TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2023 MƠN THI: TỐN - LỚP 11 ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài: 180 phút 2023 n 2023 x n x n x Câu (4 điểm) Cho số thực a f n ( x) a x a) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình f n ( x) a ln có nghiệm dương x xn xn b) Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn tính nlim Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H , nội tiếp đường tròn (O ) Trên cung nhỏ AC , AB đường tròn (O) lấy điểm K , L cho KL / / BC Gọi G điểm đường thẳng AB cho OG / / AK Đường thẳng LH cắt lại (O ) V khác L Chứng minh CVG 90 Câu (4 điểm) Tìm tất hàm số liên tục f : thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i ) f 1 2023 ii) f x y 2023x f y 2023 y f x , x, y Câu (4 điểm) Tìm tất số k nguyên dương cho tồn 2023 số nguyên dương phân biệt thỏa mãn tổng 2023 số chia hết cho tổng k số phân biệt 2023 số Câu (4 điểm) Cho S tập hợp gồm 2023 số nguyên dương chọn n tập S cho tổng phần tử n tập đơi ngun tố Tìm giá trị lớn n _ HẾT _ Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CỤM DUYÊN HẢI ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII - NĂM 2023 MƠN TỐN - LỚP 11 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nôi dung Cho số thực a f n ( x) a 2023 n 2023 x n x x Điểm n x a) Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình f n ( x) a Câu điểm có nghiệm dương x xn xn b) Chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn tính nlim 2023 n 2023 x n x n x a 1 Ta có f n ( x ) a a x + Với x 1 VT 1 a VP 1 nên phương trình vơ nghiệm 1.a (1.5 điểm) 0.5 điểm +Với x , ta có: f n x a 2023 2023 x n2022 0, x 0;1 nên hàm số f n x tăng ngặt 0;1 mà f n 1 a, f n 1 a n a điểm phương trình f n ( x) a ln có nghiệm dương x xn 0;1 1.b (2.5 Ta chứng minh dãy ( x ) tăng Thật vậy, xét f ( x ) x f ( x ) ax n n 1 n n n n n điểm) Vì f n 1 ( xn 1 ) a f n 1 ( x ) tăng khoảng (0;1) nên để chứng minh dãy điểm ( xn ) tăng ngặt, ta chứng minh f n 1 ( xn ) f n 1 ( xn 1 ) axn a xn Giả sử xn a a a Vì f n ( x ) tăng khoảng (0;1) nên, với a a a 1 1 n 2023 a 2023 a f n ( xn ) a a a 1 a n 1 n n (*) a 1 a 1 ( a 1) 2023 a (a 1) a a a Đây điều vơ lí Do dãy ( xn ) tăng ngặt mà dãy ( xn ) bị chặn nên a c 0;1 a có giới hạn hữu hạn Ta đặt: Khi đó: f n c f n xn a a 1 a a n 2023 10 a 2023 2023 a 1 a a 1 a n 2023 a 1n a 1 1 a a a a n 1 a 1 a a n 2023 a 1 a a n 1 điểm n 2023 2023 a 1 a 1 c n với a 1 a 1 a 1 a Theo định lý Lagrange tồn ( xn ; c) cho: f n c f n xn f n c xn Mà f n n 2023 a 2023 n2022 n. n nên từ suy c n c xn c n 0 theo ngun lí Do ta có: c c n xn c mà c nlim giới hạn kẹp ta có lim xn c n Câu a a Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H , nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AC , AB đường tròn (O) lấy điểm K , L cho 0,5 điểm điểm KL / / BC Gọi G điểm đường thẳng AB cho OG / / AK Đường thẳng LH cắt lại (O) V khác L Chứng minh CVG 90 Q A T G L E R F O H B K C D V P điểm Gọi giao điểm CO (O) T, ta cần chứng minh T, V, G thẳng hàng Hay GA/GB = (TB/TA)(VB/VA) Ta có GOA = OAK = PAL = x; GOB = AOB - GOA = QCP - PCL = QCL = y Ta có GA/GB = sim AOG/sin BOG = sin PAL/sin QCL = LP/LQ Lại có LP/LQ = (LP/LH).