿ 1; x )¿ = (u ¿ ¿ k ; u k+1 )¿ Vậy tập nghiệm phương trình cho tất cặp số (u ¿ ¿ k ; u k+1 )¿ (u ¿ ¿ k+ 1; u k ) ¿, với uk số hạng dãy (*) Có 4030 người xếp hàng mua vé xem bóng chuyền, có 2007 người mang theo tờ tiền mệnh giá 100.000đ 2023 người mang theo tờ tiền mệnh giá 50.000đ Biết vé giá 50.000đ trước lúc bán vé hịm tiền người bán vé khơng có tờ tiền Hỏi có cách xếp hang cho 4030 người mà chờ trả lại tiền? Giả sử 4030 người xếp hang mua vé xếp theo thứ tự Đặt x i=1 người thứ i mang theo tờ tiền mệnh giá 50.000đ x i=−1 người thứ i mang theo tờ tiền mệnh giá 100.000đ Khi hiệu người mang theo tờ tiền mệnh giá 50.000đ người mang theo tờ tiền mệnh giá 100.000đ thời điểm có k người 0,5 k hàng Sk =∑ xi i=1 Trên mạng lưới ô vuông, vẽ điểm Ak =( k ; S k ) Xét đường gấp khúc nối O(0; 0) A 4030=(4030 ; 16) qua điểm Ak =( k ; S k ), k = 1; 2; …; 4029 Mỗi đường gấp khúc ta gọi quỹ đạo Số quỹ đạo C 2007 4030( lên 2023 bước, xuống 2007 bước) Dễ thấy, quỹ đạo thỏa mãn chờ trả lại tiền quỹ đạo không cắt đường thẳng d: y = - Ta đếm số quỹ đạo cắt đường thẳng d sau: Với quỹ đạo T mà cắt đường thẳng d, ta xây dựng quỹ đạo T’ theo cách sau: từ lúc khởi điểm đến giao điểm quỹ đạo T d, ta giữ nguyên quỹ đạo T, phần lại, ta lấy đối xứng qua đường thẳng d: y = - Từ ta xây dựng song ánh từ tập quỹ đạo T đường gấp khúc nối O(0; 0) A 4030=(4030 ; 16) đến tập quỹ đạo T’ đường gấp khúc nối O(0; 0) điểm ( 4030;−18) Giả sử đường gấp khúc nối O(0; 0) điểm ( 4030;−18) có a bước hướng lên b bước hướng xuống, ta có: 1,5 1,5 a+b=4030 ⟺ a=2006 a−b=−18 b=2024 { { Khi số quỹ đạo cắt đường thẳng d: y = -1 C 2006 4030 2006 −C¿¿ 4030 ).2023 ! 2007 ! ¿ Vậy số cách xếp hàng cần tìm (C 2007 4030 0,5 Người đề:i đề:: Vũ Thị Vân – SĐT: 0982415216 Vân – SĐT: 0982415216 Nguyễn Thị Thanh Loan – SĐT: 0981634810n Thị Vân – SĐT: 0982415216 Thanh Loan – SĐT: 0981634810