(LH/LQ) = (AV/AH)(BH/BV) = (AV/BV)(BH/AH) Do TAHB hình bình hành nên (BH/AH) = (TA/TB) đpcm điểm Tìm tất hàm số liên tục f : thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: Câu điểm i ) f 1 2023 ii ) f x y 2023x f y 2023 y f x , x, y Giả sử f : hàm số thỏa mãn đề điểm x Trong 1 lấy y x ta f x 2.2023 f x , x 2 Trong (1) lấy y 2 x sử dụng (2) ta f 3x f x x 20232 x f x 2023x f x 20232 x f x 2.20232 x f x 3.20232 x f x , x n 1 x Giả sử f nx n.2023 f 3 f x , x Khi nx x n 1 x f nx x 2023 f x 2023 f x 20232 x f x 2.20232 x f x 3.20232 x f x , x Theo nguyên lí quy nạp suy f nx n.2023 n 1 x f x , x , n 1, 2, 4 n n Vậy f n f n.1 n.2023 f 1 n.2023 , n 1, 2, 5 Với n 1, 2, m 1, 2, theo , ta có n m 1 n f n f m m.2023 m m n Suy m 2023 n m n f n.2023n m n n n n n m f n.2023 f 2023 m m m r Vậy f r r.2023 , r , r (6) Với số thực dương x tồn dãy số hữu tỉ dương rn n1 cho lim rn x f Vì n liên tục 1,5 điểm nên f x f lim r lim f rn lim rn 2023rn x 2023x n n n x Vậy f x x.2023 , x , x 7 Trong (2) lấy x 0 ta f 0 Do (1), xét x 0, từ (1) (7) ta f x x 2023x f x 2023 x f x 2023x x 2023 x 2023 x f x x 2023 x f x 1,5 điểm x Suy f x x.2023 , x x Kết hợp với (7) f 0, suy f x x.2023 , x x Thử lại Vậy f x x.2023 , x hàm số cần tìm Câu Tìm tất số k nguyên dương cho tồn 2023 số nguyên dương phân biệt thỏa mãn tổng 2023 số chia hết cho tổng k số phân biệt điểm 2023 số 0.5 điểm Ta thấy k 2023 * Với k 2023 rõ ràng thỏa mãn đề * Với k 1 : Ta chứng minh quy nạp theo n 3 tồn n số 0.75 điểm nguyên dương phân biệt mà tổng chúng chia hết cho số n số Thật vậy, với n 3 ba số 1,2,3 thỏa mãn Giả sử mệnh đề với n, tức có số a1 , a2 , , an thỏa mãn đề bài, ta chọn thêm an1 a1 a2 an , (n 1) số a1 , a2 , , an , an 1 thỏa mãn Vậy k 1 thỏa mãn đề * Xét k 2022 : giả sử chọn 2023 số nguyên dương phân biệt thỏa mãn đầu Đặt 2023 số nguyên dương a1 a2 a2023 Đặt t min a2 a1 ; a3 a2 ; ; a2022 a2021 i số mà t ai 1 (Trong trường hợp tập hợp a2 a1 ; a3 a2 ; ; a2022 a2021 có nhiều phần tử điểm t ta chọn số i lớn nhất) Với k 2022 ta tìm (k 2) số i1 , i2 , , ik phân biệt khác i; i Đặt x ai1 ai2 aik a2023 ; y ai1 ai2 aik a2023 1 (nếu k=2 quy ước x y khơng có ai1 ai2 aik ) Theo giả thiết S chia hết cho x y, suy S chia hết cho điểm M BCNN ( x, y ) Ta có M xy xy a a2023 1 Với cách chọn i 2023 ( x, y ) y x t a2023 a2022 2021t a1 1 t Suy M a 2023 2022t 2022 a2023 a1 a2 a2023 S t , mâu thuận với S chia hết cho M, suy với k từ đến 2023 không 0.75 điểm thỏa mãn Vậy có hai số k cần tìm k 1; k 2023 Tìm giá trị lớn có n cho tồn tập hợp S gồm 2023 số Câu nguyên dương lấy n tập S cho tổng phần tử n tập đơi ngun tố Ta chứng minh n 22022 điểm điểm Trong 22023 tập S có nhiều nửa số có tổng phân tử số lẻ Thật vậy, tất phần tử S số chẵn tất tập S có tổng phần tử chẵn nên khơng có tập S có tổng phần tử số lẻ Nếu tồn phần tử x S số lẻ ta chia 22023 tập S thành cặp ( T ;T x ) với T tập điểm S mà x T Trong cặp có tập có tổng phần tử chẵn Do có tối đa 22022 tập S có tổng phần tử số lẻ Vì n 22022 có hai tập có tổng phần tử số chẵn ( mâu thuẫn ) Vậy n 22022 Ta xây dựng ví dụ cho n 22022 Đặt k (22022 ) ! Và tập S 1; k ;2k ;4k ; ;2 2021 k Xét 22022 tập S chứa phần tử thêm vào tập hợp k điểm Các tập S chứa phần tử tổng phần tử có dạng ak với a 22022 hai tập khác tổng phần tử khác Ta có gcd (k ; ak 1) 1 Nếu gcd (ak 1; bk 1) d 1(a b) đặt p ước nguyên tố d p k (a b) suy p (a b) p k , mà 22022 a b nên p k hay p 1 Do tổng phần tử tập điểm hợp nguyên tố Vậy giá trị lớn n n 22022 Giáo viên soạn đề: Trần Thu Trang Số điện thoại: 0942527795